2020-2021 中考数学(相似提高练习题)压轴题训练及详细答案

一、相似

1．如图，在矩形ABCD中，AB=18cm，AD=9cm，点M沿AB边从A点开始向B以2cm/s的速度移动，点N沿DA边从D点开始向A以1cm/s的速度移动．如果点M、N同时出

发，用t（s）表示移动时间（0≤t≤9），求：（1）当t为何值时，∠ANM=45°？

（2）计算四边形AMCN的面积，根据计算结果提出一个你认为合理的结论； （3）当t为何值时，以点M、N、A为顶点的三角形与△BCD相似？

【答案】（1）解：对于任何时刻t，AM=2t，DN=t，NA=9-t，当AN=AM时，△MAN为等腰直角三角形，即：9-t=2t， 解得：t=3（s），

所以，当t=3s时，△MAN为等腰直角三角形

（2）解：在△NAC中，NA=9-t，NA边上的高DC=12，∴S△NAC= NA•DC= （9-t）•18=81-9t．

在△AMC中，AM=2t，BC=9， ∴S△AMC= AM•BC= •2t•9=9t． ∴S四边形NAMC=S△NAC+S△AMC=81（cm2）． 由计算结果发现：

在M、N两点移动的过程中，四边形NAMC的面积始终保持不变．（也可提出：M、N两点到对角线AC的距离之和保持不变）

（3）解：根据题意，可分为两种情况来研究，在矩形ABCD中：①当 NA：AB=AM：BC时，△NAP∽△ABC，那么有： （ 9-t）：18=2t：9，解得t=1.8（s）， 即当t=1.8s时，△NAP∽△ABC；

②当 NA：BC=AM：AB时，△MAN∽△ABC，那么有： （ 9-t）：9=2t：18，解得t=4.5（s）， 即当t=4.5s时，△MAN∽△ABC；

所以，当t=1.8s或4.5s时，以点N、A、M为顶点的三角形与△ABC相似

【解析】【分析】（1）根据题意可得：因为对于任何时刻t，AM=2t，DN=t，NA=9-t．当NA=AM时，△MAN为等腰直角三角形，可得方程式，解可得答案。

（2）根据（1）中．在△NAC中，NA=9-t，NA边上的高DC=18，利用三角形的面积公式，可得S△NAC= =81-9t，S△AMC=9t．就可得出S中，四边形NAMC的面积始终保持不变。

（3）根据题意，在矩形ABCD中，可分为①当 NA：AB=AM：BC时，△NAP∽△ABC；②当 NA：BC=AM：AB时，△MAN∽△ABC两种情况来研究，列出关系式，代入数据可得答案。

四边形

NAMC=81，因此在M、N两点移动的过程

2．如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点P从点A开始沿边AC向点C以1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD∥BC，交AB于点D，连接PQ分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）．

（1）直接用含t的代数式分别表示：QB=________，PD=________．

（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．并探究如何改变Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度；

（3）如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ中点M所经过的路径长． 【答案】（1）8-2t； （2）解：不存在

在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8， ∴AB=10 ∵PD∥BC， ∴△APD∽△ACB， ∴

，即

，

∴AD= ， ∴BD=AB-AD=10- ， ∵BQ∥DP，

∴当BQ=DP时，四边形PDBQ是平行四边形， 即8-2t= ，解得：t= ． 当t= 时，PD= ∴DP≠BD，

∴▱PDBQ不能为菱形．

设点Q的速度为每秒v个单位长度， 则BQ=8-vt，PD= ，BD=10-

， ，BD=10-

，

要使四边形PDBQ为菱形，则PD=BD=BQ， 当PD=BD时，即 =10- ，解得：t= 当PD=BQ，t= 时，即

，解得：v=

当点Q的速度为每秒 个单位长度时，经过 秒，四边形PDBQ是菱形． （3）解：如图2，以C为原点，以AC所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系．

依题意，可知0≤t≤4，当t=0时，点M1的坐标为（3，0），当t=4时点M2的坐标为（1，4）．

设直线M1M2的解析式为y=kx+b， ∴ 解得

，

∴直线M1M2的解析式为y=-2x+6．

，

∵点Q（0，2t），P（6-t，0）

∴在运动过程中，线段PQ中点M3的坐标（ 把x=

代入y=-2x+6得y=-2×

+6=t，

，t）．

∴点M3在直线M1M2上．

过点M2作M2N⊥x轴于点N，则M2N=4，M1N=2． ∴M1M2=2

单位长度．

∴线段PQ中点M所经过的路径长为2 ∴QB=8-2t，

【解析】【解答】（1）根据题意得：CQ=2t，PA=t， ∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，PD∥BC， ∴∠APD=90°， ∴tanA= ∴PD= ．

【分析】CQ=2t，PA=t， 可得QB=8﹣2t，根据tanA=，可以表示PD；易得△APD∽△ACB，即可求得AD与BD的长，由BQ∥DP，可得当BQ=DP时，四边形PDBQ是平行四边形；求得此时DP与BD的长，由DP≠BD，可判定▱PDBQ不能为菱形；然后设点Q的速度为每秒v个单位长度，由要使四边形PDBQ为菱形，则PD=BD PD=BQ，列方程即可求得答案．以C为原点，以AC所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，求出直线M1M2解析式，证明M3在直线M1M2上，利用勾股定理求出M1M2.

，

3．已知直线y=kx+b与抛物线y=ax2（a＞0）相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴正半轴相交于点C，过点A作AD⊥x轴，垂足为D．

（1）若∠AOB=60°，AB∥x轴，AB=2，求a的值；

（2）若∠AOB=90°，点A的横坐标为﹣4，AC=4BC，求点B的坐标； （3）延长AD、BO相交于点E，求证：DE=CO． 【答案】 （1）解：如图1，

∵抛物线y=ax2的对称轴是y轴，且AB∥x轴， ∴A与B是对称点，O是抛物线的顶点， ∴OA=OB， ∵∠AOB=60°， ∴△AOB是等边三角形， ∵AB=2，AB⊥OC， ∴AC=BC=1，∠BOC=30°， ∴OC=

， ），

）代入抛物线y=ax2（a＞0）中得：a=

；

∴A（-1， 把A（-1，

（2）解：如图2，过B作BE⊥x轴于E，过A作AG⊥BE，交BE延长线于点G，交y轴于F，

∵CF∥BG， ∴

，

∵AC=4BC， ∴ =4， ∴AF=4FG， ∵A的横坐标为-4， ∴B的横坐标为1，

∴A（-4，16a），B（1，a）， ∵∠AOB=90°，

∴∠AOD+∠BOE=90°， ∵∠AOD+∠DAO=90°， ∴∠BOE=∠DAO， ∵∠ADO=∠OEB=90°， ∴△ADO∽△OEB， ∴ ∴

， ，

∴16a2=4， a=± ， ∵a＞0， ∴a= ； ∴B（1， ）；

（3）解：如图3，

设AC=nBC，

由（2）同理可知：A的横坐标是B的横坐标的n倍， 则设B（m，am2），则A（-mn，am2n2）， ∴AD=am2n2 ， 过B作BF⊥x轴于F， ∴DE∥BF， ∴△BOF∽△EOD， ∴ ∴

， ，

∴ ∴

，DE=am2n，

，

∵OC∥AE， ∴△BCO∽△BAE， ∴ ∴ ∴CO= ∴DE=CO．

【解析】【分析】（1）抛物线y=ax2关于y轴对称，根据AB∥x轴，得出A与B是对称点，可知AC=BC=1，由∠AOB=60°，可证得△AOB是等边三角形，利用解直角三角形求出OC的长，就可得出点A的坐标，利用待定系数法就可求出a的值。

（2）过B作BE⊥x轴于E，过A作AG⊥BE，交BE延长线于点G，交y轴于F，根据平行线分线段成比例证出AF=4FG，根据点A的横坐标为﹣4，求出点B的横坐标为1，则A（-4，16a），B（1，a），再根据已知证明∠BOE=∠DAO，∠ADO=∠OEB，就可证明△ADO∽△OEB，得出对应边成比例，建立关于a的方程求解，再根据点B在第一象限，确定点B的坐标即可。

（3）根据（2）可知A的横坐标是B的横坐标的n倍，则设B（m，am2），则A（-mn，am2n2），得出AD的长，再证明△BOF∽△EOD，△BCO∽△BAE，得对应边成比例，证得CO=am2n，就可证得DE=CO。

，

， =am2n，

4．如图,在一间黑屋子里用一盏白炽灯照一个球.

（1）球在地面上的影子是什么形状?

（2）当把白炽灯向上平移时,影子的大小会怎样变化?

（3）若白炽灯到球心的距离是1 m,到地面的距离是3 m,球的半径是0.2 m,则球在地面上影子的面积是多少?

【答案】（1）解：球在地面上的影子的形状是圆. （2）解：当把白炽灯向上平移时,影子会变小.

（3）解：由已知可作轴截面，如图所示：在Rt△OAE中， ∴OA=

=

=

(m)，

依题可得：OE=1 m，AE=0.2 m，OF=3 m，AB⊥OF于H，

∵∠AOH=∠EOA，∠AHO=∠EAO=90°， ∴△OAH∽△OEA， ∴

，

∴OH= =

= (m)，

又∵∠OAE=∠AHE=90°，∠AEO=∠HEA， ∴△OAE∽△AHE， ∴ = ， ∴AH=

=

=2625 (m).

依题可得：△AHO∽△CFO， ∴ AHCF=OHOF ，

∴CF= AH⋅OFOH = 2625×32425= (m)， ∴S影子=π·CF2=π· ()2 = 38 π=0.375π(m2). 答：球在地面上影子的面积是0.375π m2.

【解析】【分析】（1）球在灯光的正下方，根据中心投影的特点可得影子是圆. （2）根据中心投影的特点：在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长；所以白炽灯向上移时，阴影会逐渐变小.

（3）作轴截面（如图）由相似三角形的判定得三组三角形相似，再根据相似三角形的性质对应边成比例，可求得阴影的半径，再根据面积公式即可求出面积.

5．如图，在Rt△ABC中，

，

角平分线交BC于O，以OB为半径作⊙O.

（1）判定直线AC是否是⊙O的切线，并说明理由; （2）连接AO交⊙O于点E，其延长线交⊙O于点D， （3）在（2）的条件下，设 理由：

作

， 于 ，

，

的半径为3，求AC的长.

【答案】（1）解：AC是⊙O的切线

，求 的值;

是

，

AC是⊙O的切线

的角平分线，

（2）解：连接 ，

是⊙O的直径， 又

∽

,

.

(同角) ， ,即

.

（3）解：设

在 和

中，由三角函数定义有：

得： 解之得：

即 的长为

【解析】【分析】（1）利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等证得点O到AC的距离为半径长，即可证得AC与圆O相切；（2）先连接BE构造一个可以利用正切值的直角三角形，再证得∠1=∠D，从而证得两个三角形ABE与ABD相似，即可求得两个线段长的比值；（3）也可以应用三角形相似的判定与性质解题，其中AB的长度是利用勾股定理与（2）中AE与AB的比值求得的.

6．正方形ABCD的边长为6cm，点E，M分别是线段BD，AD上的动点，连接AE并延长，交边BC于F，过M作MN⊥AF，垂足为H，交边AB于点N.

（1）如图①，若点M与点D重合，求证：AF＝MN；

（2）如图②，若点M从点D出发，以1cm/s的速度沿DA向点A运动，同时点E从点B出发，以

cm/s的速度沿BD向点D运动，运动时间为ts.

①设BF＝ycm，求y关于t的函数表达式； ②当BN＝2AN时，连接FN，求FN的长． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴AD＝AB，∠DAN＝∠FBA＝90°. ∵MN⊥AF，

∴∠NAH＋∠ANH＝90°. ∵∠NDA＋∠ANH＝90°， ∴∠NAH＝∠NDA， ∴△ABF≌△MAN， ∴AF＝MN.

（2）解：①∵四边形ABCD为正方形， ∴AD∥BF， ∴∠ADE＝∠FBE. ∵∠AED＝∠BEF，

∴△EBF∽△EDA， ∴ ＝ .

∵四边形ABCD为正方形， ∴AD＝DC＝CB＝6cm， ∴BD＝6 ∴BE＝ ∴ ＝ ∴y＝

. cm.

cm/s的速度沿BD向点D运动，运动时间为ts， －

t)cm，

tcm，DE＝(6

，

∵点E从点B出发，以

②∵四边形ABCD为正方形， ∴∠MAN＝∠FBA＝90°. ∵MN⊥AF，

∴∠NAH＋∠ANH＝90°. ∵∠NMA＋∠ANH＝90°， ∴∠NAH＝∠NMA. ∴△ABF∽△MAN， ∴ ＝ .

∵BN＝2AN，AB＝6cm， ∴AN＝2cm.

∴ ＝

，

∴t＝2， ∴BF＝ ∴FN＝

＝3(cm)． ＝5(cm)．

又∵BN＝4cm，

【解析】【分析】(1)根据正方形的性质得出AD＝AB，∠DAN＝∠FBA＝90°.再根据同角的余角相等得出∠NAH＝∠NDA，进而证出△ABF≌△MAN即可解答，

（2）根据正方形的性质得出两角相等证出△EBF∽△EDA，得出BD的长度，利用△EBF∽△EDA得出比例式，得出y和t之间的函数解析式，

据正方形的性质得出两角相等证出△ABF∽△MAN，得出比例式，进而解答.

7．

（1）问题发现：如图①，

正方形AEFG的两边分别在正方形ABCD的边AB和AD上，连接CF. ①写出线段CF与DG的数量关系； ②写出直线CF与DG所夹锐角的度数. （2）拓展探究： 如图②，

将正方形AEFG绕点A逆时针旋转，在旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立，请利用图②进行说明. （3）问题解决 如图③，

△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC=4，O为AC的中点.若点D在直线BC上运动，连接OE，则在点D的运动过程中，线段OE的长的最小值.（直接写出结果）

【答案】 （1）①CF= （2）解：如图：

DG，②45

①连接AC、AF,在正方形ABCD中，延长CF交DG与H点，

∠CAD= ∠BCD=45 , 设AD=CD=a，易得AC=

a=

AD,

AG,

同理在正方形AEFG中，∠FAG=45 ,AF=

∠CAD=∠FAG, ∠1=∠3 又

∠CAD-∠2=∠FAG-∠2,

△CAF∽DAG,

=

,

CF=

DG;

∠5+∠6=45 ，

（1）中的结论仍然成立

②由△CAF∽DAG，

∠4=∠5，

∠ACD=∠4+∠6=45 , ∠5+∠6+∠7=135 ，

在△CHD中，∠CHD=180 -135 =45 ，

（3）OE的最小值为

.

【解析】【解答】（3）如图：

由∠BAC=∠DAE=90 ,可得∠BAD=∠CAE,又AB=AC,AD=AE, 可得△BAD≌△CAE,

∠ACE=∠ABC=45 , 又

∠ACB=45 ,

∠BCE=90 ,即CE⊥BC,

根据点到直线的距离垂线段最短，

OE⊥CE时，OE最短，此时OE=CE,△OEC为等腰直角三角形， OC= AC=2,

由等腰直角三角形性质易得，OE=

OE的最小值为

.

DG;②45 ；(2)连接AC、AF,在正方形ABCD中，可得 CF=

DG，在△CHD中，∠CHD=180 -135 =45 ， ，

【分析】（1）①易得CF= △CAF∽DAG，

=

,

（1）中的结论是否仍然成立；（3）OE⊥CE时，OE最短，此时OE=CE,△OEC为等腰直角三角形，OC= AC=2,可得OE的值.

8．如图，△ABC内接于⊙O，∠CBG=∠A，CD为直径，OC与AB相交于点E，过点E作EF⊥BC，垂足为F，延长CD交GB的延长线于点P，连接BD．

（1）求证：PG与⊙O相切； （2）若 = ，求 的值；

（3）在（2）的条件下，若⊙O的半径为8，PD=OD，求OE的长．

【答案】（1）解：如图，连接OB，则OB=OD，

∴∠BDC=∠DBO， ∴∠GBC=∠BDO， ∵CD是⊙O的直径， ∴∠DBO+∠OBC=90°， ∴∠GBC+∠OBC=90°， ∴∠GBO=90°， ∴PG与⊙O相切。

∵∠BAC=∠BDC、∠BAC=∠GBC，

（2）解：过点O作OM⊥AC于点M，连接OA， 则∠AOM=∠COM= ∠AOC， ∵

∴∠ABC= ∠AOC=∠COM， 又∵∠EFB=∠OMC=90°， ∴△BEF∽△OCM，

∴

，

∵CM= AC，

∴ 又∵ ∴

， ，

（3）解：由（2）可知=，则BE=10. ∵PD=OD，∠PBO=90°， ∴BD=OD=8， 在Rt△DBC中，BC= 又∵OD=OB，

∴△DOB是等边三角形， ∴∠DOB=60°，

∵∠DOB=∠OBC+∠OCB，OB=OC， ∴∠OCB=30°， ∴ ∴BF=8

， = ﹣

，

x， =8

，

∴可设EF=x，则EC=2x、FC=

x， ﹣ ， ， ，

）=2

在Rt△BEF中，BE2=EF2+BF2 ， ∴100=x2+（8 解得：x=6± ∵6+ ∴x=6﹣ ∴EC=12﹣2

x）2 ，

＞8，舍去，

∴OE=8﹣（12﹣2

﹣4

【解析】【分析】（1）连接OB，则需要证明∠GBO=∠GBC+∠OBC=90°；由CD是⊙O的直径，则∠DBO+∠OBC=90°，即需要证明∠GBC=∠BDO，由同弧所对的圆周角相等，可知∠BAC=∠BDC，而∠BAC=∠GBC，∠BDC=∠DBO，则可证得∠GBC=∠BDO。 （2）因为已知

=，求

,其中EF，BE是△BEF的两条边，而AC，OC是△AOC的两条

边，但△BEF和△AOC不相似，则可构造两三角形相似，因为△BEF是直角三角形，则可过点O作OM⊥AC于点M，连接OA，即构造△BEF∽△OCM，从而可求得。

（3）由（2）得的值及OC=8求出BE；由PD=OD，且∠PBO=90°，根据“直角三角形斜边上的中线长等于斜边长的一半”可得BD=OD=8，由勾股定理可求得BC的长，则△DOB是等边三角形，则在直角三角形ECF中存在特殊角30度，不妨设EF=x，则CE=2x，CF=Rt△BEF中，由勾股定理可得BE2=EF2+BF2 ， 构造方程解答即可。

x。在

9．已知：A、B两点在直线l的同一侧，线段AO，BM均是直线l的垂线段，且BM在AO的右边，AO=2BM，将BM沿直线l向右平移，在平移过程中，始终保持∠ABP=90°不变，BP边与直线l相交于点P．

（1）当P与O重合时（如图2所示），设点C是AO的中点，连接BC．求证：四边形OCBM是正方形；

（2）请利用如图1所示的情形，求证： = ； （3）若AO=2 ∴BM=CO， ∵AO∥BM，

∴四边形OCBM是平行四边形， ∵∠BMO=90°， ∴▱OCBM是矩形，

∵∠ABP=90°，C是AO的中点， ∴OC=BC，

∴矩形OCBM是正方形 （2）解：连接AP、OB，

，且当MO=2PO时，请直接写出AB和PB的长．

【答案】（1）解：∵2BM=AO，2CO=AO，

∵∠ABP=∠AOP=90°， ∴A、B、O、P四点共圆， 由圆周角定理可知：∠APB=∠AOB， ∵AO∥BM， ∴∠AOB=∠OBM， ∴∠APB=∠OBM， ∴△APB∽△OBM， ∴

（3）解：当点P在O的左侧时，如图所示，

过点B作BD⊥AO于点D， 易证△PEO∽△BED， ∴

，

易证：四边形DBMO是矩形， ∴BD=MO，OD=BM， ∴MO=2PO=BD， ∴ ∴BM= ∴OE=

，

， ， ，DE=

，

∵AO=2BM=2

易证△ADB∽△ABE， ∴AB2=AD•AE， ∵AD=DO=DM= ∴AE=AD+DE=

，

∴AB=

，

，

由勾股定理可知：BE= 易证：△PEO∽△PBM， ∴ ∴PB=

；

，

当点P在O的右侧时，如图所示，

过点B作BD⊥OA于点D， ∵MO=2PO， ∴点P是OM的中点， 设PM=x，BD=2x， ∵∠AOM=∠ABP=90°， ∴A、O、P、B四点共圆， ∴四边形AOPB是圆内接四边形， ∴∠BPM=∠A， ∴△ABD∽△PBM， ∴

， ， ， ，

又易证四边形ODBM是矩形，AO=2BM， ∴AD=BM= ∴ 解得：x= ∴BD=2x=2

，BM=3

由勾股定理可知：AB=3

【解析】【分析】（1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形OCBM是平行四边形，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形得出▱OCBM是矩形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出OC=BC，根据有一组邻边相等的矩形是正方形得出结论；

（2）连接AP、OB，根据∠ABP=∠AOP=90°，判断出A、B、O、P四点共圆，由圆周角定

理可知：∠APB=∠AOB，根据二直线平行内错角相等得出∠AOB=∠OBM，根据等量代换得出∠APB=∠OBM，从而判断出△APB∽△OBM，根据相似三角形对应边成比例得出

;

（3）当点P在O的左侧时，如图所示，过点B作BD⊥AO于点D，易证△PEO∽△BED，根据相似三角形对应边成比例得出

,易证：四边形DBMO是矩形，根据矩形的性质

得出BD=MO，OD=BM，故MO=2PO=BD，进而得出BM,OE,DE的长，易证△ADB∽△ABE，根据相似三角形对应边成比例得出AB2=AD•AE，从而得出AE,AB的长，由勾股定理可得BF的长，易证：△PEO∽△PBM，根据相似三角形对应边成比例得出 BE ∶PB=OM ∶PM=2 ∶3 ，根据比例式得出PB的长；当点P在O的右侧时，如图所示，过点B作BD⊥OA于点D，设PM=x，BD=2x，由∠AOM=∠ABP=90°，得出四边形AOPB是圆内接四边形，根据圆内接四边形的性质得出∠BPM=∠A，从而判断出△ABD∽△PBM，根据相似三角形对应边成比例得出 AD ∶BD=PM ∶BM，根据比例式得出x的值，进而得出BD，AB，BP的长。

10．

（1）如图1所示，

在

中， ，求证：

（2）如图2所示，

，

.

，点 在斜边

上，点 在直角边

上，若

在矩形

中，

，

，求 的长；

中，

，

，

，点 在

上，连接

，过点 作

交

(或 的延长线)于点 . ①若

②若点 恰好与点 重合，请在备用图上画出图形，并求 的长. 【答案】 （1）证明：∵在 ∴

，

∴ ∵ ∴ ∴ ∴

， . ，

， ，

（2）解：①∵四边形 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴

， ，

，

， ；

，由①得

，

，

， ， ，

， ，

， 是矩形，

②如图所示，设

∴

，即

， ，

，

或

， .

即可证得结

，再利用相似三角形的性质即可求得结果； ，根据相似三角形的性质可得关于x的方程，

整理，得： 解得：

所以 的长为

【解析】【分析】（1）利用平角的定义和三角形的内角和证明 论；（2）①仿（1）题证明 ②由①得

解方程即可求得结果.

，设

11．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的

圆与AC，AB分别交于点D，E，且∠CBD＝∠A．

（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论； （2）若AD：AO＝8：5，BC＝2，求BD的长． 【答案】 （1）解：BD是⊙O的切线； 理由如下：∵OA=OD，∴∠ODA=∠A ∵∠CBD=∠A，∴∠ODA=∠CBD， ∵∠C=90°，∴∠CBD+∠CDB=90°，

∴∠ODA+∠CDB=90°，∴∠ODB=90°，即BD⊥OD， ∴BD是⊙O的切线

（2）解：设AD=8k，则AO=5k，AE=2OA=10k， ∵AE是⊙O的直径，∴∠ADE=90°， ∴∠ADE=∠C，

又∵∠CBD=∠A，∴△ADE∽△BCD， ∴

，即

，

解得：BD= ．所以BD的长是

【解析】【分析】（1）由等腰三角形的性质和已知得出∠ODA=∠CBD，由直角三角形的性质得出∠CBD+∠CDB=90°，因此∠ODA+∠CDB=90°，得出∠ODB=90°，即可得出结论；（2）设AD=8k，则AO=5k，AE=2OA=10k，由圆周角定理得出∠ADE=90°，△ADE∽△BCD，得出对应边成比例

，即可求出BD的长．

12．如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在边AB，AD上，且∠ECF＝45°，CF的延长线交BA的延长线于点G，CE的延长线交DA的延长线于点H，连接AC，EF．，GH．

（1）求∠AHC与∠ACG的大小关系（“＞”或“＜”或“＝”）

（2）线段AC，AG，AH什么关系？请说明理由； （3）设AE＝m，

①△AGH的面积S有变化吗？如果变化．请求出S与m的函数关系式；如果不变化，请求出定值．

②请直接写出使△CGH是等腰三角形的m值． 【答案】 （1）∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝CB＝CD＝DA＝4，∠D＝∠DAB＝90°∠DAC＝∠BAC＝45°， ∴AC＝

∴∠AHC＝∠ACG ． 故答案为＝．

，

∵∠DAC＝∠AHC+∠ACH＝45°，∠ACH+∠ACG＝45°，

（2）解：结论：AC2＝AG•AH ．

理由：∵∠AHC＝∠ACG ， ∠CAH＝∠CAG＝135°， ∴△AHC∽△ACG ， ∴

，

∴AC2＝AG•AH ．

（3）解：①△AGH的面积不变． 理由：∵S△AGH＝ •AH•AG＝ AC2＝ ×（4 ∴△AGH的面积为16．

②如图1中，当GC＝GH时，易证△AHG≌△BGC ，

）2＝16．

可得AG＝BC＝4，AH＝BG＝8， ∵BC∥AH ， ∴

,

∴AE＝ AB＝ ． 如图2中，当CH＝HG时，

易证AH＝BC＝4， ∵BC∥AH ， ∴

＝1，

∴AE＝BE＝2．

如图3中，当CG＝CH时，易证∠ECB＝∠DCF＝22.5．

在BC上取一点M ， 使得BM＝BE ， ∴∠BME＝∠BEM＝45°， ∵∠BME＝∠MCE+∠MEC ， ∴∠MCE＝∠MEC＝22.5°，

∴CM＝EM ， 设BM＝BE＝m ， 则CM＝EM ∴m+

m＝4，

﹣1），

﹣1）＝8﹣4

，

．

∴m＝4（

m ，

∴AE＝4﹣4（

综上所述，满足条件的m的值为 或2或8﹣4

【解析】【分析】（1）证明∠DAC=∠AHC+∠ACH=45°，∠ACH+∠ACG=45°，即可推出∠AHC=∠ACG；（2）结论：AC2=AG•AH．只要证明△AHC∽△ACG即可解决问题；（3）①△AGH的面积不变．理由三角形的面积公式计算即可；②分三种情形分别求解即可解决问题.