2020-2021学年人教 版九年级下册数学中考复习试卷1

一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1．a、b是有理数，下列各式中成立的是（ ） A．若a≠b，则|a|≠|b| C．若a＞b，则|a|＞|b|

B．若|a|≠|b|，则a≠b D．若|a|＞|b|，则a＞b

2．2020年，新冠肺炎疫情席卷全球，截至2020年12月30日，累计确诊人数超过78400000人，抗击疫情成为全人类共同的战役，寒假要继续做好疫情防控．将“78400000”用科学记数法可表示为（ ） A．7.84×105

B．7.84×106

C．7.84×107

D．78.4×106

3．由6个大小相同的正方体搭成的几何体，被小颖拿掉2个后，得到如图1所示的几何体，图2是原几何体的三视图．请你判断小颖拿掉的两个正方体原来放在（ ）

A．1号的前后 4．不等式组：

B．2号的前后 C．3号的前后 D．4号的左右

的解集用数轴表示为（ ）

A． B．

C． D．

5．如图，已知四边形ABCD，连接AC，若AB∥CD，则①∠BAD+∠D＝180°，②∠BAC＝∠DCA，③∠BAD+∠B＝180°，④∠DAC＝∠BCA，其中正确的有（ ）

A．①②③④ B．①② C．②③ D．①④

6．已知一个扇形的弧长为3π，所含的圆心角为120°，则半径为（ ）

A．9 B．3 C． D．

7．下列说法中错误的有（ ）个． （1）平行四边形对角线互相平分且相等； （2）对角线相等的平行四边形是矩形； （3）菱形的四条边相等，四个角也相等； （4）对角线互相垂直的矩形是正方形；

（5）顺次连接四边形各边中点所得到的四边形是平行四边形． A．1

B．2

C．3

D．4

8．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（0，4）、（4，0），点C在第一象限内，∠BAC＝90°，AB＝2AC，函数y＝（x＞0）的图象经过点C，将△ABC沿x轴的正方向向右平移m个单位长度，使点A恰好落在函数y＝（x＞0）的图象上，则m的值为（ ）

A． B． C．3 D．

二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 9．两个最简二次根式

与

相加得6

，则a+b+c＝ ．

10．因式分解：x﹣4x3＝ ．

11．△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，则sinA+cosA＝ ．

12．如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°，已知乙楼的高CD是50m，则甲楼的高AB是 m（结果保留根号）．

13．如图，已知直线l1：y＝﹣2x+4与直线l2：y＝kx+b（k≠0）在第一象限交于点M，若直线l2与x轴的交点为A（﹣2，0），则k的取值范围是 ．

14．如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，以P为顶点的抛物线经过原点，与x⊙P与y轴相切于点B，D．轴正半轴相交于点A，交抛物线于点C、若点A的坐标为（a，0），CD＝b，则△PCD的周长为 ．（用含a、b的代数式表示）

三．解答题（共10小题，满分78分） 15．（6分）化简求值：（求值．

16．（6分）某县为落实“精准扶贫惠民”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成：若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1.5倍．如果由甲、乙队先合作施工15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需5天．

（1）这项工程的规定时间是多少天？

﹣x+1）÷

，其中x从0、2、﹣1中任意取一个数

（2）为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙两队合作完成．则甲乙两队合作完成该工程需要多少天？

17．（6分）图1、图2分别是7×6的网格，网格中的每个小正方形的边长均为1．请按要求画出下列图形，所画图形的各个顶点均在所给小正方形的顶点上． （1）在图1中画一个周长为8

的菱形ABCD（非正方形）；

（2）在图2中画出一个面积为9，且∠MNP＝45°的▱MNPQ， 并直接写出▱MNPQ较长的对角线的长度．

18．（7分）一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，球上分别标有数字﹣1、1、2．第一次从袋中任意摸出一个小球，得到的数字作为点M的横坐标x；再从袋中余下的两个小球中任意摸出一个小球，得到的数字作为点M的纵坐标y． （1）点M的横坐标x为正数的概率是 ；

（2）用列表法或画树状图法，求点M在第一象限的概率．

19．（7分）如图，AC为⊙O的直径，B为AC延长线上一点，且∠BAD＝∠ABD＝30°，BC＝1，AD为⊙O的弦，连接BD，连接DO并延长交⊙O于点E，连接BE交⊙O于点M．

（1）求证：直线BD是⊙O的切线； （2）求⊙O的半径OD的长； （3）求线段BM的长．

20．（7分）4月23日是世界读书日，校文学社为了解学生课外阅读的情况，抽样调查了部分学生每周用于课外阅读的时间，过程如下：

收集数据：从学校随机抽取20名，进行了每周用于课外阅读时间的调查，数据如下（单位：min）：

30 60

60 81

81 120

50 140

40 70

110 81

130 10

146 20

90 100

100 81

整理数据：按如下分数段整理样本数据并补全表格：

等级 人数

0≤x＜40

D 3

40≤x＜80

C a

80≤x＜120

B 8

120≤x＜160

A 4

分析数据：补全下列表格中的统计量：

平均数 80

得出结论：

（1）请写出表中a＝ ；b＝ min；c＝ min； （2）如果该校现有学生7500人，估计等级为“B”的学生有 名；

（3）假设平均阅读一本课外书的时间为160min，请你选择一种统计量估计该校学生每人一年（按52周计算）平均阅读多少本课外书？

21．（8分）一辆货车从A地去B地，一辆轿车从B地去A地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，轿车的速度大于货车的速度．两辆车之间的距离为y（km）与货车行驶的时间为x（h）之间的函数关系如图所示． （1）两车行驶多长时间后相遇？

（2）轿车和货车的速度分别为 ， ； （3）谁先到达目的地，早到了多长时间？ （4）求两车相距160km时货车行驶的时间．

中位数 b

众数 c

22．（9分）如图1，正方形ABCD和正方形AEFG，连接DG，

BE．

（1）[发现]：当正方形AEFG绕点A旋转，如图2，线段DG与BE之间的数量关系是 ；位置关系是 ；

[探究]：AG＝2AE，（2）如图3，若四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，且AD＝2AB，猜想DG与BE的数量关系与位置关系，并说明理由；

（3）[应用]：在（2）情况下，连接GE（点E在AB上方），若GE∥AB，且AB＝AE＝1，求线段DG的长．

23．（10分）小明为了在△ABC中作一个内接正方形DEFG（点D、E、F、G在三角形的边上），如图1，进行了如下操作，第一步：在边AB上任取一点P，作PK⊥BC，K为垂足，以PK为边作正方形PKMN，如图2，第二步：作射线BN交AC于点G，第三步：过点G作GD∥BC，交AB于点D，作DE⊥BC，GF⊥BC，E、F为垂足，如图3．

，

（1）请证明小明所作的四边形DEFG（如图3）是正方形；

E、F、G在三角形的边上）（2）如图1，边长为x的正方形DEFG内接于△ABC（点D、，已知BC＝a，BC边上的高为h． ①求证：

．

②连接BG，若BC边上的高h＝2，△DBG的面积为S1，△ABC的面积为S2．设y＝

，

求y与x的函数表达式，并证明：S1≤S2．

24．（12分）如图，抛物线y＝（x+2）（x﹣2k）交x轴于A、B两点，A在B左侧，交

y轴于点C，k＞0，P为抛物线第二象限内一点，且tan∠PBA＝． （1）①tan∠OBC＝ ；

②当k＝3时，点P的横坐标为 ．

（2）①当k＞0时，P点的横坐标是否会随k的变化而变化•请说明理由． ②若∠OBC＝∠APB，求抛物线解析式．

（3）在（2）的条件下，在x轴下方抛物线上有一动点D，过点D作DG⊥直线PB于点G，求DG的最大值．

参与试题解析

一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1．解：A.1≠﹣1，但|1|＝|﹣1|，此选项错误； B．|a|≠|b|，则a≠b，此选项正确； C．如1＞﹣2，但|1|＜|﹣2|，此选项错误； D．|﹣2|＞|+1|，但﹣2＜+1，此选项错误； 故选：B．

2．解：78400000＝7.84×107． 故选：C．

3．解：观察图形，由三视图中的俯视图可得拿掉的两个正方体原来放在2号的前后． 故选：B．

4．解：不等式组可化为：在数轴上可表示为： 故选：A．

5．解：∵AB∥CD，

∴∠BAD+∠D＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∠BAC＝∠DCA（两直线平行，内错角相等）， 故①、②正确； ∵AD∥BC，

∴∠BAD+∠B＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∠DAC＝∠BCA（两直线平行，内错角相等）， 故③、④错误， 故选：B． 6．解：设半径为r，

∵扇形的弧长为3π，所含的圆心角为120°，

，

∴∴r＝， 故选：C．

＝3π，

7．解：（1）平行四边形对角线互相平分且相等，错误，对角线不相等； （2）对角线相等的平行四边形是矩形，正确；

（3）菱形的四条边相等，四个角也相等，错误，四个角不相等； （4）对角线互相垂直的矩形是正方形，正确；

（5）顺次连接四边形各边中点所得到的四边形是平行四边形，正确． 故选：B．

8．解：如图，作CH⊥y轴于H． ∵A（0，4）、B（4，0）， ∴OA＝OB＝4， ∵∠BAC＝90°， ∴∠OAB+∠CAH＝90°， ∵∠ABO+∠OAB＝90°， ∴∠ABO＝∠CAH， 又∵∠AOB＝∠AHC＝90°， ∴△ABO∽△CAH， ∴

＝

＝

＝2，

∴CH＝AH＝2， ∴OH＝OA+AH＝6， ∴C（2，6），

∵点C在y＝的图象上， ∴k＝2×6＝12， ∴y＝

，

∴当y＝4时，x＝3，

∵将△ABC沿x轴的正方向向右平移m个单位长度，使点A恰好落在函数y＝（x＞0）的图象上，

∴m＝3， 故选：C．

二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 9．解：由题意得，∵

与

与

是同类二次根式， ，

相加得6

∴a+c＝6，b＝5， 则a+b+c＝11． 故答案为：11．

10．解：x﹣4x3＝x（1﹣4x2） ＝x（1+2x）（1﹣2x）． 故答案为：x（1+2x）（1﹣2x）．

11．解：如图，∵tanA＝＝，

∴设AB＝5x，则BC＝4x， AC＝3x， 则有：sinA+cosA＝故答案为：．

12．解：在Rt△ACD中，∵∠CAD＝30°，CD＝50， ∴AD＝

＝50×

＝50

，

+

＝

+

＝，

在Rt△ABD中，∵∠BDA＝45°， ∴AB＝AD＝50故答案为：50

（m）， ．

13．解：∵直线l2与x轴的交点为A（﹣2，0）， ∴﹣2k+b＝0， ∴

，

解得，

∵直线l1：y＝﹣2x+4与直线l2：y＝kx+b（k≠0）的交点在第一象限，

∴

解得0＜k＜2． 故答案为：0＜k＜2． 14．解：过P作PE⊥OA于E，

∵P为抛物线的顶点， ∴OE＝OA＝a， 连接PB，

∵⊙P与y轴相切于点B， ∴PB⊥OB，

∴四边形PBOE是矩形， ∴PB＝OE＝a， ∴PC＝PD＝PB＝a，

∴△PCD的周长为＝PC+PD+CD＝a+b， 故答案为：a+b．

三．解答题（共10小题，满分78分） 15．解：（＝＝＝﹣

，

•﹣x+1）÷

•

∵从分式知：x+1≠0，x﹣2≠0， ∴x≠﹣1且x≠2， 取x＝0，

当x＝0时，原式＝﹣

＝1．

16．解：（1）设这项工程的规定时间是x天，则甲队单独施工需要x天完工，乙队单独施工需要1.5x天完工， 依题意，得：解得：x＝30，

经检验，x＝30是原方程的解，且符合题意． 答：这项工程的规定时间是30天．

（2）由（1）可知：甲队单独施工需要30天完工，乙队单独施工需要45天完工， 1÷（

+

）＝18（天）．

+

＝1，

答：甲乙两队合作完成该工程需要18天． 17．解：（1）如图1中，菱形ABCD即为所求．

（2）如图2中，平行四边形MNPQ即为所求．较长的对角线NQ＝18．解：（1）点M的横坐标x为正数的概率为：

，

＝3．

故答案为：； （2）画树状图为：

点M共有6种等可能的结果数，点M在第一象限的有2种， ∴点M在第一象限的概率为：＝．

19．解：（1）证明：∵OA＝OD，∠BAD＝∠ABD＝30°， ∴∠BAD＝∠ADO＝30°， ∴∠DOB＝∠BAD+∠ADO＝60°，

∴∠ODB＝∠180°﹣∠DOB﹣∠ABD＝90°， ∵OD为⊙O的半径， ∴直线BD是⊙O的切线；

（2）∵∠ODB＝90°，∠ABD＝30°， ∴OD＝OB， ∵OC＝OD， ∴BC＝OC＝1，

∴⊙O的半径OD的长为1； （3）∵OD＝1， ∴DE＝2，BD＝∴BE＝

如图，连接DM，

， ＝

，

∵DE为⊙O的直径，

∴∠DME＝90°， ∴∠DMB＝90°， ∵∠EDB＝90°， ∴∠EDB＝∠DME， 又∵∠DBM＝∠EBD， ∴△BMD∽△BDE， ∴

＝

， ＝

＝

． ．

∴BM＝

∴线段BM的长为

20．解：（1）由已知数据知a＝5，

将数据重新排列为10，20，30，40，50，60，60，70，81，81，81，81，90，100，100，110，120，130，140，146，

中位数是第10、11个数据的平均数，而第10、11个数据分别为81、81， 所以中位数b＝81（min），众数为81min， 故答案为：5、81、81； （2）∵7500×

＝3000（人），

∴估计等级为“B”的学生有3000人． 故答案为：3000； （3）以平均数来估计：

×52＝26（本），

∴假设平均阅读一本课外书的时间为160分钟，以样本的平均数来估计该校学生每人一年（按52周计算）平均阅读26本课外书． 21．解：（1）由图象可得， 两车行驶1小时后相遇； （2）由图象可得，

轿车的速度为：180÷1.8＝100（km/h）， 货车的速度为：180÷1﹣100＝80（km/h）， 故答案为：100km/h，80km/h； （3）由题意可得，

轿车先到达目的地，

180÷80﹣1.8＝2.25﹣1.8＝0.45（小时）， 即轿车先到达目的地，早到了0.45小时；

（4）设两车相距160km时货车行驶的时间为a小时， 相遇前：180﹣160＝（100+80）a， 解得a＝， 相遇后，80a＝160， 解得a＝2，

由上可得，两车相距160km时货车行驶的时间是小时或2小时． 22．解：（1）DG＝BE，DG⊥BE，理由如下： ∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形， ∴AE＝AG，AB＝AD，∠BAD＝∠EAG＝90°， ∴∠BAE＝∠DAG， ∴△ABE≌△DAG（SAS）， ∴BE＝DG；

如图2，延长BE交AD于G，交DG于H， ∵△ABE≌△DAG， ∴∠ABE＝∠ADG， ∵∠AQB+∠ABE＝90°， ∴∠AQB+∠ADG＝90°， ∵∠AQB＝∠DQH， ∴∠DQH+∠ADG＝90°， ∴∠DHB＝90°， ∴BE⊥DG，

故答案为：DG＝BE，DG⊥BE；

（2）DG＝2BE，BE⊥DG⊥BE，理由如下： 如图3，延长BE交AD于G，交DG于H， ∵四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形， ∴∠BAD＝∠EAG，

∴∠BAE＝∠DAG， ∵AD＝2AB，AG＝2AE， ∴

＝

＝，

∴△ABE∽△ADG， ∴

＝

＝，∠ABE＝∠ADG，

∴DG＝2BE，

∵∠AGB+∠ABE＝90°， ∴∠AGB+∠ADG＝90°， ∵∠AGB＝∠DGH， ∴∠DGH+∠ADG＝90°， ∴∠DHB＝90°， ∴BE⊥DG；

（3）如图4，（为了说明点B，E，F在同一条线上，特意画的图形） 设EG与AD的交点为M， ∵EG∥AB，

∴∠DME＝∠DAB＝90°， 在Rt△AEG中，AE＝1， ∴AG＝2AE＝2， 根据勾股定理得：EG＝∵AB＝

，

＝

，

∴EG＝AB， ∵EG∥AB，

∴四边形ABEG是平行四边形， ∴AG∥BE， ∵AG∥EF，

∴点B，E，F在同一条直线上，如图5， ∴∠AEB＝90°，

在Rt△ABE中，根据勾股定理得，BE＝

＝

＝2，

由（2）知，△ABE∽△ADG， ∴即

＝

＝，

＝，

∴DG＝4．

23．证明：（1）如图，由作图可得四边形DEFG为矩形， ∵PN∥DG∥BC， ∴

，

，

同理可得：

∴，

∵PN＝MN， ∴DG＝GF，

∴四边形DEFG是正方形；

（2）①过点A作AQ⊥BC，垂足为Q，AQ与DG相交于点O，

∵DG∥BC， ∴△ADG∽△ABC， ∴

，

，

设正方形的边长为x，则：∴hx＝ah﹣ax， 即（h+a）x＝ah， ∴即

；

，

②△DBG与正方形DEFG同底等高， ∴

由（2）中①的结论可知，则

，

，

， ，

∴，

由0＜x＜2，可得：

．

，

24．解：（1）①在y＝（x+2）（x﹣2k）中，令y＝0得x1＝﹣2，x2＝2k，令x＝0得y＝﹣k，

∵抛物线y＝（x+2）（x﹣2k）交x轴于A、B两点，A在B左侧， ∴A（﹣2，0），B（2k，0），C（0，﹣k）， ∴OB＝2k，OC＝|﹣|k|＝k， Rt△OBC中，tan∠OBC＝故答案为：；

②过P作PD⊥x轴于D，如答图1：

＝

，

k＝3时，抛物线解析式为y＝（x+2）（x﹣6）， ∴B（6，0），OB＝6，

设P（m，（m+2）（m﹣6）），

则OD＝|m|＝﹣m，PD＝（m+2）（m﹣6）， ∴BD＝6﹣m， ∵tan∠PBA＝，

∴，即，

解得m＝﹣5， 故答案为：﹣5；

（2）①当k＞0时，P点的横坐标不会随k的变化而变化，理由如下： 过P作PE⊥x轴于E，如图2：

设P（n，（n+2）（n﹣2k）），

则PE＝（n+2）（n﹣2k），OD＝|n|＝﹣n， ∴BE＝2k﹣n， ∵tan∠PBA＝，

∴，即，

解得n＝﹣5，

故P点的横坐标总为﹣5，不会随k的变化而变化； ②过A作AG⊥BP于G，如图3：

∵P点的横坐标总为﹣5， ∴P（﹣5，

），

而A（﹣2，0），B（2k，0）， ∴PA＝

＝

，AB＝2k+2，

∵tan∠PBA＝． ∴

可得

，

∵∠OBC＝∠APB，tan∠OBC＝， ∴tan∠APB＝， ∴∴

可得，

，

∴＝，

化简得：44k2+28k﹣141＝0， 解得k＝或者k＝﹣

（舍去），

；

∴抛物线解析式为y＝（x+2）（x﹣3）＝（3）如答图4：

∵k＝，

∴B（3，0），P（﹣5，6），抛物线为y＝∴直线BP的解析式为y＝﹣

+，

只有一个交点时，此交点即为D，D到

，

将直线BP向下平移至与抛物线y＝

直线BP的距离即为最大值，平移后直线与x轴交于M， 过D作DG⊥BP于G，过M作MN⊥BP于N， ∴四边形DGNM是矩形，

∴MN＝DG，

设DM解析式为y＝﹣x+b，

则只有一组解，即有两个相等实数根，

∴△＝0，即解得b＝﹣， ∴DM解析式为y＝﹣令y＝0得x＝﹣， ∴M（﹣，0） ∴BM＝3﹣（﹣）＝

，

＝0，

，

Rt△BMN中，tan∠PBA＝， ∴∴MN＝∴DG＝

可得

＝

， ，

．

即DG的最大值是