指数函数与对数函数的交点个数问题.doc

安徽省涡阳县第三中学 胡维大

xya(a0且a1)与对数函数ylogax (a0且a1) 论题：指数函数

交点个数问题．

分a1及0a1两种情况进行讨论．

（一）：当a1时，过原点O(0,0)作yax的切线l，设切点为P(x0,y0)

x∵yaxlna ∴klyxxalna

00x0aax0lna 又∵kly0a ∴x0x0x0x0∴x01logae lnalogaekalnaelna 从而l1e当kl1，即elna1，亦即a0eee时，P在yx上，∴x0y0

这样就有axx0，∴logax0x0

∴P(x0,y0)是yax与ylogax的公共点. 当kl1,即elna1，亦即aee时，yax与yx相离,

yax与ylogax没有公共点. 当kl1,即elna1，亦即1aee时，yax与yx有两个公共点

M(x1,y1),N(x2,y2),同理可知M(x1,y1),N(x2,y2)均是yax与ylogax的公

共点.

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引理：当a1时，yax与ylogax不可能有不在yx上的公共点. 证明：用反证法.假设yax与ylogax有公共点Q(s,t),s,t0,st,

sat①,logast② st当时,

由②得ats③

∵yax单增,又∵st∴asat由此式结合①③可知t与st矛盾. 同理当ts,

s时亦矛盾.

从而假设不真. 所以,引理得证.

由上可知：当1aee时, 当aeyax与ylogax有两个公共点,

e时,

yax与ylogax有唯一公共点, yax与ylogax没有公共点.

eae时, 当

x（二）：当0a1时,作函数f(x)alogax,

f(x),limf(x) 易知xlimx0不妨设aem则f(x)emx(m0),

1lnx, memxm2xf(x)

mxemxmxmye过原点作的切线,则切线的斜率kelneme

当mem2,即me时,f(x)0恒成立.从而f(x)单增, ∴f(x)有唯一的零点.

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当mem2,即me时,不妨设yemx与ym2x 交于两点M(x1,y1),N(x2,y2), (x1x2) 则当x(0,x1)时,f(x)0, 当x(x1,x2)时, 当x(x2,)时,

f(x)0

f(x)0,

∴f(x)的单增区间为(0,x1),(x2,),单减区间为(x1,x2)

f(x)在xx1处取得极大值,且f(x1)0, f(x)在xx2处取得极小值,且f(x2)0,

再由零点存在定理可知,

(0,x1),(x1,x2),(x2,)之内.

f(x)有三个零点,分别在区间

对上述f(x1)0及f(x2)0的结论,可证明如下： 设yemx （me）与yx的交点为(x3,x3) ∵me

e∴m11

e ∴em1ee1

eyemx的函数值小于yx的函数值，即当x1时，数形结合可知x31

∵yemx （me）与yx的交点为(x3,x3)

mx3xe∴3从而lnx3mx3

mx于是f(x3)e311lnx3x3mx30 mm12mx3mx32x3emx3f(x3)mx3 mx3又∵mx3emx3e

3

1mxmxe232mx332(1mx3)(1mx3)2mx3 mx3e2mx31mx0mx0 ∵m0,x30，∴，3e31又∵x3，∴lnx31，∴1mx31lnx30

e∴f(x3)0，又∵当x(0,x1)时,f(x)0, 当x(x1,x2)时, 当x(x2,)时,

f(x)0

f(x)0,

∴x3(x1,x2) 又∵f(x)在区间(x1,x2)单减及f(x3)0 可知f(x1)0且f(x2)0

eea1时，ya与ylogx有唯一公me由上可知：当即

xa共点,且此公共点在yx上，

eyax与ylogax有三个公共点,且有两个当me即0ae时，

不在直线yx上，但关于yx对称，而第三个公共点在直线yx上.

综合上述,我们可以得到如下结论：

e当1ae时,

yax与ylogax有两个公共点,且两个公共点均在

直线yx上.

eae时, 当

yax与ylogax有唯一公共点, 且该公共点在直线

yx上.

当aee时,

yax与ylogax没有公共点.

xeea1时，ya当

与ylogax有唯一公共点,且此公共点在

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yx上，

e0ae当时，ya与ylogx有三个公共点,且有两个不在直

xa线yx上，但关于yx对称，而第三个公共点在直线yx上.

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