柯西不等式的最小值问题 配套练习题

配套练习

1. 已知正数a，b满足a3b32，证明：(a2b2)(a4b4)4.

112.设a、bR，ab1，则的最小值为________.

ab22293. 设a、b、c为各不相等的正数，求证：. abbccaabc4.（2017年南师附中高三模拟第21(D)题）

已知实数x，y，z满足xyz2，求2x23y2z2的最小值. 5.已知a0,b0,c0，函数f(x)xaxbc的最小值为4. （I）求abc的值；

11（II）求a2b2c2的最小值.

49

参考答案：

1.证明：由柯西不等式得,(ab)(ab)即(a2b2)(a4b4)(a3b3)2， 故(a2b2)(a4b4)4.

解析：本题考查柯西不等式的应用，难度很小.

1111114， 2.解：由柯西不等式得aba，即bababab22244aabb2424,

2当且仅当

1ab即a=b时取等号. 112ab说明：该题既可用柯西不等式解，还可用基本不等式解.过程如下：

1ba1111baba(ab)11224当且仅当=即a=b时

2ababababab取等号.

这种解法主要体现了转化的思想，将1代换为ab.

2223. 证明： ab(bc)(ca)abbcca222(ab)(bc)(ca)， abbcca222即2(abc)18， abbcca2故

2229. abbccaabc211114.解：2x23y2z2+12x3yz1=22

2323即

2x23y2z2424=1111123当且仅当

2x3yz11123即

x6412,y,z时取等号. 111111

5.解：（I）因为f(x)xaxbc xaxbc =abc 当且仅当axb时，等号成立. 又a0,b0，所以ab=ab， 所以f(x)的最小值为abc.

又f(x)的最小值为4，所以abc4.

（II）由（I）知：abc4，由柯西不等式得

b12122aabc49123c1 9342 =abc=16

118即a2b2c2 49711ba8182c当且仅当23，即a,b,c时等号成立.

777231118故a2b2c2的最小值为. 497解析：本题的第（1）小题，考查绝对值不等式；第（2）小题，考查柯西不等式.整体考察了推理论证能力，体现了化归与转化思想.

22