数值分析复习题

1. 区间[a,b]上，若f(a)f(b)<0，则方程f(x)=0在[a,b]内一定有实根。 2. 22/7作为π=3.1415926……近似值，它有3位有效数字。

3. 设P(x)和Q(x)都是n次多项式，如果在n +1 个不同的节点xi上都有P(xi)＝Q(xi)，则P(x)≡Q(x) 。 4. 取节点x01, x10, x22 ,x34作f(x)x2的插值多项式p(x)，则p(x)次数为2，插值基函数的次数为3。

5. 插值多项式严格通过所有的节点(xi，yi)。

k6. 若k<=n，P(x)和Q(x)分别是 x的通过n +1 个不同的节点的牛顿插值多项式和拉格朗日插值多项式则

kP(x)≡Q(x)≡x 。

7. 插值多项式次数越高，逼近效果越好。

8. 任何一组互异数据，逼近它们的多项式插值函数仅有一个。 9. 插值多项式次数与拟合曲线都严格通过所给定的数据点。

3310. 求积公式：f(x)dx ≈[f(0)3f(1)3f(2)f(3)]是插值型的。

0811. 牛顿-科特斯求积公式中的求积节点是等分的。

12. 牛顿法求方程(x)=0的单根, 在(x)可导的情况下, 至少二阶收敛。 13. 高斯型求积公式是插值型的。 14. 一阶亚当姆斯格式是单步法。

15. 显式的亚当姆斯公式：ynynh(fnfn) 是单步法。

16. 求初值问题数值解的四阶亚当姆斯公式是多步法。

17. 如果有一常微分方程数值解法的局部截断误差Tn1y(xn1)yn1O(h3)，则该方法是3阶的。 18. 用一般迭代法求方程fx0的根，如其迭代过程xk1xk发散，则方程fx0 的无解。 19. 牛顿法求方程(x)=0的根, 在(x)可导的情况下, 至少二阶收敛。 20. 压缩映像原理的压缩性是：对于任意x∈[a,b]，都有|φ’(x)| < 1 。

(m+1)(m)

21. 迭代公式x=Bx+g收敛的充分条件：||B||<1。 22. 若n阶方阵B满足║B║<1,则I+B可逆。 23. 设||x||为n维向量x的范数，则||x||>0。

24. 线性方程组Ax=b的迭代公式X=BX+f收敛的从要条件：B是对角占优矩阵。

(k+1)(k)

25. 线性方程组Ax=b的迭代公式X=Bx+f发散，则Ax=b无解。 26. 只要是正定阵，就可作LDLT分解, 其中D为对角阵，L为下角阵。

1111xxx123236 的准确解为(1,1,1)T, 某学生将系数舍入成两位数字后, 求出的27. 已知方程组 11131x1x2x33412211471x1x2x345603(k+1)

(k)

数值解却是(-6.222,38.25,-33.65),面目全非的原因是该学生计算程序有误!

28. 高斯消去法的实质是将方程组的系数矩阵A分解为一个单位下三角矩阵L与一个上三角矩阵U的乘积，并当A的所有顺序主子式≠0时，LU分解是唯一的。

T

二、填空题

1. 设ｘ＝0.20135是精确值x=0.20184的近似值，则x有（ ）位有效数字。 2. 已知自然数e=2.7182818284590… ，取e≈2.71828,那么e有几位有效数字( )。 3. 通过n +1 个不同节点x0,x1,...,xn的插值基函数l1(x)（ ）。 4. 差商(x0,x1,…,xn)与(x)的关系是( )。

3

5. (x)=5x-7,则差商(1，2，3，4)=( )。 6. 计算插值型求积公式的求积系数的方法有:（ ）、（ ）。 7．若f(x)xx，则f(1,2,3,4,5)=( )。 8．避免出现高次插值的龙格现象的方法是( )。

9. 已知y=(x)的差商表为 : xi yi

1 0

2 2 2

4 12 5 1

则过(1,0),(2,2)和(4,12)三点的不高于2次牛顿插值多项式为（ ） 11. 差商(x0,x1,…,xn)与(x)的关系是( )。

3

12. (x)=2x+5x+1,则差商(1,2,3,4)=( )。

13. 对区间[a,b]上n+1个不同节点xi作拉格朗日插值多项式Pn(x),则其余项f(x)-Pn(x)=( )。 14. 求作f(x)ex2*

(n)

(n)

/2在节点x0的3次泰勒插值多项式（ ）。

16. 有3个不同节点的高斯求积公式的代数精度是( )次的。

17. 节点xk(k1,2,...,n)是高斯点的充要条件是（ ）。 18. 形如

次。

nbaf(x)dxAkf(xk)的插值型求积公式，其代数精度至少可达( )次，至多可达( )

k019. 数值微分公式f(a)≈f(ah)f(ah)的代数精度为（ ）。

2h20. 插值型求积公式的求积系数Ak=（ ）。 21. 求积公式f(x)dx01341的代数精度为 （ ）。 f(13)4f(1)22. 数值微分公式f(a)≈f(ah)f(a)的代数精度为（ ）。 h23. 辛普森求积公式：

baf(x)dx（ ）。

24. 写出下列解初值问题的显式欧拉格式：（ ）。

yy y' (1x2) , y(1)=1, 取h=0.1。xx25. 亚当姆斯方法的基本思想是：（ ）。

26.求初值问题y'xy (0x0.4) , y(0)1, 取h=0.2；改进的欧拉法数值公式是( )。 隐式欧拉格式( )

22227. 龙格库塔方法的基本思想是：（ ）。 28. 显式的亚当姆斯格式：yn+1=yn+h/3(fn+2fn-1)是( )步法 29. 压缩映像原理的压缩性是指（ ），映内性是指（ ）。 30 迭代法xkxk收敛于x*33，此迭代法的收敛阶为( )。

xk31. 方程x-2x+1=0的收敛阶为2的牛顿迭代公式是（ ）。

T

32. 设A=73, x=(3,-4), 则||A||∞=( ), ||x||1=( )。

2

2533. 已知A=，则 , B(m)

A1=( )，B=( )。

34. 迭代公式x=Bx+g收敛的充分条件是( )。

35. 高斯消元法的步骤包括：（ ）和（ ）。

110410411136. 线性方程组Ax=b的系数矩阵A，则cond(A)( )， , A11104104104(m+1)

方程组是否为病态（ ）。病态方程组是指( )

三、解答题

1. 如果x>>1，直接计算公式x1x1，为什么易造成有效数字的严重损失？试给出比较精确的

xx等价公式。

2. 说明两个值相近的近似数相减，可能会造成有效数字的严重损失。为尽量避免有效数字的严重损失，当|x|1时应如何加工下列计算公式：

⑴12x1x1x1e1 1cosx ⑵ （3）x3. 已知近似值x11.42, x2184104的绝对误差限均为0.5102，问他们各有几位有效数字？ 4. 设

证明：对任意有

5．已知yf(x)的观察数据表如下：构造插值多项式P3(x)，并求P3(1)．

xk -2 0 4 5 f(xk) 5 1 -3 1 36. 已知函数f(x)x4x，建立关于节点x01 , x1=0 , x21 , x3=2 的差商表，并给给出插值多项式p(x)。

7. 函数f(x)x3，构造过节点x01, x1=0, x2=1 拉格朗日插值多项式p(x)。

8．证明：关于节点x0,x1,x3的拉格朗日插值基函数l0(x),l1(x),l3(x)恒成立：

l0(x)l1(x)l3(x)10

9. 利用插值余项证明：若f(x)是次数不高于n的多项式，则通过n +1个不同的节点构造的插值多项式Pn

(x)=f(x)。

10. 已知f(0)0, f(1)1, f(2)2, f(3)3, f'(2)0，建立差商表，利用承袭性，求插值多项式p(x)。 11．建立过(1,0)、(2,-5)、(3,-6)和(4,3))四点的差商表，据此写出插值多项式。

12． 试确定常数A,B,C及α，使得求积公式f(x)dxAf()Bf(0)Cf()有尽可能高的代数精度，

22并指出所求积分公式的代数精度，是高斯型吗？

13. 确定下列求积公式的参数，使其代数精度尽可能的高，并指明该公式的代数精度：

f(x)dxAf()Af()Af() 14. 高斯求积公式有何特点？求区间[-1,1]上两点高斯公式。

15. 确定求积公式f(x)dxAf(0.5)Bf(x1)Cf(0.5)的待定参数，使其代数精度尽量高，并确定

11其代数精度。

16. 对模型方程y' y (0)，证明：改进的欧拉方法的绝对稳定条件为|1h(h)|1

2217. 证明改进的欧拉方法能准确地求解初值问题y'axb , y(0)0 。

yxy2(0x0.2)18 对于解初值问题： 取步长h＝0.1，写出其改进的欧拉公式, 并求出y1，y2。

y(0)119. 证明两步欧拉格式yn1yn12hf(xn,yn)是二阶方法。 20. 取步长h＝0.1用改进欧拉格式求解初值问题

y'xy2 (0x0.2) 求出y1，y2，保留4位有效数字。 y(0)121. 写出下面方程组的雅可比和高斯赛德尔迭代公式,并证明该公式是收敛的.

xxxxxx xxx22. 若n阶方阵B满足║B║<1,证明I+B可逆。

30223. 设A021，写出雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法求解方程组Axb的迭代公式，是

214否收敛？如果收敛，哪种方法收敛更快？

24. 设方程组Axb的系数矩阵有扰动AA , 1，证明解的相对误差||x||||

||x|||1|25. 用高斯选主元消去法解方程组

xxxxxx xxx28. 已知AX=b的系数矩阵和右端向量分别为：A则求出L和U，并解此方程组。

 ，b，问能否将A作LU分解；若能

