高中数学抛物线的常见结论

抛物线的常见结论

一、知识点总结 1. 抛物线的弦长公式

其中k是弦所在直线的l1k2x1x21k2•(x1x2)24x1x2，

斜率，x1,x2是交点的横坐标，本表达式不包含斜率不存在的情况。

l1m2y1y21m2•(y1y2)24y1y2，其中弦长所在直线

方程为xmyb，y1,y2是交点的纵坐标，本表达式包含斜率不存在的情况。 2.

抛物线的焦点弦

C A α O D F B 对于抛物线，y2px，p0，倾斜角为α的直线过抛物线的焦点，与抛物线交于A，B两点，过A,B做抛物线准线的垂线，垂足分别为C,D，那么有：

2p2,y1y2p2 ①x1x24精编文档

y1y2p2y22px22由，因此(y1y2)2p2 p 得y2pmyp0（＊）

x1x2xmy224p4②焦点弦长

ABx1x2p，焦点弦长AB2P 2sin(y1y2)24y1y21，结合（＊）式与m得： ABtansinsiny1y24p2m24p2sin4p21cos2sin224p2p12p2222tantansinsin

sinsinsinAB2p1sin22p sinsin2③

112 AFBFP2P2AFBF112p2p2sin简单证明如下:2 y1y2AFBFAFBFy1y2ppsinsinP2④焦点三角形面积S

2sin简单证明如下：以

AB为底，以O到AB的距离为高，该三角形面积课表示为：

SAOB112ppp2ABOFsin2sin 22sin22sin⑤焦点弦相关的几何关系： a. b. c. d. e.

以AF/BF为直径的圆与y轴相切

以AB为直径的圆与准线相切，切点与焦点连线垂直于AB. 以CD为直径的圆与AB相切

A,B在准线上的投影对F的张角为90°，CFD90

以A,B为切点分别做两条切线，两切线的交点在准线上；在准线上取一点做抛物线的切线，

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两切点所在直线一定经过抛物线的焦点。

3. 经过x轴上一点a,o的直线与抛物线相交与两点A:x1,y1,B:x2,y2，不论其斜率为何值， 都有x1x2a,y1y22pa成立。

2 特别地，当a2p时，x1x2y1y2a2pa0，此时OA•OB0,OAOB。反之结论亦能成立，当OAOB,OA•OB0,a2p,AB所在直线经过定点2p,0。 二、相关题型总结

1、与焦点弦相关的求值问题

例1：过抛物线C：x4y的焦点F的直线交C于A，B两点，若|AF| A．2

例2：已知F为抛物线y2225，则|BF|=（ ） 4D．5

B．

5 2C．4

1x的焦点，过F作两条夹角为45°的直线l1l2，l1交抛物线于A，B两211的最大值为（ ） ABCDC．1点，l2交抛物线于C，D两点，则

A．

1+2 4B．

1+2 22 D.22 例3:已知直线y焦点，那么

3(x1)交抛物线y24x于A，B两点（点A在x轴上方），点F为抛物线的

=（ ）

AFBF A．5 B．4

2 C．3 D．2

例4：已知抛物线y2px，p0的焦点为F，过点F作互相垂直的两直线AB，CD与抛物分别相交于A，B以及C，D，若

111，则四边形ACBD的面积的最小值为（ ） AFBF精编文档

2例5：过抛物线y2px,p0的焦点做倾斜角为60〫的直线，与抛物线交于A,B两点(A在

上方)，则

|AF| |BF|2例6：已知F是抛物线y4x的焦点，过焦点做倾斜角为斜率为1的直线，与抛物线交于A,

|AF| B两点(A在上方)，则

|BF|2例7：过抛物线抛物线y4x的焦点，过焦点做直线与抛物线交于A,B两点，若|AF|3,则

三角形 AOB的面积为

2、抛物线中与结论3相关的求值问题

例1：设抛物线C：y2px，p0，过点M(p,0)的直线l与抛物线相交于A，B两点，O为坐标原点，设直线OA，OB的斜率分别为k1,k2，则k1k2=（ ） A．-1

B．2

22C．﹣2 D．不确定

例2：已知直线与抛物线y4x交于两点A，B且两交点纵坐标之积为32，则直线恒过定点（ ） A．（1，0）

B．（2，0）

2C．（4，0） D．（8，0）

例3:如图，已知直线与抛物线x2py交于A，B两点，且OA⊥OB，OD⊥AB交AB于点D，点D的坐标为(2,4)，则p的值为（ ）

A．2

B．4

C．

3 2D．

5 2精编文档

例4：设抛物线y4x的焦点为F，过点

交于点C，若

22,0的直线交抛物线于A,B两点，与抛物线准线

SSACFBCF2，则AF（ ） 5 (C) 3 (D) 2

(A)

2 (B) 4 32、抛物线综合问题

例1：直线l与抛物线y2=4x相交与A，B两点，若OA⊥OB（O是坐标原点），则△AOB面积的最小值为（ ） A．32

B．24

C．16

D．8

例2：若抛物线y2=4x，过其焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，则|AF|+2|BF|的最小值为（ ） A．6

B．

C．9

D．

例3：已知A，B是过抛物线y2=2px（p＞0）焦点F的直线与抛物线的交点，O是坐标原点，且满足AB A．

3FB,SOAB2AB,则AB的值为（ ） 3

C．4

D．2

B．

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