2021-2022学年湖北省仙桃二中八年级(上)月考数学试卷(12月份)(解析版)

（12月份）

一．选择题（共30分）.

1．下面每个选项中，左边和右边的符号作为图形成轴对称的是（ ） A．%%

B．∵∴

C．≤≥

D．@@

2．某种计算机完成一次基本运算的时间约为0.000 000 0001s，把0.000 000 0001s用科学记数法可以表示为（ ） A．0.1×10﹣8s

B．0.1×10﹣9s

C．1×10﹣9s

D．1×10﹣10s

3．下列运算正确的是（ ） A．a2+a3＝2a5 C．a6÷a2＝a3

B．2a2•3a3＝6a5

D．（2ab2）3＝6a3b6

4．若等腰三角形的周长为30cm，一边为14cm，则腰长为（ ） A．2cm

B．8cm

C．8cm或2cm

D．14cm或8cm

5．已知：a2﹣3a+1＝0，则a+﹣2的值为（ ） A．

B．1

C．﹣1

D．﹣5

6．如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E是△ABC内的两点，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E＝60°．若BE＝6cm，DE＝2cm，则BC的长为（ ）

A．4cm B．6cm C．8cm D．12cm

7．某单位向一所希望小学赠送1080本课外书，现用A、B两种不同的包装箱进行包装，单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用6个；已知每个B型包装箱比每个A型包装箱可多装15本课外书．若设每个A型包装箱可以装书x本，则根据题意列得方程为（ ） A．

B．

C． D．

8．如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标（0，3），点B坐标（4，0），∠OAB的平分线交x轴于点C，点P、Q分别为线段AC、线段AO上的动点，则OP+PQ的最小值为（ ）

A．2 B． C． D．

9．从﹣4，﹣3，1，3，4这五个数中，随机抽取一个数，记为m，若m使得关于x，y的二元一次方程组

有解，且使关于x的分式方程

﹣1＝

有正数解，那么

这五个数中所有满足条件的m的值之和是（ ） A．1

B．2

C．﹣1

D．﹣2

10．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠CAB的角平分线交BC于M，∠ACB的外角平分线与AM交于点D，与AB的延长线交于点N，过D作DE⊥CN交CB的延长线于点P，交AN于点E，连接CE并延长交PN于点Q，则下列结论：①∠ADP＝45°；②AN＝CA+CP；③DC＝ED；④NQ﹣CD＝PQ；⑤CN＝DE+EP，其中正确的结论有（ ）个．

A．2

二．填空题（共15分）

B．3 C．4 D．5

11．一个多边形的每一个外角都是36°，则这个多边形的边数是 ． 12．如果x2﹣mx+81是一个完全平方式，那么m的值为 ． 13．如果关于x的方程

无解，则k的值为 ．

14．一小船由A港到B港顺流需6小时，由B港到A港逆流需8小时，小船从早晨6时由A港到B港时，发现一救生圈在途中掉落水中，立即返航，1小时后找到救生圈，救生圈是 时掉入水中．

15．如图，四边形ABCD中，∠DAB+∠ABC＝90°，对角线AC、BD相交于O点，且分别平分∠DAB和∠ABC，若BO＝4OD，则

的值为 ．

三．解答题（共75分） 16．因式分解： （1）3a2﹣6ab+3b2；

（2）（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）+1． 17．解下列方程： （1）（2）

18．先化简，再求值：

＝

﹣2； ＝

÷（x﹣3﹣

．

），其中x＝﹣1．

19．在平面直角坐标系xOy中，A，B，C如图所示：请用无刻度直尺作图（仅保留作图痕迹，无需证明）．

（1）如图1，在BC上找一点P，使∠BAP＝45°； （2）如图2，作△ABC的高BH．

20．如图1，CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，AD、BE交于点H，连CH． （1）∠AHE＝ ．（用α表示）

（2）如图2，连接CH，求证：CH平分∠AHE；

（3）如图3，若α＝60°，P，Q分别是AD，BE的中点，连接CP，PQ，CQ．请判断三角形PQC的形状，并证明．

21．阅读下面的解答过程，求y2+4y+5的最小值． 解：y2+4y+5＝y2+4y+4+1＝（y+2）2+1 ∵（y+2）2≥0，即（y+2）2的最小值为0 ∴y2+4y+5＝（y+2）2+1≥1 ∴y2+4y+5的最小值为1 仿照上面的解答过程，求： （1）m2﹣2m+2的最小值； （2）3﹣x2+2x的最大值．

22．某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元，且购进的甲、乙两种商品件数相同． （1）求甲、乙两种商品的每件进价；

（2）该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为80元，乙种商品的销售单价为88元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售；乙种商品销售单价保持不变，要使两种商品全部售完后共获利不少于3520元，问甲种商品按原销售单价至少销售多少件？

23．阅读材料：如图1，△ABC中，点D，F在边AB上，点E在BC上，BD＝BE，∠ADC＝α，∠BEF＝180°﹣2α，延长CA，EF交于点G，GA＝GF，求证AD＝EF．

分析：等腰三角形是一种常见的轴对称图形，几何试题中我们常将一腰所在的三角形沿着等腰三角形的对称轴进行翻折，从而构造轴对称图形．

①小明的想法是：将BE放到△BEF中，沿等腰△BDE的对称轴进行翻折，即作∠BDH＝∠BEF交BC于H（如图2）．

②小白的想法是：将BD放到△BDC中，沿等腰△BDE的对称轴进行翻折，即作∠BEH＝∠BDC交BD的延长线于H（如图3）．

请你从上述俩种方法中一种或按照自己的方法解决问题；

经验拓展：如图4，等边△ABC中，D是AC上一点，连接BD，E为BD上一点，AE＝AD，过点C作CF⊥BD交BD的延长线于点F，∠ECF＝60°，若BE＝a，DF＝b，求DE的长（用含a，b的式子表示）．

24．如图，直角坐标系中，点B（a，0），点C（0，b），点A在第一象限．若a，b满足

t|＝0（t＞0）． （a﹣t）2+|b−

（1）证明：OB＝OC；

（2）如图1，连接AB，过A作AD⊥AB交y轴于D，在射线AD上截取AE＝AB，连接CE，F是CE的中点，连接AF，OA，当点A在第一象限内运动（AD不过点C）时，证明：∠OAF的大小不变；

（3）如图2，B′与B关于y轴对称，M在线段BC上，N在CB′的延长线上，且BM＝NB′，连接MN交x轴于点T，过T作TQ⊥MN交y轴于点Q，当t＝2时，求点Q的坐标．

参

一．选择题（共30分）

1．下面每个选项中，左边和右边的符号作为图形成轴对称的是（ ） A．%%

B．∵∴

C．≤≥

D．@@

【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠能与另一个图形重合，这两个图形关于这条直线成轴对称进行分析即可． 解：A、不成轴对称，故此选项错误； B、不成轴对称，故此选项错误； C、成轴对称，故此选项正确； D、不成轴对称，故此选项错误； 故选：C．

2．某种计算机完成一次基本运算的时间约为0.000 000 0001s，把0.000 000 0001s用科学记数法可以表示为（ ） A．0.1×10﹣8s

B．0.1×10﹣9s

C．1×10﹣9s

D．1×10﹣10s

【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 解：0.000 000 0001s＝1×10﹣10s． 故选：D．

3．下列运算正确的是（ ） A．a2+a3＝2a5 C．a6÷a2＝a3

B．2a2•3a3＝6a5

D．（2ab2）3＝6a3b6

【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法的法则可判断各个选项．

解：A：因为a2，a3不是同类项，所以故计算错误； B：因为2a2•3a3＝6a5，所以计算正确； C：因为a6÷a2＝a4，所以计算错误； D：（2ab2）3＝8a3b6，所以计算错误．

故选：B．

4．若等腰三角形的周长为30cm，一边为14cm，则腰长为（ ） A．2cm

B．8cm

C．8cm或2cm

D．14cm或8cm

【分析】分14cm是腰长与底边长两种情况讨论求解即可． 解：①14cm是腰长时，底边为：30﹣14×2＝2cm， 三角形的三边长分别为14cm、14cm、2cm， 能组成三角形，

②14cm是底边长时，腰长为：×（30﹣14）＝8cm， 三角形的三边长分别8cm、8cm、14cm， 能组成三角形，

综上所述，该等腰三角形的腰长是14cm或8cm 故选：D．

5．已知：a2﹣3a+1＝0，则a+﹣2的值为（ ） A．

B．1

C．﹣1

D．﹣5

【分析】a2﹣3a+1＝0两边同时除以不为a的数，再化简求解即可． 解：∵a2﹣3a+1＝0， ∴a+﹣2＝a+﹣3+1＝1， 故选：B．

6．如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E是△ABC内的两点，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E＝60°．若BE＝6cm，DE＝2cm，则BC的长为（ ）

A．4cm B．6cm C．8cm D．12cm

【分析】作出辅助线后根据等腰三角形的性质得出BE＝6，DE＝2，进而得出△BEM为等边三角形，从而得出BN的长，进而求出答案． 解：延长ED交BC于M，延长AD交BC于N，

∵AB＝AC，AD平分∠BAC， ∴AN⊥BC，BN＝CN， ∵∠EBC＝∠E＝60°， ∴△BEM为等边三角形， ∵BE＝6cm，DE＝2cm， ∴DM＝4cm，

∵△BEM为等边三角形， ∴∠EMB＝60°， ∵AN⊥BC， ∴∠DNM＝90°， ∴∠NDM＝30°， ∴NM＝2cm， ∴BN＝4cm， ∴BC＝2BN＝8cm． 故选：C．

7．某单位向一所希望小学赠送1080本课外书，现用A、B两种不同的包装箱进行包装，单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用6个；已知每个B型包装箱比每个A型包装箱可多装15本课外书．若设每个A型包装箱可以装书x本，则根据题意列得方程为（ ） A．C．

B．D．

【分析】关键描述语：单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用6个；可列等 量关系为：所用B型包装箱的数量＝所用A型包装箱的数量﹣6，由此可得到所求的方程．解：根据题意，得：

．

故选：C．

8．如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标（0，3），点B坐标（4，0），∠OAB的平分线交x轴于点C，点P、Q分别为线段AC、线段AO上的动点，则OP+PQ的最小值为（ ）

A．2 B． C． D．

【分析】利用角平分线构造全等，将OP+PQ转化为OP+PG，则OP+PG最小值为OH的长度，利用等面积求出OH即可．

解：在AB上取一点G，使AG＝AQ，连接PG，过点O作OH⊥AB与H， ∵∠CAO＝∠BAC，AP＝AP， ∴△APQ≌△APG（SAS）， ∴PQ＝PG， ∴OP+PQ＝OP+PG，

∵点O到直线AB上垂线段最短， ∴OP+PG最小值为OH的长度， ∵S△ABC＝AB•OH＝AO•BO， ∴OH＝

＝

＝，

，

∴OP+PQ的最小值为故选：D．

9．从﹣4，﹣3，1，3，4这五个数中，随机抽取一个数，记为m，若m使得关于x，y的二元一次方程组

有解，且使关于x的分式方程

﹣1＝

有正数解，那么

这五个数中所有满足条件的m的值之和是（ ） A．1

B．2

C．﹣1

D．﹣2

【分析】分别解出二元一次方程组、分式方程，根据题意得到满足条件的m的值，计算即可．

解：解方程组，得，

当方程组有解时，m≠﹣4， 解分式方程

﹣1＝

，得x＝4﹣m，

由题意得，4﹣m＞0， 解得，m＜4，

当x＝1，即m＝3时，分式方程无解， ∴m≠3，

由题意得，m＝﹣3，1，

∴满足条件的m的值之和＝﹣3+1＝﹣2， 故选：D．

10．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠CAB的角平分线交BC于M，∠ACB的外角平分线与AM交于点D，与AB的延长线交于点N，过D作DE⊥CN交CB的延长线于点P，交AN于点E，连接CE并延长交PN于点Q，则下列结论：①∠ADP＝45°；②AN＝CA+CP；③DC＝ED；④NQ﹣CD＝PQ；⑤CN＝DE+EP，其中正确的结论有（ ）个．

A．2 B．3 C．4 D．5

【分析】①由角平分线定义和三角形的外角性质得出∠ADC＝∠ABC＝45°，即可得出答案；

②延长PD与AC相交于点P'，证明CP＝CP'，证明△ADP'≌△ADN（ASA），得出AP'＝AN，即可得出答案；

③证△ACD≌△AED，得出DC＝ED，同时可得出三角形CDE是等腰直角三角形； ④注意到E是△CPN的垂心，得出CQ⊥PN，从而可证△CQP≌△NQE（SAS），则NQ＝CQ＝EQ+CE＝PE+CE＝

CD+PQ即可；

⑤作EK⊥CE交CN于点K，证△EKN≌△CEP即可． 解：①如图1所示：

∵∠CAB的角平分线交BC于M，∠ACB的外角平分线与AM交于点D， ∴∠DAC＝∠CAB，∠PCD＝∠HCD，

∵∠HCD＝∠DAC+∠ADC，∠PCH＝∠CAB+∠ABC＝2∠HCD，

∴∠ADC＝∠ABC＝45°， ∵DE⊥CN， ∴∠CDP＝90°，

∴∠ADP＝90°﹣45°＝45°，①正确； ②延长PD与AC交于点P'，如图2所示： ∵∠1＝∠PCD，DE⊥CN， ∴∠CPD＝∠CP'D， ∴CP＝CP'，

∵∠ADC＝45°，DP⊥CN， ∴∠EDA＝∠CDA＝45°， ∴∠ADP'＝∠ADN＝135°， 在△ADP'和△ADN中，

，

∴△ADP'≌△ADN（ASA），

∴AN＝AP'＝CA+CP'＝CA+CP，故②正确； ③在△ADC和△ADE中，

，

∴△ADC≌△ADE（ASA）， ∴DC＝ED，③正确； ④∵∠ABC＝90°， ∴BN⊥CP， ∵DE⊥CN， ∴E为△CPN垂心，

∴CQ⊥PN，且△CDE、△CQN、△PQE均为等腰直角三角形，∠PQC＝∠EQN＝90°，∴PQ＝EQ，CQ＝NQ， 在△CQP和△NQE中，

，

∴△CQP≌△NQE（SAS）， ∴CQ＝NQ，

∵CQ＝EQ+CE＝PQ+CE＝PQ+∴NQ﹣

CD＝PQ，故④错误；

CD，∠PEQ＝45°，

⑤作EK⊥CE交CN于点K，如图3所示： 则△CEK为等腰直角三角形，

则∠CKE＝45°，CD＝DK，CK＝2CD，EK＝EC， ∵∠KNE+∠PCN＝∠CPE+∠PCN＝90°， ∴∠KNE＝∠CPE， ∵∠PEQ＝∠CKE＝45°， ∴∠CEP＝∠EKN＝135°， 在△EKN和△CEP中，

，

∴△EKN≌△CEP（AAS）， ∴PE＝KN，

∴CN＝CK+KN＝2CD+EP，

∴CN＝CK+KN＝2DE+EP，故⑤错误； 故选：B．

二．填空题（共15分）

11．一个多边形的每一个外角都是36°，则这个多边形的边数是 10 ． 【分析】多边形的外角和是固定的360°，依此可以求出多边形的边数． 解：∵一个多边形的每个外角都等于36°， ∴多边形的边数为360°÷36°＝10． 故答案为：10．

12．如果x2﹣mx+81是一个完全平方式，那么m的值为 ±18 ． 【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定m的值． 解：∵x2﹣mx+81是一个完全平方式， ∴m＝±18， 故答案为：±18 13．如果关于x的方程

无解，则k的值为 1 ．

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出x的值，代入整式方程计算即可求出k的值．

解：去分母得：k+2（x﹣3）＝4﹣x， ∵分式方程无解， ∴x﹣3＝0，即x＝3，

把x＝3代入整式方程得：k＝1． 故答案为：1．

14．一小船由A港到B港顺流需6小时，由B港到A港逆流需8小时，小船从早晨6时由A港到B港时，发现一救生圈在途中掉落水中，立即返航，1小时后找到救生圈，救生圈是 11 时掉入水中．

【分析】首先设小船按水流速度由A港漂流到B港需要x小时．根据每小时顺流行驶的距离，等于船行距离加上顺水漂流的距离：逆流行驶的距离，等于船行距离减去由于水的迎面冲击而逆向漂流的距离列出方程求出x的值，因为小船早晨6时从港出发，顺流航行需6小时，所以它在中午12点钟到达B港．而救生圈在y点钟就已掉下水，到这时已漂流的时间为（12﹣y）小时，在这段时间里，每小时船行驶全程的1/6，救生圈沿着航行方向漂流全程的

，船与救生圈同向而行，距离拉大． 船到B港后立刻掉头去找

救生圈，1小时后找到，在这一小时内，船与救生圈相向而行，将原已拉开的距离缩短为0，由此得方程．

解：（1）设小船按水流速度由A港漂流到B港需要x小时，由题意列方程得： ﹣＝+， 解得：x＝48．

经检验x＝48符合题意．

所以小船按水流速度由A港漂流到B港需要48小时．，

设救生圈是在y点钟落下水中的，救生圈每小时顺水漂流的距离等于全程的列方程得： （12﹣y）（﹣解之，得y＝11． 经检验，y＝11符合题意．

故救生圈是在上午11点钟掉下水的， 故答案为：11．

15．如图，四边形ABCD中，∠DAB+∠ABC＝90°，对角线AC、BD相交于O点，且分别平分∠DAB和∠ABC，若BO＝4OD，则

的值为

．

）＝1×（+

），

，由题意

【分析】在AB上截取AE＝AD，BF＝BC，连接OE、OF，根据题意易证△AOD≌△AOE（SAS），△BOC＝△BOF（SAS），即得出结论∠AOD＝∠AOE，∠BOC＝∠BOF，OD＝OE，OC＝OF．继而求出∠AOD＝∠BOC＝∠AOE＝∠BOF＝∠EOF＝45°，再由题

意可知，＝4，即又可推出，AE＝AB，BE＝AB，由OF平分∠BOE，得＝，可推出BF＝×AB＝AB，最后由BO平分∠ABC，可得

＝，即可求解．

解：如图，在AB上截取AE＝AD，BF＝BC，连接OE，OF，

∵AC、BD相交于O点，且分别平分∠DAB和∠ABC， ∴∠OAB＝∠OAD＝∠DAB，∠OBC＝∠OBA＝∠ABC， 在△AOD和△AOE中，

，

∵AD＝AE，BC＝BF， ∴△AOD≌△AOE（SAS）， 同理，△BOC≌△BOF，

∴∠AOD＝∠AOE，OD＝OE，∠BOC＝∠BOF，OC＝OF， ∵∠DAB+∠ABC＝90°， ∴∠OAB+∠OBA＝45°，

∵∠AOD＝∠BOC＝∠OBA+∠OAB， ∴∠AOD＝∠BOC＝45°， ∴∠AOE＝∠BOF＝45°，

∴∠EOF＝180°﹣（∠OAB+∠OBA）﹣∠AOE﹣∠BOF＝180°﹣45°，

∵AO平分∠BAD，BO＝4OD， ∴

＝4，

即AB＝4AD，

∴AE＝AB，BE＝AB，

45°﹣45°﹣45°＝∵∠EOF＝∠BOF＝45°， ∴OF平分∠BOE， ∴

即EF＝BF， ∴BF＝BE，

∴BF＝×AB＝AB， ∵BO平分∠ABC， ∴

＝

＝

＝，

＝，

故答案为：． 三．解答题（共75分） 16．因式分解： （1）3a2﹣6ab+3b2；

（2）（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）+1．

【分析】（1）原式提取3，再利用完全平方公式分解即可； （2）原式整理后，利用完全平方公式分解即可． 解：（1）原式＝3（a2﹣2ab+b2） ＝3（a﹣b）2；

（2）原式＝[（x+1）（x+4）][（x+2）（x+3）]+1 ＝（x2+5x+4）（x2+5x+6）+1 ＝（x2+5x）2+10（x2+5x）+25 ＝（x2+5x+5）2． 17．解下列方程： （1）（2）

＝

﹣2； ＝

．

【分析】（1）按照解分式方程的步骤进行计算即可；

（2）先把每一个分式化简，然后再按照解分式方程的步骤进行计算即可．

解：（1）＝﹣2，

2x＝3﹣2（2x﹣2）， 2x＝3﹣4x+4， 2x+4x＝3+4， 6x＝7， x＝，

检验：当x＝时，2x﹣2≠0， ∴x＝是原方程的根． （2）

+

1+

﹣+1+

＝＝

＝＝＝1+

﹣

++1+，

， ， ， ，

（11﹣2x）（9﹣2x）＝（17﹣2x）（15﹣2x）， 解这个整式方程得：x＝检验：当x＝∴x＝

，

时，（11﹣2x）（9﹣2x）（17﹣2x）（15﹣2x）≠0，

是原方程的根．

÷（x﹣3﹣

），其中x＝﹣1．

18．先化简，再求值：

【分析】直接将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则计算得出答案． 解：原式＝＝＝

•，

＝．

÷

当x＝﹣1时，原式＝

19．在平面直角坐标系xOy中，A，B，C如图所示：请用无刻度直尺作图（仅保留作图痕

迹，无需证明）．

（1）如图1，在BC上找一点P，使∠BAP＝45°； （2）如图2，作△ABC的高BH．

【分析】（1）取格点E，构造等腰直角三角形ABE，可得结论； （2）取格点T，连接BT交AC于点H，线段BH即为所求．

解：（1）如图1中，取格点E，连接BE，AE，AE交BC于点P，点P即为所求；

（2）如图2中，线段BH即为所求．

20．如图1，CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，AD、BE交于点H，连CH． （1）∠AHE＝ 180°﹣α ．（用α表示） （2）如图2，连接CH，求证：CH平分∠AHE；

（3）如图3，若α＝60°，P，Q分别是AD，BE的中点，连接CP，PQ，CQ．请判断三角形PQC的形状，并证明．

【分析】（1）证明△ACD≌△BCE，根据全等三角形的性质得到∠CAD＝∠CBE，根据三角形内角和定理求出∠AHB，根据邻补角的概念计算，得到答案；

（2）过点C作CG⊥AD于G，CF⊥BE于F，根据全等三角形的对应高相等得到CG＝CF，根据角平分线的判定定理证明结论；

（3）证明△APC≌△BQC，得到CP＝CQ，∠PCA＝∠QCB，根据等边三角形的判定定理证明结论．

【解答】（1）解：设AD与BC交于点M， ∵∠ACB＝∠DCE，

∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，即∠ACD＝∠BCE， 在△ACD和△BCE中，

，

∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴∠CAD＝∠CBE， ∵∠AMC＝∠AMC， ∴∠AHB＝∠ACB＝α， ∴∠AHE＝180°﹣α， 故答案为：180°﹣α；

（2）证明：如图2，过点C作CG⊥AD于G，CF⊥BE于F， ∵△ACD≌△BCE，CG⊥AD，CF⊥BE， ∴CG＝CF，

∵CG⊥AD，CF⊥BE， ∴CH平分∠AHE；

（3）解：△CPQ是等边三角形， 理由如下：∵△ACD≌△BCE， ∴AD＝BE，∠PAC＝∠QBC， ∵P、Q分别是AD、BE的中点， ∴AP＝BQ，

在△APC和△BQC中，

，

∴△APC≌△BQC（SAS）， ∴CP＝CQ，∠PCA＝∠QCB，

∴∠PCA+∠BCP＝∠QCB+∠BCP，即∠PCQ＝∠ACB＝60°， ∴△CPQ等边三角形．

21．阅读下面的解答过程，求y2+4y+5的最小值． 解：y2+4y+5＝y2+4y+4+1＝（y+2）2+1 ∵（y+2）2≥0，即（y+2）2的最小值为0 ∴y2+4y+5＝（y+2）2+1≥1 ∴y2+4y+5的最小值为1 仿照上面的解答过程，求： （1）m2﹣2m+2的最小值； （2）3﹣x2+2x的最大值．

【分析】（1）（2）根据完全平方公式把原式变形，根据偶次方的非负性解答即可． 解：（1）m2﹣2m+2＝m2﹣2m+1+1＝（m﹣1）2+1， ∵（m﹣1）2≥0， ∴（m﹣1）2+1≥1， ∴m2﹣2m+2的最小值为1；

（2）3﹣x2+2x＝﹣（x2﹣2x+1﹣1）+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∵（x﹣1）2≥0， ∴﹣（x﹣1）2≤0， ∴﹣（x﹣1）2+4≤4， ∴3﹣x2+2x的最大值为4．

22．某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元，且购进的甲、乙两种商品件数相同． （1）求甲、乙两种商品的每件进价；

（2）该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为80元，乙种商品的销售单价为88元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售；乙种商品销售单价保持不变，要使两种商品全部售完后共获利不少于3520元，问甲种商品按原销售单价至少销售多少件？

【分析】（1）设甲种商品的每件进价为x元，乙种商品的每件进价为（x+8）元，根据数量＝总价÷单价结合购进的甲、乙两种商品件数相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；

（2）利用数量＝总价÷单价可求出购进甲、乙两种商品的数量，设甲种商品按原销售单价销售了m件，根据利润＝销售总价﹣进货成本，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论．

解：（1）设甲种商品的每件进价为x元，乙种商品的每件进价为（x+8）元． 依题意，得：解得：x＝40，

经检验，x＝40是原分式方程的解，且符合题意， ∴x+8＝48．

答：甲种商品的每件进价为40元，乙种商品的每件进价为48元． （2）甲、乙两种商品的购进数量为2000÷40＝50（件）． 设甲种商品按原销售单价销售了m件，

依题意，得：80m+80×0.7（50﹣m）+88×50﹣40×50﹣48×50≥3520， 解得：m≥30．

答：甲种商品按原销售单价至少销售30件．

23．阅读材料：如图1，△ABC中，点D，F在边AB上，点E在BC上，BD＝BE，∠ADC＝α，∠BEF＝180°﹣2α，延长CA，EF交于点G，GA＝GF，求证AD＝EF．

＝

，

分析：等腰三角形是一种常见的轴对称图形，几何试题中我们常将一腰所在的三角形沿着等腰三角形的对称轴进行翻折，从而构造轴对称图形．

①小明的想法是：将BE放到△BEF中，沿等腰△BDE的对称轴进行翻折，即作∠BDH＝∠BEF交BC于H（如图2）．

②小白的想法是：将BD放到△BDC中，沿等腰△BDE的对称轴进行翻折，即作∠BEH＝∠BDC交BD的延长线于H（如图3）．

请你从上述俩种方法中一种或按照自己的方法解决问题；

经验拓展：如图4，等边△ABC中，D是AC上一点，连接BD，E为BD上一点，AE＝AD，过点C作CF⊥BD交BD的延长线于点F，∠ECF＝60°，若BE＝a，DF＝b，求DE的长（用含a，b的式子表示）．

【分析】阅读材料：①小明的想法：如图2中：将BE放到△BEF中，沿等腰△BDE的对称轴进行翻折，即作∠BDH＝∠BEF交BC于H．证明△ADC≌△HDC（AAS）可得结论．

②小白的想法：如图3中：将BD放到△BDC中，沿等腰△BDE的对称轴进行翻折，即作∠BEH＝∠BDC交BD的延长线于H．证明△ADC≌△FEH（ASA）可得结论． 经验拓展：如图4中，延长AE到M，使得AM＝AC，连接DM交CE于O，作MN⊥BF于N．连接AO，BM，CM．首先证明△MNE≌△CFD（AAS），推出DF＝EN＝b，MN＝CF，再证明∠MBN＝30°，求出MN即可解决问题．

CH．解法二：如图4﹣1中，延长BF到H，使得DH＝BE，连接AH，证明∠CHF＝30°，可得结论．

【解答】阅读材料：证明：①小明的想法：如图2中：将BE放到△BEF中，沿等腰△BDE的对称轴进行翻折，即作∠BDH＝∠BEF交BC于H．

∵∠BDH＝∠BEF，∠B＝∠B，BD＝BE， ∴△BDH≌△BEF（ASA） ∴∠BFE＝∠BHD，EF＝DH， ∵∠BEF＝180°﹣2α，

∴∠BDH＝180°﹣2α，且∠BDH+∠CDH+∠ADC＝180°，∠ADC＝α， ∴∠ADC＝∠CDH， ∵GA＝GF，

∴∠GAF＝∠GFA，且∠GFA＝∠BFE＝∠BHD， ∴∠GAF＝∠BHD，

∴∠DAC＝∠DHC，且∠ADC＝∠CDH，DC＝DC， ∴△ADC≌△HDC（AAS） ∴AD＝DH，∠DCH＝∠ACD， ∴AD＝EF；

②小白的想法：如图3中：将BD放到△BDC中，沿等腰△BDE的对称轴进行翻折，即作∠BEH＝∠BDC交BD的延长线于H．

∵∠BEH＝∠BDC，BE＝BD，∠B＝∠B，

∴△BEH≌△BDC（ASA），

∴∠H＝∠BCD，EH＝CH，∠BEH＝∠BDC， ∴∠ADC＝∠CEH＝α， ∵∠BCD＝∠ACD， ∴∠H＝∠ACD，

∵∠BEF＝180°﹣2α＝180°﹣∠GEC， ∴∠FEH＝∠HEC＝∠ADC＝α， ∴△ADC≌△FEH（ASA）， ∴AD＝EF．

经验拓展：如图4中，延长AE到M，使得AM＝AC，连接DM交CE于O，作MN⊥BF于N．连接AO，BM，CM．

∵AD＝AE，AM＝AC， ∴EM＝CD，∠AMC＝∠ACM， ∵CM＝MC，

∴△ECM≌△DMC（SAS）， ∴∠ECM＝∠DMC， ∴OM＝OC， ∵AE＝AD，

∴AO垂直平分线段EF，∠AEO＝∠DAO， ∵MN⊥BF，CF⊥BF， ∴MN∥CF∥OA，

∴∠NME＝∠EAO，∠DCF＝∠DAO，

∴∠NME＝∠DCF， ∵∠MNE＝∠F＝90°， ∴△MNE≌△CFD（AAS）， ∴DF＝EN＝b，MN＝CF，

∵∠FBC+∠FCB＝∠FBC+60°+∠FCD＝90°， ∴∠FBC+∠FCD＝30°， ∵AB＝AM＝AC，

∴∠CBM＝∠CAM＝∠FCD， ∴∠FBC+∠CBM＝30°， ∴MN＝BN•tan30°＝∴CF＝MN＝

（a﹣b），

（a﹣b），

∵∠ECF＝60°，

∴EF＝CF•tan60°＝a﹣b， ∴DE＝EF﹣DF＝a﹣2b．

解法二：如图4﹣1中，延长BF到H，使得DH＝BE，连接AH，CH．

∵AE＝AD， ∴∠AED＝∠ADE， ∴∠AEB＝∠ADH， ∵EB＝DH，

∴△AEB≌△ADH（SAS）， ∴AB＝AH，

∴∠ABH＝∠AHB，设∠ABH＝∠AHB＝y，∠CHF＝x． ∵AB＝AC，∠BAC＝60°，

∴∠CAH＝180°﹣2y﹣60°＝120°﹣2y， ∵AH＝AB＝AC， ∴∠ACH＝∠AHC＝x+y， ∴120°﹣2y+2x+2y＝180°， ∴∠CHF＝30°， ∵CF⊥EH，

∴∠FCH＝∠ECF＝60°， ∴∠CEF＝∠CHF＝30°， ∴CE＝CH， ∴EF＝FH＝a﹣b， ∴DE＝EF﹣DF＝a﹣2b．

24．如图，直角坐标系中，点B（a，0），点C（0，b），点A在第一象限．若a，b满足t|＝0（t＞0）． （a﹣t）2+|b−

（1）证明：OB＝OC；

（2）如图1，连接AB，过A作AD⊥AB交y轴于D，在射线AD上截取AE＝AB，连接CE，F是CE的中点，连接AF，OA，当点A在第一象限内运动（AD不过点C）时，证明：∠OAF的大小不变；

（3）如图2，B′与B关于y轴对称，M在线段BC上，N在CB′的延长线上，且BM＝NB′，连接MN交x轴于点T，过T作TQ⊥MN交y轴于点Q，当t＝2时，求点Q的坐标．

【分析】（1）根据a＝t，b＝t，推出a＝b即可；

（2）延长AF至T，使TF＝AF，连接TC，TO，证△TCF≌△AEF，推出CT＝AE，∠TCF＝∠AEF，再证△TCO≌△ABO，推出TO＝AO，∠TOC＝∠AOB，求出△TAO为等腰直角三角形即可；

（3）连接MQ，NQ，BQ，B′Q，过M作MH∥CN交x轴于H，证△NTB′≌△MTH，推出TN＝MT，证△NQB′≌△MQB，推出∠NB′Q＝∠CBQ，求出△BQB′是等腰直角三角形即可．

【解答】（1）解：∵a，b满足（a﹣t）2+|b﹣t|＝0（t＞0）． ∴a﹣t＝0，b﹣t＝0， ∴a＝t，b＝t， ∴a＝b，

∵B（t，0），点C（0，t）， ∴OB＝OC；

（2）证明：延长AF至T，使TF＝AF，连接TC，TO， ∵F为CE中点， ∴CF＝EF， 在△TCF和△AEF中

，

∴△TCF≌△AEF（SAS）， ∴CT＝AE，∠TCF＝∠AEF， ∴TC∥AD， ∴∠TCD＝∠CDA， ∵AB＝AE， ∴TC＝AB，

∵AD⊥AB，OB⊥OC， ∴∠COB＝∠BAD＝90°， ∴∠ABO+∠ADO＝180°， ∵∠ADO+∠ADC＝180°， ∴∠ADC＝∠ABO， ∵∠TCD＝∠CDA，

∴∠TCD＝∠ABO， 在△TCO和△ABO中

，

∴△TCO≌△ABO（SAS）， ∴TO＝AO，∠TOC＝∠AOB， ∵∠AOB+∠AOC＝90°， ∴∠TOC+∠AOC＝90°， ∴△TAO为等腰直角三角形， ∴∠OAF＝45°；

（3）解：连接MQ，NQ，BQ，B′Q，过M作MH∥CN交x轴于H， ∵B和B′关于y轴对称，C在y轴上， ∴CB＝CB′，

∴∠CBB′＝∠CB′B， ∵MH∥CN，

∴∠MHB＝∠CB′B， ∴∠MHB＝∠CBB′， ∴MH＝BM， ∵BM＝B′N， ∴MH＝B′N， ∵MH∥CN，

∴∠NB′T＝∠MHT， ∵在△NTB′和△MTH中

，

∴△NTB′≌△MTH（AAS）， ∴TN＝MT，又TQ⊥MN， ∴MQ＝NQ，

∵CQ垂直平分BB′， ∴BQ＝B′Q，

∵在△NQB′和△MQB中

，

∴△NQB′≌△MQB （SSS）， ∴∠NB′Q＝∠CBQ， 而∠NB′Q+∠CB′Q＝180° ∴∠CBQ+∠CB′Q＝180° ∴∠B′CB+∠B′QB＝180°， 又∵BO＝CO，B′O＝CO， ∴∠B′CB＝90°， ∴∠B′QB＝90°

∴△BQB′是等腰直角三角形， ∴OQ＝OB＝t＝2， ∴Q（0，﹣2）．