河北省故城县高级中学2015-2016学年高一数学下学期期中试题(新)

时间120分钟 满分150分

一．选择题：(共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的一项。)

1.已知角α终边上一点P(－12，3

2)，sinα＝( )

A．－1

2

B．－3

2

C.1

D.

32

2

2. 已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是( ) A．2 B．sin2 C.2

sin1

D．2sin1

3. sin43π²cos56π²tan(－4

3π)的值是( )

A．－334

B.33

4 C．－34

D.

34

4. 化简cosθ－sinθ

tanθ－1的结果为( )

A．sinθ B．cosθ C．－cosθ D．1

5. 已知sinθ＝m－3m＋5，cosθ＝4－2mm＋5，其中θ∈[π

2

，π]，则下列结论正确的是( A．m∈[3,9]

B．m∈(－∞，5)∪[3，＋∞) C．m＝0或m＝8 D．m＝8

6.在△ABC中，若sinA²cosB²tanC<0，则△ABC的形状是( ) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形

D．不能确定

7. 函数y＝sin2

x＋sinx－1的值域为( ) A．[－1,1]

B．[－5

4

，－1]

) 1

5

C．[－，1]

4

π3π

8. 已知sin(－x)＝，则cos(x＋)＝( )

3563

A. 53C．－ 5

9. 若函数f(x)＝sinA.C.π 23π 2

π

)|(x∈R)，则f(x)( ) 3

4B. D．－ 5

5

D．[－1，]

4

x＋φ

3

(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( )

B.D.2π 35π 3

10. 设函数f(x)＝|sin(x＋

2π7π

A．在区间[，]上是增函数

36π

B．在区间[－π，－]上是减函数

2ππ

C．在区间[，]上是增函数

84π5π

D．在区间[，]上是减函数

36

1＋sinx1cosx11. 已知＝－，那么的值是( )

cosx2sinx－11

A. 2C．2

1B．－ 2

D．－2

12.若A，B是锐角△ABC的两个内角，则点P(cosB－sinA，sinB－cosA)在( ) A．第一象限 C．第三象限

B．第二象限 D．第四象限

二．填空题：(本大题共四小题，每小题5分,共20分)

11

13. 已知角α的终边落在射线5x＋12y＝0，(x≤0)上，则cosα＋－的值tanαsinα为________．

1

14. 已知A、B是△ABC的内角，且cosA＝，sin(A＋B)＝1，则sin(3A＋2B)＝________.

3

2

15. 函数f(x)＝sinx＋2|sinx|，x∈[0,2π]的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是________．

16. 如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆→

上一点P的位置在(0,0)，圆在x轴上沿正向滚动，当圆滚动到圆心位于(2,1)时，OP的坐标为________．

三、解答题：(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤,共70分)

tanα

17.(10分) 已知＝－1，求下列各式的值．

tanα－1sinα－3cosα(1)；

sinα＋cosα(2)sinα＋sinαcosα＋2.

1π

18.(12分) 已知sinθ＋cosθ＝，θ∈(，π)，求tanθ.

52

1

19.(12分) 已知A、B是△ABC的内角，且cosA＝，sin(A＋B)＝1，则sin(3A＋2B)

3＝________.

20.(12分) 已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R. (1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；

(2)若扇形的周长是一定值C(C＞0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？ π52sinαcosα－cosα＋1

21. (12分) 已知0<α<，若cosα－sinα＝－，试求的

251－tanα值．

22. (12分) 如图，已知一长为4 dm，宽为3 dm的长方形木块在桌面上作无滑动的翻滚，翻滚到第四面时被一小木块挡住 ，使木块底面与桌面成30°角，求点A走过的路程的长度及走过的弧所在的扇形的总面积．

2

3

4

高一数学参

13

1. 解析：点P的坐标为(－，)，

22

323

∴r＝|OP|＝1，sinα＝＝. 12答案：D

1

2. 解析：由题设，圆弧的半径r＝，

sin1

∴圆心角所对的弧长l＝2r＝答案：C

3.解析：原式＝sin(π＋

πππ)²cos(π－)²tan(－π－) 363

2

. sin1

πππ

＝(－sin)²(－cos)²(－tan) 363＝(－3333)³(－)³(－3)＝－. 224

答案：A

cosθ－sinθcosθ－sinθcosθ－sinθ

4. 解析：＝＝＝－cosθ.

tanθ－1sinθsinθ－cosθ

－1cosθcosθ

答案：C 5.解析：由已知有

答案： D

6. .解析 ∵△ABC中每个角都在(0，π)内，∴sinA>0.

∵sinA²cosB²tanC<0，∴cosB²tanC<0. 若B，C同为锐角，则cosB²tanC>0. ∴B，C中必定有一个钝角． ∴△ABC是钝角三角形．故选B. 答案 B

7. 解析：y＝sinx＋sinx－1，令sinx＝t，则有y＝t＋t－1，t∈[－1,1]，1

画出函数图象如图所示，从图象可以看出，当t＝－及t＝1时，函数取最

252

值，代入y＝t＋t－1可得y∈[－，1]．故选C.

4

答案：C

5

2

2

m－34－2mm－324－2m2

≥0，≤0，且()＋()＝1，故m＝8，选D. m＋5m＋5m＋5m＋5

ππππ3

8. 解析 cos(x＋)＝cos[－(－x)]＝sin(－x)＝，选A.

62335答案 A

9. 解析：∵f(x)＝sin

x＋φ

3

是偶函数，∴f(0)＝±1.

φφπ

∴sin＝±1.∴＝kπ＋(k∈Z)．

3323π

∴φ＝3kπ＋(k∈Z)．

2

3π

又∵φ∈[0,2π]，∴当k＝0时，φ＝.故选C.

2答案：C

10. 解析：由函数图象的变换可知：f(x)＝|sin(x＋

ππ)|的图象是将f(x)＝sin(x＋)的33

图象在x轴下方的部分的对折上去，此时函数的最小正周期变为π，则函数在区间kπ≤xππππ2π7π

＋≤kπ＋，即kπ－≤x≤kπ＋上为增函数，当k＝1时有：≤x≤，故在3236362π7π

区间[，]上f(x)是增函数．故选A.

36

答案：A

cosx1＋sinx11＋sinxsinx－1sinx－11＋sinx11. 解析：设＝t，则²＝²＝＝－1，而2

sinx－1cosxtcosxcosxcosxcosx11

＝－，所以t＝.故选A.

22

答案：A

12. 解析 ∵A，B是锐角△ABC的两个内角，

∴A＋B>90°，即A>90°－B.

∴sinA>sin(90°－B)＝cosB，cosA0. ∴点P在第二象限．故选B.

6

2

答案 B

13. 解析：因为角的终边在直线上，故可利用三角函数的定义求解．

1255

在角α的终边上取点P(－12,5)，则r＝13，cosα＝－，tanα＝－，sinα＝，

1312131112121377

所以cosα＋－＝－－－＝－.

tanαsinα135513

77

答案：－

13

π

14. 解析：由sin(A＋B)＝1得A＋B＝，2A＋2B＝π.

2

于是sin(3A＋2B)＝sin(A＋π) ＝－sinA＝－22＝－. 322

答案：－ 315.

解析：本题是研究正弦函数与直线的交点问题，我们可借助于三角函数的图象，利用数形结合得出实数k的取值范围．

3sinx，x∈[0，π]

由题意得，f(x)＝sinx＋2|sinx|＝

－sinx，x∈π，2π

12

1－

3

其图象如图所示，由

图象可知，要f(x)与y＝k两图象有两个不同交点，则1＜k＜3.

所以k的取值范围是(1,3)．答案：(1,3)

2

16. 解析：根据题意可知圆滚动了2单位个弧长，点P旋转了＝2弧度，此时点P的坐标

1为

xP＝2－cos(2－)＝2－sin 2，

π2

7

yπP＝1＋sin(2－2

)＝1－cos 2，

→

OP＝(2－sin 2,1－cos 2)

答案：(2－sin 2,1－cos 2)

17. 解析： 由已知得tanα＝1

2

.

1(1)sinα－3cosαtanα－32－3

5sinα＋cosα＝tanα＋1＝1＝－. 2＋13

(2)sin2

α＋sinαcosα＋2

＝sin2

α＋sinαcosα＋2(sin2

α＋cos2

α) 2

2

＝3sinα＋sinαcosα＋2cosαsin2α＋cos2

α 2＝3tanα＋tanα＋2tan2α＋1 3³1＝22＋12＋2

13

1＝.

2

2＋1518. 解析:因θ∈(π2，π)，sinθ＋cosθ＝1

5

＞0，故sinθ＞|cosθ|＞0，所以只有tanθ＝－4

3. 本题也可以这样求解：由sinθ＋cosθ＝1

5，

可得sinθ²cosθ＝－12

25，

sinθ＋cosθ＝1

5由 4

⇔sinθ＝5sinθ²cosθ＝－12

25cosθ＝－3

5

sinθ＝－35，或cosθ＝4

5

，

又由θ∈(π

2

，π)，知sinθ＞0，cosθ＜0，

8

所以sinθ＝45，cosθ＝－34

5，则tanθ＝－3.

19. 解析：由sin(A＋B)＝1得A＋B＝π

2

，2A＋2B＝π.

于是sin(3A＋2B)＝sin(A＋π) ＝－sinA＝－1－12

3



＝－223.

答案：－22

3

20. 解析： (1)设弧长为l，弓形面积为S弓，

∵α＝60°＝π3，R＝10 cm，∴l＝10π

3

cm.

S弓＝S扇－S10π12

△＝12³3³10－2

³10sin60° ＝50(π32

3－2)(cm)．

所以该扇形的弧长为10

3πcm，

弓形面积为50(π32

3－2

)cm

(2)设扇形所在圆的半径为R，则弧长为C－2R， ∴S12

1扇＝2(C－2R)R＝－R＋2CR

＝－(R－1214C)＋16

C2

.

又∵C2π＜R＜C1

2，∴当R＝4C时，扇形的面积最大．

C－2RC2

此时圆心角α＝R＝2，扇形最大面积为16

. 21. 解析 ∵cosα－sinα＝－55，∴1－2sinαcosα＝1

5

. ∴2sinαcosα＝4

5

.

∴(sinα＋cosα)2

＝1＋2sinαcosα＝1＋495＝5.

∵0<α<π2，∴sinα＋cosα＝3

5

5.

9

与cosα－sinα＝－

5

联立，解得 5

cosα＝

52

，sinα＝5.∴tanα＝2. 55

45

－＋1

2sinαcosα－cosα＋15559∴＝＝－.

1－tanα1－255

π

22. 解析：第一面翻滚时，点A的路程为AA1，其圆心角为，半径为5 dm，所走过

25252

的弧长为π dm，所在的扇形的面积为π dm.

24

π3第二面翻滚时，点A的路程为A1A2，其圆心角为，半径为3 dm，所走过的弧长为π

2292

dm，所在的扇形的面积为π dm.

4

第三面翻滚时，点A(图中的点A2)在桌面上不动；第四面翻滚时，点A的路为A2A3，πππ482

其圆心角为－＝，半径为4 dm，所走过的路程为π dm，所在扇形的面积为π dm，

2633353416

所以总路程为π＋π＋π＝π(dm)．

2233

2594592

走过的弧所在的扇形总面积为π＋π＋π＝π(dm)．

4436

10