教苑时空・教例剖析 在 、、次品＂ 中找真金 以“找次品”教学为例浅谈小学生数学思想的培养 浙江慈溪市第三实验小学（３１５３００）胡迪波 美国心理学家布鲁纳指出：“掌握基本的数学思想方法 能使数学更易于理解和更易于记忆，领会基本数学思想方 想；引导学生解决数学问题时把复 杂问题转化成简单问题的数学思想。 法是通向迁移大道的‘光明之路’，使学生终生受益。”《数学 等等。这些蕴含在解决问题过程中的数学思想或许正是教师在教学中 最容易忽略和遗漏的，而这些数学 ＼ 课程标准》中也指出：“学生通过学习，能够获得适应未来社 会生活和进一步发展所必需的重要数学知识以及基本的 数学思想方法。”可见，除了数学知识外，数学思想也是重要 的教学内容。 义务教育课程标准五年级下册教材“数学广角”中安 排“找次品”这个教学内容，以此为平台让学生经历一次数 思想的培养直接影响学生数学综合素养的形成，不仅体现 在小学阶段，而且直接对学生以后的学习和工作起到至关 重要的影响。因此，我们应当在小学数学教学中不失时机地 进行数学思想方法的渗透。 下面以“找次品”教学为例，谈谈对学生数学思想培养 的探究。 一学探究之旅，让学生获得从外表看若千个完全相同的零件， 借助天平用最少的次数找较轻或较重次品的方法。在解决 问题的过程中还隐含了许多的数学思想，如通过天平可能 平衡、可能不平衡这样的随机事件，理解掌握基本的逻辑推 理；清晰地表达数学思维的过程；利用比较——猜想——验 证的策略发现数学结论的数学思想；培养将具体问题推广 到一般问题的演绎推理的数学思想；通过逐一分析法让学 、利用化归思想，寻找解题模式 数学教学一方面是由浅入深、由易到难循序渐进的过 程，另一方面又是化生为熟、化难为易、以退求进的过程，这 两个相辅相成、双向互动的过程是学生学好数学的基本数 学思想之一——化归思想。 生理解解决问题的多样化，并对比分析进行优化的数学思 如教学“找次品”时，课始，教师创设情境：将一瓶较轻 片断二：根据经验。准确判断 （出示题目：不计算，你能说说“２．０５￣０．３１＝６．３５３”的计 算结果正确吗？） 师：请同学们自己先想一想，再和同桌交流一下想法。 师：谁来说说自己的想法？先说是否正确，再说理由。 生 ：不正确，因为两个因数里一共有四位小数，而积里 只有三位小数。 的方法检查自己的结果是否正确。 评析：教学中，教师对于学生计算经常出错这个问题， 往往采用简单粗暴地批评和让学生再算一遍的方式解决， 很少让学生自己去找出错误在哪里并反思原因，所以学生 总是一错再错。事实上，很多时候学生的错误是显而易见 的，不需要计算就能看出来，经常的批评不仅使学生失去兴 师：大家同意他的说法吗？ 生（齐）：同意。 师：请大家认真地想一想，是不是因数里一共有四位小 数，积就一定是四位小数？ 趣，“再算”浪费了学生的时间，也不利于学生思维的发展。 上述教学中，以一道判断说理题为例，通过让学生自主思 考、判断、交流，既从不同角度去估算结果，也渗透了计算结 果的检验方法。而教师则好似一个“旁观者”，在学生发言正 确时给予肯定，在回答不够全面时追问，在学生深入解释时 感叹……而学生探究的热情、思维的火花在不经意间被激 发、被点燃。此时的他们觉得自己能发现、创造新的知识。 生 ：不一定，有肘候两个因数的末位相乘结果有零，积 就不是四位小数，但这道题不属于这种情况。 师：你想得很周到，谢谢你！还有其他想法吗？ 生，：老师，我认为２．０５￣０．３１的积不可能是６．３５３，因为 两个因数的末位相乘应该是５，而积的末位是３。（同样的结 要解决计算教学中自主教学的问题，首先要改变师生 们认识上的误区。正因为大家都认为计算仅仅是为学习其 他知识服务的，学生只要能运用法则算出正确的结果就行， 从而忽视了计算教学本身所承载的培养学生观察、判断、比 较、抽象、概括等数学思想和方法的任务，造成教师“死教”、 论，不同的思维角度，引发了学生进一步探究的欲望） 师：这是一个判断的好办法，你真是个爱动脑筋的孩子。 生 ：老师，我还有一个方法可以知道结果是错的。 ２．０５￣０．３ １的积不可能大于２．０５，所以等于６．３５３是错的。 师：有点道理，谁来解释一下为什么积不可能大于２．０５７ 生 ：因为０．３ｌ小于１，所以２．０５￣０－３１的积一定小于 ２．０５。 学生“死算”。同时，由于怕学生出错，部分教师过分要求竖 式计算，忽视了口算、估算、巧算能力和意识的培养，不利于 学生数学思维的发展和学习能力的提高。 （责编杜华） 师：你们真是会学习的孩子。下次计算时，记得用这样 教苑时空・教例剖析 的口香糖混在２４３瓶中，质疑如何从这么多数量中找到这 一瓶次品。通过介绍数学家华罗庚的方法“复杂的问题要善 于‘退’，足够地‘退’，‘退’到最原始而不失去重要性的地 方，是学好数学的一个诀窍”，引导学生退回来想，从最基本 的２瓶开始思考问题的解决方法，并逐瓶依次递增，体现了 数学解决问题的实质化难为易。通过操作３瓶时依次将口 香糖放置在天平的左、右、下，充分利用天平的３个区域，得 出只要称一次就能找出次品的最佳方案。然后增加到９瓶 时分成３份，每份３瓶称一次，学生自然地运用化归的思 想。这样让学生一开始就接触规律，建立在分析寻找规律的 情景下，既让学生经历了逻辑推理的过程，又引导了学生的 思维方法，力争从最少的次数去思考，培养学生有序思考的 习惯。同时使学生意识到将大数分解成小数，有效地体现化 归的思想，使学生能运用已知的结论来推导较复杂的数据， 养成良好的数学思维习惯。在此基础上扩展到更多的瓶数， 如２７瓶等，通过表格的出示让学生体会到次数与次品数量 之间的变化规律，并使其得到延伸和拓展。如２～３瓶只需称 １次，４～９瓶需要２次……并且利用发现的规律来尝试猜测 ６次、７次能从多少瓶中找出次品，这样真正体现了化归思 想学以致用的目的。 二、经历“比较——猜想——验证”的过程。寻找解题策略 “比较——猜想——验证”既是学生主动探求知识的有 效方式，也是一种重要的数学思想方法。正如数学教育家弗 赖登塔尔所说：“真正的数学家常常凭借数学的直觉思维做 出各种猜想，然后加以证实。”因此，在小学数学教学中，教 师要重视“比较——猜想——验证”思想方法的渗透，以增 强学生主动探索和获取数学知识的能力，促进学生创新能 力的发展。在猜想的驱动下，学生才能真正自觉地投入到验 证的过程中，通过不同方案的比较真正经历了知识生成的 过程，从而更主动地去发现、去探索。 如教学“找次品”时，我是这样安排教学环节的：在明确 应该应用最不利原则，必须确保找出次品的前提下，安排学 生自己用小圆片来尝试寻找解决问题的最佳方法，通过反 馈比较发现的不同方案，找到最优化的方案，猜测解决的方 法，并通过验证来明确解题策略。（以８瓶中找次品为例题 进行教学） 第一层次：学生方法的反馈。 生 ：分成２份，称３次。 生 ：分成３份，称２次。 第二层次：比较方法，找到本质。 问题１：分成２份３次才能找出次品，分成３份只需称 ２次，为什么这种分法次数就少呢？ 得到结论：应将待分物品分成３份。 问题２：那是不是分的份数越多越好呢？（利用了天平 的３个区域） 得到结论：每份相差的数尽量小。 第三层次：通过以上教学环节综合两个结论，使学生猜 测将待分物品分成３份，每份的数量尽可能一样多，这就是 解决问题的方法。 第四层次：从具体情况推广的一般问题，使猜想——验 —］ 弭叼 嬲＿＿离 弋ｚ２ ８ ／ 证策略得以落实 引导学生明白仅凭一个例子来说明猜想正确不符合数 学的严谨性，需要通过更多的事例来验证。９瓶，２７瓶，２４３ 瓶……你打算怎样分？边验证边通过练习使学生能真正领 会方法的实质。 三、借助优化思想，暴露解题过程 所谓“优化思想”就是在有限或无限种可行方案（决策） 中挑选最优方案（决策）的思想。 多样化是优化的基础，没有多样化也就无所谓优化。那 么，如何才能使学生生成多种问题解决的方法和策略呢？在 教学时，教师提出只找２次，能从更多的瓶数中找出次品 吗？要求学生小组合作尝试分小圆片，并把方案记录下来。 学生从４瓶开始依次尝试，由于限制次数是２次，学生想出 各种方案。 数学学习是自主构建的过程，是师生之间、生生之间交 往互动与共同发展的过程，这个过程需要对话与交流。有效 的数学交流可以促进学生间众多信息的相互碰撞，使学生 的思维由表层走向深入，促进学生数学思维的发展。针对渗 透优化思想的有效交流，凸显优化，教师在课堂上通过８瓶 的例子来引领和促进师生、生生之间展开有效的交流。 １．集中展示学生方法的反馈。 师：你是怎么想的呢？（结合学生的回答演示课件） ２．借助问题寻找方法的优缺点。 师：分成２份３次才能找出次品，分成３份只需称２ 次，这种方法好在哪里呢？为什么这种分法次数就少呢？ 师（追问）：那是不是分的份数越多越好呢？（揭示问题 的本质）分成３份正好利用了天平的哪儿啊？ （在明确了将待分物品分成３份是最好的分法后，进一 步分析每份该怎么分） 师：分成３份的方法好像不止这样一种吧？（１，１．６） （２，２，４）至少要称几次呢？（制造矛盾冲突，进一步对比探 究） 师：都是分成３份（３，３，２），好在那里？为什么只要称２ 次就能找到次品呢？ 得到结论：考虑最不利的情况，要使最多的一份尽量 少，所以我们在分成３份时，每份的差要尽量小。（结合学生 思维分析的过程将两个结论综合起来，得到了解决该类数 学问题的最优化方法） 在此教学环节中学生经历了自主探索与合作交流的过 程，初步体验了优化思想在解决问题中的作用 问题是数学的心脏，方法是数学的行为，思想是数学的 灵魂。不管是数学概念的建立、数学规律的发现，还是数学 问题的解决，乃至整个“数学大厦”的构建，核心问题在于数 学思想方法的渗透和建立。数学教学不仅仅要使学生获得 数学知识、数学结论，更重要的是让学生通过数学探究的学 习过程，经历数学的产生、发展过程，使学生在数学思想、数 学思考等方面得到发展，让学生的数学思维能力得到切实、 有效的培训，真正提升学生的数学素养。 （责编杜华）
