九年级数学中考综合复习 ： 阅读与创新题 复习讲义

综合复习.阅读与创新题

＆.综合评述：

阅读理解题是近几年中考试卷中出现的一种新题型，以内容丰富，构思新颖、题样灵活多变为特点，它可以是阅读课的原文，也可以是设计一个新的数学情境.让学生在阅读的基础上，理解其中的内容、方法和思想，然后在把握本质、理解实质的基础上作出回答。

这类问题主要题型有：（1）判断概括型，即阅读特殊范例推出一般结论；（2）方法模拟型，即阅读解题过程中，总结解题规律、方法；（3）迁移发展型，即阅读新知识、研究新问题，在探究基础上有所应用。

这类试题要求考生能透彻理解课本中的所学内容，善于总结解题规律，并能准确地阐述自己的思想和观点。考查学生的阅读能力和对所学知识的整理、归纳能力，在解题中要认真仔细阅读其内容，搞清题中各量之间的关系、位置及数量特征，把握其规律，领会其本质内容.同时注意题中的某些隐含条件，再根据题中的要求作出准确规范的解答。

＆.典型例题剖析：

§.例1、（2019年昆明）观察下列等式（式子中的“！”是一种数学运算符号）。

1!1，2!21，3!321，4!4321，……，计算：

100! 98!思路点拨：本题为我们提供了一种新的数学运算，把握“！”运算的实质是解答本题的关键。 解：根据题意得：

100!10099989721100999900 98!98979621规律总结：本题属于新概念阅读题，通过一些特殊的算式，把握新运算的实质，然后再应用其具体求值。

常见错误：不明新运算实质，导致出错。

§.例2、阅读下列一段话，并解决后面的问题。

观察下面一列数：1，2，4，8，………

我们发现，这一列数从第2项起，每一项与它前一项的比都等于2.

一般地，如果一列数从第2项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常数，这一列数叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比。

（1）等比数列5，15，45，…的第4项是 ；

（2）如果一列数a1，a2，a3，a4，…是等比数列，且公比为q，那么根据上述规定，有a3aq，4q，……所以a2a1q；a3a2q(a1q)qa1q2；a4a3q(a1q2)q a2a3a1q3；…an_____________.（用a1和q的代数式表示）

a2q，a1（3）一个等比数列的第2项是10，第3项是20，求它的第1项与第4项.

思路点拨：本题取材于高中代数中的“等比数列”内容，通过阅读不难发现，等比数列中，前后项的关系及各项与第一项及公比的关系。

解：（1）135； （2）a1qn1；

（3）因为a210，a320 所以qa32 a2又因为a2a1q，a4a1q3 所以a1105，a422040 2规律总结：本题属于新概念阅读题，通过阅读明白数学概念中一些规律，然后运用规律解题。 常见错误：由于对等比数列概念理解不透彻而导致出现ana1qn的错误。

§.例3、阅读下列材料：

关于x的方程：x111111c的解是x1c，x2；xc的解是x1c，x2；xccxccx222333c的解是x1c，x2；xc的解是x1c，x2；…… xccxcc（1）请观察上述方程与解的特征，比较关于x的方程xmmc（m0）与它们的关系，xc猜想它的解是什么？并利用“方程的解”的概念验证.

（2）由上述的观察、比较、猜想、验证，可以得出结论：如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和，方程右边的形式是与左边完全相同，只是把其中的未知数换成了某个常数，那么这样的方程可以直接得解。

请用这个结论解关于x的方程：x22. ax1a1思路点拨：本题属于方法模拟的阅读理解题，题中给出了解类似方程的方法。 解：（1）方程xmmmc的解为x1c，x2. xccm右边，所以xc是原方程的解。 c验证：当xc时，左边c当xmmmmmc右边，所以x是原方程的解。 时，左边cmcccc（2）原方程可化成：x122，由题中结论可知： a1x1a1x1a1或x1解得：x1a，x22 a1a1 a1a1均为原方程的解。 a1经检验：x1a，x2规律总结：解答这类考题，关键在于阅读，从题中找出解决问题的办法，另外还需要合理地运用，模仿。

常见错误：对于要解方程找不出合理变形，使问题无法解决。

§.例4、阅读材料：已知p2p10，1qq20且pq1，求

pq1的值。 q

由p2p10，1qq20可知p0，q0，又因为pq1，所以p1.所以q111111qq20可以变形为()2()10.根据p2p10和()2()10的特征，p，是

qqqqq方程x2x10的两个不相等的实数根，则ppq111. 1，所以qq根据阅读材料所提供的方法，完成下面的解答： 已知2m25m10及

1511mn，且，求20的值。 2nmnn1520可知：m0，n0 2nn思路点拨：阅读材料为我们提供了一种解决问题的方法。 解：由2m25m10及又∵mn ∴

11 mn1520 2mm故2m25m10两边同时除以m2变形为∴故

11与是方程x25x20的两个不相等的实数根 nm115 mn规律总结：解答这类问题时，通过阅读我们会找出解决问题的办法以及解决问题时所要注意的事项。

常见错误：忽视说明

11与是方程x25x20的两个不相等的实数根而导致出错。 nm§.例5、（2019年烟台）先阅读下面的材料，然后解答问题：在一条直线上依次排列的n（n1）

台机床在工作，我们要设置一个零件供应站P，使这n台机床到供应站P的距离之和最小，要解决这个问题，先“退”到比较简单的情形：如图1，如果直线上有2台机床时，很明显设在A1和A2之间任何地方都行，因为甲和乙所走的距离之和等于A1到A2的距离。

A1

P

A2

A1 A2（P）D A3

甲 乙 甲 乙 丙

图 2 图 1

如图2，如果直线上有3台机床，不难判断，供应站设在中间一台机床A2处最合适.因为如果P放在A2处，甲和丙所走的距离之和恰好为A1到A3的距离.而如果把P放在别处，例如D处，那么甲和丙所走的距离之和仍是A1到A3的距离.可是乙还得走从A2到D的这一段，这是多出来的.因此

P放在A2处是最佳选择.不难知道，如果直线上有4台机床，P应放在第2台和第3台之间的任何

地方；有5台机床，P应放在第3台位置.

（1）有n台机床时，P应放在何处？

（2）根据问题（1）的结论：求|x1||x2||x3||x617|的最小值。

思路点拨：通过阅读材料不难发现，有2台机床时，P放在A1和A2之间任何一点，有3台机床时或5台机床机床时，P为中间一台的位置，可使距离总和最小.看来此规律与机床台数的奇偶性有关。

解：（1）当n为偶数时，P应设在第设在第

nn台和（1）台之间的任何地方；当n为奇数时，P应22n1台位置。 2（2）根据绝对值的几何意义，求|x1||x2||x3||x617|的最小值.就是在数轴

上找出表示x的点，使它到表示1，2，3，…，617各点距离之和最小。根据问题1的结论，当x309时，原式的值最小.最小值是：

|3091||3092|3093||309617|

308307112308 308309 95172

规律总结：读懂题意，找出规律，并将其拓展迁移、应用是正确解答迁移发展型阅读题的关键所在。

常见错误：无法找出问题（2）中的数学问题与实际例题的联系，导致无法入手。

§.例6、阅读下列材料：

在计算3579111315171921时，我们发现，从第一个数开始，以后的每一个数与它前面的一个数的差都是一个相同的定值.具有这样规律的一列数，除了直接相加外，我们还可以用公式snan(n1)（公式中的n表示数的个数，a表示第一个数的值，d计算它们的和。

210(101)2120 2d表示这个相差的定值）

那么3579111315171921103用上面的知识解决下列问题：

为保护长江，减少水土流失，我市某县决定对原有的坡荒地进行退耕还林.从1995年起在坡荒地上植树造林，以后每年又比上一年多植相同面积的树木改造坡荒地，由于每年因自然灾害、树木成活率、人为因素等的影响，都有相同数量的新坡荒地产生，下表为1995、1996、1997年的坡荒地面积和植树的面积的统计数据，假设坡荒地全部种上树后，不再水土流失形成新的坡荒地，问到哪一年，可以将全县所有的坡荒地全部种上树木？

年份 每年植树的面积（亩） 植树后坡荒地实际面积（亩） 1995年 1000 25200 1996年 1400 24000 1997年 1800 22400 思路点拨：材料的前半段告诉我们一个计算公式.这个公司用来求等差数列（从第一个数起，以后的每个数与它的前面一个数的差都是一个定值，这样的一列数称为等差数列）的和，然后看材料的后半段将如何应用此公式.通过表中数据的分析得出每年减少的坡荒地面积.从1995年开始，植树后的坡荒地面积（25200亩）=每年减少的坡荒地之和。

解：1996年的坡荒地减少了：25200240001200，1997年的坡荒地减少了：24000

224001600，……m年的坡荒地减少了：1200400(m1996)，由题意得：

120016001200400(m1996)25200

n(n1)由snad，得nm1995，a1200，d400

2

故1200n即3nn(n1)n(n1)400400n325200 22n(n1)63，解得：n19，n214（舍去） 2所以m199592004

所以到2004年，可以将坡荒地全部种上树木.

规律总结：对求和公式的阅读与理解及表中数据的分析是解答本题的关键。 常见错误：所解问题与阅读材料找不出联系之处，导致问题无从下手解决。

＆.综合巩固练习：

一、课改区中考试题练习

1.（2019年广东湛江市）如图3所示，已知等边ABC的边长为1，按图中所示的规律，用2008个这样的三角形镶嵌而成的四边形的周长是（ ）C

B

A ┅┅

C 图3

A、2008 B、2009 C、2010 D、2011

2.（2019年广东湛江市）将正整数按如图4所示的规律排列下去，若有序实数对（n，m）表示第n排，从左到右第m个数，如（4，2）表示实数9，则表示实数17的有序实数对是（ ）（6，5）

10 4 9 3 5 1 2 6 8 7 ┅┅ 图 4 第一排 第二排 第三排 第四排 3.（2019年广东湛江市）先观察下列等式，然后用你发现的规律解答下列问题。

111111111，，……… 122232334341121（2）探究12（1）计算（3）若

1111______. 23344556111______．（用含有n的式子表示） 2334n(n1)111117的值为，求n的值。 133557(2n1)(2n1)354.（2019年四川巴中）先阅读下列材料，然后解答问题：

从A、B、C三张卡片中选两张，有三种不同选法，抽象成数学问题就是从3个元素中选取S2个元素组合，记作C3323． 21m(m1)(mn1)

n(n1)321一般地，从M个元素中选取N个元素组合，记作：Cnm例：从7个元素中选5个元素，共有C577654321种不同的选法．

54321

问题：从某学习小组10人中选取3人参加活动，不同的选法共有 种．

5.（2019年贵州贵阳）如图5，平面内有公共端点的六条射线OA，OB，OC，OD，OE，

OF，从射线OA开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7，…．

（1）“17”在射线 上。（3分）

（2）请任意写出三条射线上数字的排列规律．（3分） （3）“2007”在哪条射线上？（3分） 解：（1）“17”在射线OE上．

（2）射线OA上数字的排列规律：6n5 射线OB上数字的排列规律：6n4 射线OC上数字的排列规律：6n3 射线OD上数字的排列规律：6n2 射线OE上数字的排列规律：6n1 射线OF上数字的排列规律：6n

C

B A 8 2 7 F 1 9 3 4 O 6 12 5 10 11 D 图5

E （3）在六条射线上的数字规律中，只有6n32007有整数解．解为n335，“2007”在射线

OC上。

6.（2019年陕西）例：当a0时，如a6则|a||6|6，故此时a的绝对值是它本身

当a0时，|a|0，故此时a的绝对值是零

当a0时，如a6则|a||6|6(6)，故此时a的绝对值是它的相反数 ∴综合起来一个数的绝对值要分三种情况，即 a(a0)|a|0(a0)

a(a0)这种分析方法涌透了数学的分类讨论思想。

问：（1）请仿照例中的分类讨论的方法，分析二次根式a2的各种展开的情况。 （2）猜想a2与|a|的大小关系。 7.( 2019年湘潭)阅读材料：

如果x1，x2是一元二次方程ax2bxc0的两根，那么有x1x2bc，x1x2. aa这是一元二次方程根与系数的关系，我们利用它可以用来解题，例x1，x2是方程x26x30的两根，求x1x2的值。解法可以这样：

∵x1x26，x1x23，则x1x2(x1x2)22x1x2(6)22(3)42. 请你根据以上解法解答下题：

已知x1，x2是方程x24x20的两根，求： （1）

11的值； x1x22222（2）(x1x2)2的值。

8.( 2019年内江市)阅读下列内容后，解答下列各题：

几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定． 例如：考查代数式(x1)(x2)的值与0的大小 当x1时，x10，x20，∴(x1)(x2)0 当1x2时，x10，x20，∴(x1)(x2)0 当x2时，x10，x20，∴(x1)(x2)0 综上：当1x2时，(x1)(x2)0 当x1或x2时，(x1)(x2)0

（1）填写下表：（用“”或“”填入空格处）

x2 2x1 1x3 3x4 x4 x2 x1 x3 x4 (x2)(x1)(x3)(x4)                       （2）由上表可知，当x满足 时，(x2)(x1)(x3)(x4)0； （3）运用你发现的规律，直接写出当x满足 时，(x7)(x8)(x9)0．

9.（2019年四川内江）（1）观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是 ；根据此规律，如果an（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么a18_______，an_______；

（2）如果欲求133233320的值，可令

S133233320……………………………………………………①

将①式两边同乘以3，得 …………………………② 由②减去①式，得S_____________．

（3）用由特殊到一般的方法知：若数列a1，a2，a3，……，an，从第二项开始每一项与前一项之比的常数为q，则an_______（用含a1，q，n的代数式表示），如果这个常数q1，那么． a1a2a3an_______（用含a1，q，n的代数式表示）

10.（2019年盐城）阅读理解：

对于任意正实数a、b，∵(ab)20，∴a2abb0 ∴ab2ab，只有当ab时，等号成立．

结论：在ab2ab（a、b均为正实数）中，若ab为定值p，则ab2p，只有当ab时，ab有最小值p．

根据上述内容，回答下列问题： 若m0，只有当m____时，m1有最小值 . m思考验证：如图6，AB为半圆O的直径，C为半圆上任意一点（与点A、B不重合），过点C作CDAB，垂足为D，ADa，DBb．

试根据图形验证ab2ab，并指出等号成立时的条件。

12（x0）上的任意一x点，过点P作PCx轴于点C，PDy轴于点D．求四边形ABCD面积的最小值，并说明此时四

探索应用：如图7，已知A(3，0)，B(0，4)，P为双曲线y

边形ABCD的形状。

A O 图 6

D B -4 B 图 7

C A -3 D O y P C x

二、经典题练习

1．在密码学中，直接可以看到内容为明码，对明码进行某种处理后得到的内容为密码．有一种密码，将英文26个字母a，b，c，…，z（不论大小写）依次对应1，2，3，…，26这26个自然数（见表格）．当明码对应的序号x为奇数时，密码对应的序号y为偶数时，密码对应的序号y字母 序号 字母 序号 a 1 n 14 b 2 o 15 c 3 p 16 x1；当明码对应的序号x2x13． 2d 4 q 17 e 5 r 18 f 6 s 19 g 7 t 20 h 8 u 21 i 9 v 22 j 10 w 23 k 11 x 24 l 12 y 25 m 13 z 26 按上述规定，将明码“love”译成密码是（ ）

A、Gawq B、Shxc C、Sdri D、love

2.《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作．在它的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成的。《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图8、图9。图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项．把图83x2y19所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是类似地，图9所示的算

x4y23筹图我们可以表述为( )

2xy112xy11 B、 A、4x3y274x3y223x2y192xy6 D、 C、x4y234x3y27c，3.将4个数a，2列，两边各加一条竖直线记成b，d排成2行、

图8 图9

ababadbc，，定义

cdcd上述记号就叫做2阶行列式．若

x1x16，则x____．

1xx14.我们常用的数是十进制的数，而计算机程序处理中使用的是只有数码0和1的二进制数．这

两者可以相互换算，如将二进制1101换算成十进制数应为12312202112013，按此方式，则将十进制数25换算成二进制数应为__________．

6.阅读下列题目的解题过程：

已知a，b，c为ABC的三边，且满足a2c2b2c2a4b4，试判断的形状。 解：∵a2c2b2c2a4b4 （A） ∴c2(a2b2)(a2b2)(a2b2) （B） ∴c2a2b2 （C） ∴ABC是直角三角形

问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号：________________； （2）错误的原因为：_______________________________________________________； （3）本题正确的结论为：____________．

7.图10是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了n层．将图10倒置后与原图10拼成图11的形状，这样我们可以算出图10中所有圆圈的个数为123n

n(n1)． 2

图10 图11 图12 图13

如果图10中的圆圈共有12层.

L，则（1）我们自上往下，在每个圆圈中都按图12的方式填上一串连续的正整数1，2，3，最底层最左边这个圆圈中的数是 ；

L，（2）我们自上往下，在每个圆圈中都按图13的方式填上一串连续的整数23，22，21，

求图14中所有圆圈中各数的绝对值之和。