1．有一组数列：2，－3，2，－3，2，－3，2，－3，…，根据这个规律，那么第2010个数是____．
2．如图4－10－1，是用火柴拼成的图形，则第n个图形需____根火柴棒．
1②③
图4－10－1
④
3．如图4－10－2，是由一些点组成的图形，按此规律，在第n个图形中，点的个数为____．
图4－10－2
4．为庆祝“六一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛．如图4－10－3，按照上面的规律，摆第n个图，需用火柴棒的根数为____．
图4－10－3
5．图4－10－4是一组有规律的图案，第一个图案由4个▲组成，第二个图案由7个▲组成，第三个图案由10个▲组成，第四个图案由13个▲组成，…，则第n(n为正整数)个图案由____个▲组成．
图4－10－4
【思维拓展】
6．已知一列数a1，a2，a3，…，an中，a1＝0，a2＝2a1＋1，a3＝2a2＋1，…，an＋1＝2an1＋1，则a2014－a2013的个位数字是A．2
B．4
C．6
D．8
()
7．如图4－10－5，下列图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成，其中，图①中面积为1的正方形有2个，图②中面积为1的正方形有5个，图③中面积为1的正方形有9个，…，按此规律，则图⑥中面积为1的正方形的个数为(
)
图4－10－5
A．20
B．27
C．35
D．40
)
8．图4－10－6都是由同样大小的棋子按一定的规律组成，其中图①有1颗棋子，图②中一共有6颗棋子，图③中一共有16颗棋子，…，则图⑥中棋子的颗数为(
图4－10－6
A．51
B．70
12
23
35C．7658
813
1321
D．81a34
……
9．下表中的数字是按一定规律填写的，表中a的值应是_______.
10．用正三角形和正六边形按如图4－10－7所示的规律拼图，即从第二个图案开始，每个图案都比上一个图案多一个正六边形和两个正三角形，则第n个图案中正三角形的个数为_____________(用含n的代数式表示)．
图4－10－7
11．有一列数如下：1，0，1，0，0，1，0，0，0，1，0，0，0，0，1，…，则第9个1在这列数中是第_______个数．12．观察下列关于自然数的等式：32－4×12＝552－4×22＝9
①②
272－4×32＝13…
③
根据上述规律解决下列问题：(1)完成第四个等式：92－4×(
4)2＝(
)；
(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的式子表示)．
【思维升华】
13．“华”“杯”“赛”三个字的四角号码分别是“2440”“4199”和“3088”，将“华杯赛”的编码取为“244041993088”．如果这个编码从左起的奇数位的数码不变，偶数位的数码改变为关于9的补码，例如，0变9，1变8等，那么“华杯赛”新的编码是(
)
B．745051096018D．755958006911
A．264949117122C．254948903981
14．如图4－10－8，下列一串梅花图案是按一定规律排列的，请你仔细观察，在前2015个梅花图案中，共有____个“
”图案．
图4－10－8
15．如图4－10－9是一个按某种规律排列的数阵：根据规律，自然数2000应该排在从上向下数的第m行，是该行中的从左向右数的第n个数，那么m＋n的值是
(
)
图4－10－9
A．110
B．109
C．108
D．107
16．用火柴棍按照如图4－10－10所示的规律搭建三角形，“…”表示按照前面的规律一直搭建下去，当搭建到第n个编号三角形的时候，所用火柴棍的根数是____根(用含有n的式子表示)．
图4－10－10
3答案：
第10讲
数式规律型问题
【思维入门】
1．有一组数列：2，－3，2，－3，2，－3，2，－3，…，根据这个规律，那么第2010个数是__－3__．
2．如图4－10－1，是用火柴拼成的图形，则第n个图形需__2n＋1__根火柴棒．
③④图4－10－1
【解析】当三角形的个数为1，2，3，4时，火柴棒的个数分别为3，5，7，9，由此可以看出当三角形的个数为n时，那么此时火柴棒的个数应该为2n＋1.
3．如图4－10－2，是由一些点组成的图形，按此规律，在第n个图形中，点的个数为__n2＋2__．
1②
图4－10－2
【解析】分析数据可得：第1个图形中点的个数为3；第2个图形中点的个数为3＋3；第3个图形中点的个数为3＋3＋5；第4个图形中点的个数为3＋3＋5＋7，…，则第n个图形中点个数为3＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)＝n2＋2.
4．为庆祝“六一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛．如图4－10－3，按照上面的规律，摆第n个图，需用火柴棒的根数为__6n＋2__．
图4－10－3
【解析】第1个图形有8根火柴棒，第2个图形有14根火柴棒，第3个图形有20根火柴棒，…第n个图形有6n＋2根火柴棒．
5．图4－10－4是一组有规律的图案，第一个图案由4个▲组成，第二个图案由7个▲组成，第三个图案由10个▲组成，第四个图案由13个▲组成，…，则第n(n为正整数)个图案由__3n＋1__个▲组成．
图4－10－4【思维拓展】
46．已知一列数a1，a2，a3，…，an中，a1＝0，a2＝2a1＋1，a3＝2a2＋1，…，an＋1＝2an＋1，则a2014－a2013的个位数字是(C)A．2B．4C．6D．8
【解析】∵a1＝0，a2＝1，a3＝3，a4＝7，a5＝15，a6＝31，a7＝63，a8＝127，a9＝255，…，从a2开始个位数字以1，3，7，5每4个一循环，则(2014－1)÷4＝503……1，(2013－1)÷4＝503，则a2014的个位数字是1，a2013的个位数字是5，则a2014－a2013的个位数字是6.
7．如图4－10－5，下列图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成，其中，图①中面积为1的正方形有2个，图②中面积为1的正方形有5个，图③中面积为1的正方形有9个，…，按此规律，则图⑥中面积为1的正方形的个数为(B)
1【解析】第n个图形中面积为1的正方形有2＋3＋4＋…＋(n＋1)＝n(n＋3)，进一
2
步求得第6个图形中面积为1的正方形的个数．
8．图4－10－6都是由同样大小的棋子按一定的规律组成，其中图①有1颗棋子，图②中一共有6颗棋子，图③中一共有16颗棋子，…，则图⑥中棋子的颗数为(C)
A．20B．27C．35D．40
A．51B．70
图4－10－6C．76
D．81
5n（n－1）
，2
【解析】第n个图形中棋子的个数为1＋5[1＋2＋…＋（n－1）]＝1＋
然后把n＝6代入计算．
9．下表中的数字是按一定规律填写的，表中a的值应是__21__.1235813a…2358132134…【解析】第一行中相邻两数相加等于右边数字下第二行中的值．根据题意可得出13＋a＝34，得a＝21.
10．用正三角形和正六边形按如图4－10－7所示的规律拼图，即从第二个图案开始，每个图案都比上一个图案多一个正六边形和两个正三角形，则第n个图案中正三角形的个数为__2n＋2__(用含n的代数式表示)．
图4－10－7
5【解析】由图可知：第一个图案有正三角形4个，为2×1＋2＝4(个)，第二个图案比第一个图案多2个，为2×2＋2＝6(个)，第三个图案比第二个多2个为2×3＋2＝8(个)．那么第n个就有正三角形2n＋2个．
11．有一列数如下：1，0，1，0，0，1，0，0，0，1，0，0，0，0，1，…，则第9个1在这列数中是第__45__个数．
【解析】∵两个1之间的0的个数分别为1，2，3…，
∴到第9个1，0的个数为：1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36，∴第9个1在这列数中是第36＋9＝45个数．12．观察下列关于自然数的等式：32－4×12＝5①52－4×22＝9②72－4×32＝13③…
根据上述规律解决下列问题：
(1)完成第四个等式：92－4×(4)2＝(17)；(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的式子表示)．解：(1)92－4×42＝17.
(2)猜想：(2n＋1)2－4n2＝2(2n＋1)－1.
【思维升华】
13．“华”“杯”“赛”三个字的四角号码分别是“2440”“4199”和“3088”，将“华杯赛”的编码取为“244041993088”．如果这个编码从左起的奇数位的数码不变，偶数位的数码改变为关于9的补码，例如，0变9，1变8等，那么“华杯赛”新的编码是
(C)
A．264949117122B．745051096018C．254948903981D．755958006911
【解析】因为这个编码从左起的奇数位的数码不变，偶数位的数码改变为关于9的补码，
所以偶数位上的编码依次改变为：4变5，0变9，1变8，9变0，0变9，8变1，所以“华杯赛”新的编码是254948903981.14．如图4－10－8，下列一串梅花图案是按一定规律排列的，请你仔细观察，在前2015个梅花图案中，共有__504__个“
”图案．
图4－10－8
【解析】观察图形可以发现：依次是向上、右、下、左4个一循环，所以2015÷4＝503余3，则共有503＋1＝504(个)．
15．如图4－10－9是一个按某种规律排列的数阵：根据规律，自然数2000应该排在从上向下数的第m行，是该行中的从左向右数的第n个数，那么m＋n的值是
(B)
6图4－10－9
A．110B．109C．108D．107
【解析】∵每行的最后一个数是这行行数a的平方，第a行的数字的个数是2a－1，∵442＝1936，452＝2025，
∴2000在第45行，且第45行的第一个数字为1937，∴2000是第45行的从左向右数的第64个数字，∴m＝45，n＝64，∴m＋n＝109.
16．用火柴棍按照如图4－10－10所示的规律搭建三角形，“…”表示按照前面的规律一直搭建下去，当搭建到第n个编号三角形的时候，所用火柴棍的根数是__4n－1__根(用含有n的式子表示)．
图4－10－10
7
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