【精选】2020中考数学 几何综合探究 专题练习(含答案)

例题1. 如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，ABDC50，AD75，BC135，点P从点B出发沿

折线段BAADDC以每秒5个单位长度的速度向点C匀速运动，点Q从点C出发沿线段CB方向以每秒3个单位长度的速度匀速运动，过点Q向上作射线QK⊥BC，交折线段CDDAAB于点E，点P、Q同时开始运动，当点P与点C重合时停止运动，点Q也随之停止，设点P、Q运动的时间是t秒t0

（1）当点P到达终点C时，求t的值，并指出此时BQ的长；

（2）当点P运动到AD上时，t为何值能使PQ∥DC?

（3）设射线QK扫过梯形ABCD的面积为S，分别求出点E运动到CD，DA上时，S与t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）

KKAPBQDEAPEDAPDKECF图2HQBCQH图1CB

50755035s时，点P到达终点C， 5此时，QC353105，所以BQ的长为 13510530．

⑵如图1，若PQ∥DC，又AD∥BC，则四边形PQCD为平行四边形，从而PDQC, 由QC3t，BAAP5t

125得50755t3t，解得t，

8125经检验：当t时，有PQ∥DC．

8⑶①当点E在CD上运动时，如图2，分别过点A、D作AF⊥BC于点F，DH⊥BC于点H， 则四边形ADHF为矩形，且△ABF≌△DCH，

【答案】⑴t从而FHAD75，于是BFCH30，∴DHAF40．

DH又QC3t，从而QEQCtanC3t4t（注：用相似三角形求解亦可）

CH1∴SS△QCEQEQC6t2．

2②当点E在DA上运动时，如图1，过点D作DH⊥BC于点H， 由①知DH40，CH30，

又QC3t，从而EDQHQCCH3t30

1∴SS梯形QCDEEDQCDH120t600．

2 例题2.

4，直线EF交3过线段FG上的一个动点H作HM⊥AG，HN⊥AD，垂足分别为M，N，设HMx，AB的延长线于G，

如图，E、F分别是边长为4的正方形ABCD的边BC，CFCD上的点，CE1，矩形AMHN的面积为y

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）当x为何值时，矩形AMHN的面积最大，最大面积为多少？

DFCENABHMG【答案】（1）∵正方形ABCD的边长为4，CE1，CF∴BE3

又AG∥CF，△FEC∽△GEB，又HM∥BE

4， 3

CFCE，BG4 BGBEMGHM BGBE44∴MGx，AM8x

3344∴yx8xx28x0x4

33442（2）∵yx28xx312

33∴当x3时，矩形面积最大，最大面积为12

∴△HMG∽△EBG，例题3.

如图，在平面直角坐标系中，点A3，0，B33，2，C0，2，动点D以每秒1个单位的速

度从点O出发沿OC向终点C运动，同时动点E以每秒2个单位的速度从点A出发沿AB向终点B运动，

过点E作EF⊥AB交BC于点F，连结OA、OF，设运动时间为t秒． （1）求ABC的度数；

（2）当t为何值时，AB∥DF； （3）设四边形AEFD的面积为S， ①求S关于t的函数关系式；

②若一抛物线yx2mx经过动点E，当S23时，求m的取值范围．

yCDOAFExB【答案】（1）过点B作BM⊥x轴于点M

2，B33，2，∴BC∥OA，∴ABCBAM， ∵C0，3，ABCBAM30． 3（2）∵AB∥DF，∴CFDCBA30， 在直角三角形DCF中，CD2t，CFD30，∴CF32t，

∵BM2，AM23，∴tanBAM∵AB4，∴BE42t，FBE30，∴BF242t3，

∴32t242t333，∴t5． 7（3）①解法一：过点E作EG⊥x轴于点G，则EGt，OG33t， ∴E33t，t，∴DE∥x轴，

111SS△DEFS△DEADECDDEOD222解法二：∵BF∴SS梯形OABC43242t3S△ODAS△BFES△CDF

3t323t3．

4t13，∴CF33242t3，

3332t2t4t142t3t3， 266133． 6②当S23时，3t323，

∴t1，因为t0，所以0t1，所以3m 例题4.

如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A，B的坐标分别为4，0，4，3，动点

M，N分别从点O，B同时出发，以每秒1个单位的速度运动，其中点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动，过点N作NPBC，交AC于点P，连结MP，当两动点运动了t秒时． （1）P点的坐标为（ ， ）（用含t的代数式表示）． （2）记MPA的面积为S，求S与t的函数关系式(0t4)． （3）当t 秒时，S有最大值，最大值是 ．

（4）若点Q在y轴上，当S有最大值且QAN为等腰三角形时，求直线AQ的解析式．

yCNByCNPBPOMAxQOM图1Ax

3【答案】（1）4t，t

43（2）在MPA中，MA4t，MA边上的高为t

413∴SSMPA4tt，

2433即St2t0t4

823（3）2，

2（4）由⑶知，当S有最大值时，t2，此时N在BC的中 点处，如图1．

设Q0，y，则AQ2OA2OQ242y2

QN2CN2CQ2223y，

2AN2AB2BN23222． ∵QAN为等腰三角形，

①若AQAN，则42y23222，此时方程无解．

1②若AQQN，即42y222(3y)2，解得y．

22222③若QNAN，即2(3y)32，解得y10，y26．

16)． 0)，Q3(0，∴Q10，-，Q2(0，211当Q为0，时，设直线AQ的解析式为ykx，

2211将A4，0代入，得4k0，解得k．

2811∴直线AQ的解析式为yx．

82当Q为0，0时，A4，0，Q0，0均在x轴上，

∴直线AQ的解析式为y0（或直线为x轴）．

当Q为0，6时，Q，N，A在同一直线上，ANQ不存在，舍去．

11故直线AQ的解析式为yx，或y0．

82 例题5. ABC中，C90，A60，AC2cm．长为1cm的线段MN在ABC的边AB上沿AB方

向以1cm/s的速度向点B运动（运动前点M与点A重合）．过M，N分别作AB的垂线交直角边于P，Q两点，线段MN运动的时间为ts．

（1）若AMP的面积为y，写出y与t的函数关系式（写出自变量t的取值范围）；

（2）线段MN运动过程中，四边形MNQP有可能成为矩形吗？若有可能，求出此时t的值；若不可能，说明理由；

（3）t为何值时，以C，P，Q为顶点的三角形与ABC相似？

CPQAMNB

【解析】⑴当点P在AC上时，∵AMt，∴PMAMtg603t． 132∴yt3tt0≤t≤1．

22当点P在BC上时，PMBMtan3034t． 313323ytt1≤t≤3． 4tt22363⑵∵AC2，∴AB4．∴BNABAMMN4t13t．

3∴QNBNtan303t．

33由条件知，若四边形MNQP为矩形，需PMQN，即3t3t，

33∴t．

43∴当ts时，四边形MNQP为矩形．

43⑶由⑵知，当ts时，四边形MNQP为矩形，此时PQ∥AB，

4∴PQC∽ABC．

除此之外，当CPQB30时，QPC∽ABC，此时∵∵

CQ3． tan30CP3AM1cos60，∴AP2AM2t．∴CP22t． AP2BN23BN3，∴BQcos303t．

3BQ23又∵BC23，∴CQ232323t． 3t3323t13∵3，t．

222t313Q为顶点的三角形与ABC相似． ∴当ts或s时，以C，P，2413323【答案】（1）ytt1≤t≤3 4tt223633（2）当ts时，四边形MNQP为矩形

413（3）当ts或s时，以C，P，Q为顶点的三角形与ABC相似

24

AD3厘米，ABa厘米例题6. 如图，矩形ABCD中，（a3）．动点M，N同时从B点出发，分别沿BA，

BC运动，速度是1厘米／秒．过M作直线垂直于AB，分别交AN，CD于P，Q．当点N到达终点C时，点M也随之停止运动．设运动时间为t秒．

⑴ 若a4厘米，t1秒，则PM______厘米；

⑵ 若a5厘米，求时间t，使△PNB∽△PAD，并求出它们的相似比；

⑶ 若在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等，求a的取值范围；

⑷ 是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN，梯形PQDA，梯形PQCN 的面积都相等？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由．

DQCDQCNPAMNBAPMB

3， 4⑵ t2，使△PNB∽△PAD，相似比为3:2 ⑶ ∵PM⊥AB，CB⊥AB，AMPABC，

PMAMPMatt(at)即，∵PM， △AMP∽△ABC，∴BNABtaat(a1)∵QM3

a(QPAD)DQ(MPBN)BM当梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等，即 22

【答案】⑴ PMt(at)t3(a1)(at)tt3aa化简得t6a， 6a226a∵t≤3，∴≤3，则a≤6，∴3a≤6，

6a⑷ ∵3a≤6时，梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等

∴梯形PQCN的面积与梯形PMBN的面积相等即可，则CNPM t6a∴(at)3t，把t代入，解之得a23，所以a23． a6a所以，存在a，当a23时梯形PMBN与梯形PQDA的面积、梯形PQCN的面积相等．

例题7. 如图，在矩形ABCD中，BC20cm，P，Q，M，N分别从A、B、C、D出发沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若BQxcmx0，AP2xcm，CM3xcm，DNx2cm．

⑴ 当x为何值时，以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形 ⑵ 当x为何值时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形；

⑶ 以P、Q、M、N为顶点的四边形能否为等腰梯形？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由．

A

P

N

D

B

Q M

C

【解析】⑴ 当点P与点N重合或点Q与点M重合时，以PQ，

MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边可能构成一个三角形．

当点P与点N重合时，由x22x20，得x1211，x2211（舍去） ∵BQCMx3x4

21120，∴此时点Q与点M不重合，

∴x211符合题意．

当点Q与点M重合时，由x3x20，得x5，此时DNx22520不符合题意，

故点Q与点M不能重合，∴x211．

⑵ 由⑴知，点Q只能在点M的左侧，

当点P在点N的左侧时，由20x3x202xx2得x10，x22，舍去x1， 当x2时，四边形PQMN是平行四边形；

当点P在点N的右侧时，由20x3x2xx220得x110，x24，舍去x1，

当x4时，四边形NQMP是平行四边形．

∴当x2或者x4时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形 ⑶ 过点Q，M分别作AD的垂线，垂足分别为点E，F．

由于2xx，∴点E一定在点P的左侧，若以P、Q、M、N为顶点的四边形是等腰梯形，则点F一定在点N的右侧，且PENF，即2xxx23x， ∴x10，x24，可知当x0时不成立．

由于当x4时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形， ∴以P、Q、M、N为顶点的四边形不能是等腰梯形．

【答案】见解析

例题8. 正方形ABCD的边长为2，E是射线CD上的动点（不与点D重合），直线AE交直线BC 于点G，

BAE的平分线交射线BC于点O．

2⑴ 如图，当CE时，求线段BG的长；

3CE⑵ 当点O在线段BC上时，设x，BOy，求y关于x的函数解析式；

ED⑶ 当CE2ED时，求线段BO的长．

ADEBOCG【解析】⑴ 在边长为2的正方形ABCD中，CE24，得DE，

33CGCE1又∵AD∥BC，即AD∥CG，∴，得CG1

ADDE2∵BC2，∴BG3．

⑵ 当点O在线段BC上时，过点O作OFAG，垂足为点F

∵AO为BAE的角平分线，ABO90，∴OFBOy

CGCE在正方形ABCD中，AD∥BC，∴x

ADED∵AD2，∴CG2x

CE2x又∵． x，CEED2，得CEED1x在RtABG中，AB2，BG22x，B90，

∴AG2x22x2 ∵AFAB2

∴FGAGAF2x22x22，

OFABAB2x22x2∵，即yFG，得yx≥0．

x1FGBGBG⑶ 当CE2ED时

2102①当点O在线段BC上时，即x2，由⑵得OBy 3②当点O在线段BC延长线上时CE4，EDDC2，

在RtADE中，AE22，

设AO交线段DC于点H，∵AO是BAE的平分线，即BAHHAE 又∵AB∥CD，∴BAHAHE．∴HAEAHE

∴EHAE22．∴CH422 ∵AB∥CD CHCO422BO2∴，即，得BO222． 2BOABBO【答案】见解析

例题9. 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB7，CD1，ADBC5．点M，N分别在边AD，BC上

运动，并保持MN∥AB，MEAB，NFAB，垂足分别为E，F．

（1）求梯形ABCD的面积；

（2）求四边形MEFN面积的最大值． （3）试判断四边形MEFN能否为正方形.若能，求出正方形MEFN的面积；若不能，请说明理由．

DMCNM D C N AEFBA

【解析】（1）分别过D，C两点作DGAB于点G，CHAB于点H．

∵AB∥CD，

DG∥CH． ∴DGCH，∴ 四边形DGHC为矩形，GHCD1． ∵DGCH，ADBC，AGDBHC90o， ∴RtAGD≌RtBHCHL．

E G H F B

ABGH713． 22∵ 在RtAGD中，AG3，AD5， ∴DG4．

17416．

∴S梯形ABCD2（2）∵MN∥AB，MEAB，NFAB，

∴MENF，ME∥NF． ∴四边形MEFN为矩形． ∵AB∥CD，ADBC， ∴AB．

∵MENF，MEANFB90o， ∴MEA≌NFBAAS．

∴AGBH∴AEBF．

设AEx，则EF72x． 易证MEA∽DGA． AEME4∴，则MEx． AGDG3248749∴S矩形MEFNMEEFx72xx．

334677当x时，ME4，

3449∴四边形MEFN面积的最大值为．

6（3）四边形MEFN可以为正方形．

4由（2）可知，设AEx，则EF72x，MEx．

3若四边形MEFN为正方形，则MEEF． 421即x72x，解得x． 3102114∴EF72x724．

105∴ 四边形MEFN能为正方形，其面积为S正方形MEFN【答案】见解析

14196．

5252例题10. 如图，在RtABC中，A90o，ABAC，BC42，另有一等腰梯形DEFG（GF∥DE）的底

边DE与BC重合，两腰分别落在AB，AC上，且G，F分别是AB，AC的中点．

⑴ 求等腰梯形DEFG的面积；

⑵ 操作：固定ABC，将等腰梯形DEFG以每秒1个单位的速度沿BC方向向右运动，直到点D与点C重合时停止．设运动时间为x秒，运动后的等腰梯形为DEFG（如图）． 探究1：

在运动过程中，四边形BDGG能否是菱形？若能，请求出此时x的值；若不能，请说明理由． 探究2：

设在运动过程中ABC与等腰梯形DEFG重叠部分的面积为y，求y与的函数关系式．

AGFAGF(D)BC(E)(D)BMAGG'FF'C(E)BAGG'FF'GADCE

FG'F'BDMCEBDQCE【解析】⑴ 如图6，过点G作GMBC于M．

BAC90，BC42，G为AB中点 ∵ABAC，∴GM2．

又∵G，F分别为AB，AC的中点

1∴GFBC22

21∴S梯形DEFG224226

2∴等腰梯形DEFG的面积为6. ⑵ 四边形DBG′G能为菱形.

如图7，由BG∥DG，GG∥BC ∴四边形BDGG是平行四边形 1当BDBGAB2时，四边形BDGG为菱形，

2此时可求得x2

∴x2秒时，四边形BDGG为菱形.

⑶ 分两种情况： ①当0≤x22时，

∵GM2，∴S平行四n形BDGG2x ∴重叠部分的面积为y62x

∴当0≤x22时，y与x的函数关系式为y62x

②当22≤x≤42时，

设FC与DG交于点P，则PDCPCD45 ∴CPD90，PCPD

1作PQDC于Q，则PQDQQC42x

2∴重叠部分的面积为：

2111y42x42x42x

224【答案】见解析



例题11. 如图1，四边形ABCD是正方形，点G是BC上任意一点，DEAG于点E，BFAG于点F.

⑴ 求证：DEBFEF．

⑵ 当点G为BC边中点时，试探究线段EF与GF之间的数量关系， 并说明理由．

⑶ 若点G为CB延长线上一点，其余条件不变．请你在图2中画出图形，写出此时DE、BF、

． EF之间的数量关系（不需要证明）

AEFG图1DADEADBCGB图2CF【解析】⑴ ∵四边形ABCD是正方形，BFAG，DEAG ∴DAAB，BAFDAEDAEADE90

∴BAFADE，∴ABF≌DAE，∴BFAE，AFDE ∴DEBFAFAEEF ⑵ EF2FG，理由如下：

∵ABBC，BFAG，AB2BG ∴AFB∽BFG∽ABG ABAFBF∴2 BFBFFG∴AF2BF，BF2FG

由⑴知，AEBF，∴EFBF2FG ⑶ 如图DEBFEF 【答案】见解析

GBC

例题12. 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BCD90，且AB1，BC2，tanADC2．

⑴ 求证：DCBC；

⑵ E是梯形内一点，F是梯形外一点，且EDCFBC，DEBF， 当BE:CE1:2，BEC135时，求sinBFE的值．

AEBAEBFDCF【解析】⑴ 过A作DC的垂线AM交DC于M，则ABCM为矩形. ∴AMBC2，MCAB1. ∵tanADC2，∴DM1， ∴DCBC. ⑵ ∵DEBF，EDCFBC，DCBC， ∴DEC≌BFC，∴CECF，ECDBCF，

∴ECFBCFBCEECDBCEBCD90， ∴ECF是等腰直角三角形．

DMC

设BEk，则CECF2k，∴EF22k． ∵BEC135，CEF45，∴BEF90，

2k12BFk22k3k，∴sinBFE∴．

3k3【答案】见解析

例题13. 已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，ABDC，点E，F，G分别在AB，BC，CD上， 且

AEGFGC.

（1）求证：四边形AEFG是平行四边形；

（2）当FGC2EFB时，求证：四边形AEFG是矩形.

AEB【解析】（1）∵在梯形ABCD中，ABDC，

∴BC． ∵GFGC，

∴CGFC． ∴BGFC，

∴AB∥GF，即AE∥GF． ∵AEGF，

∴四边形AEFG是平行四边形．

（2）过点G作GHFC，垂足为H． ∵GFGC，

1∴FGHFGC．

2∵FGC2EFB， ∴FGHEFB．

∵FGHGFH90， ∴EFBGFH90． ∴EFG90．

∵四边形AEFG是平行四边形，

DGFC

AEBDGFHC

∴四边形AEFG是矩形．

【答案】见解析