新人教版九年级(上)期中数学模拟试卷

一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！

2

1．（3分）（2013•丽水）若二次函数y=ax的图象经过点P（﹣2，4），则该图象必经过点（ ） A．（2，4） B． （﹣2，﹣4） C． （﹣4，2） D． （4，﹣2） 2．（3分）（2008•深圳）如图，边长为1的菱形ABCD绕点A旋转，当B、C两点恰好落在扇形AEF的弧EF上时，弧BC的长度等于（ ）

A． 3．（3分）（2011•乐山）将抛物线y=﹣x向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是（ ） 2222 A．B． C． y=﹣（x+2） y=﹣x+2 y=﹣（x﹣2） D． y=﹣x﹣2 4．（3分）（2013•乐山）如图，圆心在y轴的负半轴上，半径为5的⊙B与y轴的正半轴交于点A（0，1），过点P（0，﹣7）的直线l与⊙B相交于C，D两点．则弦CD长的所有可能的整数值有（ ）

2

B． C． D． A．1个 C． 3个 D． 4个 5．（3分）（2014•绍兴）一个不透明的袋子中有2个白球，3个黄球和1个红球，这些球除颜色不同外其他完全相同，则从袋子中随机摸出一个球是白球的概率为（ ） A．B． C． D． 6．（3分）下列四个命题： ①直径所对的圆周角是直角；

②在同圆中，相等的圆周角所对的弦相等； ③三点确定一个圆；

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B． 2个 ④在一个圆中，如果弦相等，那么所对的圆周角相等；

⑤平分弦的直径垂直于这条弦；⑥等弧所对的圆周角相等． 其中正确命题的个数为（ ） 1 2 3 4 A．B． C． D． 7．（3分）（2013•恩施州）如图所示，在直角坐标系中放置一个边长为1的正方形ABCD，将正方形ABCD沿x轴的正方向无滑动的在x轴上滚动，当点A离开原点后第一次落在x轴上时，点A运动的路径线与x轴围成的面积为（ ）

A． B． π+1 C． D． 8．（3分）已知，过⊙O内一点M的最长弦长为12cm，最短弦长为8cm，那么OM长为（ ） 6cm 9cm A．B． C． D． 2cm 4cm 9．（3分）（2013•增城市二模）如图，圆锥的底面半径OB=6cm，高OC=8cm．则这个圆锥的侧面积是（ ）

2 A．30cm 2B． 30πcm 2C． 60πcm 2D． 120cm 2

10．（3分）（2014•江阴市二模）点A，B的坐标分别为（﹣2，3）和（1，3），抛物线y=ax+bx+c

（a＜0）的顶点在线段AB上运动时，形状保持不变，且与x轴交于C，D两点（C在D的左侧），给出下列结论：①c＜3；②当x＜﹣3时，y随x的增大而增大；③若点D的横坐标最大值为5，则点C的横坐标最小值为﹣5；④当四边形ACDB为平行四边形时，

．其

中正确的是（ ） ②④ ②③ ①③④ ①②④ A．B． C． D． 二．填空题：（本题共6小题，每小题4分，共24分）温馨提示：填空题应将最简洁最正确的答案填在空格内！

2

11．（4分）（2014•随州模拟）将抛物线y=（x﹣1）+3向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为 _________ ．

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12．（4分）如图，将弧AC沿弦AC折叠交直径AB于圆心O，则弧AC= _________ 度．

13．（4分）（2014•山西）甲、乙、丙三位同学打乒乓球，想通过“手心手背”游戏来决定其中哪两个人先打，规则如下：三个人同时各用一只手随机出示手心或手背，若只有两个人手势相同（都是手心或都是手背），则这两人先打，若三人手势相同，则重新决定．那么通过一次“手心手背”游戏能决定甲打乒乓球的概率是 _________ ．

14．（4分）在△ABC中，∠C为锐角，分别以AB，AC为直径作半圆，过点B，A，C作如图．若AB=4，AC=2，S1﹣S2=

，则S3﹣S4的值是 _________ ．

，

15．（4分）如图，⊙O的半径是3，点P是弦AB延长线上的一点，连接OP，若OP=4，∠APO=30°，则弦AB的长为 _________ ．

16．（4分）如图，在坐标平面上，抛物线与y轴的交点是（0，5），且经过两个长、宽分别为4和2的相同的长方形的顶点，则这条抛物线对应的函数关系式是 _________ ．

三．解答题（共7题，共66分）温馨提示：解答题应完整地表述出解答过程！

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17．（8分）已知二次函数y=x﹣2x﹣3．

（1）求函数图象的顶点坐标、对称轴及坐标轴交点的坐标，画出函数的大致图象． （2）观察图象，当x取何值时，﹣3≤y≤0． 18．（8分）已知：如图，⊙O的直径PQ分别交弦AB，CD于点M，N，AM=BM，AB∥CD． 求证：DN=CN．

2

19．（8分）已知圆锥的底面半径为r=2cm，高h=2cm，现在有一只蚂蚁从底边上一点A出发．在侧面上爬行一周又回到A点，求蚂蚁爬行的最短距离．

20．（10分）某企业信息部进行市场调研发现：

信息一：如果单独投资A种产品，所获利润yA（万元）与投资金额x（万元）之间存在某种关系的部分对应值如下表： 1 2 2.5 3 5 x（万元） 0.4 0.8 1 1.2 2 yA（万元） 信息二：如果单独投资B种产品，则所获利润yB（万元）与投资金额x（万元）之间存在

2

二次函数关系：yB=ax+bx，且投资2万元时获利润2.8万元，当投资5万元时，可获利润4万元．

（1）求出yB与x的函数关系式．

（2）从所学过的一次函数、二次函数、反比例函数中确定哪种函数能表示yA与x之间的关系，并求出yA与x的函数关系式．

（3）如果企业同时对A、B两种产品共投资10万元，请设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少？ 21．（10分）（2014•广安）大课间活动时，有两个同学做了一个数字游戏：有三张正面写有数字﹣1，0，1的卡片，它们背面完全相同，将这三张卡片背面朝上洗匀后，其中一个同学随机抽取一张，将其正面的数字作为p的值，然后将卡片放回并洗匀，另一个同学再从这三张卡片中随机抽取一张，将其正面的数字作为q值，两次结果记为（p，q）． （1）请你帮他们用树状图或列表法表示（p，q）所有可能出现的结果；

2

（2）求满足关于x的方程x+px+q=0没有实数解的概率．

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22．（10分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，∠ABC=60°，∠ACB=50°，请解答下列问题： （1）∠CAD的度数；

（2）设AD、BC相交于E，AB、CD的延长线相交于F，求∠AEC、∠AFC的度数； （3）若AD=6，求图中阴影部分的面积．

23．（12分）（2012•黔东南州）如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．

（1）求抛物线的解析式．

（2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长．

（3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由．

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九年级（上）期中数学模拟试卷（三）

参与试题解析

一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！

1．（3分）（2013•丽水）若二次函数y=ax的图象经过点P（﹣2，4），则该图象必经过点（ ） A．（2，4） B． （﹣2，﹣4） C． （﹣4，2） D． （4，﹣2） 考点：二次函数图象上点的坐标特征． 分析：先确定出二次函数图象的对称轴为y轴，再根据二次函数的对称性解答． 2解答： ：∵二次函数y=ax的对称轴为y轴， 解∴若图象经过点P（﹣2，4）， 则该图象必经过点（2，4）． 故选：A． 点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数图象的对称性，确定 出函数图象的对称轴为y轴是解题的关键． 2．（3分）（2008•深圳）如图，边长为1的菱形ABCD绕点A旋转，当B、C两点恰好落在扇形AEF的弧EF上时，弧BC的长度等于（ ）

2

A． B． C． D． 考点：菱形的性质；弧长的计算． 专题：压轴题． 分析：连接AC，根据题意可得△ABC为等边三角形，从而可得到∠A的度数，再根据弧长 公式求得弧BC的长度． 解答：解：连接AC，可得AB=BC=AC=1，则∠BAC=60°，根据弧长公式，可得 弧BC的长度等于=，故选C． 点评：此题主要考查菱形、等边三角形的性质以及弧长公式的理解及运用． 6 / 22

3．（3分）（2011•乐山）将抛物线y=﹣x向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是（ ） 2222 A．B． C． y=﹣（x+2） y=﹣x+2 y=﹣（x﹣2） D． y=﹣x﹣2 考点：二次函数图象与几何变换． 专题：动点型． 分析：易得原抛物线的顶点和平移后新抛物线的顶点，根据平移不改变二次项的系数用顶点 式可得所求抛物线． 解答：解：∵原抛物线的顶点为（0，0） ， ∴新抛物线的顶点为（﹣2，0）， 设新抛物线的解析式为y=﹣（x﹣h）+k， 2∴新抛物线解析式为y=﹣（x+2）， 故选A． 点评：考查二次函数的几何变换；用到的知识点为：二次函数的平移不改变二次项的系数； 左右平移只改变顶点的横坐标，左加右减． 4．（3分）（2013•乐山）如图，圆心在y轴的负半轴上，半径为5的⊙B与y轴的正半轴交于点A（0，1），过点P（0，﹣7）的直线l与⊙B相交于C，D两点．则弦CD长的所有可能的整数值有（ ）

22

A．1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个 考点：垂径定理；坐标与图形性质；勾股定理． 专题：压轴题． 分析：求出线段CD的最小值，及线段CD的最大值，从而可判断弦CD长的所有可能的整 数值． 解答：解：∵点A的坐标为（0，1） ，圆的半径为5， ∴点B的坐标为（0，﹣4）， 又∵点P的坐标为（0，﹣7）， ∴BP=3， ①当CD垂直圆的直径AE时，CD的值最小， 连接BC，在Rt△BCP中，CP==4； 故CD=2CP=8， ②当CD经过圆心时，CD的值最大，此时CD=直径AE=10； 所以，8≤CD≤10， 综上可得：弦CD长的所有可能的整数值有：8，9，10，共3个． 7 / 22

故选C． 点评：本题考查了垂径定理的知识，解答本题的关键是熟练掌握垂直弦的直径平分弦，本题 需要讨论两个极值点，有一定难度． 5．（3分）（2014•绍兴）一个不透明的袋子中有2个白球，3个黄球和1个红球，这些球除颜色不同外其他完全相同，则从袋子中随机摸出一个球是白球的概率为（ ） A．B． C． D． 考点：概率公式． 分析：由一个不透明的袋子中有2个白球，3个黄球和1个红球，这些球除颜色不同外其他 完全相同，直接利用概率公式求解即可求得答案． 解答：解：∵一个不透明的袋子中有2个白球，3个黄球和1个红球，这些球除颜色不同外 其他完全相同， ∴从袋子中随机摸出一个球是白球的概率为：=． 故选：C． 点评：此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之 比． 6．（3分）下列四个命题： ①直径所对的圆周角是直角；

②在同圆中，相等的圆周角所对的弦相等； ③三点确定一个圆；

④在一个圆中，如果弦相等，那么所对的圆周角相等；

⑤平分弦的直径垂直于这条弦；⑥等弧所对的圆周角相等． 其中正确命题的个数为（ ） 1 2 3 4 A．B． C． D． 考点：命题与定理． 分析：根据圆周角定理对①②③⑥进行判断； 根据确定圆的条件对③进行判断； 根据垂径定理对⑤进行判断． 解答：解：直径所对的圆周角是直角，所以①正确； 在同圆中，相等的圆周角所对的弦相等，所以②正确； 8 / 22

不共线的三点确定一个圆，所以③错误； 在一个圆中，如果弦相等，那么所对的圆周角相等或互补，所以④错误； 平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦，所以⑤错误； 等弧所对的圆周角相等，所以⑥正确． 故选C． 点评：本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结 论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式；有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 7．（3分）（2013•恩施州）如图所示，在直角坐标系中放置一个边长为1的正方形ABCD，将正方形ABCD沿x轴的正方向无滑动的在x轴上滚动，当点A离开原点后第一次落在x轴上时，点A运动的路径线与x轴围成的面积为（ ）

A． 考点：扇形面积的计算；正方形的性质；旋转的性质． 专题：压轴题． 分析：画出示意图， 结合图形及扇形的面积公式即可计算出点A运动的路径线与x轴围成的面积． 解答： B． π+1 C． D． 解：如图所示： 点A运动的路径线与x轴围成的面积=S1+S2+S3+2a=+++2×（×1×1）=π+1． 故选C． 点评：本题考查了扇形的面积计算，解答本题如果不能直观想象出图形，可以画出图形再求 解，注意熟练掌握扇形的面积计算公式． 8．（3分）已知，过⊙O内一点M的最长弦长为12cm，最短弦长为8cm，那么OM长为（ ） 6cm 9cm A．B． C． D． 2cm 4cm 考点：垂径定理；勾股定理． 9 / 22

分析：圆内最长的弦为直径，最短的弦是过点M且与这条直径垂直的弦，由勾股定理和垂 径定理求解即可． 解答：解：如图，∵AB=12cm，CD=8cm， ∴由垂径定理OC=6cm，CM=4cm， ∴由勾股定理得OM=故选B． ==2cm， 点评：本题综合考查了垂径定理和勾股定理．解此类题目要注意将圆的问题转化成三角形的 问题再进行计算． 9．（3分）（2013•增城市二模）如图，圆锥的底面半径OB=6cm，高OC=8cm．则这个圆锥的侧面积是（ ）

2222 A．B． C． D． 30cm 30πcm 60πcm 120cm 考点：圆锥的计算；勾股定理． 分析：首先根据底面半径OB=6cm，高OC=8cm，求出圆锥的母线长，再利用圆锥的侧面积 公式求出即可． 解答：解：∵它的底面半径OB=6cm，高OC=8cm． ∴BC==10（cm）， 2∴这个圆锥漏斗的侧面积是：πrl=π×6×10=60π（cm）． 故选：C． 点评：此题主要考查了圆锥的侧面积公式求法， 正确的记忆圆锥侧面积公式是解决问题的关键． 10．（3分）（2014•江阴市二模）点A，B的坐标分别为（﹣2，3）和（1，3），抛物线y=ax+bx+c（a＜0）的顶点在线段AB上运动时，形状保持不变，且与x轴交于C，D两点（C在D的左侧），给出下列结论：①c＜3；②当x＜﹣3时，y随x的增大而增大；③若点D的横坐

2

10 / 22

标最大值为5，则点C的横坐标最小值为﹣5；④当四边形ACDB为平行四边形时，．其

中正确的是（ ） ②④ ②③ ①③④ ①②④ A．B． C． D． 考点：二次函数综合题． 专题：代数几何综合题． 分析：根据顶点在线段AB上抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）可以判断出c的取值范围， 得到①错误；根据二次函数的增减性判断出②正确；先确定x=1时，点D的横坐标取得最大值，然后根据二次函数的对称性求出此时点C的横坐标，即可判断③错误；令y=0，利用根与系数的关系与顶点的纵坐标求出CD的长度的表达式，然后根据平行四边形的对边平行且相等可得AB=CD，然后列出方程求出a的值，判断出④正确． 解答：解：∵点A，B的坐标分别为（﹣2，3）和（1，3） ， ∴线段AB与y轴的交点坐标为（0，3）， 又∵抛物线的顶点在线段AB上运动，抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）， ∴c≤3，（顶点在y轴上时取“=”），故①错误； ∵抛物线的顶点在线段AB上运动， ∴当x＜﹣2时，y随x的增大而增大， 因此，当x＜﹣3时，y随x的增大而增大，故②正确； 若点D的横坐标最大值为5，则此时对称轴为直线x=1， 根据二次函数的对称性，点C的横坐标最小值为﹣2﹣4=﹣6，故③错误； 根据顶点坐标公式，令y=0，则ax+bx+c=0， CD=（﹣）﹣4×=222=3， ， 根据顶点坐标公式，=3， ∴2=﹣12， ， ∴CD=×（﹣12）=∵四边形ACDB为平行四边形， ∴CD=AB=1﹣（﹣2）=3， ∴=3=9， 2解得a=﹣，故④正确； 综上所述，正确的结论有②④． 故选A． 11 / 22

点评：本题考查了二次函数的综合题型，主要利用了二次函数的顶点坐标，二次函数的对称 性，根与系数的关系，平行四边形的对边平行且相等的性质，①要注意顶点在y轴上的情况． 二．填空题：（本题共6小题，每小题4分，共24分）温馨提示：填空题应将最简洁最正确的答案填在空格内！

2

11．（4分）（2014•随州模拟）将抛物线y=（x﹣1）+3向左平移1个单位，再向下平移3

2

个单位后所得抛物线的解析式为 y=x ． 考点：二次函数图象与几何变换． 分析：根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可． 22解答： ：将y=（x﹣1）+3向左平移1个单位所得直线解析式为：y=x+3； 解2再向下平移3个单位为：y=x． 2故答案为y=x． 点评：本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关 键． 12．（4分）如图，将弧AC沿弦AC折叠交直径AB于圆心O，则弧AC= 120 度．

考点：翻折变换（折叠问题） ；等边三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系． 分析：过O点作OD⊥AC交AC于D，交弧AC于E，连结OC，BC．根据垂径定理可得 OD=OE，AD=CD，根据三角形中位线定理可得OD=BC，再根据等边三角形的判定和性质，以及邻补角的定义即可求解． 解答：解：过O点作OD⊥AC交AC于D，交弧AC于E，连结OC，BC． ∴OD=OE，AD=CD， ∵AB是直径， ∴∠ACB=90°，OD=BC， 12 / 22

又∵OC=OB， ∴△OBC是等边三角形， ∴∠BOC=60°， ∴∠AOC=180°﹣60°=120°，即弧AC=120度． 故答案为：120． 点评：考查了翻折变换（折叠问题） ，垂径定理，三角形中位线定理，等边三角形的判定和性质，以及邻补角的定义，综合性较强，难度中等． 13．（4分）（2014•山西）甲、乙、丙三位同学打乒乓球，想通过“手心手背”游戏来决定其中哪两个人先打，规则如下：三个人同时各用一只手随机出示手心或手背，若只有两个人手势相同（都是手心或都是手背），则这两人先打，若三人手势相同，则重新决定．那么通过一次“手心手背”游戏能决定甲打乒乓球的概率是

．

考点：列表法与树状图法． 专题：常规题型． 分析：首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与通过一次“手心手 背”游戏能决定甲打乒乓球的情况，再利用概率公式即可求得答案． 解答：解：分别用A，B表示手心，手背． 画树状图得： ∵共有8种等可能的结果，通过一次“手心手背”游戏能决定甲打乒乓球的有4种情况， ∴通过一次“手心手背”游戏能决定甲打乒乓球的概率是：=． 故答案为：． 点评：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率． 列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 13 / 22

14．（4分）在△ABC中，∠C为锐角，分别以AB，AC为直径作半圆，过点B，A，C作如图．若AB=4，AC=2，S1﹣S2=

，则S3﹣S4的值是

．

，

考点：扇形面积的计算． 分析： 首先根据AB、AC的长求得S1+S3和S2+S4的值，然后两值相减即可求得结论． 解答：解：∵AB=4，AC=2， ∴S1+S3=2π，S2+S4=∵S1﹣S2=， ， ∴（S1+S3）﹣（S2+S4）=（S1﹣S2）+（S3﹣S4）=π ∴S3﹣S4=π， 故答案为：π． 点评： 本题考查了圆的认识，解题的关键是正确的表示出S1+S3和S2+S4的值． 15．（4分）如图，⊙O的半径是3，点P是弦AB延长线上的一点，连接OP，若OP=4，∠APO=30°，则弦AB的长为 2 ．

考点：垂径定理；含30度角的直角三角形；勾股定理． 分析：连接OB，过O作OC⊥AB于C，根据含30度角的直角三角形性质求出OC，根据勾 股定理求出BC，根据垂径定理得出AB=2BC，即可得出答案． 解答： 14 / 22

解：连接OB，过O作OC⊥AB于C， 则∠OCP=90°， ∵OP=4，∠APO=30°， ∴OC=OP=2， 在Rt△OCB中，由勾股定理得：BC===， ∵OC⊥AB，OC过O， ∴AB=2BC=2， 故答案为：2． 点评：本题考查了含30度角的直角三角形性质，勾股定理，垂径定理的应用，主要考查学 生的推理和计算能力． 16．（4分）如图，在坐标平面上，抛物线与y轴的交点是（0，5），且经过两个长、宽分别为4和2的相同的长方形的顶点，则这条抛物线对应的函数关系式是 y=﹣

x﹣

2

x+5 ．

考点：待定系数法求二次函数解析式． 专题：图表型． 分析：根据图象可得抛物线经过的三个点的坐标，然后利用待定系数法列式求解即可． 解答：解：根据题意得，抛物线经过点（0，5） ，（﹣4，2），（2，4）， 2设抛物线的解析式为y=ax+bx+c， 则， 解得， ∴抛物线的解析式为y=﹣故答案为：y=﹣x﹣2x﹣x+5． 2x+5． 15 / 22

点评：本题考查了待定系数法求抛物线解析式，待定系数法求函数解析式是常用的方法之 一，根据图形找出图象经过的三个点的坐标是解题的关键． 三．解答题（共7题，共66分）温馨提示：解答题应完整地表述出解答过程！

2

17．（8分）已知二次函数y=x﹣2x﹣3．

（1）求函数图象的顶点坐标、对称轴及坐标轴交点的坐标，画出函数的大致图象． （2）观察图象，当x取何值时，﹣3≤y≤0． 考点：二次函数的性质；二次函数的图象；抛物线与x轴的交点；二次函数与不等式（组） ． 分析：（1）先把该二次函数的解析式化为顶点式，再求出函数图象的顶点坐标、对称轴； 再令x=0求出y的值，令y=0求出x的值，即可得出抛物线与坐标轴的交点； （2）根据（1）中抛物线与y轴的交点及对称轴方程可得出点A关于对称轴的对称点B的坐标，根据函数图象可得出结论． 22解答： ：解（1）∵y=x﹣2x﹣3=（x﹣1）﹣4， ∴顶点坐标为（1，﹣4）， 对称轴为：直线x=1， ∵当x=0时，y=﹣3， ∴它与y轴的交点坐标为A（0，﹣3）， 当y=0时，x﹣2x﹣3=0， 解得：x=﹣1或x=3 ∴它与x轴的交点坐标为（﹣1，0）和（3，0）； （2）如图：当﹣1≤x≤0或2≤x≤3时，﹣3≤y≤0． 2 点评：本题考查了二次函数的图象与坐标轴的交点，熟悉函数和方程的关系是解题的关键． 18．（8分）已知：如图，⊙O的直径PQ分别交弦AB，CD于点M，N，AM=BM，AB∥CD． 求证：DN=CN．

考点：垂径定理． 16 / 22

专题：证明题． 分析：根据垂定定理推知PQ⊥AB于M． 然后由平行线的性质证得PQ⊥CD于N．则DN=CN． 解答：证明：∵PQ是直径，AM=BM， ∴PQ⊥AB于M． 又∵AB∥CD， ∴PQ⊥CD于N． ∴DN=CN． 点评：本题考查了垂径定理．垂径定理的推论： 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 19．（8分）已知圆锥的底面半径为r=2cm，高h=2cm，现在有一只蚂蚁从底边上一点A出发．在侧面上爬行一周又回到A点，求蚂蚁爬行的最短距离．

考点：平面展开-最短路径问题；圆锥的计算． 分析：蚂蚁爬行的最短距离是圆锥的侧面展开图的扇形中AA′的长度．根据勾股定理求得母 线长后，利用弧长等于底面周长求得扇形的圆心角的度数为90度，再由等腰直角三角形的性质求解． 解答：解：如图，设圆锥的顶为E，将圆锥的侧面展开得到一个扇形，设此扇形的圆心角为 n°， ∵r=2cm，h=2cm， ∴由勾股定理可得母线l==8cm， ， 而圆锥侧面展开后的扇形的弧长为2×2π=∴n=90， 即△EAA′是等腰直角三角形， ∴由勾股定理得：AA'=答：蚂蚁爬行的最短距离为8cm． =8cm． 17 / 22

点评：本题考查了平面展开﹣最短路径问题，勾股定理，弧长公式，圆的周长公式，等腰直 角三角形的性质，难度适中． 20．（10分）某企业信息部进行市场调研发现：

信息一：如果单独投资A种产品，所获利润yA（万元）与投资金额x（万元）之间存在某种关系的部分对应值如下表： 1 2 2.5 3 5 x（万元） 0.4 0.8 1 1.2 2 yA（万元） 信息二：如果单独投资B种产品，则所获利润yB（万元）与投资金额x（万元）之间存在

2

二次函数关系：yB=ax+bx，且投资2万元时获利润2.8万元，当投资5万元时，可获利润4万元．

（1）求出yB与x的函数关系式．

（2）从所学过的一次函数、二次函数、反比例函数中确定哪种函数能表示yA与x之间的关系，并求出yA与x的函数关系式．

（3）如果企业同时对A、B两种产品共投资10万元，请设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少？ 考点：二次函数的应用． 分析：（1）根据信息二，由待定系数法建立二元一次方程组，求出a、b的值即可； （2）根据信息一，设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，由待定系数法求出其解即可； （3）分情况讨论，分别求出全部投资A产品、B产品和A、B两产品同时投资的利润，再比较大小就可以得出结论． 解答：解： （1）由题意，得 ， 解得：2， ∴yB=﹣0.2x+1.8x． 2答：yB与x的函数关系式为：yB=﹣0.2x+1.8x； （2）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，由题意，得 ， 18 / 22

解得：， ∴yA=0.4x． 答：yA与x的函数关系式为：yA=0.4x； （3）若10万元，投资A产品可获最大利润：yA=0.4x=4（万元）， 若10万元，都投资B产品可最大获利润 yB=﹣0.2x+1.8x=﹣0.2（x﹣4.5）+22（万元） 万元； ∴若10万元，都投资B产品可最大获利润为：设能获得的最大利润为W万元，设企业对B种产品投资a万元，则企业对A种产品投资（10﹣a）万元， W=yA+yB=0.4（10﹣a）+（﹣0.2a+1.8a）， 2即：W=﹣0.2（a﹣3.5）+6.45， ∴同时投资A、B产品，当投资A产品6.5万元，B产品3.5万元时，可获最大利润为：6.45万元 点评：本题考查了运用待定系数法求一次函数的解析式的运用，二次函数的解析式的运用， 方案设计的运用，二次函数的性质的运用，解答时求出函数的解析式是关键． 21．（10分）（2014•广安）大课间活动时，有两个同学做了一个数字游戏：有三张正面写有数字﹣1，0，1的卡片，它们背面完全相同，将这三张卡片背面朝上洗匀后，其中一个同学随机抽取一张，将其正面的数字作为p的值，然后将卡片放回并洗匀，另一个同学再从这三张卡片中随机抽取一张，将其正面的数字作为q值，两次结果记为（p，q）． （1）请你帮他们用树状图或列表法表示（p，q）所有可能出现的结果；

（2）求满足关于x的方程x+px+q=0没有实数解的概率． 考点：列表法与树状图法；根的判别式． 分析：（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果； 2（2）由（1）可求得满足关于x的方程x+px+q=0没有实数解的有：（﹣1，1），（0，1），（1，1），再利用概率公式即可求得答案． 解答：解： （1）画树状图得： 2

2 则共有9种等可能的结果； （2）方程x+px+q=0没有实数解，即△=p﹣4q＜0， 2由（1）可得：满足△=p﹣4q＜0的有：（﹣1，1），（0，1），（1，1）， ∴满足关于x的方程x+px+q=0没有实数解的概率为：=． 点评：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率． 列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以 19 / 22

222上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 22．（10分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，∠ABC=60°，∠ACB=50°，请解答下列问题： （1）∠CAD的度数；

（2）设AD、BC相交于E，AB、CD的延长线相交于F，求∠AEC、∠AFC的度数； （3）若AD=6，求图中阴影部分的面积．

考点：三角形的外接圆与外心；三角形内角和定理；三角形的外角性质；圆周角定理；扇形 面积的计算． 专题：计算题． 分析：（1）根据圆周角定理求出∠ADC、∠ACD的度数，相减即可； （2）根据三角形的内角和定理求出∠BAC，根据三角形的外角性质求出即可； （3）连接OC，过O作OQ⊥AC于Q，求出∠AOC的度数，求出高OQ和弦AC，求出扇形和三角形的面积，相减即可． 解答：解： （1）∵弧AC=弧AC， ∴∠ADC=∠ABC=60°， ∵AD是直径， ∴∠ACD=90°， ∴∠CAD=180°﹣∠ACD﹣∠ADC=30°， 答：∠CAD的度数是30°． （2）∵∠BAC=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=70°， ∴∠BAD=∠BAC﹣∠CAD=70°﹣30°=40°， ∴∠BCD=∠BAD=40°， ∴∠AEC=∠ADC+∠BCD=100°， ∵∠AFC=∠ABC﹣∠BCF=60°﹣40°=20°， 答：∠AEC=100°，∠AFC=20°． （3）连接OC，过O作OQ⊥AC于Q， ∵∠CAD=30°，AO=3， ∴OQ=OA=， 由勾股定理得：AQ=， ， 由垂径定理得：AC=2AQ=3∵∠AOC=2∠ABC=120°， ∴阴影部分的面积是S扇形OAC﹣S△AOC=﹣×3×=3π﹣， 20 / 22

答：图中阴影部分的面积是3π﹣． 点评：本题综合考查了圆周角定理，三角形的面积，扇形的面积，三角形的外接圆与外心， 三角形的外角性质等知识点的应用，此题是一道综合性比较强的题目，题目比较典型，通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力． 23．（12分）（2012•黔东南州）如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．

（1）求抛物线的解析式．

（2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长．

（3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由．

考点：二次函数综合题． 专题：压轴题；数形结合． 分析：（1）已知了抛物线上的三个点的坐标，直接利用待定系数法即可求出抛物线的解析 式． （2）先利用待定系数法求出直线BC的解析式，已知点M的横坐标，代入直线BC、抛物线的解析式中，可得到M、N点的坐标，N、M纵坐标的差的绝对值即为MN的长． （3）设MN交x轴于D，那么△BNC的面积可表示为：S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN•OB，MN的表达式在（2）中已求得，OB的长易知，由此列出关于S△BNC、m的函数关系式，根据函数的性质即可判断出△BNC是否具有最大值． 解答：解： （1）设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣3），则： a（0+1）（0﹣3）=3，a=﹣1； 2∴抛物线的解析式：y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x+2x+3． （2）设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有： 21 / 22

， 解得； 故直线BC的解析式：y=﹣x+3． 已知点M的横坐标为m，MN∥y，则M（m，﹣m+3）、N（m，﹣m+2m+3）； 22∴故MN=﹣m+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m+3m（0＜m＜3）． （3）如图； ∵S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN•OB， ∴S△BNC=（﹣m+3m）•3=﹣（m﹣）+∴当m=时，△BNC的面积最大，最大值为222（0＜m＜3）； ． 点评：该二次函数题较为简单，考查的知识点有：函数解析式的确定、函数图象交点坐标的 求法、二次函数性质的应用以及图形面积的解法．（3）的解法较多，也可通过图形的面积差等方法来列函数关系式，可根据自己的习惯来选择熟练的解法．

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