函数的概念知识点总结(含例题和答案)

函数的概念总结

一、知识梳理 1．映射的概念：

设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任意元素，在集合B中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从A到B的映射，通常记为

f:AB，f表示对应法则

注意：⑴A中元素必须都有象且唯一；

⑵B中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。 2．函数的概念 (1)函数的定义：

设A、B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常记为yf(x),xA

(2)函数的三要素：定义域、值域和对应法则 (3)函数的定义域、值域：

在函数yf(x),xA中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做yf(x)的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)xA称为函数yf(x)的值域。 3．函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法

（1）．图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系； （2）．列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系； (3)．解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。 二、考点分析 考点1：映射的概念

例1．（1）AR，B{y|y0}，f:xy|x|；

（2）A{x|x2,xN*}，By|y0,yN，f:xyx22x2； （3）A{x|x0}，B{y|yR}，f:xyx． 上述三个对应是A到B的映射．

第 1 页 共 5 页

例2．若A{1,2,3,4}，B{a,b,c}，a,b,cR，则A到B的映射有个，B到A的映射有个，A到B的函数有个

例3．设集合M{1,0,1}，N{2,1,0,1,2}，如果从M到N的映射f满足条件：对M中的每个元素x与它在N中的象f(x)的和都为奇数，则映射f的个数是（）

(A)8个(B)12个(C)16个(D)18个

答案：1.（2）；2．81,64,81；3.D

考点2：判断两函数是否为同一个函数

方法总结：看化简后的表达式定义域值域是否完全一样。 例1．试判断以下各组函数是否表示同一函数？ （1）f(x)x，g(x)x；（2）f(x)233x1，g(x)x1x0,x0;

2n1（3）f(x)2n1x2n1，g(x)(2n1x)（n∈N*）；（4）f(x)xx1，g(x)x2x；

（5）f(x)x22x1，g(t)t22t1

[答案]（1）、（2）、（4）不是；（3）、（5）是同一函数 考点3：求函数解析式 方法总结：

（1）若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），则用待定系数法； （2）若已知复合函数f[g(x)]的解析式，则可用换元法或配凑法； （3）若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出f(x) 题型1：由复合函数的解析式求原来函数的解析式

例1．已知二次函数f(x)满足f(2x1)4x26x5，求f(x)

1x1x2

)=例2．（09湖北改编）已知f(，则f(x)的解析式可取为 1x1x2

题型2：求抽象函数解析式

1例1：已知函数f(x)满足f(x)2f()3x，求f(x):

x

第 2 页 共 5 页

考点4：求函数的定义域

基本初等函数包含：指数函数，对数函数，幂函数，正弦函数，余弦函数。 题型1：求有解析式的函数的定义域

方法总结：如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的x的取值范围，实际操作时要注意： ①分母不能为0； ②对数的真数必须为正；

③偶次根式中被开方数应为非负数； ④零指数幂中，底数不等于0； ⑤负分数指数幂中，底数应大于0；

⑥若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集；

⑦如果涉及实际问题，还应使得实际问题有意义，而且注意：研究函数的有关问题一定要注意定义域优先原则，实际问题的定义域不要漏写。 例1.（08年湖北）函数f(x)1ln(x23x2x23x4)的定义域为() xA.(,4)[2,);B.(4,0)(0,1)；C.[,4,0)(0,1];D.[,4,0)(0,1) 答案：D

题型2：求复合函数和抽象函数的定义域 例1．（2007·湖北）设fxlg2xx2，则ff的定义域为（） 2x2xA.4,00,4；B.4,11,4；C.2,11,2；D.4,22,4 答案：B.

例2．已知函数yf(x)的定义域为[a，b]，求yf(x2)的定义域 例3．已知yf(x2)的定义域是[a，b]，求函数yf(x)的定义域

例4．已知yf(2x1)的定义域是（-2，0），求yf(2x1)的定义域(-3第 3 页 共 5 页

考点5：求函数的值域 1.求值域的几种常用方法

（1）配方法：对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方法，

如求函数ysin2x2cosx4，可变为ysin2x2cosx4(cosx1)22解决 （2）基本函数法：一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求，

2如函数ylog1(x2x3)就是利用函数ylog1u和ux22x3的值域来求。

22（3）判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。 如求函数y3133132x1[,] 的值域

22x22x2（4）分离常数法：常用来求“分式型”函数的值域。如求函数y为

（5）利用基本不等式求值域：如求函数y3x的值域 2x42cosx3的值域，因

cosx1（6）利用函数的单调性求求值域：如求函数y2x4x22(x[1,2])的值域 （7）图象法：如果函数的图象比较容易作出，则可根据图象直观地得出函数的值域 （8）导数法――一般适用于高次多项式函数，如求函数f(x)2x34x240x，x[3,3]的最小值。（－48）

（9）对勾函数法像y=x+

y k O k x k，（k>0）的函数，k<0就是单调函数了x

第 4 页 共 5 页

2.求值域的三种模型： （1）如yx（2）如yx4，求①单调区间②x的范围[3,5]，求值域③x[-1,0)(0,4],求值域 x4求（1）[3,7]上的值域（2）单调递增区间（x0或x4）

x4，

1，（1）求[-1,1]上的值域（2）求单调递增区间 x3（3）如y2x 第 5 页 共 5 页