北师大版高一数学必修第一册(2019版)：函数的单调性练习(解析版)

第二章 函 数 第2.3节 函数的单调性

一．选择题（共12小题）

1．函数y＝（2m﹣1）x+b在R上是减函数．则（ ） A．m＞

B．m＜

C．m＞﹣

D．m＜﹣

【答案】 B

【解析】解：根据题意，函数y＝（2m﹣1）x+b在R上是减函数， 则有2m﹣1＜0，解可得m＜故选：B．

2．函数f（x）＝﹣x2+x﹣1的单调递增区间为（ ） A．【答案】 D

【解析】解：根据题意，由已知所以函数在故选：D．

3．函数f（x）＝x|x﹣2|的递减区间为（ ） A．（﹣∞，1） 【答案】 C

【解析】解：当x≥2时，f（x）＝x（x﹣2）＝x2﹣2x，对称轴为x＝1，此时f（x）为增函数， 当x＜2时，f（x）＝﹣x（x﹣2）＝﹣x2+2x，对称轴为x＝﹣，抛物线开口向下，当1＜x＜2时，f（x）为减函数，

即函数f（x）的单调递减区间为（1，2）， 故选：C．

4．下列函数中，在（0，+∞）上为增函数的是（ ） A．f（x）＝3﹣x 【答案】 C

【解析】解：根据题意，依次分析选项：

对于A，f（x）＝3﹣x为一次函数，在（0，+∞）上为减函数，不符合题意；

B．f（x）＝x2﹣3x

C．

D．f（x）＝﹣|x|

B．（0，1）

C．（1，2）

D．（0，2）

上为增函数，

，

B．

C．

D．

，

对于B，f（x）＝x2﹣3x为二次函数，在（0，对于C，f（x）＝﹣

）上为减函数，不符合题意；

为反比例函数，在（0，+∞）上为增函数，符合题意；

对于D，f（x）＝﹣|x|，当x＞0时，f（x）＝﹣x，则函数f（x）在（0，+∞）上为减函数，不符合题意； 故选：C．

5．函数f（x）＝ax2﹣（3a﹣1）x+a2在[1，+∞）上是增函数，则a的范围为（ ） A．（﹣∞，1） 【答案】 C

【解析】解：根据题意，函数f（x）＝ax2﹣（3a﹣1）x+a2在[1，+∞）上是增函数， 分2种情况讨论：

①，若a＝0，则f（x）＝x，在R上为增函数，符合题意； ②，若a≠0，则有

，解可得0＜a≤1，

B．（0，1]

C．[0，1]

D．（﹣∞，1]

综合可得：a的取值范围为[0，1]； 故选：C．

6．下列函数f（x）中，满足“对任意的x1，x2∈（0，+∞），当x1≠x2时，都有（x1﹣x2）•[f（x1）﹣f（x2）]＜0”的是（ ） A．f（x）＝C．f（x）＝【答案】 A

【解析】解：根据题意，若函数f（x）满足“对任意的x1，x2∈（0，+∞），当x1≠x2时，都有（x1﹣x2）•[f（x1）﹣f（x2）]＜0”，

则函数f（x）在（0，+∞）上为减函数，据此分析选项： 对于A，f（x）＝

，在（﹣1，+∞）上为减函数，符合题意；

B．f（x）＝（x﹣1）2 D．f（x）＝

对于B，f（x）＝（x﹣1）2，在（1，+∞）上为增函数，不符合题意； 对于C，f（x）＝﹣对于D，f（x）＝故选：A．

7．若函数y＝x2﹣（2a﹣1）x﹣2在区间（1，3）是单调函数，则实数a的取值范围是（ ）

，其定义域为{x|x≠1}，不符合题意； ，其定义域为{x|x≠2}，不符合题意；

A．（﹣∞，]，+∞） B．[D．[3，4]

]

C．（﹣∞，3]∪[4，+∞） 【答案】 A

【解析】解：根据题意，函数y＝x2﹣（2a﹣1）x﹣2为二次函数，其对称轴为x＝若其在（1，3）是单调函数，则即实数a的取值范围是（﹣∞，故选：A．

8．函数f（x）＝x2+ax+2在（3，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A．a＝﹣6 【答案】 B

【解析】解：根据题意，函数f（x）＝x2+ax+2为二次函数，其对称轴为x＝﹣若f（x）在（3，+∞）上单调递增，则有﹣故选：B．

9．函数f（x）＝|x2﹣6x+8|的单调递增区间为（ ） A．[3，+∞）

C．（2，3），（4，+∞） 【答案】 C

【解析】解：函数f（x）＝|x2﹣6x+8|，

当x2﹣6x+8＞0即x＞4或x＜2，可得f（x）＝x2﹣6x+8＝（x﹣3）2﹣1， 即有f（x）在（4，+∞）递增；

当x2﹣6x+8＜0即2＜x＜4，可得f（x）＝﹣x2+6x﹣8＝﹣（x﹣3）2+1， 即有f（x）在（2，3）递增；

则f（x）的增区间为（4，+∞），（2，3）． 故选：C．

10．函数y＝f（x）的图象如图所示，其减区间是（ ）

B．（﹣∞，2），（4，+∞） D．（﹣∞，2]，[3，4]

≤3，解可得a≥﹣6；

，

B．a≥﹣6

C．a＞﹣6

D．a≤﹣6

]

≤1或

≥3，解可得：x≤

或x≥

，

，

，+∞）；

A．[﹣4，4]

B．[﹣4，﹣3]∪[1，4]C．[﹣3，1]

D．[﹣4，﹣3]，[1，4]

【答案】 D

【解析】解：由图象知函数在[﹣4，﹣3]以及[1，4]上图象递减， 则对应的减区间为[﹣4，﹣3]，[1，4]， 故选：D．

11．下列四个函数中，在（0，+∞）上为增函数的是（ ） A．f（x）＝3﹣x 【答案】 D

【解析】解：由一次函数的单调性可知，f（x）＝3﹣x，f（x）＝1﹣x在区间（0，+∞）上是减函数，

由二次函数的单调性可知，y＝x2﹣3x在区间（0，+∞）上先减后增， y＝|x|在（0，+∞）上为增函数． 故选：D．

12．已知函数f（x）的定义域为R，且对任意的x1，x2且x1≠x2都有[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）＞0成立，若f（x2+1）＞f（m2﹣m﹣1）对x∈R恒成立，则实数m的取值范围是（ ） A．（﹣1，2）

C．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞） 【答案】 A

【解析】解：由题意，可知：

∵对任意的x1，x2且x1≠x2都有[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）＞0成立， ∴函数f（x）在定义域R上为增函数．

又∵f（x2+1）＞f（m2﹣m﹣1）对x∈R恒成立， ∴x2+1＞m2﹣m﹣1， ∴m2﹣m﹣1＜1， 即：m2﹣m﹣2＜0． 解得﹣1＜m＜2． 故选：A．

二．填空题（共4小题）

13．已知f（x）＝x2﹣（m+2）x+2在[1，3]上是单调函数，则实数m的取值范围为 m≤0或m≥4 ． 【答案】m≤0或m≥4

【解析】解：根据题意，f（x）＝x2﹣（m+2）x+2为二次函数，其对称轴为x＝

，

B．[﹣1，2]

B．f（x）＝x2﹣3x

C．f（x）＝﹣x+1

D．f（x）＝|x|

D．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）

若f（x）在[1，3]上是单调函数，则有解可得m≤0或m≥4，

即m的取值范围为m≤0或m≥4； 故答案为：m≤0或m≥4．

≤1或≥3，

14．已知函数f（x）＝ax2﹣2x﹣2在区间[1，+∞）上不单调，则实数a的取值范围是 （0，1） ． 【答案】 （0，1）

【解析】解：根据题意，函数f（x）＝ax2﹣2x﹣2，

当a＝0时，f（x）＝﹣2x﹣2，在区间[1，+∞）上是减函数，不符合题意； 当a≠0时，f（x）＝ax2﹣2x﹣2，若f（x）在区间[1，+∞）上不单调， 必有

＞1，

解可得：0＜a＜1， 即a的取值范围为（0，1）； 故答案为：（0，1）．

15．若f（x）＝（a﹣2）x2+（a﹣1）x+3在[2，+∞）上是增函数，则a的取值范围是 a≥2 ． 【答案】a≥2

【解析】解：根据题意，分2种情况讨论：

①，a﹣2＝0，即a＝2，f（x）＝x+3，在[2，+∞）上是增函数，符合题意； ②，a﹣2≠0，若f（x）＝（a﹣2）x2+（a﹣1）x+3在[2，+∞）上是增函数， 必有

，解可得：a＞2，

综合可得：a的取值范围为：a≥2； 故答案为：a≥2．

16．已知函数y＝﹣x2+ax+1在区间[1，2]上是增函数，则实数a的取值范围是 [4，+∞） ． 【答案】 [4，+∞）

【解析】解：根据题意，函数y＝﹣x2+ax+1为二次函数，对称轴为x＝若函数y＝﹣x2+ax+1在区间[1，2]上是增函数，则即实数a的取值范围为[4，+∞）； 故答案为：[4，+∞）． 三．解答题（共4小题）

17．已知函数f（x）的图象如图所示：

≥2，解可得a≥4；

，

（1）根据函数图象，写出f（x）的单调区间；

（2）若f（x）在[a﹣1，a+1]上单调递增，求a的取值范围

【解析】（1）由图象知，函数的 单调递减区间为[﹣1，2]，递增区间为（﹣∞，﹣1），（2，+∞）． （2）若f（x）在[a﹣1，a+1]上单调递增，则a+1≤﹣1或a﹣1≥2， 得a≥3或a≤﹣2，

即实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞）． 18．设函数f（x）＝|x2﹣4x+3|，x∈R．

（1）在区间[0，4]上画出函数f（x）的图象； （2）写出该函数在R上的单调区间．

【解析】解：（1）函数f（x）＝|x2﹣4x+3|＝|（x﹣2）2﹣1|； （列表，描点，作图） x y

0 3

1 0

2 1

3 0

4 3

（2）根据函数f（x）的图象，不难发现， 函数f（x）在x∈（﹣∞，1]上单调递减； 函数f（x）在x∈[1，2]上单调递增； 函数f（x）在x∈[2，3]上单调递减；

函数f（x）在x∈[3，+∞）上单调递增． 19．试讨论函数f（x）＝【解析】解：f（x）＝a+

（a≠0）在（﹣1，1）上的单调性． ，

，向右平移1个单位在向上或下平移|a|单位得到的，

f（x）图象是由反比例函数y＝∵a＜0时，y＝a＞0时，y＝

在（﹣∞，0），和（0，+∞）上分别为增函数， 在（﹣∞，0），和（0，+∞）上分别为减函数，

∴a＜0时，f（x）在（﹣1，1）上为增函数， a＞0时，f（x）在（﹣1，1）上为减函数．

20．已知

（1）画出这个函数的图象； （2）求函数的单调区间；

（3）求函数f（x）的最大值和最小值．

【解析】解：（1）∵f（x）＝，作出其图象如下：

（2）由f（x）的图象可得，单调递减区间为：[﹣3，﹣2]，[0，1），[3，6]；递增区间为：[﹣2，0），[1，3]．

（3）由f（x）的图象可得，当x＝3时，f（x）取得最大值为4，当x＝6时，f（x）取得最小值﹣5．