数值计算方法》试题集及答案

一、填空题：

410AA1410141、，则A的LU分解为

。

0141154A1411415156150 答案：

23、f(1)1,f(2)2,f(3)1，则过这三点的二次插值多项式中x的系数为 ，拉

格朗日插值多项式为 。

L2(x)11(x2)(x3)2(x1)(x3)(x1)(x2)22

答案：-1，

4、近似值x*0.231关于真值x0.229有( 2 )位有效数字； 5、设f(x)可微,求方程xf(x)的牛顿迭代格式是( )；

xn1xnxnf(xn)1f(xn)

答案

36、对f(x)xx1,差商f[0,1,2,3]( 1 ),f[0,1,2,3,4]( 0 )；

7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差；

8、用二分法求非线性方程f (x)=0在区间(a,b)内的根时，二分n次后的误差限为

ban1( 2 )；

10、已知f(1)＝2，f(2)＝3，f(4)＝5.9，则二次Newton插值多项式中x2系数为( 0.15 )； 11、 解线性方程组Ax=b的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A的各阶顺序主子式均不为

零)。

y10346x1(x1)2(x1)3 的乘除法次数尽量地少，应将该表达

12、 为了使计算

式改写为

y10(3(46t)t)t,t1x1 ，为了减少舍入误差，应将表达式200119992改写为 20011999 。

313、 用二分法求方程f(x)xx10在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间

为 0.5，1 ,进行两步后根的所在区间为 0.5，0.75 。

(k1)(k)3x15x21(15x2)/3x1(k1)(k1)x1/20 ，该迭代x214、 求解方程组0.2x14x20的高斯—塞德尔迭代格式为 1格式的迭代矩阵的谱半径(M)= 12 。

15、 设f(0)0,f(1)16,f(2)46,则l1(x) l1(x)x(x2) ，f(x)的二次牛顿插

值多项式为 N2(x)16x7x(x1) 。

16、 求积公式

Akf(xk)af(x)dxk0bn的代数精度以( 高斯型 )求积公式为最高，具有

( 2n1 )次代数精度。

321、如果用二分法求方程xx40在区间[1,2]内的根精确到三位小数，需对分（ 10 ）次。

x30x1S(x)132(x1)a(x1)b(x1)c1x3222、已知是三次样条函数，则

a=( 3 )，b=（ 3 ），c=（ 1 ）。

23、l0(x),l1(x),,ln(x)是以整数点x0,x1,,xn为节点的Lagrange插值基函数，则

lk0nk0nk(x)(

4k1 )，

xlk0nkj(xk)(

xj )，当

n2时

(x2xk3)lk(x)42( xx3 )。

24、

25、区间a,b上的三次样条插值函数S(x)在a,b上具有直到_____2_____阶的连续导数。

1)的形式，使计算结果较精确 26、改变函数f(x)x1x (x1fxx1x 。

27、若用二分法求方程fx0在区间[1,2]内的根，要求精确到第3位小数，则需要对分 10

次。

x11.6x2128、写出求解方程组0.4x1x22的Gauss-Seidel迭代公式

kx1k111.6x201.6,k0,1,k1k100.64x20.4x12，此迭代法是否收敛 收敛 。 ，迭代矩阵为 54A43,则A 9 。 31、设

482482U016A257100136的ALU，则U 2 。 32、设矩阵

4f(x)3x2x1，则差商f[2,4,8,16,32] 3 。 33、若

10134、线性方程组12151x21103的最小二乘解为 1 。

32104103321002 。  321A204135分解为ALU，则U36、设矩阵

二、单项选择题：

1、 Jacobi迭代法解方程组Axb的必要条件是（ C ）。 A．A的各阶顺序主子式不为零 B． (A)1 C． aii0,i1,2,,n D． A1

223A051007，则(A)为( C )． 2、设

A． 2 B． 5 C． 7 D． 3

4、求解线性方程组Ax=b的LU分解法中，A须满足的条件是( B )。 A． 对称阵 B． 正定矩阵

C． 任意阵 D． 各阶顺序主子式均不为零

5、舍入误差是( A )产生的误差。

A. 只取有限位数 B．模型准确值与用数值方法求得的准确值 C． 观察与测量 D．数学模型准确值与实际值 6、3.141580是π的有( B )位有效数字的近似值。

A． 6 B． 5 C． 4 D． 7 7、用 1+x近似表示ex所产生的误差是( C )误差。 A． 模型 B． 观测 C． 截断 D． 舍入 8、解线性方程组的主元素消去法中选择主元的目的是( A )。 A．控制舍入误差 B． 减小方法误差 C．防止计算时溢出 D． 简化计算

x3 9、用1+3近似表示1x所产生的误差是( D )误差。

A． 舍入 B． 观测 C． 模型 D． 截断 10、-324．7500是舍入得到的近似值，它有( C )位有效数字。 A． 5 B． 6 C． 7 D． 8

11、设f (-1)=1,f (0)=3,f (2)=4,则抛物插值多项式中x2的系数为( A )。 A． –0．5 B． 0．5 C． 2 D． -2 12、三点的高斯型求积公式的代数精度为( C )。 A． 3 B． 4 C． 5 D． 2 13、( D )的3位有效数字是0.236×102。

(A) 0.0023549×103 (B) 2354.82×10－2 (C) 235.418 (D) 235.54×10－1 14、用简单迭代法求方程f(x)=0的实根，把方程f(x)=0表示成x=(x)，则f(x)=0的根是

( B )。

(A) y=(x)与x轴交点的横坐标 (B) y=x与y=(x)交点的横坐标 (C) y=x与x轴的交点的横坐标 (D) y=x与y=(x)的交点

3x1x24x31x12x29x304x3xx112315、用列主元消去法解线性方程组，第1次消元，选择主元为( A ) 。

(A) －4 (B) 3 (C) 4 (D)－9

16、拉格朗日插值多项式的余项是( B ),牛顿插值多项式的余项是( C ) 。

(A) f(x,x0,x1,x2,…,xn)(x－x1)(x－x2)…(x－xn－1)(x－xn)，

f(n1)()Rn(x)f(x)Pn(x)(n1)! (B)

(C) f(x,x0,x1,x2,…,xn)(x－x0)(x－x1)(x－x2)…(x－xn－1)(x－xn)， (D)

Rn(x)f(x)Pn(x)f(n1)()n1(x)(n1)!

18、用牛顿切线法解方程f(x)=0，选初始值x0满足( A ),则它的解数列{xn}n=0,1,2,…一定收敛到方程f(x)=0的根。

19、为求方程x3―x2―1=0在区间[1.3,1.6]内的一个根，把方程改写成下列形式，并建立

相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是(A )。

x2(A)

1,迭代公式:xk1x11xk1

x1(B)(C)

11,迭代公式:x1k12x2xk

21/3x31x2,迭代公式:xk1(1xk)

(D)

x1x,迭代公式:xk1322xk12xkxk1

(k1)Bx(k)g收敛的充要条件是（ ）21、解方程组Axb的简单迭代格式x。

（1）(A)1, (2) (B)1, (3) (A)1, (4) (B)1

23、有下列数表 x f(x) 0 -2 0.5 -1.75 1 -1 1.5 0.25 2 2 2.5 4.25 所确定的插值多项式的次数是（ ）。 （1）二次； （2）三次； （3）四次； （4）五次

4x(31)31.73225、取计算，下列方法中哪种最好？（ ）

1616224(A)28163； (B)(423)； (C) (423)； (D) (31)。

27、由下列数表进行Newton插值，所确定的插值多项式的最高次数是（ ） -1 0.5 2.5 5.0 8.0 (A)5； (B)4； (C) 3； (D) 2。

１ 1.5 ２ 2.5 ３ 3.5 11.5 29、计算3的Newton迭代格式为( )

xxxx3323xk1kxk1kxk1kxk1k2xk；(B)22xk；(C) 2xk；(D) 3xk。 (A)

3230、用二分法求方程x4x100在区间[1,2]内的实根，要求误差限为对分次数至少为( )

(A)10； (B)12； (C)8； (D)9。

10312，则

ixk(k0,1,L,9)l(x)k0ki32、设是以为节点的Lagrange插值基函数，则( )

(A)x； （B）k； （C）i； （D）1。

335、已知方程x2x50在x2附近有根，下列迭代格式中在x02不收敛的是( )

352xk5xk12xk13232x5xxxxx53x2。 k1kkk1kkk(A)； (B)； (C)； (D)

36、由下列数据 0 1 2 3 4 1 2 4 3 -5 确定的唯一插值多项式的次数为( ) (A) 4； (B)2； (C)1； (D)3。

三、是非题（认为正确的在后面的括弧中打，否则打）

kl(k)91，2，，m),用最小二乘法求n次拟合多项式Pn(x)时，1、已知观察值(xi，yi)(i0，Pn(x)的次数n可以任意取。 ( )

x22、用1-2近似表示cosx产生舍入误差。 ( )

(xx0)(xx2)3、(x1x0)(x1x2)表示在节点x1的二次(拉格朗日)插值基函数。 (  )

4、牛顿插值多项式的优点是在计算时，高一级的插值多项式可利用前一次插值的结果。

(  )

311253125具有严格对角占优。 ( ) 5、矩阵A=四、计算题：

1、用高斯-塞德尔方法解方程组 按五位有效数字计算)。 答案：迭代格式

4x12x2x311x14x22x3182xx5x22231，取x(0)(0,0,0)T，迭代四次(要求

k 0 1 2 3 4 2、已知

1 2 3 6 4 5 5 4 0 2.7500 0.20938 0.24043 0.50420 0 3.8125 3.1789 2.5997 2.4820 0 2.5375 3.6805 3.1839 3.7019 分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求f(x)的三次插值多项式P3(x)，并求f(2)的近似值（保留四位小数）。

答案：

L3(x)2(x3)(x4)(x5)(x1)(x4)(x5)6(13)(14)(15)(31)(34)(35)

差商表为

1 3 4 5 5、已知

-2 4 -1 2 0 1 1 3 2 5 一阶均差 2 6 5 4 2 -1 -1 二阶均差 -1 0 三阶均差 求f(x)的二次拟合曲线p2(x)，并求f(0)的近似值。 答案：解：

0 1 2 3 4 -2 -1 0 1 2 0 4 2 1 3 5 15 4 1 0 1 4 10 -8 -1 0 1 8 0 16 1 0 1 16 34 -8 -2 0 3 10 3 16 2 0 3 20 41 5a010a21510a1310a34a412正规方程组为 0

6、已知sinx区间[0.4，0.8]的函数表

0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.38942 0.47943 0.56464 0.64422 0.71736 如用二次插值求sin0.63891的近似值，如何选择节点才能使误差最小？并求该近似值。

答案：解： 应选三个节点，使误差

尽量小，即应使|3(x)|尽量小，最靠近插值点的三个节点满足上述要求。即取节点

{0.5,0.6,0.7}最好，实际计算结果

sin0.638910.596274，

且

x7、构造求解方程e10x20的根的迭代格式xn1(xn),n0,1,2,，讨论其收敛性，

4|xx|10n1n并将根求出来，。

x答案：解：令 f(x)e10x2,f(0)20,f(1)10e0.

xf(x)e100对x(，)，故f(x)0在(0,1)内有唯一实根.将方程且

f(x)0变形为 则当x(0,1)时

(x)故迭代格式

1(2ex)10，

exe|(x)|11010

收敛。取x00.5，计算结果列表如下：

n 0 1 2 3 0.5 0.035 127 872 0.096 424 785 0.089 877 325 n 4 5 6 7 0.090 595 993 0.090 517 340 0.090 525 950 0.090 525 008 且满足 |x7x6|0.00000095106.所以x*0.090525008.

x12x23x3142x15x22x318 8﹑利用矩阵的LU分解法解方程组 3x1x25x320。

1123ALU2114答案：解：

35124 令Lyb得y(14,10,72)T，Uxy得x(1,2,3)T.

3x12x210x31510x14x2x35 9﹑对方程组 2x110x24x38

（1） 试建立一种收敛的Seidel迭代公式，说明理由；

（2） 取初值x(0)(0,0,0)T，利用（1）中建立的迭代公式求解，||x(k1)x(k)||103。

解：调整方程组的位置，使系数矩阵严格对角占优

故对应的高斯—塞德尔迭代法收敛.迭代格式为 取x(0)(0,0,0)T,经7步迭代可得：

x*x(7)(0.999991459,0.999950326,1.000010)T.

10、已知下列实验数据

xi 1.36 1.95 2.16 f(xi) 16.844 17.378 18.435 试按最小二乘原理求一次多项式拟合以上数据。

1x解：当0R(n)1 要求近似值有5位有效数字，只须误差

1(f)1042.

要求

由

(n)R1((ba)3f)f()212n，只要

即可，解得

所以 n68，因此至少需将 [0,1] 68等份。

111x14543x122211x311。 11、用列主元素消元法求解方程组 111454312r254312r111142111121111 解： 回代得 x31,x26,x13。

x 12、取节点x00,x10.5,x21,求函数f(x)e在区间[0,1]上的二次插值多项式P2(x),

并估计误差。

P2(x)e0(x0.5)(x1)(x0)(x1)e0.5(00.5)(01)(0.50)(0.51)

x[0,1]解：

又

f(x)ex,f(x)ex,M3max|f(x)|1|R2(x)||exP2(x)|

故截断误差

1|x(x0.5)(x1)|3!。

15、用牛顿(切线)法求3的近似值。取x0=1.7, 计算三次，保留五位小数。

2解：3是f(x)x30的正根，f(x)2x，牛顿迭代公式为

xn12x3xn3xn1nxn22xn2xn， 即

(n0,1,2,)

取x0=1.7, 列表如下：

1 1.73235 2 1.73205 3 1.73205 16、已知f (-1)=2，f (1)=3，f (2)=-4，求拉格朗日插值多项式L2(x)及f (1，5)的近似值，取五位小数。

解：

L2(x)2(x1)(x2)(x1)(x2)(x1)(x1)34(11)(12)(11)(12)(21)(21)

301x15131x21114x83=， 18、用Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组 取x(0)=(0,0,0)T,列表计算三次，保留三位小数。 解：Gauss-Seidel迭代格式为：

301131114严格对角占优，故Gauss-Seidel迭代收敛. 系数矩阵取x(0)=(0,0,0)T，列表计算如下:

1 2 3 1.667 2.398 2.461 2 0.889 0.867 0.359 -2.195 -2.383 -2.526 20、（8分）用最小二乘法求形如yabx的经验公式拟合以下数据：

2解：span{1,x}

TTAACAy 解方程组

19 19.0 25 32.3 30 49.0 38 73.3 33914173.6TATAAy179980.733913529603  其中

0.9255577C0.0501025 所以 a0.9255577， b0.0501025 解得：

322、（15分）方程xx10在x1.5附近有根，把方程写成三种不同的等价形式（1）

11x1x1n1xn；x3x1对应迭代格式xn13xn1；(2)x对应迭代格式（3）

3xx31对应迭代格式xn1xn1。判断迭代格式在x01.5的收敛性，选一种收敛格式计算x1.5附近的根，精确到小数点后第三位。

1(x)(x1）3（1.5）0.181，故收敛； 3解：（1），

1(x)12x211.5）0.171，故收敛； x，（（2）

222（1.5）31.51，故发散。 (x)3x（3），

选择（1）：x01.5，x11.3572，x21.3309，x31.3259，x41.3249，

x51.32476，x61.32472 23、（8分）已知方程组AXf，其中

4324

30A341f

14，24

（1） 列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。 （2） 求出Jacobi迭代矩阵的谱半径。

1(k1)(k)x(243x)1241(k1)(k)x2(303x1(k)x3)41(k1)(k)x(24x)324k0,1,2,3,解：Jacobi迭代法： 1(k1)(k)x(243x)1241(k1)(k)x2(303x1(k1)x3)41(k1)(k1)x(24x2)34k0,1,2,3,Gauss-Seidel迭代法：

0304133BJD(LU)0445(或10)0.7905693(B)00J84， 4

31、(12分)以100,121,144为插值节点，用插值法计算115的近似值，并利用余项估计误差。

用Newton插值方法：差分表： 100 10 121 11 144 12 0.0476190 0.0434783 -0.0000941136 11510+0.0476190(115-100)-0.0000941136(115-100)(115-121)

=10.7227555

33、(10分)用Gauss列主元消去法解方程组：

x14x22x3243x1x25x3342x6xx27231

3.0000 1.0000 5.0000 34.0000 0.0000 3.6667 0.3333 12.6667 0.0000 5.3333 -2.3333 4.3333 3.0000 1.0000 5.0000 34.0000 0.0000 5.3333 -2.3333 4.3333 0.0 0000 1.9375 9.6875

135x112x21121 的最小二乘解。 34、(8分)求方程组 36x181.3333xx202.0000614ATAxATb，2，  若用Householder变换，则：

最小二乘解： (-1.33333，2.00000)T.

1221b2A111221，3， 37、（15分）已知方程组Axb，其中

（1）写出该方程组的Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式； （2）判断（1）中两种方法的收敛性，如果均收敛，说明哪一种方法收敛更快； 解：（1）Jacobi迭代法的分量形式 Gauss-Seidel迭代法的分量形式 （2）Jacobi迭代法的迭代矩阵为

022BD1(LU)101220，

1230，(B)01，Jacobi迭代法收敛

Gauss-Seidel迭代法的迭代矩阵为

022G(DL)1U023200，

10,232，(B)21，Gauss-Seidel迭代法发散 40、(10分)已知下列函数表： 0 1 2 1 3 9 (1)写出相应的三次Lagrange插值多项式； 3 27 (2)作均差表，写出相应的三次Newton插值多项式，并计算f(1.5)的近似值。 解：（1）

0113224296（2）均差表：327 18 6 3