基于最优化技术的线性电阻网络分析

第２８卷第１期　电气电子教学学报　ＪＯＵＲＮＡＬ　ＯＦ　ＥＥＥ　Ｖ０Ｉ．２８　Ｎｏ．１　Ｆｅｂ．２００６　２００６年２月　基于最优化技术的线性电阻网络分析　王竹萍，刘　露　（哈尔滨理工大学摘计算机与控制学院，黑龙江哈尔滨１５００８０）　要，提出的一种基于最优化技术的线性电阻网络分析方法，以“网络系统中电流分布使系统总能耗最小”作为优化的目标函数，以基尔霍夫　电流定律作为约束条件。最后以线性电阻网络为例进行了实例计算。　关■词：网络分析，优化技术；目标函数，矩阵　中圈分类号ｌＴＭ１３１；０２４１．６　文献标识码ｊＡ　文章编号：１ＯＯ８—０６８６（２００６）０１—００３６－－０２　Ｌｉｎｅａｒ　Ｎｅｔｗｏｒｋ　Ａｎａｌｙｓｉｓ　Ｂａｓｅｄ　ｏｎ　Ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ　ＷＡＮＧ　Ｚｈｕ＝ｐｉｎｇ，ＬＩＵ　Ｌｕ　（Ｃｏｌｌｅｇｅ　ｏｆＣｏｍｐｕｔｅｒ　ａｎｄ　Ｃｏｎｔｒｏｌ，Ｈａｒｂｉｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　ａｎｄ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｈａｒ￣ｎ　１５００８０，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ，ａ　ｌｉｎｅａｒ　ｒｅｓｉｓｔａｎｃｅ　ｎｅｒｗｏｒｋ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ｍｅｔｈｏｄ　ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ　ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ　ｉｓ　ｐｒｏｐｏｓｅｄ．“Ｃｕｒｒｅｎｔ　ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ　ｓｈｏｕｌｄ　ｍｉｎｉｍｉｚｅ　ｔｈｅ　ｔｏｔａｌ　ｅｎｅｒｇｙ　ｌｏｓｓ　ｏｆ　ｎｅｔｗｏｒｋ　ｓｙｓｔｅｍ”ｉｓ　ｕｔｉｌｉｚｅｄ　ｔｏ　ｄｅｆｉｎｅ　ｔｈｅ　ｏｐｔｉｍｕｍ　ｔａｒｇｅｔ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ．ａｎｄ“Ｋｉｒｃｈｈｏｆｆ＇ｓ　Ｃｕｒｒｅｎｔ　Ｌａｗ（ＫＣＬ）”ｉｓ　ｕｔｉｌｉｚｅｄ　ｔｏ　ｄｅｆｉｎｅ　ｔｈｅ　ｃｏｎｓｔｒａｉｎｔ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ．Ｔｈｅｎ　ｔｈｅ　ｌｉｎｅａｒ　ｒｅｓｉｓｔｉｖｅ　ｎｅｔｗｏｒｋ，ａｓ　ａｎ　ｅｘａｍｐｌｅ，ｉｓ　ｃａｌｃｕｌａｔｅｄ．　Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｎｅｔｗｏｒｋ　ａｎａｌｙｓｉｓ；ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ　ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ；ｔａｒｇｅｔ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｍａｔｒｉｘ　网络分析数学模型　传统的电路分析法（如支路法、回路法等）的方　程的建立与求解已形成一整套完整的体系，不在此　赘述　这里将介绍一种基于最优化技术分析电阻网　络的方法　它以基尔霍夫电流定律为约束条件，以电　ｚ　ｋ—ｔｋ＋　ｓｋ　（矗＝１，２，…，６）　所有支路电流可写　成矩阵　Ｉ　＝Ｉ＋Ｉｓ　整个网络的总能耗　Ｐ为　图１复合支路　流分配使整个系统总能耗最小为目标函数。设网络　有　个节点、ｂ条支路，则网络分析的优化模型为　ｂ　Ｐ一　Ｒ　＝（　＋ｉｓ）　Ｒ（　＋ｉｓ）　｛ｆ　目标函数　ｍｉｎＰ一　Ｒｋｉ￣ｋ　＝ｌ。　ｋ一一　式中：ｉ　一Ｅｉ　ｉ　…，　］　为电阻元件电流列向量；　（１）　ｉ＝Ｅｉ　，ｉ　，…，　］　为复合支路电流列向量；ｉ　一［　ｓ１＇　ｉ　２，…，　ｓｂ］　为电流源列向量；Ｒ＝ｄｉａｇ［Ｒ　，Ｒ２，…，　ｌ约束条件　：ｉ　＝＝＝０（对１到　一１节点）　应用计算机进行优化计算需将上述模型用矩阵　形式表示。首先定义复合支路如图１（电压源和电阻　的串联化为复合支路形式，暂不考虑受控源，且不存　在纯电流源和纯电压源支路）。对于第ｋ条支路有　Ｒ　］为支路电阻矩阵　在ｉ满足ＫＣＬ的约束条件时，则有ｍｉｎＰ存　在。其优化模型的矩阵形式为：　收稿日期，２ｏＯ４—１ｏ一１１；修回日期　２００５一ｏ５一ｏ８　作者简介　王竹萍（１９５９一）。女，山东黄县人，副教授，长期从事电路、电工技术及计算机辅助电路分析方面的教学与研究工作，　刘露（１９７２一），男，辽宁昌图人，博士研究生，讲师，从事电子技术及计算机图像处理方面的教学、科研工作。　维普资讯 http://www.cqvip.com

第２８卷第１期　王竹萍等：基于最优化技术的线性电阻网络分析　３７　ｊ目标函数　ｍｉ【约束条件　Ａｉ＝０　ｎＰ＝（　＋ｆｓ）　Ｒ（ｉ＋ｉｓ）ｒ　解得　—４．３　式（２）为求解多元函数的条件极值问题。．　一　４．３０８　下面求解式（２）。　一Ｏ．３　构成函数　—４．６　Ｆ（　１，ｉ２，…，ｉｂ）＝（　＋ｉｓ）　Ｒ（　＋ｉｓ）＋　Ａｉ　ｓ１　令ａＦ／　ｋ一０，则有　０　ｚｅ　ｚ十ｚｓ　＋　２Ｒ（　＋ｉｓ）＋Ａ　一０　０　上述求多元函数的条件极值问题有极小值，且　ｓ４　转化为如下方程组的矩阵求解问题。　下面证明上述与支路电流法分析结果一致。因　ｆ　２Ｒ（ｉ＋ｉｓ＋Ａ　＝０　为将式（３）中第一组方程左乘曰矩阵，得　Ｊ　Ａｉ＝０　（３）、　　曰［２露（ｆ＋ｉｓ＋Ａ　＝０　式中：Ａ为降阶关联矩阵；　；：＝［　，　，…，　一　］　为列　２ＢＲ（ｉ＋ｉｓ）＋ＢＡ　］一０　向量，　为待定常数－。　由于Ａ　＝０　则　２　应用实例　２曰露（ｆ＋ｉｓ）一０　【例】如图２，已知Ｉｓ　：１０Ａ，Ｉｓ　一５Ａ，Ｒ　：　即　２Ｑ，Ｒ２—３Ｑ，Ｒ３：５Ｑ，Ｒ４—４Ｑ，求ｉ　１，ｉ　２，ｉ　３，ｉ　４。　曰露（　＋ｉｓ）＝０　为ＫＶＬ方程。即由式（３）可推出式（４）。　』ＢＲ　＋　ｓ　０　（４）　ｌＡ　０　式中：曰为回路矩阵。　上述式（４）为支路电流方程矩阵的一般形式。　５●　　４．　　　一　Ｏ　．　６　３（３　９　Ｏ　Ｏ　２　８　３　８　３　结论　Ｏ　８　图２实例计算电路　通过上述分析说明应用最优化技术对电阻网络　解：画出网络的有向图，如图３。　进行分析是可行的，这种方法与传统的网络分析方　ｌ　ｌ　１　０　０　Ｉ　Ａ＝＝＝ｌ０　—１　１　—１　Ｊ①　２　②　法在列写方程及求解的出发点不同。虽然这种方法　的本质仍然是传统的支路电流法，但支路电流方程　Ｒ—ｄｉａｇ［Ｒｌ，Ｒ２。Ｒ３，Ｒ４］　的列写要找一组独立节点和一组独立回路，而这种　ｉ　一ｒ－ｉｅ１，ｉ　２，ｉ　ｅ３’ｉｏ４］　方法不需要找独立回路，它是将整个网络的电路问　ｉ＝Ｅｉ１，ｉ２，ｉ３，　４］　题转化成一个能量的条件极小值问题，而计算机求　ｉｓ＝：＝ｒＩｓ１。０，０，　ｓ４］　＼　条件极小值问题是很容易的，因而用这种方法分析　＝［　，　］。，　图３实例电路拓扑有向图　电阻网络还是有一定的意义的　将以上各矩阵代入式（３）中，整理得　ｆ　２Ｒ１（　＋Ｉｓ１＋　ｌ一０　ｆ４　１＋４０＋　１—０　参考文献：　Ｉ　２Ｒ２ｉ２＋　ｌ—　２—０　ｌ　６ｉ２＋　１一　２＝０　［１］同济大学数学教研室主编．高等数学［Ｍ］．北京：人民教育出　Ｉ　２Ｒ３ｉ３＋　２＝＝０　Ｊ　１ｏ　３＋　２＝０　版社，１９７９　１　２Ｒ４（　４＋Ｉｓ４）一　２：＝＝ｏ　１　８　４＋４０一　０　［２］林字．计算电路的一种新方法．电工技术［Ｊ］．１９９０（４）：３９—　４Ｏ　『ｉ１＋ｉ２—０　　ｌｉｌ＋ｉ２—０　Ｉ【　［３］邱关源．电路［Ｍ］．北京：高等教育出版社。１９９９　一ｉ２＋ｉ　３一ｉ４—０ｆ卜～ｉ　　２＋ｉ３一ｉ４＝０　［４］丁学仁，蔡高厅．工程中的矩阵理论［Ｍ］天津：天津大学出版　社，１９８５