高考物理万有引力与航天专项训练及答案
一、高中物理精讲专题测试万有引力与航天
1． 如图所示， A 是地球的同步卫星，另一卫星
B 的圆形轨道位于赤道平面内，离地面高度
为 h.已知地球半径为 R，地球自转角速度为
心．
ω0，地球表面的重力加速度为
g，O 为地球中
(1)求卫星 B 的运行周期．
(2)如卫星 B 绕行方向与地球自转方向相同，某时刻
A、 B 两卫星相距最近 (O、B、 A 在同一
直线上 )，则至少经过多长时间，它们再一次相距最近？
3
【答案】 (1) TB = 2p
(R + h) gR2
(2)
t
2 gR
2
0
( R h)3
【解析】 【详解】
2
（1）由万有引力定律和向心力公式得
G
3
R h ① ， G Mm 2 m 2
TB R2 R h
B
4 Mm
mg ② 联立①②解得 ： TB 2
B
R
h
③
R2 g
（2）由题意得
0 t 2 ④ ，由③得
gR2 3
⑤
R
h
t
代入④得
2 R2 g R h
3
0
2． 人类第一次登上月球时，宇航员在月球表面做了一个实验：将一片羽毛和一个铁锤从同 一个高度由静止同时释放，二者几乎同时落地．若羽毛和铁锤
是从高度为 h 处下落，经
时间 t 落到月球表面．已知引力常量为
G，月球的半径为 R．
（1）求月球表面的自由落体加速度大小
g 月；
（2）若不考虑月球自转的影响，求月球的质量
M 和月球的 “第一宇宙速度 ”大小 v．
【答案】（ 1）
2h g月
2hR2
M 2hR ；v
t 2（2） Gt2
t
【解析】
【分析】
（ 1）根据自由落体的位移时间规律可以直接求出月球表面的重力加速度；
（ 2）根据月球表面重力和万有引力相等，利用求出的重力加速度和月球半径可以求出月球的质量 M； 飞行器近月飞行时，飞行器所受月球万有引力提供月球的向心力，从而求出“第一宇宙速度”大小． 【详解】
（1）月球表面附近的物体做自由落体运动
h＝
1
2
g 月 t 2
月球表面的自由落体加速度大小
g 月＝
2h
（2）若不考虑月球自转的影响
G MmR
t 2
2 ＝mg 月
2hR2 月球的质量 M ＝ 2 Gt
质量为 m' 的飞行器在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动 m′g 月＝ m′
v2 R
2hR
月球的 “第一宇宙速度 ”大小 v＝ g月R＝
【点睛】
结合自由落体运动规律求月球表面的重力加速度，根据万有引力与重力相等和万有引力提 供圆周运动向心力求解中心天体质量和近月飞行的速度
v．
3． 宇航员站在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球．经过时间 球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为 与落地点之间的距离为
L．若抛出时的初速度增大到2
t，小球落到星 倍，则抛出点 R，万有引
3L ．已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为
力常量为 G，求该星球的质量 M．
2 3LR 2 【答案】 M
3Gt 2
【解析】 【详解】
两次平抛运动，竖直方向
h
1 gt 2 ，水平方向 x
v0t ，根据勾股定理可得：
2
L2 h2 ( v0 t)2 ，抛出速度变为 2 倍： ( 3L )2 h2 (2v0t )2 ，联立解得： h
1 L ， 3
g
2L
2 ，在星球表面： G
Mm 2
mg ，解得： M
2LR2 3t 2G 3t R 4． 神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系
统的运动规律．天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了
LMCX﹣3 双星系统，它由可
A、 B 围绕两者
见星 A 和不可见的暗星 B 构成．将两星视为质点，不考虑其他天体的影响，
连线上的 O 点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，（如图）所示．引力常量为 G，由观测能够得到可见星
A 的速率 v 和运行周期 T．
（ 1）可见星 A 所受暗星 B 的引力 FA 可等效为位于 O 点处质量为 m′的星体（视为质点）对它的引力，设 A 和 B 的质量分别为 m1、 m2，试求 m′（用 m1、 m2 表示）；
（2）求暗星 B 的质量 m2 与可见星 A 的速率 v、运行周期 T 和质量 m1 之间的关系式；
（3）恒星演化到末期，如果其质量大于太阳质量
ms 的 2 倍，它将有可能成为黑洞．若可
见星 A 的速率 v＝2.7× 105 m/s ，运行周期 T＝4.7 π× 104s，质量 m1＝ 6ms，试通过估算来 判断暗星 B 有可能是黑洞吗？（
G＝ 6.67× 10﹣11N?m2/kg2 ， ms＝ 2.0× 103 kg）
【答案】（ 1） m '
m23
m23
v3T
m1 m2 2 m1 m2 2
2 G (3)有可能是黑洞
r1、 r2 ，由题意知， A、 B 的角速度相等，为
【解析】
试题分析：（ 1）设 A、B 圆轨道的半径分别为
0 ，
有： FA m1 02r1 ， FB m2 02 r2 ，又 FA FB 设 A、 B 之间的距离为 由以上各式得， r
r，又 r r1 r2
m1 2 r1 ①
m2
m
由万有引力定律得 FA
G mm1 2
r 2 m1m23 m1 m2 将① 代入得 FA
G
2
r1
令 FAG
mm ' 1 ，比较可得 m '
m23
r12
m1 m2 2 ②
（2）由牛顿第二定律有： 又可见星的轨道半径 r1
m1m' G r
12
m1
r1
v2 ③
2
vT ④ 2
v3T 2 G m23
2
由②③④
得
m23 m1 m2
（3）将 m
6m
1
v3T
得
m23 2
v3T ⑤
s代入
m1 m2
2 3.5ms ⑥
2 G
6ms m2
2 G
代入数据得
m23 6ms m2
m23 m1
设 m2 nms ，（ n ＞0）将其代入 ⑥ 式得，
2
n
2 ms 3.5ms
m2
n=2 时得
6 1 n
⑦
可见，
m23 6ms m2
2
2 的值随 n 的增大而增大，令
n
6
1
ms
0.125ms
3.5ms
⑧
n
要使 ⑦ 式成立，则 n 必须大于 2，即暗星 B 的质量 m2 必须大于 2m1 ，由此得出结论，暗 星 B 有可能是黑洞．
考点：考查了万有引力定律的应用
【名师点睛】本题计算量较大，关键抓住双子星所受的万有引力相等，转动的角速度相等，根据万有引力定律和牛顿第二定律综合求解，在万有引力这一块，设计的公式和物理量非常多，在做题的时候，首先明确过程中的向心力，然后弄清楚各个物理量表示的含义，最后选
择合适的公式分析解题，另外这一块的计算量一是非常大的，所以需要细心计
算
5． 侦察卫星在通过地球两极上空的圆轨道上运行
,它的运行轨道距地面高为
h ,要使卫星在
一天的时间内将地面上赤道各处在日照条件下的情况全部都拍摄下来 时,卫星上的摄影像机至少应拍地面上赤道圆周的弧长是多少 力加速度为
【答案】 l
,卫星在通过赤道上空
?设地球半径为 R ,地面处的重
g
4 2
,地球自转的周期为
3 T ．
( h R) g T
【解析】
【分析】
【详解】
设卫星周期为 T1 ,那么 :
G
Mm
( R h)
2
4 2m( R h)
, ① 2 T
1
又
G
Mm
R2
mg , ②
由①②得
T1
2 ( h R) 3 .
R g l ,地球自转周期为 T ,要使卫星在一
,则
设卫星上的摄像机至少能拍摄地面上赤道圆周的弧长为 天(地球自转周期 )的时间内将赤道各处的情况全都拍摄下来
T
所以
l 2 R .
T1
l
2 RT1 T 4 2 T 【点睛】
(h R)3
g .
摄像机只要将地球的赤道拍摄全，便能将地面各处全部拍摄下来；根据万有引力提供向心
力和万有引力等于重力求出卫星周期 ；由地球自转角速度求出卫星绕行地球一周的时间
内，地球转过的圆心角，再根据弧长与圆心角的关系求解．
6． 宇航员王亚平在 “天宫一号 ”飞船内进行了我国首次太空授课．若已知飞船绕地球做匀
速圆周运动的周期为 T ，地球半径为 R ，地球表面重力加速度 g ，求： （ 1）地球的第一宇宙速度 v ； （ 2）飞船离地面的高度 h ．
3
gR2T 2
4
2
【答案】 （1） v
gR （2） h
R
【解析】 【详解】 （1）根据 mg
m
v2
得地球的第一宇宙速度为：
R
v
gR ．
（2）根据万有引力提供向心力有：
G
Mm
2 m R h
4 2
2
，
(R h)
又 GM gR2 ，
解得： h
2gRT 2 3
T
4 2
R
．
7．2019
4 20 22 41 年 日 时 分，我国在西昌卫星发射中心用 月
功发射第四十四颗北斗导航卫星，卫星入轨后绕地球做半径为 质量为 m，地球的半径为 R，地球表面的重力加速度大小为 求：
“
长征三号 乙运载火箭，成
”
r 的匀速圆周运动。卫星的
g，不计地球自转的影响。
（ 1）卫星进入轨道后的加速度大小gr； （ 2）卫星的动能 Ek。 【答案】（ 1） 【解析】 【详解】
gR2
r 2
2 mgR（2）
2r
(1)设地球的质量为
，对在地球表面质量为
m 的物体，有： G
Mm
R2
m g 对卫星，有： G
解得：
Mm
r 2
M
mgr
gR2
gr
r 2
(2)万有引力提供卫星做匀速圆周运动所需的向心力，有：
G Mm m v2
r 2
r
卫星的动能为： Ek
解得：
mgR2
Ek
1 mv2 2
2r
8． 我国在 2008 年 10 月 24 日发射了 “嫦娥一号 ”探月卫星．同学们也对月球有了更多的关注．
(1)若已知地球半径为 R，地球表面的重力加速度为 g，月球绕地球运动的周期为 T，月球绕地球的运动可近似看作匀速圆周运动，试求月球绕地球运动的轨道半径．
(2)若宇航员随登月飞船登陆月球后，在月球表面某处以速度
v0 竖直向上抛出一个小球，经
G，试求出月球的质量
过时间 t，小球落回抛出点．已知月球半径为
r，万有引力常量为
M 月
gR2T 2 【答案】 (1)
3
2v0 r ； (2) 4 2
． Gt
2
【解析】 【详解】
(1)设地球的质量为
M ，月球的质量为
M 月 ，地球表面的物体质量为 m ，月球绕地球运动 的轨道半径 R ，根据万有引力定律提供向心力可得：
G
MM 月
R 2
M 月 ( ) R
T
2
2
mg
G Mm
R2
解得：
R
22 gRT 3
4 2
(2)设月球表面处的重力加速度为
g ，根据题意得：
v0
g t 2
m0 g
GM 月m0
r 2
2v0 r 2
解得：
M 月
Gt
v0 沿水平方向抛出一个小球，小
9． 在某一星球上，宇航员在距离地面 球落到星球表面时与抛出点的水平距离为 (1)该星球表面的重力加速度 (2)该星球的质量 M ； (3)该星球的第一宇宙速度 【答案】 (1) g
h 高度处以初速度
x，已知该星球的半径为 R，引力常量为 G，求：
g； v。 (2)
M
2hv0 2 x2
2hv0 2 R2
(3) v
v0 x
2hR
Gx 2
【解析】（ 1）由平抛运动规律得：水平方向 竖直方向 h
x v0 t
1 g t 2 2 x2
解得： g
2hv0 2
GMm
m 的物体受到万有引力近似等于它的重力，即 mg R2
得： M
g R2
G
22
代入数据解得：
M
2hv0 R
（3） mg
2 vm；解得 vg R R
v0
代入数据得： v
x
2hR
g．运用重力等于万有引力，得到
点睛 ：平抛运动与万有引力联系的桥梁是重力加速度
g=GM/R2，这个式子常常称为黄金代换式，是求解天体质量常用的方法，是卡文迪许测量地球质量的原理．
10． 2019 年 1 月 3 日 10 时 26 分，嫦娥四号探测器自主着陆在月球背面南极 -艾特肯盆地
·
内的冯 卡门撞击坑内，实现人类探测器首次在月球背面软着陆。设搭载探测器的轨道舱绕 月球运行半径为 r，月球表面重力加速度为 g，月球半径为 R，引力常量为 G，求： （1）月球的质量 M 和平均密度 ρ； （2）轨道舱绕月球的速度 【答案】（ 1） M
v 和周期 T.
gR2 ， G
3g
（2）
4 RG
v
gR2 T 2
r
，
r 3 gR2
【解析】 【详解】
（1）在月球表面： m g
0
G
Mm0 2
，则 M
gR 2
R
G
月球的密度：
M
V
gR2 / 4 R3 G 3
3g 4 GR
（2）轨道舱绕月球做圆周运动的向心力由万有引力提供：
G Mm
r 2
2 vm
r
解得： v
gR2 r
2
T
2 r v
r 3 gR2
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