小题专练·作业(二) 平面向量、复数、算法初步(基础自修课) ►►见学生用书P100
一、选择题
1．(2017·长春质量监测(二))已知复数z＝1＋i，则下列命题中正确的个数是( )
①|z|＝2；②z＝1－i；③z的虚部为i；④z在复平面内对应的点位于第一象限。
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 C
解析 ①|z|＝12＋12＝2，①正确；②由共轭复数的定义知，②正确；③对于复数
z＝a＋bi(a∈R，b∈R)，a与b分别为复数z的实部与虚部，故z＝1＋i的虚部为1，而
不是i，③错误；④z＝1＋i在复平面内对应的点为(1,1)，在第一象限，④正确。故正确命题的个数为3，选C。
2＋i
2．(2017·合肥市第一次质检)已知复数z＝(i为虚数单位)，那么z的共轭复数为
1－i( )
33A.＋i 2213B.－i 22
1
13C.＋i 2233D.－i 22
答案 B
2＋i
解析 z＝＝
1－i
2＋i1－i
1＋i
1313
＝＋i，所以z的共轭复数为－i，故选B。 1＋i2222
→→
3．(2017·大理州二模)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则 AE·CB＝( )
A．－4 B．－3
C．4 D．25
答案 A
→→→→→→1→→→21→→
解析 AE·CB＝(AD＋DE)·(－AD)＝(AD＋AB)·(－AD)＝－AD－AB·AD，∵正方形
22→→→→
ABCD的边长为2，E为CD的中点，∴AD＝4，AB·AD＝0，∴AE·CB＝－4。
→2
π1
4．(2017·成都第二次诊断)已知平面向量a，b的夹角为，且|a|＝1，|b|＝，则a32＋2b与b的夹角是( )
2
π5ππ3πA. B. C. D. 6644
答案 A
解析 因为|a＋2b|2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b＝1＋1＋4×1×
1
×cos＝3，所以|a＋2b|＝
23
π
1π1113
3，又(a＋2b)·b＝a·b＋2|b|2＝1××cos＋2×＝＋＝，所以cos〈a＋2b，b〉＝
234424
3
a＋2b·b|a＋2b||b|
＝
43×
3π
＝，所以a＋2b与b的夹角为。故选A。 1262
5．(2017·全国卷Ⅲ)执行如图所示的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为( )
3
A．5 B．4
C．3 D．2
答案 D
解析 根据程序框图，第一次循环：S＝100，M＝－10，t＝2，第二次循环：S＝100－10＝90，M＝1，t＝3，由于输出S的值小于91，所以N的最小值是2。满足题意。
6．(2017·山东高考)执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的x的值为7，第二次输入的x的值为9，则第一次、第二次输出的a的值分别为( )
A．0,0
B．1,1
C．0,1 D．1,0
答案 D
4
解析 当x＝7，b＝2时，b2＝4>7不成立，7不能被2整除，所以b＝b＋1＝3，此时32＝9>7成立，a＝1，所以第一次输出a＝1。当x＝9，b＝2时，b2＝4>9不成立，9不能被2整除，所以b＝b＋1＝3，此时32＝9>9不成立，9能被3整除，a＝0，所以第二次输出a＝0。
7．(2017·全国卷Ⅱ)设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则( )
A．a⊥b B．|a|＝|b|
C．a∥b D．|a|>|b|
答案 A
解析 依题意得(a＋b)2－(a－b)2＝0，即4a·b＝0，a⊥b，故选A。
8．(2017·洛阳第一次统考)已知向量a＝(1,0)，|b|＝2，a与b的夹角为45°，若c＝a＋b，d＝a－b，则c在d方向上的投影为( )
5A. 55
B．－
5
C．1 D．－1
答案 D
解析 依题意得|a|＝1，a·b＝1×
2×cos45°＝1，|d|＝a－b2
＝
5
a2＋b2－2a·b＝1，c·d＝a2－b2＝－1，因此
D。
c在d方向上的投影等于
c·d|d|
＝－1，故选
9．(2017·成都第二次诊断)若复数z1＝a＋i(a∈R)，z2＝1－i，且为纯虚数，则z1
z1
z2
在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 A
解析
z1a＋i
＝
z21－i
＝
a＋i
2
1＋i
＝
a－1＋1＋ai
2
为纯虚数，则a＝1，所以
z1＝1＋i，z1在复平面内对应的点为(1,1)，在第一象限，故选A。
10．(2017·全国卷Ⅱ)执行下面的程序框图，如果输入的a＝－1，则输出的S＝( )
6
A．2
B．3
C．4 D．5
答案 B
解析 依次运行程序，直至程序结束。S＝0，K＝1，a＝－1。第一次循环，S＝0－1＝－1，a＝1，K＝2；第二次循环，S＝－1＋2＝1，a＝－1，K＝3；第三次循环，S＝1－3＝－2，a＝1，K＝4；第四次循环，S＝－2＋1×4＝2，a＝－1，K＝5；第五次循环，
S＝2＋(－1)×5＝－3，a＝1，K＝6；第六次循环，S＝－3＋1×6＝3，a＝－1，K＝7。
由于7>6，故循环结束。故选B。
11．(2017·浙江高考)如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，
CD＝3，AC与BD交于点O。记I1＝OA·OB，I2＝OB·OC，I3＝OC·OD，则( )
7
→→→→→→
A．I1 →→→→→→ 解析 显然∠BOC为锐角，所以I1＝OA·OB<0，I2＝OB·OC>0，I3＝OC·OD<0。如图，过点B作BM⊥AC于点M，过A作AN⊥BD于点N。因为△ABD和△ABC均为等腰π 三角形，所以BN＝ND，AM＝CM，所以|OA|<|OC|，|OB|<|OD|，∠AOB＝∠COD>， 2 8 所以I1>I3。所以I3 A．0 B.3 C.2 D.7 答案 D 1 ，a与2 解析 ∵a⊥(a－2b)，∴a·(a－2b)＝0，即 → → → a2＝2a·b，又|a|＝|b|＝1，∴a·b＝ → b的夹角为60°。设OA＝a，OB＝b，OC＝c，以O为坐标原点，OB的方向为x轴正方 1 向建立如图所示的平面直角坐标系，则a＝，22即(x－1)＋y－ 3 ，b＝(1,0)。设c＝(x，y)，则c－2a2 ＝(x－1，y－3)，c－b＝(x－1，y)。又∵(c－2a)·(c－b)＝0，∴(x－1)2＋y(y－3)＝0。 333 2＝，∴点C的轨迹是以点M1，为圆心，为半径的圆。又22423 9 |c|＝x2＋y2表示圆 3 M上的点与原点O(0,0)之间的距离，所以|c|max＝|OM|＋，|c|min 2 12＋ 3 ＝|OM|－，∴|c|max＋|c|min＝2|OM|＝2× 2 32 2＝ 7，故选D。 二、填空题 1－ai 13．如果z＝为纯虚数，则实数a等于________。 1＋i 答案 1 1－ai1＝－t， 解析 设z＝＝ti(t∈R，且t≠0)，则1－ai＝－t＋ti， 1＋i－a＝t， a＝1。 14．(2017·江苏高考)如图是一个算法流程图。若输入x的值为，则输出y的值是 16________。 1 10 答案 －2 解析 2x，x≥1， 由流程图可得y＝ 2＋log2x，0 16 1 ＋log2＝2－4＝－2。 16 1 15．(2017·湖北七市联考)平面向量a，b，c不共线，且两两所成的角相等。若|a|＝|b|＝2，|c|＝1，则|a＋b＋c|＝________。 答案 1 解析 ∵平面向量a，b，c不共线，且两两所成的角相等，∴它们两两所成的角为120°。∵|a＋b＋c|2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋ 1 2|a||b|cos120°＋2|b||c|cos120°＋2|a||c|cos120°＝22＋22＋12＋2×2×2×－＋ 2 11 112×2×1×－＋2×2×1×－＝1，∴|a＋b＋c|＝1。 22 16．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，且对一切实数x，|a＋xb|≥|a＋b|恒成立，则a，b的夹角的大小为______。 2答案 π 3 解析 |a＋xb|≥|a＋b|恒成立⇒a2＋2xa·b＋x2b2≥a2＋2a·b＋b2恒成立⇒x2＋2a·bx－1－2a·b≥0恒成立，∴Δ＝4(a·b)2－4(－1－2a·b)≤0⇒(a·b＋1)2≤0，∴a·b＝－1，∴cos12π 〈a，b〉＝＝－，又〈a，b〉∈[0，π]，故a与b的夹角的大小为。 23|a|·|b| a·b 12 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容