浙江省杭州市2021年中考数学仿真模拟试卷一(含解析)

一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（3分）下列运算正确的是（ ） A．a2•a4＝a8 C．（﹣ab2）3＝﹣a3b6

B．a2+a3＝2a5 D．a6÷a3＝a2

2．（3分）我国自主研发的“北斗系统”现已广泛应用于国防、生产和生活等各个领域，多项技术处于国际领先地位，其星载原子钟的精度，已经提升到了每3000000年误差1秒．数3000000用科学记数法表示为（ ） A．0.3×106

B．3×107

C．3×106

D．30×105

3．（3分）如图，小慧的眼睛离地面的距离为1.6m，她用三角尺测量广场上的旗杆高度，仰角恰与三角板60°角的边重合，量得小慧与旗杆之间的距离BC为5m，则旗杆AD的高度（单位：m）为（ ）

A．6.6

B．11.6

C．

D．

4．（3分）已知a＝2b﹣5，则代数式a2﹣4ab+4b2﹣5的值是（ ） A．﹣30

B．20

C．﹣10

D．0

5．（3分）关于x的不等式组A．﹣2＜a≤﹣1

B．﹣2≤a＜﹣1

有3个整数解，则a的取值范围是（ ）

C．﹣3＜a≤﹣2

D．﹣3≤a＜﹣2

6．（3分）直线l：y＝（m﹣3）x+n﹣2（m，n为常数）的图象如图，化简：|m﹣3|﹣得（ ）

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A．3﹣m﹣n

B．5

C．﹣1

D．m+n﹣5

7．（3分）“微信运动“是腾讯开发的一个记录跑步或行走情况（步数里程）的公众号，用户通过该公众号可查看自己某时间段的运动情况．某人根据2019年1月至2019年11月期间每月跑步的里程（单位：十公里）的数据绘制了下面的折线图，根据该折线图．下列结论错误的是（ ）

A．1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更小 B．月跑步里程的中位数为5月份对应的里程数 C．月跑步里程最大值出现在10月 D．月跑步里程逐月增加

8．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴是直线x＝﹣1，其部分图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是（ ）

A．x＜1

B．x＞﹣3

C．﹣3＜x＜1

D．x＜﹣3或x＞1

9．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，其外角平分AD交⊙O于D，DM⊥AC于M，则结论

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①DB＝DC；②AC+AB＝2CM；③AC﹣AB＝2AM；④S△ABD＝S△ABC中正确的是（ ）

A．①

B．①②③

C．③④

D．①②③④

10．（3分）如图，C、D是关于x的函数y＝（k≠0）图象上的两点，过C、D分别做x，y轴的垂线，垂足分别为A、B．过D点的直线交坐标轴于E、F，且D点恰好为线段EF的中点，S△ABF＝1，S△DEG＝3，则k的值为（ ）

A．

B．2

C．4

D．5

二、填空题（本大题有6个小题，每小题4分，共24分） 11．（4分）计算：

＝ ．

12．（4分）分解因式：a2﹣2ab+b2﹣4＝ ．

13．（4分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BD⊥AD，BC＝CD，∠A＝60°，CD＝2，则下底AB的长等于 ．

14．（4分）平放在地面上的三角形铁板ABC的一部分被沙堆掩埋，其示意图如图所示，量得∠A为°，∠B为36°，边AB的长为2.1m，BC边上露出部分BD的长为0.6m，则

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铁板BC边被掩埋部分CD的长是 m．（结果精确到0.1m．参考数据：sin°≈0.81，cos°≈0.59，tan°≈1.38）

15．（4分）在物理实验课上，同学们用三个开关，两个灯泡、一个电源及若干条导线连接成如图所示的电路图，随机闭合图中的两个开关，有一个灯泡发光的概率是 ．

16．（4分）从﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4这9个数中任意选一个数作为m的值，使关于x的分式方程：

＝3的解是负数，且使关于x的函数y＝

图象在每个象

限y随x的增大而增大的概率为 ．

三、解答题（本大题有7小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6分）（1）解方程组

；

（2）解不等式组：

（3）解一元二次方程x2﹣6x﹣3＝0；

．

18．（8分）某校为了解九年级女生“仰卧起坐”成绩的情况，随机选取该年级部分女生进行测试．以下是根据测试成绩绘制的统计图表的一部分．

成绩等级 优秀 良好 及格

频数（人）

20

频率 0.4

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不及格

根据以上信息，解答下列问题：

5

（1）被测试女生中，成绩等级为“良好”的女生人数为 人，成绩等级为“及格”的女生人数占被测试女生总人数的百分比为 %；

（2）被测试女生的总人数为 人，成绩等级为“不及格”的女生人数占被测试女生总人数的百分比为 %；

（3）若该校九年级共有240名女生，根据调查结果，估计该校八年级女生成绩等级为“优秀”的学生人数．

19．（8分）为抗击新型冠状病毒肺炎，某市医院打算采购A、B两种医疗器械，购买1台A机器比购买1台B机器多花10万元，并且花费300万元购买A器材和花费100万元购买B器材的数量相等．

（1）求购买一台A器材和一台B器材各需多少万元；

（2）医院准备购买购A、B两种器材共80台，若购买A、B器材的总费用不高于1050万元，那么最多购买A器材多少台？

20．（10分）如图，以BC为底的等腰△ABC的三个顶点都在⊙O上，过点A作AD∥BC交BO的反向延长线于点D． （1）求证：AD是⊙O的切线．

（2）若四边形ADBC是平行四边形，且BC＝12，求⊙O的半径．

21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，将点A（2，4）绕原点O顺时针旋转90°后得

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到点B，连接AB．双曲线y＝（m≠0）恰好经过AB的中点C． （1）直接写出点B的坐标．

（2）求直线AB及双曲线的函数解析式．

22．（12分）已知直线

交x轴于点A，交y轴于点C（0，4），抛物线

经过点A，交y轴于点B（0，﹣2），点P为抛物线上一个动点，设P的横坐标为m（m＞0），过点P作x轴的垂线PD，过点B作BD⊥PD于点D，联结PB． （1）求抛物线的解析式；

（2）当△BDP为等腰直角三角形时，求线段PD的长；

（3）将△BDP绕点B旋转得到△BD′P′，且旋转角∠PBP′＝∠OAC，当点P对应点P′落在y轴上时，求点P的坐标．

23．（12分）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点P是对角线BD上一动点，PQ⊥BD交BC于点Q，以PQ为一边作正方形PQMN，使得N点落在射线PD上，点O是边CD上一点，且OD：BP＝3：4．

（1）联结DQ，当DQ平分∠BDC时，求PQ的长；

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（2）证明：点O始终在QM所在直线的左侧；

（3）若以O为圆心，半径长为0.8作⊙O，当QM与⊙O相切时，求BP的长．

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2021年浙江省杭州市中考数学仿真模拟试卷（一）

参与试题解析

一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（3分）下列运算正确的是（ ） A．a2•a4＝a8 C．（﹣ab2）3＝﹣a3b6

【分析】分别计算各选项即可．

【解答】解：A．a2•a4＝a6，该选项不正确，不符合题意； B．a2和a3不是同类项，不能合并，该选项错误，不符合题意； C．（﹣ab2）3＝﹣a3b6，该选项正确，符合题意； D．a6÷a3＝a3，该选项错误，不符合题意． 故选：C．

2．（3分）我国自主研发的“北斗系统”现已广泛应用于国防、生产和生活等各个领域，多项技术处于国际领先地位，其星载原子钟的精度，已经提升到了每3000000年误差1秒．数3000000用科学记数法表示为（ ） A．0.3×106

B．3×107

C．3×106

D．30×105

B．a2+a3＝2a5 D．a6÷a3＝a2

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：3000000＝3×106， 故选：C．

3．（3分）如图，小慧的眼睛离地面的距离为1.6m，她用三角尺测量广场上的旗杆高度，仰角恰与三角板60°角的边重合，量得小慧与旗杆之间的距离BC为5m，则旗杆AD的高度（单位：m）为（ ）

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A．6.6

B．11.6

C．

D．

【分析】利用直角三角形的一边与AC平行得到∠ABC＝60°，则根据含30度的直角三角形三边的关系得到AC，然后计算AC+CD即可． 【解答】解：根据题意得∠ABC＝60°， 在Rt△ABC中，AC＝所以AD＝AC+CD＝（5答：旗杆的高度（5故选：D．

4．（3分）已知a＝2b﹣5，则代数式a2﹣4ab+4b2﹣5的值是（ ） A．﹣30

B．20

C．﹣10

D．0

BC＝5

m，

+1.6）m．

+1.6）m．

【分析】将已知式子变形为a﹣2b＝﹣5，而代数式a2﹣4ab+4b2﹣5＝（a﹣2b）2﹣5，然后整体代入即可．

【解答】解：已知式子a＝2b﹣5变形为a﹣2b＝﹣5， ∴a2﹣4ab+4b2﹣5＝（a﹣2b）2﹣5＝52﹣5＝20． 故选：B．

5．（3分）关于x的不等式组A．﹣2＜a≤﹣1

B．﹣2≤a＜﹣1

有3个整数解，则a的取值范围是（ ）

C．﹣3＜a≤﹣2

D．﹣3≤a＜﹣2

【分析】分别求出每个不等式的解集，结合不等式组整数解的个数可得a的取值范围． 【解答】解：解不等式x﹣a＞0，得：x＞a， 解不等式1﹣x＞2x﹣5，得：x＜2， 则不等式组的解集为a＜x＜2， ∵不等式组有3个整数解，

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∴不等式组的整数解为1、0、﹣1， 则﹣2≤a＜﹣1， 故选：B．

6．（3分）直线l：y＝（m﹣3）x+n﹣2（m，n为常数）的图象如图，化简：|m﹣3|﹣得（ ）

A．3﹣m﹣n

B．5

C．﹣1

D．m+n﹣5

【分析】先从一次函数的图象判断m﹣3的正负值，n﹣2的正负值，然后再化简原代数式．

【解答】解：直线l：y＝（m﹣3）x+n﹣2（m，n为常数）的图象可知， n﹣2＜0，m﹣3＞0． |m﹣3|﹣＝m﹣3﹣＝m﹣3+n﹣2 ＝m+n﹣5 故选：D．

7．（3分）“微信运动“是腾讯开发的一个记录跑步或行走情况（步数里程）的公众号，用户通过该公众号可查看自己某时间段的运动情况．某人根据2019年1月至2019年11月期间每月跑步的里程（单位：十公里）的数据绘制了下面的折线图，根据该折线图．下列结论错误的是（ ）

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A．1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更小 B．月跑步里程的中位数为5月份对应的里程数 C．月跑步里程最大值出现在10月 D．月跑步里程逐月增加

【分析】根据题意，依次分析选项，即可得答案． 【解答】解：根据题意，依次分析选项：

在A中，1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更小，故A选项正确； 在B中，月跑步里程高峰期大致在9月、10月，从小到大排列为： 2月，8月，3月，4月，1月，5月，7月，6月，11月，9月，10月， 所以月跑步里程的中位数为5月份对应的里程数， 故B选项正确；

在C中，月跑步里程最大值出现在10月，故C选项正确；

在D中，2月跑步里程比1月小，8月跑步里程比7月小，11月跑步里程比10月小，故D选项错误． 故选：D．

8．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴是直线x＝﹣1，其部分图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是（ ）

A．x＜1

B．x＞﹣3 C．﹣3＜x＜1

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D．x＜﹣3或x＞1

【分析】利用抛物线的对称性确定抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣3，0），然后结合二次函数图象，写出抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围即可．

【解答】解：∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴是直线x＝﹣1， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣3，0）， ∵抛物线开口向下， ∴当﹣3＜x＜1时，y＞0． 故选：C．

9．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，其外角平分AD交⊙O于D，DM⊥AC于M，则结论①DB＝DC；②AC+AB＝2CM；③AC﹣AB＝2AM；④S△ABD＝S△ABC中正确的是（ ）

A．①

B．①②③

C．③④

D．①②③④

【分析】由A、B、C、D四点共圆，可得∠FAD＝∠BCD，由同弧所对的圆周角相等得到圆周角相等，结合外角平分线可得∠BCD＝∠CBD，可得BD＝CD；过点D作DF⊥BE，可以通过证明三角形全等，通过边的关系可以得到②AC﹣AB＝2AM，③AC+AB＝2CM都是正确的；S△ABD和S△ABC的大小无法判断． 【解答】解：过点D作DF⊥BE于F，如图，

∵A、B、C、D四点共圆， ∴∠FAD＝∠BCD，

∵外角平分线AD交⊙O于D， ∴∠FAD＝∠DAC， 又∵∠DBC＝∠DAC，

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∴∠BCD＝∠CBD，

∴①DB＝DC，故此选项正确；

∵AD外角平分线，DF⊥BE，DM⊥AC于M， ∴DF＝DM，

在△BFD≌△CMD中，

，

∴Rt△BFD≌Rt△CMD（AAS）， ∴BF＝CM， 又∵AF＝AM，

∴②AC﹣AB＝CM+AM﹣AB＝CM+AM﹣CM+AF＝CM+AM﹣CM+AM＝2AM，故此选项正确；

∴③AC+AB＝AM+MC+BF﹣FA＝AM+MC+MC﹣AM＝2CM，故此选项正确； S△ABD和S△ABC的大小无法判断，④错误， 故选：B．

10．（3分）如图，C、D是关于x的函数y＝（k≠0）图象上的两点，过C、D分别做x，y轴的垂线，垂足分别为A、B．过D点的直线交坐标轴于E、F，且D点恰好为线段EF的中点，S△ABF＝1，S△DEG＝3，则k的值为（ ）

A．

B．2

C．4

D．5

【分析】过A作AP⊥DB，交DB的延长线于点P，作DM⊥x轴于M，先证得AB∥CD，即可证明Rt△AOB≌Rt△GDM，即可求得S△GDM＝S△AOB＝1，即可求得S△EDM＝2，通

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过三角形相似求得

S△FOE＝8，通过证得Rt△BDF≌Rt△MED（HL），得出S△BDF＝S△EDM＝2，从而求得S

矩形BOMD

＝4，根据反比例函数系数k的几何意义即可求得k＝4．

【解答】解：过A作AP⊥DB，交DB的延长线于点P，作DM⊥x轴于M， 设C（m，n），D（a，b），

∴PB＝OA＝﹣m，AC＝﹣n，PA＝OB＝b，BD＝a， ∵C、D是关于x的函数y＝（k≠0）图象上的两点， ∴k＝mn＝ab， ∴

＝

，即

，

∴AB∥CD， ∵BD∥AG，

∴四边形ABDG是平行四边形， ∴AB＝DG，

在Rt△AOB和Rt△GDM中，

，

∴Rt△AOB≌Rt△GDM（HL）， ∵D是EF的中点，BD∥x轴， ∴B是OF的中点， ∴BF＝OB， ∴S△AOB＝S△ABF＝1， ∴S△GDM＝S△AOB＝1， ∵S△DEG＝3， ∴S△EDM＝2， ∵DM∥OF， ∴△DME∽△FOE， ∴

＝（

）2，即

＝22，

∴S△FOE＝8，

在Rt△BDF和Rt△MED中，

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，

∴Rt△BDF≌Rt△MED（HL）， ∴S△BDF＝S△EDM＝2， ∴k＝S矩形BOMD＝8﹣2﹣2＝4， 故选：C．

二、填空题（本大题有6个小题，每小题4分，共24分） 11．（4分）计算：

＝ 3 ．

【分析】原式利用算术平方根性质，以及零指数幂法则计算即可求出值． 【解答】解：原式＝2+1＝3． 故答案为：3．

12．（4分）分解因式：a2﹣2ab+b2﹣4＝ （a﹣b+2）（a﹣b﹣2） ．

【分析】首先将前三项分组进而利用完全平方公式和平方差公式分解因式得出即可． 【解答】解：a2﹣2ab+b2﹣4 ＝（a﹣b）2﹣4

＝（a﹣b+2）（a﹣b﹣2）． 故答案为：（a﹣b+2）（a﹣b﹣2）．

13．（4分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BD⊥AD，BC＝CD，∠A＝60°，CD＝2，则下底AB的长等于 4 ．

【分析】求∠CBD的度数，根据BC＝CD，得到∠CDB＝∠ABD，根据AB∥CD，只要

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求出∠ABD的度数，进而利用Rt△ABD中，∠ABD＝30°，则AB＝2AD，问题得解． 【解答】解：∵∠A＝60°，BD⊥AD， ∴∠ABD＝30°， 又∵AB∥CD，

∴∠CDB＝∠ABD＝30°， ∵BC＝CD，

∴∠CBD＝∠CDB＝30°， ∴∠ABC＝60°＝∠A， ∴AD＝BC＝CD＝2， ∴AB＝2AD＝4． 故答案为：4．

14．（4分）平放在地面上的三角形铁板ABC的一部分被沙堆掩埋，其示意图如图所示，量得∠A为°，∠B为36°，边AB的长为2.1m，BC边上露出部分BD的长为0.6m，则铁板BC边被掩埋部分CD的长是 1.1 m．（结果精确到0.1m．参考数据：sin°≈0.81，cos°≈0.59，tan°≈1.38）

【分析】首先根据三角函数求得BC的长，然后根据CD＝BC﹣BD即可求解． 【解答】解：在直角三角形中，sinA＝

，

∴BC＝AB•sinA＝2.1sin°≈2.1×0.81＝1.701（m）， ∴CD＝BC﹣BD＝1.701﹣0.6＝1.101≈1.1（m）， 故答案为：1.1．

15．（4分）在物理实验课上，同学们用三个开关，两个灯泡、一个电源及若干条导线连接成如图所示的电路图，随机闭合图中的两个开关，有一个灯泡发光的概率是

．

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【分析】画树状图，共有6种等可能的结果，至少有一个灯泡发光的有4种情况，再由概率公式求解即可．

【解答】解：三个开关分别用S1，S2，S3表示，根据题意画树状图得：

共有6种等可能的结果，至少有一个灯泡发光的有4种情况， 则有一个灯泡发光的概率是＝． 故答案为：．

16．（4分）从﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4这9个数中任意选一个数作为m的值，使关于x的分式方程：

＝3的解是负数，且使关于x的函数y＝

．

图象在每个象

限y随x的增大而增大的概率为

【分析】利用方程的解和反比例函数的性质可得m的取值范围，进而可得m的值，然后再利用概率可得答案． 【解答】解：2x﹣m＝3x+3， x＝﹣3﹣m， ∵方程的解是负数， ∴

，

＝3，

解得：m＞﹣3，且m≠﹣2， ∵关于x的函数y＝∴m﹣3＜0，

图象在每个象限y随x的增大而增大，

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∴m＜3，

∴﹣3＜m＜3，且m≠﹣2，

∴m＝﹣1或0或1或2，有4种可能， 故概率为， 故答案为：．

三、解答题（本大题有7小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6分）（1）解方程组

；

（2）解不等式组：

（3）解一元二次方程x2﹣6x﹣3＝0；

．

【分析】（1）将方程组整理为一般式，再利用加减消元法求解即可；

（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集； （3）利用配方法求解即可．

【解答】解：（1）方程组整理为一般式为①+②，得：4x＝8， 解得x＝2，

将x＝2代入①，得：2﹣2y＝2， 解得y＝0， ∴方程组的解集为

；

，

（2）解不等式5﹣x≥x﹣1，得：x≤3， 解不等式

﹣

＜1，得：x＞﹣1，

则不等式组的解集为﹣1＜x≤3； （3）∵x2﹣6x﹣3＝0， ∴x2﹣6x＝3，

则x2﹣6x+9＝3+9，即（x﹣3）2＝12， ∴x﹣3＝±2

，

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∴x1＝3+2，x2＝3﹣2．

18．（8分）某校为了解九年级女生“仰卧起坐”成绩的情况，随机选取该年级部分女生进行测试．以下是根据测试成绩绘制的统计图表的一部分．

成绩等级 优秀 良好 及格 不及格

根据以上信息，解答下列问题：

（1）被测试女生中，成绩等级为“良好”的女生人数为 20 人，成绩等级为“及格”的女生人数占被测试女生总人数的百分比为 20 %；

（2）被测试女生的总人数为 50 人，成绩等级为“不及格”的女生人数占被测试女生总人数的百分比为 10 %；

（3）若该校九年级共有240名女生，根据调查结果，估计该校八年级女生成绩等级为“优秀”的学生人数．

频数（人）

20 5

频率 0.4

【分析】（1）根据统计表和扇形统计图给出的数据即可得出答案；

（2）根据良好的人数和所占的百分比求出总人数，再用“不及格”的女生人数除以总人数即可得出所占的百分比；

（3）用总人数乘以等级为“优秀”的学生人数所占的百分比即可． 【解答】解：（1）被测试女生中，成绩等级为“良好”的女生人数为20； 成绩等级为“及格”的女生人数占被测试女生总人数的百分比为20%， 故答案为：20，20；

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（2）被测试女生总数是20÷0.4＝50（人），

成绩等级为“不及格”的女生人数占被测试女生总人数的百分比为故答案为：50，10；

（3）及格人数有50×20%＝10（人）， 优秀人数有：50﹣20﹣10﹣5＝15（人）， 240×

＝72（人），

×100%＝10%；

答：该校八年级女生成绩等级为“优秀”的学生人数有72人．

19．（8分）为抗击新型冠状病毒肺炎，某市医院打算采购A、B两种医疗器械，购买1台A机器比购买1台B机器多花10万元，并且花费300万元购买A器材和花费100万元购买B器材的数量相等．

（1）求购买一台A器材和一台B器材各需多少万元；

（2）医院准备购买购A、B两种器材共80台，若购买A、B器材的总费用不高于1050万元，那么最多购买A器材多少台？

【分析】（1）设购买一台B器材需要x元，则购买一台A器材需要（x+10）元，根据数量＝总价÷单价结合300万元购买A器材和花费100万元购买B器材的数量相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；

（2）设购买A器材y台，则购买B器材（80﹣y）台，根据题意列出不等式并解答． 【解答】解：（1）设购买一台B器材需要x万元，则购买一台A器材需要（x+10）万元， 依题意，得：解得：x＝5，

经检验，x＝5是原方程的解，且符合题意， ∴x+10＝15．

答：购买一台A器材需要15万元，则购买一台B器材需要5万元． （2）设购买A器材y台，则购买B器材（80﹣y）台， 依题意，得：15y+5（80﹣y）≤1050． 解得y≤65．

所以y的最大值为65． 答：最多购买A器材65台．

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＝，

20．（10分）如图，以BC为底的等腰△ABC的三个顶点都在⊙O上，过点A作AD∥BC交BO的反向延长线于点D． （1）求证：AD是⊙O的切线．

（2）若四边形ADBC是平行四边形，且BC＝12，求⊙O的半径．

【分析】（1）如图，连接OA，根据等腰三角形的性质得到BC⊥OA，根据平行线的性质得到AD⊥OA，由切线的性质即可得到结论；

（2）如图，设OA与BC交于E，根据平行四边形的性质得到AC∥OD，求得∠C＝∠CBO，由等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠C，求得∠ABC＝∠CBO，推出△ABO是等边三角形，根据三角函数的定义即可得到结论． 【解答】（1）证明：如图，连接OA， ∵△ABC是以BC为底的等腰三角形； ∴AB＝AC， ∴BC⊥OA， ∵AD∥BC， ∴AD⊥OA， ∵OA是⊙O的半径， ∴AD是⊙O的切线；

（2）解：如图，设OA与BC交于E， ∵四边形ADBC是平行四边形， ∴AC∥OD， ∴∠C＝∠CBO， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C， ∴∠ABC＝∠CBO， ∵OA⊥BC，

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∴BA＝BO， ∵AO＝BO，

∴△ABO是等边三角形， ∵BC＝12， ∴BE＝BC＝6， ∴OB＝

＝4． ，

∴⊙O的半径为4

21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，将点A（2，4）绕原点O顺时针旋转90°后得到点B，连接AB．双曲线y＝（m≠0）恰好经过AB的中点C． （1）直接写出点B的坐标．

（2）求直线AB及双曲线的函数解析式．

【分析】（1）过A作AE⊥y轴于E，过B作BF⊥x轴于F，根据全等三角形的判定证得△AOE≌△BOF，得到AE＝BF，OE＝OF，即可得到B的坐标；

（2）过C作CG⊥EA于G，过B作BH⊥GC的延长线于H，根据全等三角形的判定证得△ACG≌△BCH，AG＝BH，CG＝CH，由此求出C的坐标，由待定系数法即可求出双曲线的函数解析式和AB的解析式．

【解答】解：（1）过A作AE⊥y轴于E，过B作BF⊥x轴于F， 则∠AEO＝∠BFO＝90°， ∵A（2，4），

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∴AE＝2，OE＝4，

由旋转的性质得：OA＝OB，∠AOB＝90°， ∴∠AOE＝∠BOF＝90°﹣∠AOF， 在△AOE和△BOF中，

，

∴△AOE≌△BOF（AAS）， ∴AE＝BF＝2，OE＝OF＝4， ∴B的坐标为（4，﹣2）； （2）设C（a，b），

过C作CG⊥EA交EQ的延长线于G，过B作BH⊥GC交GC的延长线于H， 在△ACG与△BCH中，

，

∴△ACG≌△BCH（AAS）， ∴AG＝BH，CG＝CH， ∴a﹣2＝4﹣a，4﹣b＝b+2， ∴a＝3，b＝1， ∴C（3，1），

∵双曲线的函数解析式为y＝， ∵点C在双曲线上， ∴1＝， ∴m＝3，

∴双曲线的函数解析式为y＝； 设AB的解析式为y＝kx+b，

把A（2，4），B（4，﹣2）代入上式得：解得：

，

，

∴AB的解析式为y＝﹣3x+10．

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22．（12分）已知直线

交x轴于点A，交y轴于点C（0，4），抛物线

经过点A，交y轴于点B（0，﹣2），点P为抛物线上一个动点，设P的横坐标为m（m＞0），过点P作x轴的垂线PD，过点B作BD⊥PD于点D，联结PB． （1）求抛物线的解析式；

（2）当△BDP为等腰直角三角形时，求线段PD的长；

（3）将△BDP绕点B旋转得到△BD′P′，且旋转角∠PBP′＝∠OAC，当点P对应点P′落在y轴上时，求点P的坐标．

【分析】（1）先确定出点A的坐标，再用待定系数法求出抛物线解析式；

（2）根据△BDP为等腰直角三角形，则PD＝BD，分两种情况进行讨论：①当点P在直线BD上方时，②当点P在直线BD下方时，分别建立方程求解即可；

（3）分点P在y轴右侧，△BDP绕点B逆时针旋转，且点P'落在y轴上时或△BDP绕点B顺时针旋转，且点P'落在y轴上时，若点P在y轴左侧，分别进行讨论， 【解答】解：（1）∵点C（0，4）在直线y＝﹣x+n上， ∴n＝4，

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∴y＝﹣x+4， 令y＝0， ∴x＝3， ∴A（3，0），

∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A，交y轴于点B（0，﹣2）， ∴c＝﹣2，6+3b﹣2＝0， ∴b＝﹣，

∴抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣2；

（2）∵P的横坐标为m（m＞0），且点P在抛物线上， ∴P（m，m2﹣m﹣2）， ∵PD⊥x轴，BD⊥PD， ∴点D坐标为（m，﹣2），

若△BDP为等腰直角三角形，则PD＝BD， ①当点P在直线BD上方时，

PD＝m2﹣m﹣2﹣（﹣2）＝m2﹣m， 如图1，BD＝m． ∴m2﹣m＝m， 解得：m1＝0，m2＝， ∵m＞0， ∴m＝；

②当点P在直线BD下方时，如图2，m＞0，BD＝m，PD＝﹣m2+m， ∴﹣m2+m＝m， 解得：m1＝0，m2＝， ∵m＞0， ∴m＝；

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综上所述，m＝或；

即当△BDP为等腰直角三角形时，线段PD的长为或． （3）∵∠PBP'＝∠OAC，OA＝3，OC＝4， ∴AC＝5，

∴sin∠PBP'＝，cos∠PBP'＝， 若点P在y轴右侧，

①当△BDP绕点B逆时针旋转，且点P'落在y轴上时，如图3，

过点D′作D′M⊥x轴，交BD于M，过点P′作P′N⊥y轴，交MD'的延长线于点N， ∴∠DBD′＝∠ND′P′＝∠PBP′， 由旋转知，P′D′＝PD＝m2﹣m， 在Rt△P′D′N中，sin∠ND′P′＝∴P′N＝P′D′＝（m2﹣m）， 在Rt△BD′M中，BD′＝m，cos∠DBD′＝∴BM＝BD′＝m， ∵P′N＝BM，

∴（m2﹣m）＝m， ∴m＝∴P（

， ，

）；

＝cos∠PBP′＝， ＝sin∠PBP′＝，

②当△BDP绕点B顺时针旋转，且点P'落在y轴上时，如图4， 过点P作PT⊥y轴于点T，

∴PT＝m，BT＝OT﹣OB＝﹣（m2﹣m﹣2）﹣2＝﹣m2+m， ∵∠PBP′＝∠OAC， ∴tan∠PBP′＝tan∠OAC＝∴

＝，

＝，

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∴PT＝BT，

∴m＝（﹣m2+m）， 解得：m＝0（舍去）或m＝， ∴P（，﹣

）；

若点P在y轴左侧，仿照上述方法讨论均不存在满足条件的点P； 综上所述，点P的坐标为（

，

）或（，﹣

）．

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23．（12分）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点P是对角线BD上一动点，PQ⊥BD交BC于点Q，以PQ为一边作正方形PQMN，使得N点落在射线PD上，点O是边CD上一点，且OD：BP＝3：4．

（1）联结DQ，当DQ平分∠BDC时，求PQ的长； （2）证明：点O始终在QM所在直线的左侧；

（3）若以O为圆心，半径长为0.8作⊙O，当QM与⊙O相切时，求BP的长．

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【分析】（1）由已知可得tan∠DBC＝，sin∠DBC＝，Rt△BPQ中，设PQ＝3m，则BP＝4m，BQ＝5m，CQ＝PQ＝3m，BC＝8m，列方程即可得出答案；

（2）延长QM交CD于E，设PQ＝3n，用n的代数式表示CO和CE，证明CE＜CO即可；

（3）设⊙O与QM相切于F，连接OF，设PQ＝3n，用n的代数式表示OE，在Rt△EOF中列方程求出n，即可得到答案．

【解答】解：（1）∵矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8， ∴CD＝6，BC＝8，BD＝10，∠C＝90°， ∴tan∠DBC＝，sin∠DBC＝， ∵正方形PQMN， ∴∠QPB＝90°， Rt△BPQ中，tan∠DBC＝

＝，sin∠DBC＝

＝，

设PQ＝3m，则BP＝4m，BQ＝5m，

∵DQ平分∠BDC，∠C＝90°，∠QPB＝90°， ∴CQ＝PQ＝3m， ∴BC＝CQ+BQ＝8m， ∴8m＝8，解得m＝1， ∴PQ＝3；

（2）延长QM交CD于E，如图：

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由（1）得tan∠DBC＝，sin∠DBC＝， 设PQ＝3n，则BP＝4n，BQ＝5n， ∴CQ＝BC﹣BQ＝8﹣5n， ∵正方形PQMN， ∴MQ∥BD，

∴∠EQC＝∠DBC，tan∠EQC＝tan∠DBC＝， ∴

＝，即

n，

＝，

∴CE＝6﹣

∵OD：BP＝3：4， ∴OD＝BP＝3n， ∴CO＝CD﹣OD＝6﹣3n， ∵6﹣

n＜6﹣3n，

∴CE＜CO，即E比O离C近， ∴O始终在QM所在直线的左侧；

（3）设⊙O与QM相切于F，连接OF，如图：

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由（2）知：若设PQ＝3n，则BP＝4n，BQ＝5n，OE＝CO﹣CE＝n， ∵⊙O与QM相切于F， ∴∠OFE＝∠C＝90°， 而∠FEO＝∠CEQ， ∴∠EOF＝∠EQC，

∴sin∠EOF＝sin∠EQC＝sin∠DBC＝， ∴cos∠EOF＝， Rt△EOF中，∵OF＝0.8， ∴

＝，解得n＝，

＝，

∴BP＝4n＝

．

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