吉林大学 研究生 数值计算方法期末考试 样卷

ln(2。0)=0。6931；ln（2。2)=0。7885,ln(2。3)=0。8329，试用线性插值和抛物插值计算.ln2。1的值并估计误差

2.已知x=0，2，3,5对应的函数值分别为y=1，3，2,5。试求三次多项式的插值

3. 分别求满足习题1和习题2 中插值条件的Newton插值 （1)

xi f[xi] f[xi1,xi] f[xi2,xi1,xi] 2。0 2.2 2。3 （2)

xi0.6931 0。7885 0。8329 0。477 0。444 -0.11 f[xi] f[xi1,xi] f[xi2,xi1,xi]f[xi3,xi2,xi1,xi] 0 2 1 3 1 3 5 2 5 -1 3/2 -2/3 5/6 3/10 23N3(x)1xx(x2)x(x2)(x3)3104.给出函数f（x)的数表如下,求四次Newton

插值多项式,并由此计算f(0.596)的值

xi 0.40 0.55 0.65 0。80 0。90 1.05 0。1。0.5780.6960.8881.2534107026515 75 11 82 5 2 f(xi) 解：

xi f[xi]F2 F3 F4 F5 F6 0。0.410 4 75 0。0.5781。 55 15 11600 0。0.6961.1860。 65 75 00 2800 0 0。0。1。0。0。 8 88812757358919731 3 3 3 0。1。1.3840.4330。-0.022 9 026510 47 186300 2 4 1。1。1.5150.5240.2280。0.16305 253833 92 63 08846 94 2

5。已知函数y=sinx的数表如下，分别用前插和后插公式计算sin0.57891的值

xi 0。4 0.5 0.6 0。56464 0。7 0。64422 f(xi)0。0.38942 47943 6。求最小二乘拟合一次、二次和三次多项式,拟合如下数据并画出数据点以及拟合函数的图形。

(a）

xk 1。0 1。1 1。3 1。5 1.9 2.1 yk1。84 1.96 2.21 2.45 2.94 3。18 (b)

xk4。4。4。5。5。6。7。4.7 5.5 6.3 0 2 5 1 9 8 1 k10111314161922252932y2。3。0。2。7。5。4.86.79.56。 56 18 11 05 53 14 7 3 0 72

7。试分别确定用复化梯形、辛浦生和中矩

21dx形求积公式计算积分0x4所需的步长

h，使得精度达到105。

8.求A、B使求积公式

111f(x)dxA[f(1)f(1)]B[f(2)f(2)]1的

代数精度尽量高,并求其代数精度；利用此公式求9。已知

xiI211dxx(保留四位小数).

1 2 3 6 4 5 5 4 f(xi)分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求f(x)的三次插值多项式P(x)，并求f(2)的近似值（保留四位小数）。

3 10。已知

—x -2 1 i0 1 21 3 2 5 f(xi) 4 2 求f(x)的二次拟合曲线p(x)，并求f(0)的近

似值。

11。已知sinx区间［0。4,0。8]的函数表 0。4 0.5 0。xi 6 0。7 0.8 0。38942 0。47943 0.56464 0.64422 yi 0.71736 如用二次插值求sin0.63891的近似值，如何选择节点才能使误差最小？并求该近似值。 12。 利用矩阵的LU分解法解方程组

x12x23x3142x15x22x3183xx5x20123。

13。已知下列实验数据 xi 1.36 1.95 2.16 f（xi） 16.844 17.378 18。435 试按最小二乘原理求一次多项式拟合以

上数据.

14。 取节点x0,x0.5,x1，求函数f(x)e在区间[0，1]上的二次插值多项式P(x)，并估计误差。

012x215。 数值积分公式形如

xf(x)dxS(x)Af(0)Bf(1)Cf(0)Df(1)01试确定参数A,B,C,D使公式代数精度尽量高；（2）设f(x)C[0,1]，推导余项公式

4R(x)xf(x)dxS(x)01，并估计误差。

16. 已知数值积分公式为:



h0hf(x)dx[f(0)f(h)]h2[f'(0)f'(h)]2,试

确定积分公式中的参数，使其代数精确度

尽量高，并指出其代数精确度的次数. 17. 以100，121,144为插值节点，用插值法计算115的近似值，并利用余项估计误差.

用Newton插值方法：差分表：

18用复化Simpson公式计算积分

sinxIdx0x的近似值，要求误差限为

10.510。

19。 取5个等距节点 ,分别用复化梯形公式

51dx2和复化辛普生公式计算积分012x2的近似值（保留4位小数）。 20.确定求积公式

11fxdx95f10.68f05f0.6

的代数精度，它是Gauss公式吗？ 21·。 给出f(x)lnx的数值表用线性插值及二次插值计算ln0.54的近似值。 X 0.4 0.5 0.6 0。7 0。8 lnx—0.91—0。—0.51-0.357—0。 6291 693147 0826 765 223144 22。给出cosx,0x90的函数表，步长h1(1/60)，若函数具有5位有效数字,研究用线性插值求cosx近似值时的总误差界。

23. 求一个次数不高于4次的多项式P(x)，使它满足P(0)P(0)0，P(1)P(1)1,P(2)1。 24。。 给定数据表：i1,2,3,4,5，

xi 1 2 4 6 7 4 1 0 1 1 f(xi) 求4次牛顿插值多项式,并写出插值余项。 25.如下表给定函数：i0,1,2,3,4，

xi 0 1 2 3 4 3 6 11 18 27 f(xi) 试计算出此列表函数的差分表,并利用牛顿向前插值公式给出它的插值多项式.

26。 用最小二乘法求一个形如yabx的经验公式,使它与下列数据相拟合，并求均方误差。

2xiyi 19 25 31 38 44 19。0 32.3 49。0 73.3 97。8 27.观测物体的曲线运动，得出以下数据： 时间t（秒） 0 0.9 1.9 3.0 3.9 5。0 距离s(米） 0 10 30 50 80 110

28。 单原子波函数的形式为yae，

试按照最小二乘法决定参数a和b，已知数据如下：

X 0 1 2 4 bxy 2.010 1.210 0.740 0.450 29. 分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分：

（1）4xx102dx；

30。 用矩阵的直接三角分解法求解方程

1020x150组:10

1024101x233x1733。

x47