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函数的概念和性质

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专题讲座

高中数学“函数的概念与性质”教学研究

李梁 北京市西城区教育研修学院

函数是中学数学中的重点内容,它是描述变量之间依赖关系的重要数学模型. 本专题内容由四部分构成:关于函数内容的深层理解;函数概念与性质的教学建议;学生学习中常见的错误分析与解决策略;学生学习目标检测分析.

研究函数问题通常有两条主线:一是对函数性质作一般性的研究,二是研究几种具体的基本初等函数——二次函数、指数函数、对数函数、幂函数.研究函数的问题主要围绕以下几个方面:函数的概念,函数的图象与性质,函数的有关应用等.

一、关于函数内容的深层理解 (一)函数概念的发展史简述

数学史角度:早期函数概念(Descartes,1596—1650引入坐标系创立解析几 何,已经关注到一个变量对于另一个变量的依赖关系)[几何角度];Newton,12—1727,用数流来定义流量(fluxion)的变化率,用以表示变量间的关系;Leibniz,16—1716引入常量、变量、参变量等概念;Euler引入函数符号个解析表达式[代数角度];Dirichlet,1805—1859提出

,并称变量的函数是一是与

之间的一种对

应的观点[对应关系角度] ;Hausdorff在《集合论纲要》中用“序偶”来定义函数[集合论角度].

Dirichlet:认为怎样去建立与

之间的关系无关紧要,他拓广了函数概念,指出:都有一个确定的值,那么

叫做的函数.”这

“对于在某区间上的每一个确定的值,

种函数的定义,避免了以往函数定义中所有的关于依赖关系的描述,简明精确(经典函数定义).

Veblen,1880-1960用“集合”和“对应”的概念给出了近代函数定义,通过集合概念,把函数的对应关系、定义域及值域进一步具体化了,且打破了“变量是数”的,变量可以是数,也可以是其它对象.

(二)初高中函数概念的区别与联系

1.初中函数概念:

设在某个变化过程中有两个变量唯一的值与它对应,我们就说

2.高中函数概念:

(1)设A,B是两个非空集合,如果按照某种对应法则f,对A中的任意一个元素x,在B中有一个且仅有一个元素y与x对应,则称f是集合A到集合B的映射.记作其中叫原象,

叫象.

,如果对于在某个范围内的每一个值,

叫的函数.

都有

是的函数,叫自变量,

(2)设集合A是一个非空的数集,对A中的任意数x,按照确定的法则f,都有唯一确定的数y与它对应,则这种映射叫做集合A上的一个函数.记作

.

其中x叫做自变量,自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域.所有函数值构成的集合全确定.

(3) 函数是一种特殊的映射.其定义域和值域都是非空的数集,值域中的每一个元素都有原象.

构成函数的三要素:定义城,值域和对应法则,其中定义域和对应法则是核心. (三)函数在整个数学知识体系中的地位及作用

函数是中学数学最重要的基本概念之一,其核心内涵为从非空数集到非空数集的映射;函数思想也是整个高中数学最重要的数学思想之一,而函数概念是函数思想的基础;它不仅对前面学习的集合知识做了巩固和发展,而且它是学好后继知识的基础和工具;函数与方程、不等式、数列、三角函数、解析几何、导数等内容的联系也非常密切;函数的基础知识在现实生活、社会、经济及其它学科中有广泛的应用;函数概念及其反应的数学思想方法已广泛渗透到数学的各个领域,是进一步学习数学的重要基础.

(四)函数的概念与性质结构框图

叫做这个函数的值域.函数的值域由定义域与对应法则完

(五)函数的概念与性质教学重点和难点 教学重点: 1.函数的概念 2.函数的基本性质

3.基本初等函数的图象和性质 教学难点:

1.函数概念的理解

2.对函数的单调性、奇偶性、周期性实质的把握 3.运用基本初等函数的图象和性质解决简单问题 二、函数概念与性质的教学建议:

(一)如何深入把握函数的概念? 1.映射与函数的教学建议:

教学中,由于映射与函数的概念比较抽象,不易把握,故本部分内容宜采用教师引导,师生共同研讨的方式来学习.

在教学中,教师可以类似举如下的例子进行剖析: 例1:设集合集合

中的元素

都是自然数集合, 则在映射

. 映射

把集合

中的元素映射到

作用下, 2的象是_______;20 的原象是________.

.

分析:由已知,在映射所以,2的象是

作用下的象为;

设象 20 的原象为,则的象为 20,即由于

随着的增大而增大,又

.

,所以20 的原象是4.

这个例子要求学生理解映射的意义,对于给出对应关系的映射会求映射中指定元素的象与原象. 能够有效判别学生对映射、象、原象这些概念的把握程度.同时,题目中兼顾对于函数

二、函数概念与性质的教学建议:

性质的探究,具有一定的综合程度.

(一)如何深入把握函数的概念? 1.映射与函数的教学建议:

教学中,由于映射与函数的概念比较抽象,不易把握,故本部分内容宜采用教师引导,师生共同研讨的方式来学习.

在教学中,教师可以类似举如下的例子进行剖析: 例1:设集合集合

中的元素

都是自然数集合, 则在映射

. 映射

把集合

中的元素映射到

作用下, 2的象是_______;20 的原象是________.

.

分析:由已知,在映射所以,2的象是

作用下的象为;

设象 20 的原象为,则的象为 20,即由于

随着的增大而增大,又

.

,所以20 的原象是4.

这个例子要求学生理解映射的意义,对于给出对应关系的映射会求映射中指定元素的象与原象. 能够有效判别学生对映射、象、原象这些概念的把握程度.同时,题目中兼顾对于函数

性质的探究,具有一定的综合程度.

2.函数的定义域问题:

确定函数的定义域是研究函数问题的先决条件,因此对于一个函数问题,首先要明确自变量的取值集合.教学中,教师可通过类似下述问题明确求函数定义域的几类常见问题:

例2:求下列函数的定义域:

(1);

(2);

(3);

(4);

解:(1)由,得,所以或,所以或.

所以,所求函数的定义域为(2)由

得,

.

.

所以,所求函数的定义域为.

(3)由得,且,,

所以,所求函数的定义域为

(4)由得即所以.

所以,所求函数定义域为.

例3:如图,用长为的铁丝弯成下部为矩形,上部为半圆形的框架,若矩形的底边长为

,求此框架围成的面积与的函数关系式,并指出定义域. 解:根据题意,

.

弧长为,所以.

所以,

根据问题的实际意义.

.

.

解得.

所以,所求函数定义域为.

上述求函数定义域问题涵盖了确定函数定义域的两种类型问题.

(1)给出函数解析式求定义域(如例2),这类问题就是求使解析式有意义的自变量的取值范围.正确的解不等式或不等式组在解决这类问题中是重要的.

中学数学中常见的对变量有的运算法则有: ① 分式中分母不为零; ② 偶次方根下被开方数非负; ③ 零次幂的底数要求不为零;

④ 对数中的真数大于零,底数大于零且不等于 1;

⑤ ,则.

(2)在实际问题中求函数的定义域(如例 3). 在这类问题中除了考虑解析式对自变量的 , 还应考虑实际问题对自变量的.

另外,在处理函数问题时要有一种随时关注定义域的意识,这是极其重要的.比如在研究函数单调性、奇偶性、最值等问题时,首先要考虑的就是函数的定义域.

3.函数的对应法则问题:

确定函数的对应法则(即求函数的解析式)是有关函数概念中的重要问题,教学中教师可以设置如下相关题组,和学生共同解决.

例4:(1)已知,求的解析式;

(2)已知(3)如果的解析式;

(4)已知函数解析式.

分析:(1)求函数

为二次函数,

,求的值; ,并且当

时,

取得最小值

,求

与函数的图象关于直线对称,求的

的解析式,从映射的角度看就是求对应法则,于是,我们一

般有下面两种方法解决(1)这样的问题.

方法一:法则

. 通过这样“凑型”的方法,我们可以明确看到

.

是“原象对应于原象除以原象的平方减1”.所以,

方法二:设,则.则,所以.

这样,通过“换元”的方法也可以明确看到法则是什么.

(2)用“凑型”的方法,

.

.所以,

(3)因为为二次函数,并且当时,取得最小值,

所以,可设又

,所以

,所以.

.

(4)这个问题相当于已知的图象满足一定的条件,进而求函数

的解析式.

的解析式. 所

以,可以类比解析几何中求轨迹方程的方法求

设的图象上任意一点坐标为,由已知,点

在函数

满足

.

,则关于对称点的坐标为

的图象上, 的解析式,即

所以,点所以,

的坐标

由于已知条件的不同,求函数的解析式的常见方法有像(1)(2)所用到的“凑形”及“换元”的方法;有像(3)所用到的待定系数法;也有像(4)所用到的解析法.

值得注意的是(4)中所用的解析法.在求函数解析式或求曲线的轨迹方程时都可以用这种方法,是一种通法.同时也表明函数和它的图象与曲线和它的方程之间有必然的取系.

(二)教学中如何突出函数性质的本质?

函数的性质主要包括函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性等,侧重点在于理解与函数性质有关的概念,掌握有关判断、证明的基本方法以及简单的应用. 这部分内容常用到数形结合的思想方法.

1.关于基本概念的理解: (1)设函数且

设函数

的定义域为

,如果对于

内的任意一个,都有

,则这个函数叫做奇函数. 的定义域为

,如果对于

内任意一个,都有

,且

,则这个函数叫做偶函数.

由奇函数定义可知,对于奇函数图象上.又点

与点

,点

与点

都在其

关于原点对称,我们可以得到:

奇函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形;通过同样的分析可以得到,偶函数的图象是以

轴为对称轴的轴对称图形.

(2)一般地,设函数两个值

当当

如果一个函数在某个区间具有单调性,区间

,改变量

的定义域为

,则

时,就称函数时,就称函数

,区间.如果取区间中的任意

在区间在区间

上是增函数; 上是减函数.

上是增函数或是减函数,就说这个函数在这个区间

称为单调区间.

在单调区间上,增函数的图象是上升的,减函数的图象是下降的. (3)一般地,对于函数的每一个值时,常数

叫做这个函数的周期.

,如果存在一个不为零的常数都成立,那么就把函数

,使得当取定义域中叫做周期函数,不为零的

(4)一般地,对于函数的每一个值时,

,如果存在一个不为零的常数,使得当取定义域中都成立,则函数

的图象关于直线

对称.

这四个概念都比较抽象,建议讲述相关概念时采用数形结合的手段,不断揭示概念的几何背景,进而完善学生对概念的认识.

2.关于函数的奇偶性问题:

对于函数的奇偶性,要求学生会判断及简单应用.教学中可给出如下题组: 例1:判断下列函数的奇偶性.

(1); (2); (3);

(4); (5).

解:(1)解,得到函数的定义域为或,关于原点不对称,

所以此函数为非奇非偶函数. (2)函数的定义域为即

,且

,但是,由于

所以此函数为非奇非偶函数. (3)函数的定义域为所以此函数为偶函数.

,又

(4)解,得,

所以此函数为奇函数.

(5)函数的定义域为所以此函数为奇函数.

,又,

通过本例及函数奇偶性的定义,进一步可以得到下面几个结论:

① 一个函数是奇(或偶)函数的必要不充分条件是定义域关于原点对称; ②

是奇函数,并且

时有定义,则必有

③ 既是奇函数又是偶函数的函数,其解析式一定为判定函数奇偶性按照其定义可以分为两个步骤: ① 判断函数的定义域是否关于原点对称; ② 考察

的关系.

,等.

由此,若以奇偶性为标准可以把函数分为奇函数,偶函数,既奇又偶函数和非奇非偶 函数四类. 例2:已知(1)求

为奇函数,当的值;

时,

(2)当时,求的解析式.

解:(1)因为(2)方法一: 当

为奇函数,所以时,

.

.

所以,.

方法二:设的图象上.

是在时图象上一点,则一定在在时

所以,,.

上述三个例子分别从具体函数、抽象函数、以及奇偶性的应用上加深对概念的理解. 3.关于函数的单调性问题:

例3:用函数单调性定义证明,函数增函数.

在区间上为

证明:设,

因为,所以,又因为 ,

所以,,

所以,

函数例4:设(1)试比较(2)若解:(1)因为又

在区间

是定义域为

与,且

在区间上为增函数. 的奇函数,且它在区间

上是减函数.

的大小; ,求证:

. ,

,即,

.

是奇函数,所以上是减函数,所以,所以

异号,不妨设, ,

在区间

(2)因为因为因为

,所以

上是减函数,

所以因为所以

是奇函数,所以

,即

, .

总之,函数的单调性是我们研究的极为重要的函数性质,其与其它问题的联系、自身的应用都很广泛,在教学中要予以充分注意.

(三)怎样有效提升学生对基本初等函数的图象与性质的把握? 基本初等函数包括: 二次函数、指数函数、对数函数和幂函数.

函数的图象上直观地反映着函数的性质, 学习函数的“捷径”是熟知函数的图象. 熟知函数图象包括三个方面:作图,读图,用图.

掌握初等函数一般包括以下一些内容:首先是函数的定义,之后是函数的图象和性质.函数的性质一般包括定义域,值域,图象特征,单调性,奇偶性,周期性,零点、最值以及值的变化特点等,研究和记忆函数性质的时候应全面考虑.

函数的定义(通常情况下是解析式)决定着函数的性质,我们可以通过解析式研究函数的性质,也可以通过解析式画出函数的图象,进而直观的发现函数的性质.

1.关于二次函数的处理:

对于二次函数,初中已有研究,但高中阶段处理二次函数的视角又和初中有所不同. 例如:设是实数,证明关于的方程解.(初中、高中的不同处理方法)

教学中可以参考如下的题目: 例1:(1)如果二次函数的取值范围是________.

在区间

上是增函数,则有两个不相等的实数

(2)二次函数(3)函数

的最大值恒为负,则的取值范围是_______. 对于任意

均有

,则

的大小关系是_____________. 解:(1)由于此抛物线开口向上,且在

上是增函数,

画简图可知此抛物线对称轴侧,

或与直线重合,或位于直线的左

于是有,解之得.

(2)分析二次函数图象可知,二次函数最大值恒为负的充要条件是“二次项系数且判别式

”,

(3)因为对于任意

解得均有

.

,所以抛物线对称轴为

.

轴上的截距为

,被轴截

.

又抛物线开口向上,做出函数图象简图可得例2、已知二次函数得的线段长为,求

解:解法一:设由

的对称轴为

,可得,可得的对称轴为的解析式.

; ;

均为方程. ,且图象在

由图象在轴上的截距为

由图象被轴截得的线段长为,可得所以

,即

.

解法二:因为图象被轴截得的线段长为,可得根.

所以,设

, ,所以

的根.

均为方程的

又即

图象在轴上的截距为. 所以

,即函数图象过

.

点.

二次函数是非常常见的一种函数模型,在高中数学中地位很重. 二次函数的解析式有三种形式: 一般式双根式

;顶点式

,其中

,其中

为顶点坐标;

为函数图象与轴交点的横坐标,即二次函

数所对应的一元二次方程的两个根.

例1、2两个题目充分体现了数形结合思想及运动变化思想的运用.这两种数学思想在函数问题的解决中被普遍使用.

2.关于指数函数、对数函数和幂函数的处理:

这三种基本初等函数是在研究一般函数基础上的重要模型,教学中建议采用如下问题突出相关函数性质的应用.

例3、比较下列各小题中各数的大小:

(1)与; (2) ; (3)与;

(4)与; (5)与; (6)

.

)上是增函数,所以

.

分析:(1)(2)函数

是减函数,在区间(0, +

函数在区间(0, +)上是减函数,所以,

所以.

(3)由于

(4)利用幂函数和指数函数单调性.

,所以

.

.

(5)因为,.根据不等式的性质有.

(6)因为,所以,即;

比较与,只需比较与,

因为是增函数,所以只需比较与的大小,

因为,所以,所以,

综上,例4:已知

. ,比较

的大小.

分析:方法一(作商比较法)

,又,所以,

所以,所以.

方法二(作差比较法)

因为所以

,所以,即

.

方法三(构造函数) 令因为

,将

,所以此函数为减函数,又

所以

,即

.

看作是关于的一次函数,

两个数比较大小的基本思路:

如果直接比较,可以考虑用比较法(包括“作差比较”与“作商比较”,如例4的方法一与方法二),或者利用函数的单调性来比较(如例3(1)(2)(3),例4的方法三).

如果用间接的方法可以尝试对要比较的两数进行适当的变形,转化成对另两个数的比较,也可以考虑借助中间量来比较(如例3(4)(5)(6)).

三、学生学习中常见的错误分析与解决策略 例1:下列四组函数中,表示同一个函数的是( )

(A), (B),

(C), (D),

易错点:① 定义域;② 对应法则;③ 函数的概念.

错因分析:① 忽视函数的定义域;② 不清楚函数概念的实质,如(B)中表示自变量的字母不同,就误认为不会是同一个函数.

解题策略:判断两个函数是否为同一函数,就是要看两个函数的定义域与对应法则是否完全相同.

一般有两个步骤:(1)在不对解析式进行变形的情况下求定义域,看定义域是否一致.(2)对解析式进行合理变形的情况下,看对应法则是否一致.

分析:(A)(C)(D)中两个函数的定义域均不同,所以不是同一函数.(B)中两个函数的定义域相同,化简后为

,对应法则也相同,所以选(B).

这个例子可以有效检测学生对函数概念的把握,同时突出映射与函数概念的联系. 例2:已知函数

的定义域为

,求函数

的定义域.

易错点:① 对应法则定义域;② 定义域的概念.

错因分析:① 对对应法则的符号不理解;② 不清楚定义域的含义. 解题策略:此题的题设条件中未给出函数

的解析式,这就要求我们根据函数三要

制约可知法,而定义

素之间的相互制约关系明确两件事情:①定义域是指的取值范围;②受对应法则的量的取值范围在“已知”和 “求”当中是一致的 .那么由则

制约的量的取值范围是

,而在函数

中,受

的定义域是直接制约的是,即.

的值不恒为零,对于任意的的奇偶性为_________.

域是指的范围,因此通过解不等式

. 同理可得例3:设函数

的定义域为在

上有定义,

的定义域是

,恒有

成立,则函数

易错点:① 抽象函数;② 对“恒成立”的理解.

错因分析:① 抽象函数的有关性质;② 对“恒成立”的理解不清晰,不能将其转化为所需求的结构.

解题策略:关于对抽象函数“令

为某些特殊的值,如本题解法中,令则可以得到令

,等等.

.得到

,在某

”的使用一般有以下两个思路: 得到了

.当然,如果令

具有某种特殊的关系,如本题解法中,令

,等等.

些情况下也可令

总之,函数方程的使用比较灵活,要根据具体情况作适当处理.在不是很熟悉的时候,要有试一试看的勇气.

解:令再令零,故

,则

是奇函数而非偶函数.

,则

,所以,所以

,又

的值不恒为

例4:已知函数(1)比较(2)若

是定义域为与

的单调增函数.

的大小;

,求实数的取值范围.

易错点:① 函数概念;② 增函数.

错因分析:① 对函数概念中的对应法则的理解不清楚;② 没有理解增函数概念的实质,不会将其应用于解决问题.

解题策略:回顾单调增函数的定义,在要的问题:还是减.

由定义可知:对于任取的区间上是增函数;

不仅如此,若若

,且函数,且函数

在区间上是增函数,则在区间上是增函数,则

,若

,且

,则函数

的符号;

为区间任意两个值的前提下,有三个重的符号;函数

在区间上是增

于是,我们可以清晰地看到,函数的单调性与不等式有着自然的联系,请结合例4加以体会.

解:(1)因为由已知,(2)因为解得

是单调增函数,所以是单调增函数,且

.

,所以

. ,所以

四、学生学习目标检测分析 (一)课程标准中的相关要求 1.函数

① 通过丰富实例,进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型,在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数,体会对应关系在刻画函数概念中的作用;了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域;了解映射的概念。

② 在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如,图像法、列表法、解析法)表示函数。

③ 通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用。

④ 通过已学过的函数特别是二次函数,理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义;结合具体函数,了解奇偶性的含义。

⑤ 学会运用函数图像理解和研究函数的性质。 2.指数函数

① 通过具体实例(如,细胞的,考古中所用的C的衰减,药物在人体内残留量的变化等),了解指数函数模型的实际背景。

② 理解有理指数幂的含义,通过具体实例了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算。 ③ 理解指数函数的概念和意义,能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图像,探索并理解指数函数的单调性与特殊点。

④ 在解决简单实际问题的过程中,体会指数函数是一类重要的函数模型。 3.对数函数

① 理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数;通过阅读材料,了解对数的发现历史以及对简化运算的作用。

② 通过具体实例,直观了解对数函数模型所刻画的数量关系,初步理解对数函数的概念,体会对数函数是一类重要的函数模型;能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图像,探索并了解对数函数的单调性与特殊点。

③ 知道指数函数y=a与对数函数y=loga x互为反函数。(a > 0, a≠1) 4.幂函数

x 14

通过实例,了解幂函数的概念;结合函数y=x, y=x, y=x, y=解它们的变化情况。

23

, y=的图像,了

(二)高考考试内容与要求 1.函数

① 了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域;了解映射的概念. ② 在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数.

③ 了解简单的分段函数,并能简单应用.

④ 理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义;结合具体函数,了解函数奇偶性的含义.

⑤ 会运用函数图像理解和研究函数的性质. 2.指数函数

① 了解指数函数模型的实际背景.

② 理解有理指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算.

③ 理解指数函数的概念,理解指数函数的单调性,掌握函数图像通过的特殊点. ④ 知道指数函数是一类重要的函数模型. 3.对数函数

① 理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数;了解对数在简化运算中的作用.

② 理解对数函数的概念;理解对数函数的单调性,掌握函数图像通过的特殊点. ③ 知道对数函数是一类重要的函数模型; ④ 了解指数函数

与对数函数

互为反函数(

).

(三)两个典型高考题目剖析: 例1(2010年全国卷 理8)已知函数则

的取值范围是( )

.若

,且

(A)

(B) (C) (D)

分析:本题的知识涉及对数函数的图象和性质,函数图象的变换,利用导数研究单调性,不等式中的均值定理等内容;涉及到数形结合与等价转化的数学思想,有一定的综合性.

思路一:因为因为函数

,得

又因为

在. ,所以

,且

.

,即

上单调递增,由

,所以

,得

.

,不合题意;由

从而,其中.

令区间

,则

上单调递增.由此可知,

,当

,故

时,,所以函数

的取值范围是

在,正

确选项是(C).

思路二:函数有

,且

的图象如右图所示.因为.以下同解法一.

的隐含条件,而直接利用均值定

,且

,从而

本题颇有些“绵里藏针”,如果未注意到理,

深刻性与灵活性可见一斑.

,从而得出的选A或B的错误结论.本题对于函数与导数考查的

例2(2010年北京卷文14) 如图放置的边长为1的正方形点

的纵坐标与横坐标的函数关系是其两个相邻零

点间的图象与轴所围成区域的面积为_______.

,则

沿轴滚动,设顶

的最小正周期为 ;在

说明:“正方形沿轴滚动”包括沿轴

正方向和沿轴负方向滚动. 沿轴正方向滚动指的是先以顶点

为中心顺时针旋转,当顶点

落在轴

上时,再以顶点

地,正方形

可以沿轴负方向滚动.

为中心顺时针旋转,如此继续.类似

分析:不难想象,从某一个顶点(比如落在轴上,在倒下一次

点落在轴上,

)落在轴上的时候开始计算,倒下一次点

.这个过程中四个顶点依次落在了轴上,而

每两个顶点间距离为正方形的边长1,因此该函数的周期为.

下面考察首先是以为圆心,

点的运动轨迹,不妨考察正方形向右滚动,

圆弧);当

点从原点开始运动的时候,点落在轴上后,再以

点为圆心,为半径作圆周运动(为半径作圆周运动(

圆弧);当

点落在轴上后,再以点为圆心,为

点在轴

半径作圆周运动(上保持不动,因此

所以,

圆弧);最终当点落在轴上后,以点为圆心作圆,

在其两个相邻零点间的图象如下:

在其两个相邻零点间的图象与轴所围成区域的面积为

.

数与形的运动变化是近几年数学高考的热点问题,如何认识和刻画图形的运动,并揭示相应的数量关系,是分析和解决这类问题的两个关键点.

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