人教版高中数学必修一知识点汇总

1.1.1集合的含义与表示1.集合的含义

一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。2.集合的中元素的三个特性(1)元素的确定性；3.“属于”的概念

我们通常用大写的拉丁字母A，B，C，……表示集合，用小写拉丁字母a，b，c，……表示元素

如：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A记作a∈A，如果a不属于集合A记作aA4.常用数集及其记法

非负整数集(即自然数集)记作：N；正整数集记作：N*或N+；整数集记作：Z；有理数集记作：Q；实数集记作：R

第1页共23页(2)元素的互异性；(3)元素的无序性

5.集合的表示法

(1)列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。(2)描述法：用集合所含元素的公共特征表示集合的方法称为描述法。①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x∈R|x-3>2}或{x|x-3>2}(3)图示法(Venn图)1.1.2集合间的基本关系1.“包含”关系——子集

一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作AB2.“相等”关系

如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时，集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：A=BAB且BA3.真子集

如果AB，且AB那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)4.空集

不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ

规定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集.1.1.3集合的基本运算1.交集的定义

一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合，叫做A，B的交集．记作A∩B(读作“A交B”)，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}．

第2页共23页2.并集的定义

一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A，B的并集。记作：A∪B(读作“A并B”)，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}．3.交集与并集的性质

A∩A=A，A∩φ=φ，A∩B=B∩A，A∪A=A，A∪φ=A，A∪B=B∪A.4.全集与补集(1)全集

如果集合U含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。通常用U来表示。(2)补集

设U是一个集合，A是U的一个子集(即AU)，由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫做U中子集A的补集(或余集)。记作：CUA，即CSA={x|xU且xA}(3)性质

CU(CUA)=A，(CUA)∩A=Φ，(CUA)∪A=U；

(CUA)∩(CUB)=CU(A∪B)，(CUA)∪(CUB)=CU(A∩B).1.2函数及其表示1.2.1函数的概念1.函数的概念

设A.B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：y=f(x)，x∈A．

第3页共23页其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．【注意】

(1)如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；

(2)函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式【定义域补充】

求函数的定义域时列不等式组的主要依据是(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；

(4)指数、对数式的底数必须大于零且不等于1.

(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零

(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.(注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域.)2.构成函数的三要素定义域、对应关系和值域【注意】

(1)构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函

第4页共23页数相等(或为同一函数)。

(2)两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。

3.相同函数的判断方法(1)定义域一致；

(2)表达式相同(两点必须同时具备)【值域补充】

(1)函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域.

(2)应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础。4.区间的概念

(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；(2)无穷区间；(3)区间的数轴表示．1.2.2函数的表示法

1.常用的函数表示法及各自的优点

(1)函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据：作垂直于x轴的直线与曲线最多有一个交点。

(2)函数的表示法

解析法：必须注明函数的定义域；

第5页共23页图象法：描点法作图要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征；

列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征．【注意】

解析法：便于算出函数值。列表法：便于查出函数值。图象法：便于量出函数值2.分段函数

在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写成函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．注意：(1)分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．3.复合函数

如果y=f(u)，(u∈M)，u=g(x)，(x∈A)，则y=f[g(x)]=F(x)，(x∈A)的复合函数.4.函数图象知识归纳(1)定义

在平面直角坐标系中，以函数y=f(x)，(x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数y=f(x)，(x∈A)的图象．

C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上.即记为C={P(x，y)|y=f(x)，

称为f是g

第6页共23页x∈A}

图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线)，也可能是由与任意平行于Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成.(2)画法A.描点法

根据函数解析式和定义域，求出x，y的一些对应值并列表，以(x，y)为坐标在坐标系内描出相应的点P(x，y)，最后用平滑的曲线将这些点连接起来.B.图象变换法

常用变换方法有三种，即平移变换、对称变换和伸缩变换(Ⅰ)对称变换

①将y=f(x)在x轴下方的图象向上翻得到y=∣f(x)∣的图象如：书上P21例5②y=f(x)和y=f(-x)的图象关于y轴对称。如ya与ya

x

x

1

a

x

③y=f(x)和y=-f(x)的图象关于x轴对称。如ylogax与ylogaxlog1x

a(Ⅱ)平移变换由f(x)得到f(xa)由f(x)得到f(x)a(3)作用

A.直观的看出函数的性质；

B.利用数形结合的方法分析解题的思路；C.提高解题的速度；发现解题中的错误。5.映射

左加右减；上加下减

第7页共23页定义：一般地，设A.B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射。记作“f：AB”给定一个集合A到B的映射，如果a∈A，b∈B.且元素a和元素b对应，那么，我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象【说明】

函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应(1)集合A.B及对应法则f是确定的；

(2)对应法则有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应，它与从B到A的对应关系一般是不同的；

(3)对于映射f：A→B来说，则应满足：

(Ⅰ)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；(Ⅱ)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；(Ⅲ)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。6.函数的解析式

(1)函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.(2)求函数的解析式的主要方法有：待定系数法、换元法、消参法等A.如果已知函数解析式的构造时，可用待定系数法；

B.已知复合函数f[g(x)]的表达式时，可用换元法，这时要注意元的取值范围；当已知表达式较简单时，也可用凑配法；

C.若已知抽象函数表达式，则常用解方程组消参的方法求出f(x)

第8页共23页【重点】函数的三种表示法，分段函数的概念，映射的概念

【难点】根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，分段函数的表示及其图象，映射的概念1.3函数的基本性质

1.3.1函数单调性与最大(小)值1.函数的单调性定义

设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2，如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，当x1(1)函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；(2)必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.

3.函数单调区间与单调性的判定方法(A)定义法

①任取x1，x2∈D，且x1第9页共23页②作差f(x1)－f(x2)；

③变形(通常是因式分解和配方)；④定号(即判断差f(x1)－f(x2)的正负)；

⑤下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性)．(B)图象法(从图象上看升降)

(C)复合函数的单调性：复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律如下：同增异减【注意】

函数的单调区间只能是其定义域的子区间，不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.

4.判断函数的单调性常用的结论

①函数yf(x)与yf(x)的单调性相反；

y

1

f(x)与函数yf(x)的单调性相反；

②当函数yf(x)恒为正或恒有负时，

③函数yf(x)与函数yf(x)C(C为常数)的单调性相同；④当C>0(C为常数)时，yf(x)与yCf(x)的单调性相同；当C<0(C为常数)时，yf(x)与yCf(x)的单调性相反；⑤函数f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)g(x)仍是增(减)函数；

⑥若f(x)0,g(x)0且f(x)与g(x)都是增(减)函数，则f(x)g(x)也是增(减)函数；

若f(x)0,g(x)0且f(x)与g(x)都是增(减)函数，则f(x)g(x)也是减(增)函数；⑦设f(x)0，若f(x)在定义域上是增函数，则

第10页共23页nf(x)、kf(x)(k0)、

1

fn(x)(n1)都是增函数，而f(x)是减函数.

5.函数的最大(小)值定义

(ⅰ)一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)=M那么，称M是函数y=f(x)的最大值．

(ⅱ)一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)=M那么，称M是函数y=f(x)的最大值.【注意】

①函数最大(小)首先应该是某一个函数值，即存在x0∈I，使得f(x0)=M；②函数最大(小)应该是所有函数值中最大(小)的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M(f(x)≥M)．

6.利用函数单调性的判断函数的最大(小)值的方法①利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值②利用图象求函数的最大(小)值

③利用函数单调性的判断函数的最大(小)值

如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；

如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；

第11页共23页1.3.2函数的奇偶性1.偶函数定义

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．2.奇函数定义

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．【注意】

①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；

②函数可能没有奇偶性，也可能既是奇函数又是偶函数。

③由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称)．3.具有奇偶性的函数的图象的特征

偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．4.利用定义判断函数奇偶性的格式步骤

①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；②确定f(－x)与f(x)的关系；

③作出相应结论：若f(－x)=f(x)或f(－x)－f(x)=0，则f(x)是偶函数；若f(－x)=－f(x)或f(－x)＋f(x)=0，则f(x)是奇函数．5.函数奇偶性的性质

①奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在

第12页共23页关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.②奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称.③若f(x)为偶函数，则f(x)f(x)f(|x|).④若奇函数f(x)定义域中含有0，则必有f(0)0.

⑤定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数F(x)与一个偶函数G(x)的和(或差)”.如设f(x)是定义域为R的任一函数，则

F(x)

f(x)f(x)

，G(x)f(x)f(x).

22⑥复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.

⑦既奇又偶函数有无穷多个(f(x)0，定义域是关于原点对称的任意一个数集).第二章基本初等函数2.1指数函数

2.1.1指数与指数幂的运算1.根式的概念：

负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作n0=0.【注意】(1)(na)na

a,a0

(2)当n是奇数时，nana，当n是偶数时，nan|a|

a,a0

2.分数指数幂

(1)正数的正分数指数幂的意义，规定：anam(a0,m,nN,且n1)(2)正数的正分数指数幂的意义：a

_mnmn

1a

mn(a0,m,nN,且n1)

第13页共23页(3)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义3.实数指数幂的运算性质(1)arasars(a0,r,sR)(2)(ar)sars(a0,r,sR)(3)(ab)rarbr(a0,b0,rR)【注意】

在化简过程中，偶数不能轻易约分；如[(12)]12而应=212.1.2指数函数及其性质1.指数函数的概念

一般地，函数yax叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R．2.指数函数的图象和性质

01122图象定义域R，值域(0，+∞)(1)过定点(0，1)，y=1即x=0时，性质(2)在R上是减函数(3)当x>0时，01(2)在R上是增函数(3)当x>0时，y>1；当x<0时，00时，01函数值开始减小极快，到了某一值后减小速度较慢；a>1自左向右看，图象逐渐上升在第一象限内的图象纵坐标都大于1在第二象限内的图象纵坐标都小于1图象上升趋势是越来越陡增函数当x>0时，y>1；当x<0时，0一般地，如果axN，那么数x叫做以a为底N的对数，记作：xlogaN(a—底数，N—真数，logaN—对数式)

第15页共23页【注意】

(1)注意底数的限制，a>0且a≠1；(2)真数N>0；

(3)注意对数的书写格式．2.两个重要对数

(1)常用对数：以10为底的对数，

log10N记为lgN；

(2)自然对数：以无理数e为底的对数的对数，logeN记为lnN．3.对数式与指数式的互化

xlogaNaxN

对数式指数式

对数底数←a→幂底数对数←x→指数真数←N→幂【结论】

(1)负数和零没有对数

(2)logaa=1，loga1=0，特别地，lg10=1，lg1=0，lne=1，ln1=0(3)对数恒等式：alogaNN

4.如果a>0，a1，M>0，N>0有

logaMlogaN(1)log（aMN）

两个正数的积的对数等于这两个正数的对数和(1)logaM

logaMlogaNN两个正数的商的对数等于这两个正数的对数差

第16页共23页（nR）(3)logaMnnlogaM

一个正数的n次方的对数等于这个正数的对数n倍【说明】

(1)简易语言表达:”积的对数=对数的和”……(2)有时可逆向运用公式(3)真数的取值必须是(0，＋∞)

(4)特别注意：logaMNlogaMlogaN

logaMNlogaMlogaN

5.换底公式

logab

logcblgba0,a1,c0,c1,b0logcalga利用换底公式推导下面的结论①logab

n1

②logablogbclogcdlogad③logambnlogab

mlogba2.2.2对数函数及其性质1.对数函数的概念

函数ylogax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，+∞)．【注意】

(1)对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：

ylogax1，ylogax2都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．

(2)对数函数对底数的限制：a>0，且a≠12.对数函数的图像与性质

第17页共23页对数函数ylogax(a>0，且a≠1)

0＜a＜1a＞1图像定义域：(0，＋∞)值域：R0)，即当x＝1时，y＝0过点(1，性质在(0，+∞)上是减函数当x>1时，y<0当x=1时，y=0当00【重要结论】在logb中，当a，b同在(0，1)或(1，+∞)

a内时，有logb>0；

a

当a，b不同在(0，1)内，或不同在(1，+∞)内时，有logb<0.

a【口诀】

底真同大于0(底真不同小于0).

(其中，底指底数，真指真数，大于0指logb的值)

a3.如图，底数a对函数ylogax的影响.

第18页共23页在(0，+∞)上是增函数当x>1时，y>0当x=1时，y=0当0Ⅰ.logab，当a，b在1的同侧时，logab>0；当a，b在1的异侧时，logab<0Ⅱ.对数函数的单调性由底数决定的，底数不明确的时候要进行讨论。掌握利用单调性比较对数的大小，同底找对应的对数函数，底数不同真数也不同利用(1)的知识不能解决的插进1(=logaa)进行传递.

Ⅲ.求指数型函数的定义域要求真数>0，值域求法用单调性.

Ⅳ.分辨不同底的对数函数图象利用1=logaa，用y=1去截图象得到对应的底数。Ⅴ.y=ax(a>0且a≠1)与y=logax(a>0且a≠1)互为反函数，图象关于y=x对称。

5.比较两个幂的形式的数大小的方法

(1)对于底数相同指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断.

(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小比较，可以利用比商法来判断.(3)对于底数不同也指数不同的两个幂的大小比较，则应通过中间值来判断.常用1和0.

6.比较大小的方法

(1)利用函数单调性(同底数)；(2)利用中间值(如:0，1.)；(3)变形后比较；(4)作差

第19页共23页比较2.3幂函数1.幂函数定义

一般地，形如yx的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．2.幂函数性质归纳

(1)所有的幂函数在(0，+∞)都有定义，并且图象都过点(1，1)；

(2)α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在[0，

+∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸；

(3)α<0时，幂函数的图象在(0，+∞)上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于+∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴．第三章函数的应用3.1函数与方程

3.1方程的根与函数的零点1.函数零点的概念

对于函数y=f(x)，使f(x)=0的实数x叫做函数的零点.(实质上是函数y=f(x)与x轴交点的横坐标)2.函数零点的意义

方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点.

第20页共23页3.零点定理

b]上的图象是连续不断的，函数y=f(x)在区间[a，并且有f(a)f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a，b)至少有一个零点c，使得f(c)=0，此时c也是方程f(x)=0的根.4.函数零点的求法求函数y=f(x)的零点：

(1)(代数法)求方程f(x)=0的实数根；

(2)(几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．5.二次函数的零点

二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0).

(1)△＞0，方程f(x)=0有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点．

(2)△＝0，方程f(x)=0有两相等实根(二重根)，二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．

(3)△＜0，方程f(x)=0无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点．3.1.2用二分法求方程的近似解1.概念

对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.

2.用二分法求方程近似解的步骤

(1)确定区间[a，b]，验证f(a)f(b)<0，给定精确度ε；

第21页共23页(2)求区间(a，b)的中点c；(3)计算f(c)，

①若f(c)=0，则c就是函数的零点；

②若f(a)f(c)<0，则令b=c(此时零点x0∈(a，c))③若f(c)f(b)<0，则令a=c(此时零点x0∈(c，b))

(4)判断是否达到精确度ε：即若|a-b|<ε，则得到零点近似值为a(或b)；否则重复(2)~(4)

3.2几类不同增长的函数模型1.评价模型

给定模型利用学过的知识解模型验证是否符合实际情况2.几个增长函数模型一次函数：y=ax+b(a>0)指数函数：y=ax(a>1)幂函数：y=xn(n∊N*)二次函数：y=ax2+bx+c(a>0)增长快慢：V(ax)>V(xn)>V(logax)解不等式：(1)log2x<2x注意端点不能重复取，求函数值先判断自变量所在的区间.4.二次函数模型

y=ax2+bx+c(a≠0)先求函数的定义域，在求函数的对称轴，看它在不在定义域内，在的话代进求出最值，不在的话，将定义域内离对称轴最近的点代进求最值.5.一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根的分布

第22页共23页指数型函数：y=kax(k>0，a>1)对数函数：y=logax(a>1)

(2)log2x两个有且仅有一个在(m，x1∈(m，n)n)内

x2∈(p，q)



0m

b

n2af(m)0f(n)0

f(m)f(n)<0



f(m)0f(n)0f(p)0f(q)0

两个根都小于K两个根都大于K一个根小于K，一个根大于K

0bk2af(k)00

bk

2af(k)0

f(k)<0

【重点】将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含

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