相似三角形
1.,如图,△ABC中,AB=2,BC=4,D为BC边上一点,BD=1,AD+AC=8.
〔1〕找出图中的一对相似三角形并证明;
〔2〕求AC长.
【解析】解:〔1〕△BAD∽△BCA,理由如下: AB=2,BC=4,BD=1,
BDAB12,AB21BC=42, BDABABBC=12, 又
∠B=∠B,
△BAD∽△BCA;
〔2〕由〔1〕得:
ADAC=12,即AC2AD, AD+AC=8,
AD2AD8,解得:AD83, 1 / 27
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AC16. 32.如图,在ABC中,ABAC6,BC5,D是AB上一点,BD2,E是BC上一动点,连接DE,作DEFB,射线EF交线段AC于F.
〔1〕求证:DBEECF;
〔2〕当F是线段AC中点时,求线段BE的长; 【解析】〔1〕证明:∵ABAC, ∴BC;
∵DEFB,CEFDEFBBDE, ∴BDECEF. ∴DBEECF.
ECF〔已证〕.
〔2〕∵DBE∴BD:CEBE:CF; ∵F为AC的中点,AC6,
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∴CF3.
设BEx,如此CE5x;又BD2, ∴2:5xx:3,解得x2或3. 故BE长为2或3.
3.如图,是一个照相机成像的示意图.
〔1〕如果像高MN是35mm,焦距是50mm,拍摄的景物高度AB是4.9m,拍摄点离景物有多远?
〔2〕如果要完整的拍摄高度是2m的景物,拍摄点离景物有4m,像高不变,如此相机的焦距应调整为多少?
【解析】解:根据物体成像原理知:△LMN∽△LBA,∴
MNLC. ABLD〔1〕∵像高MN是35mm,焦距是50mm,拍摄的景物高度AB是4.9m,
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∴
3550,解得:LD=7. 4.9LD∴拍摄点距离景物7 m.
〔2〕拍摄高度AB是2m的景物,拍摄点离景物LC=4m,像高MN不变,是35mm,
∴
35LC,解得:LC=70. 24∴相机的焦距应调整为70mm.
4.如图,四边形ABCD和四边形AEFG都是矩形,C,F,G三点在一直线上,连接AF并延长交边CD于点M,假如∠AFG=∠ACD.
〔1〕求证:①△MFC∽△MCA;
CF②假如AB=5,AC=8,求的值.
BE4 / 27
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〔2〕假如DM=CM=2,AD=3,请直接写出EF长.
【解析】〔1〕①证明:∵∠AFG=∠ACD,
∴∠FCA+∠FAC=∠FCA+∠MCF,
∴∠FAC=∠MCF,
∵∠FMC=∠CMA,
∴△MFC∽△MCA.
②解:∵四边形AEFG,四边形ABCD都是矩形,
∴FG∥AE,CD∥AB,
∴∠AFG=∠FAE,∠ACD=∠CAB,
∵∠AFG=∠ACD,
∴∠FAE=∠CAB,
∵∠AEF=∠ABC=90°,
∴△AEF∽△ABC,
∴
AEAF=, ACABAFAC∴=, AEAB∵∠FAE=∠CAB,
∴∠FAC=∠EAB,
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∴△FAC∽△EAB,
FCAC8∴==.
AB5EB〔2〕解:∵四边形ABCD是矩形,
∴∠D=90°,AD=BC=3,
∵DM=MC=2,AD=3,
∴CD=4,AM=AD2DM2=3222=13,AC=AD2CD2=3242=5,
∵△MFC∽△MCA,
FMCM∴=, AMCMCM2413∴FM==,
AM13913, 13∴AF=AM﹣FM=∵△AEF∽△ABC,
∴
EFAF=, ACBC913EF∴=13, 356 / 27
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∴EF=
2713. 65
5.四边形ABCD的一组对边AD、BC的延长线交于点E.
〔1〕如图1,假如∠ABC=∠ADC=90°,求证:ED⋅EA=EC⋅EB;
〔2〕如图2,假如∠ABC=120°,cos∠ADC=35,CD=5,AB=12,△CDE的面积为6,求四边形ABCD的面积.
【解析】解:〔1〕证明:∵∠ADC=90°,
∴∠EDC=90°,
∴∠ABE=∠CDE.
又∵∠AEB=∠CED,
∴△EAB∽△ECD,
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∴
EBEA, EDEC∴EDEAECEB.
〔2〕过点C作CG⊥AD于点D,过点A作AH⊥BC于点H,
∵CD=5,cos∠ADC=35,
∴DG=3,CG=4.
∵S△CED=6,
∴ED=3,
∴EG=6.
∵AB=12,∠ABC=120°,如此∠BAH=30°,∴BH=6,AH=63,
由〔1〕得△ECG∽△EAH,
∴
EGEHCGAH, ∴EH=93,
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∴S四边形ABCD=S△AEH-S△ECD-S△ABH=
1163936636=75183. 226.如图,在ABC中,ACB90,CD是高,BE平分ABC,BE分别与AC,CD相交于点E,
F.
〔1〕求证:AEB∽CFB.
〔2〕求证:
AEAB. CECB〔3〕假如CE5,EF25,BD6,求AD的长.
【解析】证明:〔1〕
ACB90
ACDBCD90
CD为AB边上的高,
ADC90
AACD90
ABCD,
BE是ABC的平分线,
ABECBE
AEB∽CFB;
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〔2〕
ABECBE,ABCD,
CFEBCDCBEAABE CEFAABE,
CEFCFE
CECF
AEB∽CFB
AECFABCB AEABCECB; 〔3〕如图,作CHEF于H
CECF,CHEF
EHFH5,
CHEC2EH252(5)225由BFD∽CFH,
DFHFBDCH, DF6525 DF3,CDCFDF8,
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由ACD∽CBD
ADCD CDBDAD8 8632. 3AD
7.如图,在平面直角坐标系x0y中,直线BC和直线OB交于点B,直线AC与直线BC交x轴于点C,OA=4, OC1AB1,ABy轴,垂足为点A,AC与OB交于点M. 2(1)求直线BC的解析式;
(2)求阴影局部的面积.
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【解析】解:〔1〕OA4,OC1AB1, 2所以点A坐标为〔0,4),点C坐标为〔1,0〕,
又ABy轴,点B坐标为〔2,4〕,
设直线BC的表达式为y=kx+b,将点B,C坐标代入表达式,
2kb4得,解得:k=4,b=﹣4,
kb0所以直线的表达式为y4x4.
(2) ABy轴,∴AB∥x轴,
△MOC∴
△MBA,
CMOC1, AMAB2AOC∵S1OCOA2S2AOCBOC,
∴SMOC1S32, 3OCM∴S阴影SOCASOCBS22210. 338.在矩形ABCD的CD边上取一点E,将△BCE沿BE翻折,使点C恰好落在AD边上点F处.
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〔1〕如图1,假如BC=2BA,求∠CBE的度数;
〔2〕如图2,当AB=5,且AFFD=10时,求BC的长;
〔3〕如图3,延长EF,与∠ABF的角平分线交于点M,BM交AD于点N,当NF=值.
1ABAD时,求的2BC【解析】解:〔1〕∵四边形ABCD是矩形,
∴∠C=90°,
∵将△BCE沿BE翻折,使点C恰好落在AD边上点F处,
∴BC=BF,∠FBE=∠EBC,∠C=∠BFE=90°,
∵BC=2AB,
∴BF=2AB,
∴∠AFB=30°,
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD//BC,
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∴∠AFB=∠CBF=30°,
∴∠CBE=
1∠FBC=15°; 2〔2〕∵将△BCE沿BE翻折,使点C恰好落在AD边上点F处,
∴∠BFE=∠C=90°,CE=EF,
又∵矩形ABCD中,∠A=∠D=90°,
∴∠AFB+∠DFE=90°,∠DEF+∠DFE=90°,
∴∠AFB=∠DEF,
∴△FAB∽△EDF,
∴
AFDEABDF, ∴AF•DF=AB•DE,
∵AF•DF=10,AB=5,
∴DE=2,
∴CE=DC-DE=5-2=3,
∴EF=3,
∴DF=EF2DE232225,
∴AF=10525, 14 / 27
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∴BC=AD=AF+DF=25535.
〔3〕过点N作NG⊥BF于点G,
∵NF=
12AD ∴NF=
12BF, ∵∠NFG=∠AFB,∠NGF=∠BAF=90°,
∴△NFG∽△BFA,
∴
NGFGNF1ABFABF2, 设AN=x,
∵BN平分∠ABF,AN⊥AB,NG⊥BF,
∴AN=NG=x,AB=BG=2x,
设FG=y,如此AF=2y,
∵AB2+AF2=BF2,
∴(2x)2+(2y)2=(2x+y)2,
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解得y=
4x, 3410xx. 33∴BF=BG+GF=2xABAB2x3∴BCBF10.
x539.如图,抛物线y=﹣
1〔x+1〕〔x﹣n〕与x轴交于A,B两点〔点A在点B左侧〕,与y轴交于点C,2△ABC的面积为5.动点P从点A出发沿AB方向以每秒1个单位的速度向点B运动,过P作PN⊥x轴交BC于M,交抛物线于N.
〔1〕求抛物线的解析式;
〔2〕当MN最大时,求运动的时间;
〔3〕经过多长时间,点N到点B、点C的距离相等?
【解析】〔1〕∵抛物线y=1x1xn与x轴交于A,B两点〔点A在点B左侧〕,与y轴交于点C 2n〕,n>0 2∴A〔﹣1,0〕,B〔n,0〕,C〔0,
∴AB=n+1,OC=
1n 2由S△ABC=
1×AB×OC=5 216 / 27
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∴
1nn15 4∴nn120 ∴取正根n=4
∴y=113x1x4=x2+x+2; 222〔2〕由〔1〕,B〔4,0〕,C〔0,2〕
∴直线BC为yx2
设M〔m,113m+2〕,N〔m,m2+m+2〕 222∴MN=1121231mm2m2=m22m=m22
22222∴当m=2时,MN最大
∴OP=2
∴AP=3,即经过3s,MN最大;
〔3〕如如下图所示,作BC的中垂线,与BC交于点D,与y轴交于点E,与抛物线交于点N,
∴△CDE~△COB
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∴
CDCO1 DEOB2由〔2〕,得BC=25,D〔2,1〕 ∴DE=2CD=25 ∴CE=5
∴OE=3
∴E〔0,-3〕
∴直线DE为y=2x-3
由123x+x+2=2x-3 22121x+x-5=0 22移项整理得:
∴x2+x-10=0
取正根x=141 2∴OP=
141 2141 2141秒,点N到点B、点C的距离相等. 2∴AP=
即经过10.如图,四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形,C,F,G三点在一直线上,连接AF并延长交边CD18 / 27
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于点M.
〔1〕求证:△MFC∽△MCA;
〔2〕求证△ACF∽△ABE;
〔3〕假如DM=1,CM=2,求正方形AEFG的边长.
【答案】〔1〕证明见解析;〔2〕证明见解析;〔3〕35. 5【解析】解:〔1〕
四边形ABCD是正方形,四边形AEFG是正方形,
ACDAFG45,
CFMAFG,
CFMACM,
CMFAMC,
△MFC∽△MCA;
〔2〕
四边形ABCD是正方形,
ABC90,BAC45,
AC2AB,
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同理可得AF2AE,
AFAC2, AEABEAFBAC45,
CAFBAE,
△ACF∽△ABE;
〔3〕DM1,CM2,
ADCD123,
AMAD2DM2321210,
△MFC∽△MCA,
2FMCMFM,即,
AMCM210210, 5310, 5FMAFAMFMAG23AF5, 25即正方形AEFG的边长为35. 511.如图,函数y=﹣x2+bx+c的图象经过点A〔m,0〕,B〔0,n〕两点,m,n分别是方程x2﹣2x﹣3
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=0的两个实数根,且m<n.
〔Ⅰ〕求m,n的值以与函数的解析式;
〔Ⅱ〕设抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴的另一个交点为C,抛物线的顶点为D,连接AB,BC,BD,CD.求证:△BCD∽△OBA;
〔Ⅲ〕对于〔Ⅰ〕中所求的函数y=﹣x2+bx+c,
〔1〕当0≤x≤3时,求函数y的最大值和最小值;
〔2〕设函数y在t≤x≤t+1内的最大值为p,最小值为q,假如p﹣q=3,求t的值.
【解析】〔I〕∵m,n分别是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根,且m<n,
用因式分解法解方程:〔x+1〕〔x﹣3〕=0,
∴x1=﹣1,x2=3,
∴m=﹣1,n=3,
∴A〔﹣1,0〕,B〔0,3〕,
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1bc0把〔﹣1,0〕,〔0,3〕代入得,,
c3b2解得,
c3∴函数解析式为y=﹣x2+2x+3.
〔II〕证明:令y=﹣x2+2x+3=0,即x2﹣2x﹣3=0,
解得x1=﹣1,x2=3,
∴抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴的交点为A〔﹣1,0〕,C〔3,0〕,
∴OA=1,OC=3,
∴对称轴为x131,顶点D〔1,﹣1+2+3〕,即D〔1,4〕, 2∴BC323232,BD12122,CD∵CD2=DB2+CB2,
422225,
∴△BCD是直角三角形,且∠DBC=90°,
∴∠AOB=∠DBC,
在Rt△AOB和Rt△DBC中,
AO12BO32,, BD2BC3222AOBO∴, BDBC∴△BCD∽△OBA;
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〔III〕抛物线y=﹣x2+2x+3的对称轴为x=1,顶点为D〔1,4〕,
〔1〕在0≤x≤3X围内,
当x=1时,y最大值=4;当x=3时,y最小值=0;
〔2〕①当函数y在t≤x≤t+1内的抛物线完全在对称轴的左侧,当x=t时取得最小值q=﹣t2+2t+3,最大值p=﹣〔t+1〕2+2〔t+1〕+3,
令p﹣q=﹣〔t+1〕2+2〔t+1〕+3﹣〔﹣t2+2t+3〕=3,即﹣2t+1=3,解得t=﹣1.
②当t+1=1时,此时p=4,q=3,不合题意,舍去;
③当函数y在t≤x≤t+1内的抛物线分别在对称轴的两侧,
此时p=4,令p﹣q=4﹣〔﹣t2+2t+3〕=3,即t2﹣2t﹣2=0解得:t1=1+3〔舍〕,t2=1﹣3〔舍〕; 或者p﹣q=4﹣[﹣〔t+1〕2+2〔t+1〕+3]=3,即t3〔不合题意,舍去〕;
④当t=1时,此时p=4,q=3,不合题意,舍去;
⑤当函数y在t≤x≤t+1内的抛物线完全在对称轴的右侧,当x=t时取得最大值p=﹣t2+2t+3,最小值q=﹣〔t+1〕2+2〔t+1〕+3,
令p﹣q=﹣t2+2t+3﹣[﹣〔t+1〕2+2〔t+1〕+3]=3,解得t=2.
综上,t=﹣1或t=2.
12.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,以C为顶点作等腰直角三角形CMN.使∠CMN=90°,连接BN,射线NM交BC于点D.
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〔1〕如图1,假如点A,M,N在一条直线上,
①求证:BN+CM=AM;
②假如AM=4,BN=
3,求BD的长; 2〔2〕如图2,假如AB=4,=2,将△CMN绕点C顺时针旋转一周,在旋转过程中射线NM交AB于点H,当三角形DBH是直角三角形时,请你直接写出CD的长.
【解析】证明:〔1〕①如图,过点C作CF⊥,交AN于点F,
∵△CMN是等腰直角三角形,
∴∠M=45°,CM=MN,
∵CF⊥,∠ACB=90°,
∴∠F=∠ACB,∠CFN=∠F=45°,
∴∠ACF=∠B,CF=,且AC=BC,
∴△ACF≌△B〔SAS〕,
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∴AF=BN,
∵CF=,CM⊥MN,
∴MF=MN=CM,
∴AM=AF+FM=BN+CM ②∵AM=4,BN=
3,BN+CM=AM, 2∴CM=MN=
5, 2∵△ACF≌△B,
∴∠CAF=∠CBN,
∵∠CAF+∠ACF=∠CFN=45°,∠B+∠MCD=∠M=45°
∴∠CAF=∠MCD,且∠CAF=∠CBN,
∴∠MCD=∠CBN ∴CM∥BN ∴△MCD∽△NBD,∠CMD=∠BND=90°
∴
CMMD5= BNND35ND 3∴MD=
∵MD+ND=MN=
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∴ND=
15 16在Rt△DNB中,BD=NB2DN2=3 16〔2〕假如∠BDH=90°,如图,此时点M与点D重合,
∵△CMN是等腰直角三角形,=2
∴CM=MN=2 ∴CD=2,
假如∠BHD=90°,如图,
∵∠BHD=90°,∠B=45°,
∴∠BDH=45°
∴∠CDN=45°=∠N 26 / 27
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∴CD==2.
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