实验二 线性系统的时域分析

华北电力大学

实 验 报 告

实验名称 线性系统的时域分析

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用一阶微分方程描述的系统为一阶系统,一些控制元件及简单的系统如RC网络，液位控制系统都可以用一阶系统来描述。类似的，以二阶微分方程描述的系统则称为二阶系统。控制工程中二阶系统比较常见，例如RLC网络，忽略电枢电感后的电动机，弹簧—质量—阻尼系统等。此外，许多高阶系统在一定条件下忽略一些次要因素，常可降阶为二阶系统来研究。因此研究一二阶系统的时间响应及其性能指标与参数的关系有十分重要的意义。 一． 一阶惯性环节的参数分析与仿真 dy(t)y(t)Kx(t)。其中T为时间常数, K成一阶惯性环节的微分方程为:Tdt为惯性环节增益。 K则可由拉普拉斯变换得传递函数: G(s)Ts1。 1 当输入信号r(t)1(t)，得R(s),故系统的单位阶跃响应的象函数为: s1KKKH(s)G(s)R(s)sTs1ss1。 T对H(s)做拉氏反变换,则有:h(t)K(1e)(t0)。 tT可对式中参数进行分析，当t，h(t)K。可知参数K将会影响系统的tdh(t)KTe,可知K与T会影响上升的速度,K越最终稳定输出。对h(t)求一阶导数dtT大上升越快。而T越大上升越慢。 可利用matlab对一阶惯性环节进行仿真,可看出各参数对系统的影响。 先使T=2,对K从1到5变化进行仿真。得仿真图如下(图一) 第 页 共 页

从图中可以看出,系统达到稳定的时间基本相同,而K越大系统的稳输出越大。代码如下: clc;clear; for num=1:0.5:5 num1=[num]; den=[2 1]; t=0:0.06:12; step(num,den,t); hold on; end gtext('K=1'); gtext('K=5'); 之后将K定为2,使T从1到5变化进行仿真。得到仿真图如下(图二) 第 页 共 页

从中可以看出,系统的最终稳定输出不变,T越大上升越慢,对输入信号响应越慢。代码如下: clc;clear; for den1=1:0.5:5 num=[2]; den=[den1 1]; t=0:0.06:12; step(num,den,t); hold on; end gtext('T=1'); gtext('T=5'); 二．二阶系统的参数分析与仿真 典型二阶系统的结构图见右图: 第 页 共 页

n2该系统的闭环传递函数为:G(s)2s2nn2。 其中称为系统的阻尼系数或阻尼比,n为无阻尼自然频率。两者为二阶系统的重要22参数。二阶系统的特征根方程为:s2nsn0，其特征根为s1,2nn21。针对的不同取值,可将系统分为如下状态。下面针对这两种参数进行分析。 a)无阻尼(=0):无阻尼时,对系统输入单位阶跃信号，得响应2n为:H(s)22112s2故有:H(t)snsssn1cosnt(t0)。 b)欠阻尼(01):其为二阶系统中最为常见的,其特征根为: S1,2njn12njd,式中d12n。其为有阻尼震荡频率。若特征根矢量与负实轴的夹角为,则有cos。 n21对于单位阶跃输入，有H(s)G(s)R(s)2,对其进行拉普拉斯逆变s2nsn2s换,得:h(t)1ent12sin(dt)(t0)。 11nc)临界阻尼(1):当输入单位阶跃信号，得：H(s) ssn(sn)2 进行拉普拉斯逆变换得h(t)1ent(1nt)(t0)。 2d)过阻尼(1) 过阻尼时输入单位阶跃信号得:S1,2n1n n2n21输入单位阶跃信号得:H(s)。与上同理得ss1(s1s2)(ss1)s2(s2s1)(ss2)h(t)1 n2s1(s1s2)es1tn2s2(s2s1)es2t(t0)。 第 页 共 页

首先对的影响进行仿真,取为0,0.2,0.4,0.6,0.8,1.0,1.2,1.4进行画图分析。此时我们取n为一常数1。得如下结果(图三) 代码如下：(图中的T指) clc;clear all; omiga=1; for jieta=0:0.2:1.4 num=[omiga*omiga]; den=[1 2*omiga*jieta omiga*omiga]; t=0:0.2:12; step(num,den,t); number=num2str(jieta); gtext(['T=',number]); hold on; end 统观整个曲线，过阻尼时(1),其调节时间最长，进入稳态很慢，调节时间最长，无超调量。临界阻尼(1)时，其时间响应无超调量，响应速度比阻尼快。无阻尼(=0)是为等幅震荡无稳态。欠阻尼时(01),上升较快时间较短但出现超调,若合理选择可使超调量较小，缩短调节时间。综上所述,二阶欠阻尼的阶跃响应可兼顾快速与第 页 共 页

平稳，有很好的性能。下面对各个状态单独分析。 1.无阻尼系统(=0) 从图中可以观察到无阻尼二阶系统(=0)的单位阶跃响应曲线是围绕1变化的等幅震荡曲线。其震荡频率为n，对其震荡频率的验证,可通过查找工作空间中的数据完成。 单独进行仿真得到工作空间中的数据。 clc;clear all; omiga=1; jieta=0; num=[omiga*omiga]; den=[1 2*omiga*jieta omiga*omiga]; t=0:0.2:12; y=step(num,den,t); plot(t,y','r--'); 得到数据如下: 可进行估算,T=0的图像从0起第一次回到0所经历的时间大致为:T=32*0.2=6.4s。而2/=6.18s可认为二者相等,结论成立。可变n进行验证, 代码如下: clc;clear all; for omiga=1:0.5:2; jieta=0; num=[omiga*omiga]; den=[1 2*omiga*jieta omiga*omiga]; t=0:0.1:12; step(num,den,t); number=num2str(omiga); gtext(['w=',number]); hold on; end 第 页 共 页

可知n越大，周期越小。 2.欠阻尼系统 (01) 从图三中将欠阻尼系统单独提取出来进行分析。可看出,当越大,响应速度越慢,超调量越小,系统震荡情况减弱。 第 页 共 页

由于二阶欠阻尼的阶跃响应可兼顾快速与平稳，有很好的性能,对该种情况进行重点讨论,下面对欠阻尼情况下的性能指标进行仿真。 仿真过程只计算需要计算的量，不描绘系统的变化曲线。使在0.21到0.8的范围内变化，n则在1到5的范围内变化，调用Tvalue函数进行绘图。 代码如下: clc;clear all; jieta=0.21:0.01:0.8; omiga=1:0.1:5; x=ones(size(omiga'))*jieta;%jieta y=omiga'*ones(size(jieta));%omiga dt=0.1;Tl=15; t=0:dt:Tl; [m,n]=size(x); ans=[]; tr=[];%上升时间 tp=[];%峰值时间 sigma=[];%超调量 ts=[];%调节时间 for i=1:1:m%行 for j=1:1:n%列 num=[ y(i,j)*y(i,j) ]; den=[1 2*x(i,j)*y(i,j) y(i,j)*y(i,j)]; ans=step(num,den,t); [~,ts(i,j),sigma(i,j),~,tr(i,j),tp(i,j),~]= Tvalue(ans,dt); end end figure;surf(x,y,ts);xlabel('\\xi');ylabel('\\omega');zlabel('ts'); figure;surf(x,y,sigma);xlabel('\\xi');ylabel('\\omega');zlabel('sigma'); figure;surf(x,y,tr);xlabel('\\xi');ylabel('\\omega');zlabel('tr'); figure;surf(x,y,tp);xlabel('\\xi');ylabel('\\omega');zlabel('tp'); 仿真得到结果见下图: 第 页 共 页

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可从上图得到结论：随着的增加，调节时间ts,超调量减小，上升时间tr,峰值时间tp增加。随着的增加，调节时间ts减小,超调量几乎不变，上升时间tr,峰值时间tp减小，这样系统更加稳定。 3.临界阻尼(1)与过阻尼系统(1) 对于临界阻尼于过阻尼系统,当n不变，变对系统进行分析。见下图: 从上图中可以看出，越大，控制系统响应越慢，上升越慢，但都无超调。下面对临界阻尼与过临界阻尼状态下对n进行变动，曲线见下图，可以看出当变大时，系统响应变快，依旧无超调，最终系统稳定后的值都相同。 第 页 共 页

代码如下: clc;clear all; t=0:0.1:15; omega=1; for jieta=1:0.2:2 num=[omega*omega]; den=[1 2*jieta*omega omega*omega]; step(num,den,t); hold on; strr=['\\xi=',num2str(jieta)]; gtext(strr); end figure; jieta=1; for omega=1:1:5 num=[omega*omega]; den=[1 2*jieta*omega omega*omega]; step(num,den,t); hold on; strr=['\\omega=',num2str(omega)]; gtext(strr); end 第 页 共 页

三. 零点和极点对系统输出的影响 为探究零点对系统的影响，对四个系统进行仿真。 1.零点对系统的影响 43.532.5AmplitudeStep Response GG1G2G321.510.50 012345Time (seconds) 102s10G(s)2 G1(s)2 s2s3s2s3s100.5s10G2(s)2 G3(s)2 s2s3s2s3代码如下: clc;clear all; dt=0.1;t=2.3; T=0:dt:t; num1=[10];num2=[2 10]; num3=[1 10];num4=[0.5 10]; den=[1 2 3]; step(num1,den,T);hold on;gtext('G'); step(num2,den,T);hold on;gtext('G1'); step(num3,den,t);hold on;gtext('G2'); step(num4,den,T);hold on;gtext('G3'); 第 页 共 页

放大图如下: 4Step Response3.53G12.5AmplitudeGG2G321.510.5000.51Time (seconds)1.52 其中,G无零点，G1对应零点为-5，G2零点为-10，G3零点为-20从图中可以看出: 添加零点后系统响应变快，超调量变大,上升时间更短。从Gn可看出零点离虚轴越近影响越大。 2.极点对系统的影响 同样对四个系统进行仿真,得到图像: 1010G(s)2 G1(s)2(s2s3)(0.1s1) s2s31010G2(s)2 G3(s)2(s2s3)(0.2s1)(s2s3)(0.5s1) 第 页 共 页

Step Response43.532.5Amplitude GG1G2G321.510.50 01234Time (seconds)5678 对图像放大: Step Response4 3.532.5Amplitude21.5GG1G2G310.50 00.51Time (seconds)1.52 第 页 共 页

G无极点，G1极点为-10，G2极点为-5，G3极点为-2。 代码如下: clc;clear all; dt=0.1;t=2.3; T=0:dt:t; num=[10]; den1=[0.1 1];den2=[0.2 1];den3=[0.5 1]; den=[1 2 3]; G=tf(num,den); G1=tf(num,conv(den,den1)); G2=tf(num,conv(den,den2)); G3=tf(num,conv(den,den3)); step(G,G1,G2,G3,T); legend('G','G1','G2','G3'); 从图中可以看出，极点会使系统超调量减小，响应变慢，其会破坏系统的稳定性。可看出极点离虚轴越近，作用越大。 3.主导极点对系统的影响 所谓主导极点是指在系统所有的闭环极点中，距离虚轴最近且周围无闭环零点的极点，而其余极点又远离虚轴，那么距虚轴最近的极点所对应的响应分量在系统响应中起主导作用，这样的闭环极点称为主导极点。 为了探究主导极点对系统的影响，对一下几个控制系统进行仿真。 G(s)=111G(s)G(s) 1 2

(s1)(s2)(20s1)(20s1)(s+2)(s1)(s2)代码如下: clc;clear all; num=[1]; den=conv([20 1],[1 2]); den1=conv([1 1],[1 2]); den2=conv(conv([1 1],[1 2]),[20 1]); t=0:0.1:30; G=tf(num,den); G1=tf(num,den1); G2=tf(num,den2); step(G,G1,G2,t); legend('G','G1','G2'); 第 页 共 页

结果见下图: 其中G的主导极点为s=-0.05，在G1中去掉主导极点新加入极点s=-1可以看出G1较G起了比较大的变化，而G2在G1的基础上加入主导极点可见其图形又靠近G。由此可以看出，主导极点对系统的影响大于其他非主导极点,其决定了系统的大致走向。 4.偶极子对系统的影响 实轴上一对距离很近的开环零点和极点，附近又没有其它零极点，我们把它们称为偶极子。下面对如下几个系统进行仿真作图，观察偶极子对系统的影响。 11G(s)2G(s)2 1(s2s2)(s1) s2s2s0.98s0.98G(s)G(s)3 2(s22s2)(s1) s22s2 第 页 共 页

代码如下: clc;clear all; num=[1];num1=num; num2=[1 0.98];num3=num2; den=[1 2 2];den1=conv(den,[1 1]); den2=den;den3=den1; G=tf(num,den);G1=tf(num1,den1); G2=tf(num2,den2);G3=tf(num3,den3); step(G,G1,G2,G3); legend('G','G1','G2','G3'); 结果如图: 从上图可以看出，G为原始系统，G3为加入了偶极子的系统。两者图形相差不大。 可以认为偶极子对系统造成的影响不大。 实验总结:通过本次试验熟悉了一阶，二阶系统的曲线，同时通过仿真了解了传递函数中的参数对系统性能的影响，锻炼了编程技能。同时还熟悉了极点，零点，主导极点，偶极子对系统性能曲线的影响。本次实验有一定收获。

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