用三线扭摆法测定物体转动惯量及其实验误差

用三线扭摆法测定物体转动惯量及其实验误差

（东南大学 电气工程学院,南京 211189）

摘 要： 通过实验熟悉秒表、水平仪、游标卡尺、米尺等仪器的使用，掌握质量和周期等量的测量方法；了解用三线摆测转动惯量的原理和方法，研究刚体转动惯量与质量分布的关系；最后巩固误差并对测试结果做了分析。 摘 要： 转动惯量；质量分布；三线扭摆；平行轴定理； 实验误差

Measuring Moment of Inertia Using Trilinear

Pendulum and its Experimental Error

(School of Electrical Engineering, Nanjing, 211189)

Abstract: Through the experiment with stopwatch, level gauge, vernier caliper, meter and instrument using, grasp the quality

and cycle equivalent measurement method; learn to use the three wire pendulum for measuring moment of inertia of the principle and method of moment of inertia of rigid body, and mass distribution of the relationship; consolidate finally error and the test results were analyzed.

key words: Moment of intertia; Mass distribution; torsional pendulum; parallel exis theorem; Experimental error

转动惯量是刚体转动惯性大小的量度，它与刚体的质量、转轴位置及质量相对转轴的分布情况有关。对于形状简单规则的刚体，测出其尺寸和质量，可用数学方法计算出转动惯量，而对形状复杂的刚体用数学方法求转动惯量非常困难，一般要通过实验方法来测定。三线扭摆法测转动惯量是一种简单易行的方法。 轴转动。当均匀圆盘（以下简称悬盘）三条悬线等长时，轻轻转动上部小圆盘，由于悬线的张力作 用，悬盘即绕上下圆盘的中心连线轴OO'周期地反复扭转运动。当悬盘离开平衡位置转过某个小角度θ时，整个悬盘的位置也随之升高h。

下面分析三线扭摆的运动。忽略摩擦力的影响，可知，悬盘扭转运动过程中机械能守恒。

1 实验原理

1.1 测定悬盘绕中心轴的转动惯量J0

三线摆如图所示，有一均匀圆盘，在小于其周界的同心圆周上作一内接等边三角形，从三角行的三个顶点引出三条悬线对称地连接在置于上部的一个水平小圆盘的下面，小圆盘可以绕自身的垂直

a) b）

图1 三线扭摆

mgh12Jd21dh0(dt)2m(dt)2恒量 （1）

式中m是悬盘的质量，J0是转动惯量。mgh对应于某时刻悬盘的重力势能（取悬盘在平衡位置时重

1d2力势能为零），2J0(dt)对应于悬盘绕中心轴

OO'

1的转动的动能，

2m(dh2dt)对应于悬盘作上下升降

运动时的平动动能。在悬线足够长，且悬盘作小角1度转动时，

2m(dh21d2dt)远小于2J0(dt)。略去式

（1）中平动动能并对时间求导，则有

Jdd2dh0dtdt2mgdt0 （2）

当扭摆达到最大振幅时，在很小的情况下，有

Rr2hdh2H dtRrHddt （3） 将（3）带入（2）后可得 d2mgRrdt2(HJ)0

0显然上式是一个简谐运动方程，其解为

0cos(t)

2012大学生物理实验研究论文

mghRr式中

HJ0为悬盘转动的角频率，0为角

振幅。因为转动周围T2/，于是有

JmgRr042HT2 （5） 这就是测定悬盘绕中心轴转动的转动惯量的计算公式。 1.2

测定圆环绕中心轴的转动惯量J

把质量为M的圆环放在悬盘上，使两者中心轴重合，组成一个系统。测得它们绕中心轴转动的周期为T1，则它们总的转动惯量为

J(Mm)gRr142HT21 （6） 得圆环绕中心轴的转动惯量为

JJ1J0 （7） 圆环绕中心轴转动惯量的理论计算公式为

JM2(R221R2) （8） 式中R1,R2分别为圆环外、内半径。

1.3 测定圆柱体绕中心轴的转动惯量Jx 将两个质量均为M’、半径为RX、形状相同的圆柱体对称地放置在悬盘上，柱体中心离悬盘中心的距离为x，按上法测得两圆柱体和悬盘绕中心轴的转动周期为T想，则两圆柱体绕中心轴的转动惯量为：

(m2M')gRrT22Jxx42HJ0 根据转动惯量的平行轴定理，圆柱体绕中心轴的转动惯量的理论计算公式为：

JM'x2M'R2xx2。

2 实验过程

1.调整悬盘水平：将水平仪置于悬盘任意两悬

2012大学生物理实验研究论文

线之间,调整上盘上的三个旋钮,使水平仪的气泡在中间.再把水平仪放到另外两悬线之间,调整上盘上的三个旋钮,使水平仪的气泡在中间,这时悬盘水平.

2.测定仪器常数R,r：r和R分别为上下圆盘中心到悬点的距离,通过测出的两圆盘的相邻两个悬点间的距离a和b由等边三角形关系算出r和R.

3.测出两盘之间的垂直距离H、圆环的内外直径2R1和2R2、圆柱体直径2Rx及圆柱体中心至悬盘中心的距离x.

4.并测量圆环,圆柱体和悬盘的质量.

5.测量空盘绕中心轴AB转动的运动周期:轻轻转动上盘(上盘上有小转动杆),带动下盘转动,这样可以避免三线摆在做扭动时发生晃动.注意扭摆的转角控制在5°以内.用积累放大法测出扭摆运动的周期(测量摆动50次所需的时间)，重复三次取平均值，求出悬盘的摆动周期T.

6．测量待测圆环与下盘共同转动的周期:将待测圆环置于下圆盘上,注意使两者中心重合,按上面的方法测出它们一起扭摆运动的周期T1.

7.测出两个小圆柱体(对称放置)与下盘共同转动的周期Tx.

8.记录好以上各物理量.

9.将各实验结果与理论值相比较，分析误差原因.

上圆盘悬孔间距 项目 -2次数 离a/10m 悬盘悬孔间距离b/10m -21 2 3 平均 项目 外次数 1 2 3 平均 r= 4.05 4.02 4.05 a=4.04 待测圆环 13.80 13.85 13.85 b=13.83 圆柱体直径2Rx/10m -2直-2径内直径2R2/10m -22R1/10m 11.958 11.962 11.956 R1=5.980 10.102 10.082 10.086 R2=5.045 2.798 2.800 2.802 Rx=1.400 33 a= 2.33cm R= b= 7.98cm 333 实验数据处理及结果分析

3.1

摆动50需时间t/s 1 2 3 平均 周期t/s T= 1.668 83.92 83.20 83.06 83.39 1 2 3 平均 T1= 1.637 82.02 82.07 81.52 81.87 1 2 3 平均 T2=1.616 实际悬盘半径R0 = 8.500cm

两圆盘之间的垂直距离H = 0.3660m

圆柱体中心至悬盘中心的距离x = 0.0540m

-3

悬盘质量m = 509.99*10kg

-3

圆环质量M = 292.11*10kg

-3

圆柱体质量M’= 174.55*10kg

2

(g取9.794m/s) 3.3

各转动惯量的计算

转动周期的测定

悬盘 悬盘加圆环 悬盘加两圆柱 体 81.54 80.16 80.74 80.81 （1）悬盘绕中心轴的转动惯量

mgRr2T=1.790*10-3kg*m2 24Hm2-3

理论值 J0R0=1.842*10kg*m2

2实验值 J0（2）圆环绕中心轴的转动惯量 实验值J(Mm)gRr2T1J0=9.32*10-4kg*m2 24HM22(R1R2)=8.94*10-4kg*m2 2理论值 J 各长度量和质量的测定

(3)圆柱体绕中心轴的转动惯量

3.2

实验值

(m2M')gRrTx2-32

2JxJ=1.05*10kg*m 024H

则J-42

x =5.25*10kg*m

理论值JM'x2M'R2x2=5.26*10-4

xkg*m2

3.4 实验结果

J实验值J理论值百分误差/kg*m2 /kg*m2 /％ 悬盘 1.790*10-3 1.842*10-3 2.823 圆环 0.932*10-3 0.894*10-3 4.251 圆柱体 0.525*10-3 0.526*10-3 0.190 4 实验结果分析

4.1

实验注意事项

1、游标卡尺的正确使用强调测量杆与钻台将碰到时，正确读数。用完后，测量杆和测量砧之间要松开一段距离。

2、要正确的使用水准仪，尽量使得下盘调节水平。

3、测量时间时，应该在下盘通过平衡位置时开始记数，在实验中对对平衡位置的判断存在一个误差，对记录的周期有影响。

4、H0为平衡时上下盘间的垂直距离，当下盘加上了待测物体后，距离变成了H。在计算的过程中我们仍然有H0的值来近似H，对计算结果有一定的影响， 4.2

三线摆系统误差

(1) 2 H - h≈2 H 的影响

Rr上升高度 h2(1cos)Rr4sin2l22H

BC通过

hH分析误差 h4rRsin222rRsin22H2H2H2

2012大学生物理实验研究论文

取r = 2.33cm, R =7.98cm, H =0.366 m,从中可

以看出θ越大时, 近似的误差越大。须注意, 当转 角超过15°时,由此带来的误差达到0.04 %以上。 (2) sin22引起的误差

在转动惯量的推导中,为简化计算,取

sin2222(2)4,但是会带来误差,而且随着角度的增大而增大,当转角超过10°时, 由此带来的误

差Er 达到0.2 %以上。

()2sin2E2rsin222 5 总结

转动惯量是刚体转动惯性大小的量度，它与刚体的质量、转轴位置及质量相对转轴的分布情况有关。对于形状简单规则的刚体，测出其尺寸和质量，可用数学方法计算出转动惯量，而对形状复杂的刚体用数学方法求转动惯量非常困难，一般要通过实验方法来测定。三线扭摆法测转动惯量是一种简单易行的方法。本文介绍了三线扭摆法测转动惯量的方法，并进行了实际测试。测试结果表明用三线扭摆法进行测量转动惯量准确度较高但仍存在一些误差，如三线摆系统误差等，我们的工作仅是初步的，还要采取其他措施来提高测量转动惯量的准确性。

参考文献：

[1] 钱锋，潘人培.大学物理实验（修订版）[M].2005年

11月第2版，高等教育出版社：1986. 51-56 [2] 程守洙,江之永. 普通物理[M] . 北京:高等教育出版

社,2003.