学及答案
一．选择题（共 8 小题，满分 24分）
1.
画△ABC的边 AB 上的高，下列画法中，正确的是（ ）
【答案】 D
【解析】 试题分析：三角形的高即从三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段．根据概念可知． 解：过点 C 作边 AB的垂线段，即画 AB边上的高 CD，所以画法正确的是 D． 故选： D． 考点：三角形的角平分线、中线和高．
2.
下列各式属于最简二次根式的是（ ）
【答案】 B 【解析】
试题解析： A 、 含有能开方的因式，不是最简二次根式，故本选项错误；
B 、
符合最简二次根式的定义，故本选项正确；
C、 含有能开方的因式，不是最简二次根式，故本选项错误；
D 、 被开方数含分母，故本选项错误； 故选 B．
3.
若分式
的值为 0，则 x 的值是（ ）
A. 2或﹣2 B. 2 C. ﹣2 D. 0
【答案】 A 【解析】
【分析】 直接利用分式的值为零则分子为零进而得出答案．
【详解】∵分式
∴x2﹣4=0，
的值为 0，
解得： x=2 或﹣ 2． 故选： A ．
【点睛】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握定义是解题关键．
4.
算：①
下列运
a2?a3=a6， ② （a3）2 =a6，③ a5÷a5=a， ④ （ ab） 3=a3b3 ，其中结果正确的个数为（
）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】 B
【解析】 分析：根据同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变， 指数相加；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂 相乘进行计算即可．
详解：① a2?a3=a5，故原题计算错误； ② （a3）2=a6，故原题计算正确； ③ a5÷a5=1，故原题计算错误； ④ （ab）3=a3b3，故原题计算正确； 正确的共 2 个，
故选 B ． 点睛：此题主要考查了同底数幂的除法、乘法、幂的乘方、积的乘方，关键是熟练掌握各计算法则．
5.以下图形中，不是轴对称图形的是（
）
A. B. C. D.
答案】 D 解析】
试题分析： A 、沿一条直线对折后可以重合，是轴对称图形，故本选项错误；
B、沿一条直线对折后可以重合，是轴对称图形，故本选项错误； C、沿一条直线对折后可以重合，是轴对称图形，故本选项错误；
D、沿任何一条直线对折后都不能重合，不是轴对称图形，故本选项正确．
故选： D ．
点睛：本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
6.已知∠ A=60° 24′，∠ B=60.24 °，∠C=60° 14′ 24″，则（ ） A. ∠ A>∠B>∠ C C. ∠ B>∠C>∠ A
答案】 解析】 分析】
将∠ A、 ∠ B、∠ C统一单位后比较即可．
B. ∠ A>∠B=∠C D. ∠ B=∠C>∠A
24′=60.，4°∠ B=60.24°，∠ C=60°14′24″=60.，24° 详解】 ∵∠A=60°
∴∠ A>∠ B=∠C． 故选 B ．
点睛】本题考查了度、分、秒的转化计算，比较简单，注意以
60为进制即可．
7. 下列各式变形中，是因式分解的是(
A. a 2﹣ 2ab+b2﹣ 1=（ a﹣ b） 2﹣ 1 B. x 4﹣1=（ x 2+1）（ x+1）（ x﹣ 1） C. （x+2）（x﹣2）=x2﹣4 D. 2x 2+2x=2x2（ 1+ ）
答案】 B 解析】 分析】
利用因式分解的定义判断即可．
【详解】 A 选项：它的结果不是乘积的形式，不是因式分解，故是错误的；
B 选项： x ﹣1=（x +1）（x+1）（x﹣ 1）结果是乘积形式，是因式分解，故是正确的； C 选项：（ x+2 ）（x﹣ 2）=x ﹣4 中结果不是乘积的形式，不是因式分解，故是错误的； D 选项： 2x2+2x=2x2（1+ ）结果不是整式乘积的形式，不是因式分解，故是错误的； 故选 :B.
【点睛】考查了因式分解的定义，理解因式分解的定义（把一个多项式在一个范围化为几个整式的积的形 式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式）是解题的关键。
8.
中， AB=AC, 点D是边 AC 上一点， BC=BD=AD, 则∠A的大小是 （
如图，在△ ABC ）
A. 36° B. 54° C. 72° D. 30 °
【答案】 A 【解析】 【分析】
由 BD=BC=AD 可知，△ ABD，△ BCD 为等腰三角形，设∠ A=∠ABD=x，则∠ C=∠CDB=2x，又由 AB=AC 可知，△ ABC为等腰三角形，则∠ ABC=∠ C=2 x．在△ABC 中，用内角和定理列方程求解．
【详解】∵ BD=BC=AD，∴△ ABD ，△ BCD为等腰三角形，设∠ A=∠ABD=x，则∠ C=∠ CDB =2x． 又∵
AB=AC，∴△ ABC为等腰三角形，∴∠ ABC=∠C=2x．在△ABC中，∠ A+∠ABC+∠C=180°，即 x+2x+2x=180 °，解得： x=36°，即∠ A=36°．
故选 A ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质．关键是利用等腰三角形的底角相等，外角的性质，内角和定理， 列方程求解．
二．填空题（共 8 小题，满分 24分，每小题 3 分）
2
9. 分解因式： x2y﹣ y=___．
答案】 y（ x+1）（x﹣1） 【解析】
试题分析： 根据因式分解是把一个多项式化为几个因式积的形式 . 根据因式分解的一般步骤： 一提（公因式）、 二套（平方差公式 ，完全平方公式 ）、三检查（彻底分解） ，可得 x2y 2 ﹣y=y（x ﹣1）= y（x+1）（x﹣1）. 故答案为： y（ x+1）（x﹣ 1）
10. 使 ____________________________________ 有意义的 x 的取值范围是 ．
【答案】 x≥2 【解析】
由题意得： x ﹣2≥0，解得： x≥2.
11. __________________________________________________________________ 如果一个正方
形被截掉一个角后，得到一个多边形，那么这个多边形的内角和是 _______________________________________ ． 【答案】 180°或 360°或 540° 【解析】
分析 : 剪掉一个多边形的一个角，则所得新的多边形的角可能增加一个，也可能不变，也可能减少一个，根 据多边形的内角和定理即可求解 .
详解 : n 边形的内角和是（ n-2）?180°，
边数增加 1，则新的多边形的内角和是（ 4+1-2） ×180°=540°， 所得新的多边形的角不变，则新的多边形的内角和是（
4-2） ×180°=360°，
所得新的多边形的边数减少 1，则新的多边形的内角和是（ 4-1-2） ×180°=180°， 因而所成的新多边形的内角和是
540°或 360°或 180°．
故答案为： 540°或 360°或 180°. 点睛：本题主要考查了多边形的内角和的计算公式，理解：剪掉一个多边形的一个角，则所得新的多边形 的角可能增加一个，也可能不变，也可能减少一个，是解决本题的关键 .
12. __________________________________________________ 如图，矩形 ABCD中，连接 BD，
点O是BD的中点，若 M、N是边AD上不与 A、D重合的两点，连接 MO、 NO，并分别延长交 BC边于
M′、 N′两点，则图中的全等三角形有 ____________________________________________ 对．
【答案】 4 【解析】 【分析】
可以判断 △ABD ≌△ BCD ，△MDO ≌△M′BO，△NOD≌△N′OB， △MON ≌△M′ ON′．由此即可得出答案． 【详解】∵四边形 ABCD 是正方形，
∴ AB=CD=CB=AD, ∠ A= ∠ C=∠ABC= ∠ADC=90 ,AD ∥ BC ， 在 △ABD 和△BCD 中，
∴△ ABD ≌△BCD ， ∵AD ∥BC，
∴∠ MDO= ∠ M′ BO， 在 △MOD 和 △M′OB中，
，
∴△ MDO≌△M′BO,同理可证 △NOD≌△N′OB∴, △ MON≌△M′ON′， ∴全等三角形一共有 4 对。 故答案为： 4 【点睛】本题考查的知识点是全等三角形的判定及矩形的性质，解题的关键是熟练的掌握全等三角 形的判定及矩形的性质 .
13. 下列四个命题：
① 互为邻补角的两个角的平分线互相垂直； ② 经过一点，有且只有一条直线与已知直线平行； ③ 坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的； ④ 实数 a 是实数 a2 的算术平方根．
其中正确命题的序号为 _______ ． 【答案】 ①③ ． 【解析】 【分析】
根据邻补角的定义、 平行线、 点与有序实数关系与算根的相关概念逐一分析解答即可 . 【详解】①互为邻补角的两个角的平分线互相垂直 , 正确 ;
② 经过直线外一点 , 有且只有一条直线与已知直线平行 ,错误 ; ③
坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的 , 正确 ;
④ 实数 a是实数 a2 的算术平方根 , a是负数时 ,错误; 故答案为 : ①③ .
【点睛】本题主要考查邻补角的定义、角平分线、平行线、点与有序实数对的关系及算术平方根等知识， 需综合掌握各知识进行判断 .
14. _______ 在平面直角坐标系中，点 A（2，0），B（0，4），作△BOC，使△BOC 与△ABO 全等，则点 C
坐标为 ________ ．（点 C不与点 A 重合） 【答案】 （2,4）或（-2,0）或 （-2,4） 【解析】 【分析】
分点 C在 x 轴负半轴上、点 C在第一象限及点 C在第二象限三种情况，利用全等三角形对应边相等解答即 可．
【详解】如图，点 C在 x轴负半轴上时，∵△ BOC与△ ABO 全等，
∴ OC=OA=2 ， ∴点 C（-2， 0），
点 C 在第一象限时，∵△ BOC 与△ ABO 全等， ∴ BC=OA=2 ，OB=BO=4 ， ∴点 C（2， 4），
点 C 在第二象限时，∵△ BOC 与△ ABO 全等，
∴ BC=OA=2 ，OB=BO=4 ， ∴点 C（-2， 4）；
综上所述，点 C 的坐标为（ -2， 0）或（ 2， 4）或（ -2， 4）． 故答案为：（ -2，0）或（ 2， 4）或（ -2， 4）．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，难点在于根据点 C 的位置分情况讨论．
15. ________________________________________________________ 如图 ，AE＝DF，∠ A＝∠ D，欲证 ΔACE≌ΔDBF，需要添加条件 _____________________________________________________ ，证明全等的理由是
【答案】
（1）. ∠ E=∠ F （2）. 两角及夹边对应相等的两个三角形全等
【解析】 根据全等三角形判定定理即可得出答案 . 解：添加的条件为∠ E=∠F. 在 ΔACE 与 ΔDBF 中，
，
∴ ΔACE≌ ΔDBF （ ASA ）.
故答案为：∠ E=∠ F，两角及夹边对应相等的两个三角形全等
.
16. ____________ 如图，在 △ABC 中，AB=AC ，D，E，F 分别在 BC， AC ，AB 上的点，且 BF=CD ， BD=CE ，∠ FDE=α， 则∠ A的度数是 度．（用含 α的代数式表示）
答案】 180°﹣ 2α 【解析】
【分析】 由三角形外角和定理可知 ∠FDC=∠BFD+∠B，再证明 △BDF ≌△ CED得到∠BFD= ∠ CDE 即可. 【详解】解：由 AB=AC 可得∠B=∠C，再由 BF=CD 、 BD=CE 可知 △BDF≌△CED，则∠BFD=∠CDE； 利用三角形外角和定理可知∠ FDC= ∠ α+∠CDE= ∠BFD+∠B，则∠B=∠C=α，故∠A=180°-2α. 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质 .
三．解答题（共 10 小题，满分 52 分）
答案】
17.计算
解析】 分析：先计算 ，再做除法，结果化为整式或最简分式 详解：
.
点睛：本题考查了分式的混合运算．解题过程中注意运算顺序．解决本题亦可先把除法转化成乘法，利用加法的分配律后再求和 .
18. 计算：
(1)tan60 （2）解方程：
．
答案】（1） ；（ 2）
解析】 分析】
乘法对
1）根据实数的混合运算顺序和法则计算可得； 2）根据解分式方程的步骤求解可得．
【详解】解： 原式 ； 两边乘以 ，得： ， 解得： 检验：
， 时，
，
所以分式方程的解为 ．
【点睛】本题考查了实数的运算与解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
19. 计算：
（1）﹣（ a2b）3+2a2b?（﹣ 3a2b）2 （2）（a+2b﹣c）（ a﹣ 2b+c）
（3）已知 6x﹣ 5y=10，求[ （﹣ 2x+y）（﹣ 2x﹣y）﹣（ 2x﹣3y）2]÷4y 的值． 【答案】（1）17a6b3；（2）a2﹣4b2+4bc﹣c2；（3）5. 【解析】
【分析】（ 1）根据整式乘法法则，先化简各项，再加减； （2）运用平方差公式化简； （3）先运用乘法公式 化简，再代入求值 .
【详解】解： （ 1）原式 =﹣a6b3+2a2b?9a4b2
6 3 6 3
=﹣ a b +18a b
63
=17a b
（2）原式 =[a+ （2b﹣c）][a ﹣（ 2b﹣c）]
=a2﹣（ 2b﹣c）2
=a
2﹣（ 4b2﹣ 4bc+c2）
2 2 2
=a ﹣ 4b +4bc﹣ c
（3）当 6x﹣ 5y=10 时， ∴3x﹣ 2.5y=5
原式 =[4x 2﹣ y2﹣（ 4x2﹣ 12xy+9y2） ] ÷4y
2
=（12xy﹣10y2） ÷4y =3x﹣2.5y
20. 如图，已知 AB=AD，AC=AE，∠ BAE=∠ DAC． 求证：∠ C=∠E．
=5
点睛】本题考核知识点：整式运算.解题关键点：熟练掌握整式运算法则
【答案】见解析 【解析】 【分析】
由∠BAE=∠DAC 可得到∠BAC= ∠DAE ，再根据 “SAS”可判断 △BAC ≌△ DAE ，根据全等的性质即可得到 ∠C=∠E．
【详解】 证明：∵∠ BAE=∠ DAC，
∴∠BAE﹣∠CAE=∠DAC﹣∠CAE，即∠ BAC=∠DAE， 在△ ABC和△ ADE中， ∵，
∴△ ABC≌△ ADE（SAS）， ∴∠ C=∠E．
【点睛】本题考查的知识点是全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握全等三角形的判定与 性质 .
21. 在“双十二”期间， A，B 两个超市开展促销活动，活动方式如下： A超市：购物金额打 9折后，若超过 2000元再优惠 300 元； B 超市：购物金额打 8 折．
某学校计划购买某品牌的篮球做奖品， 该品牌的篮球在 A，B 两个超市的标价相同， 根据商场的活动方式： （Ⅰ）若一次性付款 4200 元购买这种篮球， 则在 B商场购买的数量比在 A商场购买的数量多 5 个，请求 出这种篮球的标价；
（Ⅱ）学校计划购买 100 个篮球，请你设计一个购买方案，使所需的费用最少． （直接写出方案） 【答案】（Ⅰ） 50 元；（Ⅱ）见解析．解析】
分析】 （Ⅰ） 设这种篮球的标价为 x 元．根据一次性付款 4200 元购买这种篮球， 则在 B 商场购买的数量比在 A 商 场购买的数量多 5 个，构建方程即可解决问题；
（Ⅱ ）在 A 超市分两次购买，每次 45个，费用共为 3450 元，在 B 超市购买 10个，费用 400 元，两超市购
买 100 个篮球，所需的最少费用为 3850 元．
详解】 解：（Ⅰ）设这种篮球的标价为 x 元．
由题﹣
意： ﹣ 解得： x=50，
=5， =5，
经检验： x=50 是原方程的解． 答：这种篮球的标价为 50 元．
Ⅱ）购买购买 100 个篮球，所需的最少费用为 3850 元．
方案：在 A 超市分两次购买，每次 45 个，费用共为 3450 元，在 B 超市购买 10 个，费用
400 元，两超市购买 100 个篮球，所需的最少费用为 3850 元．
【点睛】本题考查的知识点是分式方程的应用，解题的关键是熟练的掌握分式方程的应用
22.在正整数中，
1﹣ ）
=（ 1（ 1+
﹣ ） ）
1﹣ ）
=（ 1（ 1+
﹣ ） ）
1﹣ ）
=（ 1（ 1+
﹣ ） ）
观察上面的算式，可以归纳得出：
利用上述规律，计算下列各式：
=
1﹣ ）×（ 1﹣ ）×（ 1﹣ ）
1﹣ ）×（ 1﹣ ）×（ 1﹣ ）×⋯×（ 1﹣
） 请将结题步骤写在下方空白处）
解析】 分析】
观察一系列等式得出一般性规律，写出即
可；
利用得出的规律分解因式，然后计算即可得到结
答案】（ 1﹣ ）
（1+ ）； ；
果．
详解】
解：归纳得出： =（1﹣ ）（1+ ）；
计算：（1﹣ ）×（ 1﹣ ） ×（ 1﹣ ）
=（1﹣ ）（1+ ）（1
﹣ ） =××××× = × × × × × =×
=
+ ）（1﹣ ）（ 1+ ）
=； =1﹣ ） 1+ ）（1﹣ ）（ 1+ ）⋯（1+ ） （1 1﹣ ）×（ 1 =×
=× ﹣ ）（ 1+ ）
= =
）× 1﹣ ）×⋯×（ 1﹣ ）
故答案为（ 1﹣ ）（ 1+ ）；
点睛】本题考查的知识点是平方差公式，解题的关键是熟练的掌握平方差公式
=AC， AD∥ BC，则 AD平分∠ EAC，试说明理由．
；． ；．
解析】
分析】 由等边对等角可得到 ∠B=∠C，再根据平行线的性质可得到 ∠EAD=∠B=∠C=∠DAC，即AD 平分∠EAC ． 【详解】 解：∵ AB=AC
∴∠ B=∠C ∵AD∥BC
∴∠EAD=∠B=∠C=∠DAC ∴AD平分∠ EAC．
【点睛】本题考查的知识点是等腰三角形的性质，解题的关键是熟练的掌握等腰三角形的性质 .
24. 阅读下面材料，并解答问题．
材料：将分式 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
解：由分母为﹣ x 2+1，可设﹣ x4﹣ x 2+3=（﹣ x2+1）（ x2 +a）+b 则﹣ x4﹣ x 2+3=（﹣ x 2+1）（ x 2+a）
+b=﹣ x4﹣ ax2+x2+a+b= ﹣ x4﹣（ a﹣ 1） x2+（ a+b）
∵对应任意 x ，上述等式均成立，∴
，∴ a=2， b=1
2
∴ = = + =x2+2+
这样，分式 被拆分成了一个整
式 x2+2 与一个分式 解答：
的和．
（ 1）将分式
拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
（ 2）试说明 的最小值为 8．
2
【答案】 （1） =x 2+7+ 【解析】
（2） 见解析
试题分析 : （1）根据阅读材料中的方法将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整
数）的和 的形式即可；
（2）原式分子变形后，利用不等式的性质求出最小值即可．
试题解析 :
（1）设﹣ x4﹣6x+8=（﹣x2+1）（x2+a）+b=﹣x4+（1﹣a）x2+a+b， 可得 ， 解得： a=7， b=1， 则原式 =x2+7+ ；
（2）由（ 1）可知，
22
=x2+7+ ．
∵x≥0，∴x+7≥7；
当 x=0 时，取得最小值 0， ∴当 x=0 时， x2+7+
最小值为 8，
即原式的最小值为 8．
25. 如图，在平面直角坐标系中， 点 O为坐标原点， 已知 △ABC三个定点坐标分别为 A（﹣ 4，1），B（﹣ 3，3）， C（﹣ 1，2）．
（1）画出 △ ABC关于 x 轴对称的 △A1B1C1，点 A，B，C的对称点分别是点 A1、 B1、 C1，直接写出点 A1，
B1， C1 的坐标；
答案】（1）如图所示见解析， A1（﹣ 4，﹣ 1）B1（﹣ 3，﹣ 3）， C1（﹣ 1，﹣ 2 ）；（ 2） 4. 解析】 分析】
1）分别作出点 A、B、C关于 x 轴的对称点，再顺次连接可得；
2）作出点 C 关于 y轴的对称点，然后连接得到三角形，根据面积公式计算可得． 详解】 （1）如图所示，
△A 1B1C1即为所求．
A1（﹣ 4，﹣ 1）B1（﹣ 3，﹣ 3）， C1（﹣ 1，﹣ 2），
（2）如图所示， △CC1C2 的面积是 ×2×4=4
【点睛】本题主要考查作图 -轴对称变换，解题的关键是熟练掌握轴对称变换的定义和性质．
26. 点 P、P1关于 OA对称， P、P2关于 OB对称， P1P2交 OA、OB于 M、N，若 P1P2=8，则△MPN的
周长是多少？
答案】 8 解析】 【分析】
根据题意可得出 PM=MP 1，PN=NP 2 即可求出答案 【详解】 解：∵点 P、P1关于 OA
对称， P、∴P1M+MN+NP2=PM+MN+PN=P1P2=8，∴△PMN 的周长为 8．
P2关于 OB对称，∴PM=MP1，PN=NP2；
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