计算方法复习题与答案

复习题与答案

复习题一 复习题一答案 复习题二

复习题二答案 复习题三 复习题三答案 复习题四

复习题四答案 自测题

复习题（一）

一、填空题：

21、求方程0.5x101x10的根，要求结果至少具有6位有效数字。已知

10203101.0099，则两个根为x1 ，

x2 .（要有计算过程和结果）

410AA1410142、，则A的LU分解为

。

.

.

12A35，则(A) ，A . 3、

4、已知f(1)1.0,f(2)1.2,f(3)1.3，则用抛物线（辛卜生）公式计算求

得13f(x)dx_________，用三点式求得f(1) .

25、f(1)1,f(2)2,f(3)1，则过这三点的二次插值多项式中x的系数

为 ，拉格朗日插值多项式为 . 二、单项选择题：

1、 Jacobi迭代法解方程组Axb的必要条件是（ ）. A．A的各阶顺序主子式不为零 B. (A)1 C. aii0,i1,2,,n D. A1

99299f(x)3x5x7f[1,2,2,,2]=( ) . 2、设，均差

A.3 B. -3 C. 5 D.0

223A051007，则(A)为( ). 3、设

A. 2 B. 5 C. 7 D. 3 4、三点的高斯求积公式的代数精度为( ). A. 2 B.5 C. 3 D. 4 5、幂法的收敛速度与特征值的分布（ ）。 A. 有关 B. 不一定 C. 无关 三、计算题：

1、用高斯-塞德尔方法解方程组

4x12x2x311x14x22x3182xx5x22231，取x(0)(0,0,0)T，迭

代四次(要求按五位有效数字计算).

11f(x)dxA[f(1)f(1)]B[f()f()]1222、求A、B使求积公式的代数精

1.

.

度尽量高,并求其代数精度；利用此公式求3、已知

I211dxx(保留四位小数)。

xi f(xi) 1 2 3 6 4 5 5 4 分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求f(x)的三次插值多项式P3(x)，并求f(2)的近似值（保留四位小数）.

4、取步长h0.2，用预估-校正法解常微分方程初值问题

y2x3yy(0)1 (0x1)

5、已知

xi f(xi) -2 4 -1 2 0 1 1 3 2 5 求f(x)的二次拟合曲线p2(x)，并求f(0)的近似值。

6、证明方程f(x)x4x2=0在区间（0,1）内只有一个根，并用迭代法

（要求收敛）求根的近似值，五位小数稳定。

3复习题（一）参考答案

一、一、1、x110210406204.010，x22(10210406)0.00980345

0141154A1411415156150 2、

3、310，8

4、2.367 0.25

11L2(x)(x2)(x3)2(x1)(x3)(x1)(x2)22 5、-1，

二、1C,2B,3C,4B,5A 三、1、迭代格式

.

.

(k1)1(k)(k)x(112xx)1234(k1)1(k1)(k)x2(18x12x3)4(k1)1(k1)(222x1(k1)x2)x35 

k 0 1 2 3 4 x1(k) (k)x2 (k)x3 0 2.7500 0.20938 0.24043 0.50420 0 3.8125 3.1789 2.5997 2.4820 0 2.5375 3.6805 3.1839 3.7019 22、f(x)1,x,x是精确成立，即

2A2B212182ABA,B23 得99

1811f(x)dx[f(1)f(1)][f()f()]19922求积公式为

121当f(x)x时，公式显然精确成立；当f(x)x时，左=5，右=3。

34所以代数精度为3。

121t2x311111811dxdt[][]1xt39131391/23123970.69286140

(x3)(x4)(x5)(x1)(x4)(x5)L3(x)26(13)(14)(15)(31)(34)(35) 3、

(x1)(x3)(x5)(x1)(x3)(x4)4(41)(43)(45)(51)(53)(54)

差商表为

5xi yi

一阶均差 2 -1 -1 二阶均差 -1 0 三阶均差 1 3 4 5 2 6 5 4 14 .

.

1P3(x)N3(x)22(x1)(x1)(x3)(x1)(x3)(x4)4

f(2)P3(2)5.5

(0)yn1yn0.2(2xn3yn)(0)yy0.1[(2x3y)(2x3yn1nnnn1n1)] 4、解：

即 yn10.52xn1.78yn0.04

n xn 0 0 1 1 0.2 1.82 2 0.4 5.8796 3 0.6 10.7137 4 0.8 19.4224 5 1.0 35.0279 yn 5、解： i 0 1 2 3 4 xi yi xi2 xi3 xi4 xiyi xi2yi -2 -1 0 1 2 0 4 2 1 3 5 15 4 1 0 1 4 10 -8 -1 0 1 8 0 16 1 0 1 16 34 -8 -2 0 3 10 3 16 2 0 3 20 41 正规方程组为

5a010a21510a1310a34a4120

10311,a1,a271014

10311311(x)xp2(x)xx2p271014 107

3(0)f(0)p210

a0复习题（二）

一、填空题：

1、近似值x*0.231关于真值x0.229有( )位有效数字；

3*2、x的相对误差为x*的相对误差的( )倍；

3、设f(x)可微,求方程xf(x)的牛顿迭代格式是( )；

.

.

3x1f(x)x4、对,差商f[0,1,2,3]( ),f[0,1,2,3,4]( )；

5、计算方法主要研究( )误差和( )误差；

6、用二分法求非线性方程f (x)=0在区间(a,b)内的根时，二分n次后的误差限为( )；

7、求解一阶常微分方程初值问题y= f (x,y)，y(x0)=y0的改进的欧拉公式为( )；

8、已知f(1)＝2，f(2)＝3，f(4)＝5.9，则二次Newton插值多项式中x2系数为( )；

9、两点式高斯型求积公式01f(x)dx≈( )，代数精度为( )；

10、解线性方程组Ax=b的高斯顺序消元法满足的充要条件为( )。 二、单项选择题：

1、求解线性方程组Ax=b的LLT分解法中，A须满足的条件是( )。

A. 对称阵 B. 正定矩阵

C. 任意阵 D. 各阶顺序主子式均不为零 2、舍入误差是( )产生的误差。

A. A. 只取有限位数 B.模型准确值与用数值方法求得的准确值 C. 观察与测量 D.数学模型准确值与实际值 3、3.141580是π的有( )位有效数字的近似值。

A. 6 B. 5 C. 4 D. 7 4、幂法是用来求矩阵( )特征值及特征向量的迭代法。

A. 按模最大 B. 按模最小 C. 所有的 D. 任意一个 5、用 1+x近似表示ex所产生的误差是( )误差。

A. 模型 B. 观测 C. 截断 D. 舍入 6、解线性方程组的主元素消去法中选择主元的目的是( )。

A.控制舍入误差 B. 减小方法误差 C.防止计算时溢出 D. 简化计算

7、解线性方程组Ax=b的迭代格式x(k+1)=Mx(k)+f收敛的充要条件是( )。

A. M1 B. (A)1 C. (M)1 D. (M)1

.

.

三、计算题：

1、为了使20的近似值的相对误差限小于0.1%，要取几位有效数字？ 2、已知sinx区间[0.4，0.8]的函数表

0.4 0.5 0.6 0.7 xi 0.8 0.38942 0.47943 0.56464 0.64422 yi 0.71736 如用二次插值求sin0.63891的近似值，如何选择节点才能使误差最小？并求该近似值。

x3、构造求解方程e10x20的根的迭代格式xn1(xn),n0,1,2,，讨论

4|xx|10其收敛性，并将根求出来，n1n。

x12x23x3142x15x22x3183xx5x203 4﹑利用矩阵的LU分解法解方程组 12。 3x12x210x31510x14x2x352x10x4x823 5﹑对方程组 1

（1） 试建立一种收敛的Seidel迭代公式，说明理由；

(0)Tx(0,0,0)（2） 取初值，利用（1）中建立的迭代公式求解，要求

||x(k1)x(k)||103。

6﹑用复合梯形求积公式计算01xedx，则至少应将[0,1]分为多少等份才能保证

所得积分的近似值有5位有效数字?

复习题（二）参考答案

xf(xn)1xn1xnn1f(xn)； 一、1、2； 2、3倍； 3、

4、f[0,1,2,3]1,f[0,1,2,3,4]0； 5、截断，舍入；

.

.

bahyy[f(xn,yn)f(xn1,yn1)]n1nn126、2； 7、；

13131f(x)dx[f()f()]022323 8、 0.15； 9、；

10、A的各阶顺序主子式均不为零。

1二、1、B 2、A 3、B 4、A、 5、C 6、A 7、D 三、1、解：设20有n位有效数字，由 204.4，知a14

*r(20) 令

1110(n1)10(n1)0.1%2a18,

*3取 n4, r(20)0.125100.1%

故 204.472 1、1、解： 应选三个节点，使误差

|R2(x)|M3|3(x)|3!

尽量小，即应使|3(x)|尽量小，最靠近插值点的三个节点满足上述要求。即取节点{0.5,0.6,0.7}最好，实际计算结果

sin0.638910.596274，

且

sin0.638910.5962741(0.638910.5)(0.6389190.6)(0.638910.7)3!0.55032104xf(x)e10x2,3、解：令

f(0)20,f(1)10e0.

xf(x)e100对x(，)，故f(x)0在(0,1)内有唯一实根.且

将方程f(x)0变形为

x1(2ex)10

exe|(x)|11010则当x(0,1)时

(x)故迭代格式

1(2ex)10，

.

.

xn11(2exn)10

收敛。取x00.5，计算结果列表如下：

n 0 1 0.035 127 2 0.096 424 785 6 0.090 525 950 3 0.089 877 325 7 0.090 525 008 xn 0.5 4 0.090 595 872 5 0.090 517 340 n xn 993 6*|xx|0.000000951076且满足 .所以x0.090525008.

311214ALU2124351 4、解：

TT 令Lyb得y(14,10,72)，Uxy得x(1,2,3).

5、解：调整方程组的位置，使系数矩阵严格对角占优

10x14x2x352x110x24x383x2x10x15231

故对应的高斯—塞德尔迭代法收敛.迭代格式为

(k1)1(k)(k)x(4xx5)12310(k1)1(k1)(k)(2x14x38)x210(k1)1(k1)(k1)x(3x2x15)31210

取x(0)(0,0,0)T,经7步迭代可得：

x*x(7)(0.999991459,0.999950326,1.000010)T.

xedxxf(x)e6、解：当01 要求近似值有5位有效数字，只须误差

(n)R1(f)11042.

.

.

由

(n)R1((ba)3f)f()212n，只要

(n)R1(ex)ee141012n212n22

即可，解得

ne10267.308776

所以 n68，因此至少需将 [0,1] 68等份。

复习题（三）

一、填空题：

y10346x1(x1)2(x1)3 的乘除法次数尽量地少，应

1、为了使计算

将该表达式改写为 ，为了减少舍入误差，应将表达式

20011999改写为 。

3 2、用二分法求方程f(x)xx10在区间[0,1]内的根,进行一步后根的

所在区间为 ,进行两步后根的所在区间为 .

322Ax321,则||A||_________,||A||2_________, 3、设,||x||1________,||Ax||1___________. 4、计算积分0.51xdx,取4位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值

为 ，用辛卜生公式计算求得的近似值为 ，梯形公式的代数精度为 ，辛卜生公式的代数精度为 。

3x15x21 5、求解方程组0.2x14x20的高斯—塞德尔迭代格式为 ，该

迭代格式的迭代矩阵的谱半径(M)= 。 二、计算题：

1、已知下列实验数据

xi 1.36 1.95 2.16 .

.

f(xi) 16.844 17.378 18.435 试按最小二乘原理求一次多项式拟合以上数据. 111x14543x122211x311. 2、用列主元素消元法求解方程组 xx0,x0.5,x1f(x)e012 3、取节点,求函数在区间[0,1]上的二次插值多

项式P2(x),并估计误差。

A993 4、用幂法求矩阵

330.9按模最大的特征值及相应的特征向量，取x0(1,1)T，精确至7位有效数字。 5、用欧拉方法求

y(x)xet20dt

在点x0.5,1.0,1.5,2.0处的近似值。

6、给定方程f(x)(x1)ex10

1) 分析该方程存在几个根；

2) 用迭代法求出这些根，精确到5位有效数字； 3) 说明所用的迭代格式是收敛的。

复习题（三）参考答案

一、 一、y10(3(46t)t)t,t12 1﹑

x1，20011999；

2﹑[0.5,1]， [0.5,0.75]；

3﹑||A||5，||A||29213，||x||15，||Ax||17； 4﹑0.4268，0.4309，1，3；

x(k1)(1(15xk)2)/3 5﹑x(k1)2x(k1)11/20，12，收敛的； 二、 1、解：列表如下

.

.

i 0 1 2 xi yi xi2 1.8496 3.8025 4.6656 10.3177 xiyi 1.36 1.95 2.16 5.47 16.844 17.378 18.435 52.657 22.90784 33.8871 39.8196 96.61454 设所求一次拟合多项式为ya0a1x，则

5.47a052.65735.4710.3177a96.614541

解得 a014.355,a11.7534， 因而所求的一次拟合多项式为

y14.3551.7534x.

111454312rr543121211142111121111 2、解： 51r2r1502r3r10551r3r21300415135325153155131258r2r305790512795513

413515315251279585

4135回代得 x31,x26,x13。

P2(x)e0(x0.5)(x1)(x0)(x1)e0.5(00.5)(01)(0.50)(0.51) (x0)(x0.5)(10)(10.5) 3、解：

e12(x0.5)(x1)4e0.5x(x1)2e1x(x0.5)

.

.

又

f(x)ex,f(x)ex,M3max|f(x)|1x[0,1]

故截断误差

|R2(x)||exP2(x)|1|x(x0.5)(x1)|3!。

ykAxk1mkmax(yk)993Axy/m330.9kkk 4、解：幂法公式为 ，取x0=(1,1)T，列表如下：

k 1 2 yT (102，33.9) (99.997059,33.2991174) mk xT 102 (1,0.332353) 99.997059 (1,0.3330009675) 3 (99.9990029,33.29970087) 99.9990029 (1,0.333000329) 4 (99.99900098,33.29970029) 99.99900098 (1,0.333000330) |m4m3|11052，所以

因为

199.99900098,v1(1,0.33300033)T

5、解：

y(x)e0xt2dt等价于

2yexy(0)0 (x0)

记f(x,y)ex2,取h0.5,x00,x10.5,x21.0,x31.5,x42.0.

则由欧拉公式

yn1ynhf(xn,yn)y00, n0,1,2,3

可得 y(0.5)y10.5,y(1.5)y31.07334,y(1.0)y20.88940,

y(2.0)y41.12604

x(x1)e10 （1） 6、解：1）将方程

改写为

x1e （2）

x.

.

*xxf(x)ef(x)x121 作函数，的图形（略）知（2）有唯一根(1,2)。

2) 将方程（2）改写为 x1e

xk11exk构造迭代格式 x01.5 (k0,1,2,)

x计算结果列表如下：

k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 xk 1.22313 1.29431 1.27409 1.27969 1.27812 1.27856 1.27844 1.27847 1.27846 3) (x)1ex，(x)ex

当x[1,2]时，(x)[(2),(1)][1,2]，且

|(x)|e11

所以迭代格式 xk1(xk)(k0,1,2,)对任意x0[1,2]均收敛。

复习题（四）

一、填空题：

1、设f(0)0,f(1)16,f(2)46,则l1(x) ，f(x)的二次牛顿插值多项式为 。 2、

3.142,3.141,227分别作为的近似值有 , , 位有效数字。

bn 3、求积公式的代数精度以( )求积公式为最

高，具有( )次代数精度。；

4、解线性方程组的主元素消元法中，选择主元的目的是( )； 5、已知f (1)=1,f (3)=5,f (5)=-3,用抛物线求积公式求1( )。

6、设f (1)=1， f(2)=2，f (3)=0，用三点式求f(1)( )。 二、单项选择题：

x3 1、用1+3近似表示1x所产生的误差是( )误差。

A. 舍入 B. 观测 C. 模型 D. 截断 2、-324.7500是舍入得到的近似值，它有( )位有效数字。

5Akf(xk)af(x)dxk0f(x)dx≈

.

.

A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

3、反幂法是用来求矩阵( )特征值及相应特征向量的一种向量迭代法。 A. 按模最大 B. 按模最小 C. 全部 D. 任意一个 4、( )是解方程组Ax=b的迭代格式x(k+1)=Mx(k)+f收敛的一个充分条件；

A. M<1 B. (A)<1 C. A<1 D. (M)<1

1 5、用s*=2gt2表示自由落体运动距离与时间的关系式 ( g为重力加速度 )，

st是在时间t内的实际距离，则st- s*是（ ）误差。

A. 舍入 B. 观测 C. 模型 D. 截断

6、设f (-1)=1,f (0)=3,f (2)=4,则抛物插值多项式中x2的系数为( )；

A. –0.5 B. 0.5 C. 2 D. -2 7、三点的高斯型求积公式的代数精度为( )。 A. 3 B. 4 C. 5 D. 2

8、求解线性方程组Ax=b的LLT分解法中，A须满足的条件是( )。

A. A. 对称阵 B. 各阶顺序主子式均大于零 C. 任意阵 D. 各阶顺序主子式均不为零

三、是非题（认为正确的在后面的括弧中打，否则打）

1，2，，m),用最小二乘法求n次拟合多项式1、1、已知观察值(xi，yi)(i0，Pn(x)时，Pn(x)的次数n可以任意取。 ( )

2、2、用1-近似表示cosx产生舍入误差。

( )

(xx0)(xx2)3、3、(x1x0)(x1x2)表示在节点x1的二次(拉格朗日)插值基函数。 ( ) 4、任给实数a及向量x，则||ax||a||x||。 ( ) 5、牛顿插值多项式的优点是在计算时，高一级的插值多项式可利用前一次插

值的结果。 ( )

11046、-23.1250有六位有效数字，误差限 2。 ( )

x22311253125具有严格对角占优。 ( ) 7、矩阵A=.

.

8、数据拟合的步骤是：

1）作散点图；2）解正规方程组；3）确定函数类型 ( ) 9、 LLT分解可用于求系数矩阵为实对称的线性方程组。 ( ) 10、幂法的收敛速度与特征值的分布无关。 ( )

四、计算题：（每小题7分，共42分）

2、1、用牛顿(切线)法求3的近似值。取x0=1.7, 计算三次，保留五位小数。

400011010，求A1，A，||A||2。 2、已知 A=4、4、已知f (-1)=2，f (1)=3，f (2)=-4，求拉格朗日插值多项式L2(x)及f (1.5)的近似值，取五位小数。

edx 4、n=3,用复合梯形公式求0的近似值（取四位小数）,并求误差估计。

004121012按模最大特征值及相应特征向量，列表 5、用幂法求矩阵A=计算三次，取x0=(1，1，1)T，保留两位小数。

301x15131x21114x83=， 6、用Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组  取x(0)=(0,0,0)T,列表计算三次，保留三位小数。

yxy 7、用预估—校正法求解y(0)1(0x1)，h=0.2，取两位小数。

1x

复习题（四）参考答案

一、1、l1(x)x(x2)，N2(x)16x7x(x1)； 2、 4 ,3 ,3； 3、高斯型，2n1； 4、减少舍入误差； 5、12； 6、2.5 二、1D， 2C， 3B， 4A， 5C， 6A， 7C， 8B

三、1、，2、，3、 4、，5、，6、，7、，8、，9、，10、

2四、1、解：3是f(x)x30的正根，f(x)2x，牛顿迭代公式为

xn12xxn33xn1nxn22xn2xn， 即

(n0,1,2,)

取x0=1.7, 列表如下：

.

.

n xn 1 1.73235 2 1.73205 3 1.73205 2、解：||A||14,||A||4，

4004001600ATA011011021010010011，

1600|ATAE|002111(16)(231)0

35,162得 ，所以 ||A||24。

(x1)(x2)(x1)(x2)(x1)(x1)L2(x)234(11)(12)(11)(12)(21)(21) 3、解：

234(x1)(x2)(x1)(x2)(x1)(x1)323 1f(1.5)L2(1.5)0.0416724

1x100edxT[e2(e13e23)e1]1.73423234、解：0

f(x)ex,f(x)ex，0x1时，|f(x)|e

|R||exT3|ee0.0250.052108123

至少有两位有效数字。

ykAxk1mkmax(yk)xy/mkk5、幂法公式为 k，

T取x0=(1,1,1)，列表如下： k yT mk 4.00 4.00 4.00 xT (1, 0, 0.25) (1,-0.31,0.13) (1,-0.44,0.14) 1 (4， 0， 1) (4， -1.25， 2 0.5) 3 (4, -1.75, 0.57) 14.00,v1(1,0.44,0.14)T

6、解：Gauss-Seidel迭代格式为：

.

.

(k1)1(k)x(x5)1331(k1)(k1)(k)x(x1x31)23(k1)1(k1)(k1)x(xx8)3124

301131114严格对角占优，故Gauss-Seidel迭代收敛. 系数矩阵取x(0)=(0,0,0)T，列表计算如下:

k 1 2 3 (k)x1 (k)x2 (k)x3 1.667 2.398 2.461 0.889 0.867 0.359 -2.195 -2.383 -2.526 7、解：预估—校正公式为 1yy(k1k2)nn12k1hf(xn,yn)k2hf(xnh,ynk1) n0,1,2,

其中f(x,y)xy，y01，h=0.2，n0,1,2,3,4，代入上式得： 1 2 3 4 5 n xn 0.2 1.24 0.4 1.58 0.6 2.04 0.8 2.64 1.0 3.42

yn 自测题

一、填空题（15分）：

1、-43.578是舍入得到的近似值，它有 ( ) 位有效数字，相对误差限为

( )。

2、二分法求非线性方程f(x)0在区间(1,3)内的根时，二分9次后的误差限为( )。

3、f(1)＝1，f(3)＝3.6，f(4)＝5.2，则过这三点的二次插值多项式中x2的系数为( )，插值基函数l1(x)=( )，二次插值多项式

P2(x)=( )。

.

.

4、已知f (1)＝1，f (3)＝2，f (5)＝4，用复合梯形求积公式求得

51f(x)dx≈( )。

5、 (xi,yi) i=1,2, …,15的线性拟合曲线yabx的正规方程组为( )。

6、 幂法的迭代公式为( )。

7、 已知f(1)＝1，f(3)＝2，则f(1)( )。 二、单项选择题：(5分)

1. 截断误差是 ( ) 产生的误差。

A. A. 只取有限位数 B. 模型准确值与用数值方法求得的准确值 C. 观察与测量 D. 数学模型准确值与实际值 2. 用x近似表示sinx所产生的误差是（ ）误差。 A. 模型 B. 观测 C. 截断 D. 舍入

3. 解线性方程组Ax=b的迭代格式x(k+1)=Mx(k)+f收敛的充要条件是（ ）。 A. (M)<1 B. (A)<1 C. ||A||<1 D. ||M||<1 4. 设||x||为n维向量x的范数，则( )。

A. ‖x‖<1 B. ‖x‖>1 C. ‖x‖>0 D. ‖x‖≥0 5. 幂法是求矩阵（ ）特征值及相应特征向量的一种向量迭代法。 A. 按模最小 B. 所有 C. 按模最大 D. 任意一个 三、计算题：（50分）

1. 证明方程f(x)x2-x-3=0在区间(2,3)内有且仅有一个根,并用迭代法求方程在区间(2,3)内的根,精确到小数点后4位。

2. 设f (1)=2，f (3)=4，f (4)=6，用拉格朗日插值法求f (x)的二次插值多项式P2(x)，并求f (2)的近似值。

3. 用预估—校正公式求初值问题y=2x-3y，y(0)=1 (0x1)在区间[0,1]上的数值解，步长h=0.2（保留3位小数）。

201x13131x62114x3=3的解。 4. 用LU分解方法求方程组 .

.

5. 用简单(Jacobi)迭代法解上题，取x(0)=(0,0,0)T,列表计算四次，保留三位小数（要求判断迭代收敛）。

6. 求一次数 3的多项式p(x),使得p(0)p(1)1,p(0)p(1)2.

x1x20x1x222x2x0.0127. 求线性方程组 1 的最小二乘解。

.