古典概型【要点导学】

要点导学 各个击破

随机事件的概率

n,n1,2,3,,10xx6中任取一个元素, (2014·泰州中学模拟)在集合1所取元素恰好满足方程cosx=2的概率是 .

1[答案]5

n,n1,2,3,,10xx6有10个元素,而当n=2和n=10[解析]因为集合11时,cosx=2,故满足条件cosx=2的基本事件个数为2,故所取元素恰好满足方程121cosx=2的概率P=10=5.

常见的古典概型问题

现有6道题,其中4道甲类题,2道乙类题,张同学从中任取2道题解答. (1) 求所取的2道题都是甲类题的概率; (2) 求所取的2道题不是同一类题的概率.

[解答](1) 将4道甲类题依次编号为1,2,3,4;2道乙类题依次编号为5,6,任取2道题,基本事件

为:{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{1,6},{2,3},{2,4},{2,5},{2,6},{3,4},{3,5},{3,6},{4,5},{4,6},{5,6},共15个,而且这些基本事件的出现是等可能的.

设“所选两道题都是甲类题”为事件A,则A包含的基本事件有

62{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4},共6个,所以P(A)=15=5.

(2) 设“所选两道题不是同一类题”为事件B,则B包含的基本事件有

8{1,5},{1,6},{2,5},{2,6},{3,5},{3,6},{4,5},{4,6},共8个,所以P(B)=15.

某地区有21所小学、14所中学、7所大学,现采取分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查.

(1) 求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目;

(2) 若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析,求抽取的2所学校均为小学的概率.

[解答](1) 从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3,2,1.

(2) 在抽取到得6所学校中,3所小学分别记为A1,A2,A3,2所中学分别记为A4,A5,大学记为A6,则抽取2所学校的所有可能结果为

{A1,A2},{A1,A3},{A1,A4},{A1,A5},{A1,A6},{A2,A3},{A2,A4},{A2,A5},{A2,A6},{A3,A4

},{A3,A5},{A3,A6},{A4,A5},{A4,A6},{A5,A6},共15种.

设“从6所学校中抽取的2所学校均为小学”为事件A,则A的所有可能结果为{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},共3种.

31所以P(A)=15=5.

某小组共有A,B,C,D,E五位同学,他们的身高(单位:m)及体重指标(单位:kg/m2)如下表所示:

身高 体重指标 A B C D E 1.69 1.73 1.75 1.79 1.82 19.2 25.1 18.5 23.3 20.9 (1) 从该小组身高低于1.80 m的同学中任选2人,求选到的2人身高都在1.78 m以下的概率;

(2) 从该小组同学中任选2人,求选到的2人的身高都在1.70 m以上且体重指标都在[18.5,23.9)(单位:kg/m2)中的概率.

[解答](1) 从身高低于1.80 m的同学中任选2人,其一切可能的结果组成的基本事件为(A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D),共6个.

由于每个人被选到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能的. 选到的2人身高都在1.78 m以下的事件有(A,B),(A,C),(B,C),共3个.

31因此选到的2人身高都在1.78 m以下的概率P=6=2.

(2) 从该小组同学中任选2人,其一切可能的结果组成的基本事件有(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D,E),共10个.

由于每个人被选到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能的. 选到的2人身高都在1.70 m以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的事件有(C,D),(C,E),(D,E),共3个.

故选到的2人的身高都在1.70 m以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率

3P=10.

【题组强化·重点突破】

1. (2014·安庆模拟)在平面直角坐标系中,从A(0,0),B(2,0),C(1,1),D(0,2),E(2,2)五个点中任取三个,这三点能构成三角形的概率是 .

4[答案]5

[解析]从5个点中取3个点,列举得ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,BCD,BCE,BDE,CDE,共有10个基本事件,而其中ACE,BCD两种情况三点共线,其余8个均符合题意,故能构成

84三角形的概率为10=5.

2. 抛掷两枚骰子,若正面朝上的点数为b,c,则方程x2+bx+c=0有两个实根的概率是 .

19[答案]36

[解析]共有36个基本事件,当方程有解时Δ=b2-4c≥0,所以b2≥4c,满足条件的记为(b2,4c),

有:(4,4),(9,4),(9,8),(16,4),(16,8),(16,12),(16,16),(25,4),(25,8),(25,12),(25,16),(25,20),(25,24),(36,4),(36,8),(36,12),(36,16),(36,20),(36,24),1

199种情况,所以P=36.

3. 有六张纸牌,上面分别写有1,2,3,4,5,6六个数字,甲、乙两人玩一种游戏:甲先取一张牌,记下点数,放回后乙再取一张牌,记下点数.如果两个点数的和为偶数就算甲胜,否则算乙胜.求甲胜且点数和为6的事件发生的概率.

[解答]设“甲胜且点数的和为6”为事件A,甲的点数为x,乙的点数为y,则(x,y)表示一个基本事件,两人取牌结果包括(1,1),(1,2),…,(1,5),(1,6),(2,1),…,(6,6),共36个基本事件.A包含的基本事件有(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),共5个,

5所以P(A)=36,

5所以甲胜且点数之和为6的概率为36.

统计与概率的综合

(2014·淄博模拟)某校从高一年级学生中随机抽取50名学生,将他们的期中考试数学成绩(满分100分,成绩均为不低于40分的整数)分成六段:[40,50),[50,60),…,[90,100],得到如图所示的频率分布直方图.

(1) 若该校高一年级共有学生1000人,试估计成绩不低于60分的人数; (2) 为了帮助学生提高数学成绩,学校决定在随机抽取的50名学生中成立“二帮一”小组,即从成绩[90,100]中选两位同学,共同帮助[40,50)中的某一位同学.已知甲同学的成绩为42分,乙同学的成绩为95分,求甲、乙恰好被安排在同一小组的概率.

(例4)

[解答](1) 根据频率分布直方图,成绩不低于60分的频率为1-10×(0.004+0.010)=0.86.

由于该校高一年级共有学生1000人,利用样本估计总体的思想,可估计该校高一年级数学成绩不低于60分的人数为1000×0.86=860.

(2) 成绩在[40,50)分数段内的人数为50×0.04=2, 成绩在[90,100]分数段内的人数为50×0.1=5,

由[40,50)内有2人,记为甲,A,[90,100)内有5人,记为乙,B,C,D,E,则“二帮一”小组有以下20种分组方法,分别为:甲乙B,甲乙C,甲乙D,甲乙E,甲BC,甲BD,甲BE,甲CD,甲CE,甲DE,A乙B,A乙C,A乙D,A乙E,ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE.其中甲、乙两同学被分在同一小组有4种方法,分别为:甲乙B,甲乙C,甲乙D,甲乙E.所以甲、乙两同学恰

41好被安排在同一小组的概率P=20=5.

(2014·威海模拟)某普通高有教师360人,分为三个批次参加研修培训,在三个批次中男、女教师人数如下表所示:

女教师 男教师 第一批次 第二批次 第三批次 86 94 已知在全体教师中随机抽取1名,抽到第二、三批次中女教师的概率分别是0.15,0.1.

x 66 y z

(1) 求x,y,z的值;

(2) 为了调查研修效果,现从三个批次中按1∶60的比例抽取教师进行问卷调查,三个批次被选取的人数分别是多少?

(3) 若从(2)中选取的教师中随机选出两名教师进行访谈,求参加访谈的两名教师“分别来自两个批次”的概率.

[解答](1) x=360×0.15=,y=360×0.1=36, z=360-86--36-94-66=24.

(2) 由(1)知,三个批次的人数分别是180,120,60,所以被选取的人数分别为3,2,1.

(3) 第一批次选取的三个教师设为A1,A2,A3,第二批次的教师为B1,B2,第三批次的教师设为C,则从这6名教师中随机选出两名教师的所有可能的基本事件为

A1A2,A1A3,A1B1,A1B2,A1C,A2A3,A2B1,A2B2,A2C,A3B1,A3B2,A3C,B1B2,B1C,B2C,共15个,“来自两个批次”的事件包括A1B1,A1B2,A1C,A2B1,A2B2,A2C,A3B1,A3B2,A3C,B1C,B2C,共11个,所以“来

11自两个批次”的概率P=15.

1. 从1,2,3,4,5中任意取出2个不同的数,其和为5的概率是 . [答案]0.2

2[解析]任取2个数有10种取法,和为5的取法有2种,故所求概率为10=0.2.

AC2. 已知k∈Z,AB=(k,1),=(2,4),若|AB|≤4,则△ABC是直角三角形的概率为 .

3[答案]7

22

[解析]|AB|≤4,k+1≤16,k≤15,k=-3,-2,-1,0,1,2,3.BC=(2-k,3).若

2

AB·BC=-k+2k+3=0,则k=-1,k=3;若BC·AC=0,则k=8(舍去);若AB·AC=0,

3则k=-2.故P=7.

3. 先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6),骰子朝上的面的点数分别为x,y,则y=2x的概率为 .

1[答案]12

[解析]先后抛掷两枚均匀的正方体骰子共有36种结果,骰子朝上的面的点数分别为

31x,y,满足y=2x的有3种,故所求概率为36=12.

4. 我们把形如“1234”和“3241”形式的数称为“锯齿数”(即大小间隔的数),由1,2,3,4四个数组成一个没有重复数字的四位数,则该四位数恰好是“锯齿数”的概率为 .

5[答案]12

[解析]通过画树形图可知由1,2,3,4四个数构成的没有重复数字的四位数共有24个,四位数为“锯齿数”的有1324,1423,2143,2314,2413,3142,3241,3412,4132,4231,共

10510个,所以四位数为“锯齿数”的概率为24=12.

5. 有5个数成公差不为零的等差数列,这5个数的和为15,若从这5个数中随机抽取一个数,则它小于3的概率是 .

2[答案]5

[解析]因为5个数成公差不为零的等差数列,且和为15,则第三个数为3,有2个数大

2于3,有2个数小于3,这5个数中随机抽取一个数,则它小于3的概率为5.

[温馨提醒]

趁热打铁,事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习(第131-132页).