第28周周期问题
一、知识要点
在日常生活中，有一些现象按照一定的规律不断重复出现，例如，人的生肖、每周的七天等等。我们把这种特殊的规律性问题称为周期问题。
解答周期问题的关键是找规律，找出周期。确定周期后，用总量除以周期，如果正好有整数个周期，结果为周期里的最后一个；如果比整数个周期多n个，那么为下个周期里的第n个；如果不是从第一个开始循环，可以从总量里减掉不是特球的个数后，再继续算。
二、精讲精练
【例题1】你能找出下面每组图形的排列规律吗？根据发现的规律，算出每组第20个图形分别是什么。
（1）□△□△□△□△…… （2）□△△□△△□△△…… 【思路导航】
第（1）题排列规律是“□△”两个图形重复出现，20÷2＝10，即“□△”重复出现10次，所以第20个图形是△。
第（2）题的排列规律是“□△△”三个图形重复出现，20÷3＝6……2，即“□△△”重复出现6次后又出现了两个图形“□△”，所以第20个图形是△。
练习1：
1.□□△△□□△△□□△△……第28个图形是什么？ 28÷4＝7
答：第28个图形是△。
2.盼望祖国早日统一盼望祖国早日统一盼望祖国早日统一…第2001个字是什么字？ 2001÷8＝250……1
答：第2001个字是“盼”字。
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3.公园门口挂了一排彩灯泡按“二红三黄四蓝”重复排列，第63只灯泡是什么颜色？第112只呢？
63÷9＝7 112÷9＝12……4
答：第63只灯泡是蓝色，第112只是黄色。
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【例题2】有一列数，按5、6、2、4、5、6、2、4、……排列。 （1）第129个数是多少？（2）这129个数相加的和是多少？ 【思路导航】
（1）从排列可以看出，这组数是按“5、6、4、2”一个循环依次重复出现进行排列，那么一个循环就是4个数，则129÷4＝32……1，可知有32个“5、6、4、2”还剩一个。所以第129个数是5。
（2）每组四个数之和是5＋6＋4＋2＝17，所以，这129个数相加的和是17×32＋5＝549。
练习2：
1．有一列数：1，4，2，8，5，7，1，4，2，8，5，7… （1）第58个数是多少？（2）这58个数的和是多少？ 58÷6＝9……4
（1＋4＋2＋8＋5＋7）×9＋（1＋4＋2＋8）＝258 答：第58个数是8，这58个数的和是258。
2．小青把积存下来的硬币按先四个1分，再三个2分，最后两个5分这样的顺序一直往下排。
（1）他排到第111个是几分硬币？（2）这111个硬币加起来是多少元钱？ 111÷9＝12……3
（1×4＋2×3＋5×2）×12＋1×3＝243（分） 243分＝2.43元
答：他排到第111个是1分硬币，这111个硬币加起来是2.43元钱。
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3．河岸上种了100棵桃树，第一棵是蟠桃，后面两棵是水蜜桃，再后面三棵是大青桃。接下去一直这样排列。
问：第100棵是什么桃树？三种树各有多少棵？ 100÷6＝16……4 蟠桃：1×17＝17（棵） 水蜜桃：2×17＝34（棵） 大青桃：3×16＋1＝49（棵）
答：第100棵是大青桃，蟠桃有17棵，水蜜桃有34棵，大青桃有49棵。
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【例题3】假设所有的自然数排列起来，如下所示39应该排在哪个字母下面？88应该排在哪个字母下面？
ABCD 1234 5678 9…
【思路导航】从排列情况可以知道，这些自然数是按从小到大4个数一个循环，我们可以根据这些数除以4所得的余数来分析。
39÷4＝9……3 88÷4＝22
所以，39应排在第10个循环的第三个字母C下面，88应排在第22个循环的第四个字母D下面。
练习3：
1．有a、b、c三条直线，从a线开始，从1起依次在三条直线上写数（如下图），22、59、2001各在哪一条线上？
a7419c63258b
22÷3＝7……1 59÷3＝19……2 2001÷3＝667
答：22在a线上，59在b线上，2001在c线上。
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2．假设所有自然数如下图排列起来，36、43、78、2000应分别排在哪个字母下面？ ABCD 1234 8765 9101112 …
39÷8＝4……7 43÷8＝5……3 78÷8＝9……6 2000÷8＝250
答：36排在字母B下面，43排在字母C下面，78排在字母C下面，2000排在字母A下面。
3．2003个学生按下列方法编号排成五列：
一 1 9 17 …
二 2 8 10 16 … …
三 3 7 11 15 … …
四 4 6 12 14 … …
五 5 13 …
问：最后一个学生应该排在第几列？ （2003－1）÷8＝250……2 答：最后一个学生应该排在第三列。
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【例题4】1991年1月1日是星期二，（1）该月的22日是星期几？该月28日是星期几？（2）1994年1月1日是星期几？
【思路导航】
（1）一个星期是7天，因此，7天为一个循环，这类题在计算天数时，可以采用“算尾不算头”的方法。（22－1）÷7＝3，没有余数，该月22日仍是星期二；（28－1）÷7＝3……6，从星期三开始（包括星期三）往后数6天，28日是星期一。
（2）1991年、1993年是平年，1992年是闰年，从1991年1月2日到1994年1月1日共1096天，1096÷7＝156……4，从星期三开始往后数4天，1994年1月1日是星期六。
练习4：
1．1990年9月22日是星期六，1991年元旦是星期几？
从1990年9月23日到1991年1月1日共8＋31＋30＋31＋1＝101天，101÷7＝14……3，从星期日开始往后数3天，1991年元旦是星期二。
2．1989年12月5日是星期二，那么再过10年的12月5日是星期几？
从1989年12月6日到再过10年的12月5日,有个8平年和1个闰年，共365×8＋366×2＝365×10＋2＝3652天，3652÷7＝521……5，从星期三开始往后数5天，再过10年的12月5日是星期日。
3．1996年8月1日是星期四，1996年的元旦是星期几？
从1996年1月1日到7月31日，一共有4个大月，2个小月和29天（1996年是闰年），即共有31×4＋30×2＋29＝30×7＋3＝213天，213÷7＝30……3，从星期三开始往前数3天，1996年的元旦是星期一。
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【例题5】我国农历用鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪12种动物按顺序轮流代表年号，例如，第一年如果属鼠年，第二年就属牛年，第三年就是虎年……。如果公元1年属鸡年，那么公元2001年属什么年？
【思路导航】一共有12种动物，因此12为一个循环，为了便于思考，我们把“狗、猪、鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡”看作一个循环，从公元2年到公元2001年共经历了2000年，2000÷12＝166……8，从狗年开始往后数8年，公元2001年是蛇年。
练习5：
我国农历用鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪12种动物按顺序轮流代表年号。
1．如果公元3年属猪年，那么公元2000年属什么年？
从公元4年到公元2000年共经历了2000－4＋1＝1997年，1997÷12＝166……5，从鼠年开始往后数5年，公元2000年是龙年。
2．如果公元6年属虎年，那么公元21世纪的第一个虎年是哪一年？
从公元7年到公元2000年共经历了2000－7＋1＝1994年，1994÷12＝166……2，从兔年开始往后数2年，公元2000年是龙年，再往后数10年是虎年，所以2010年是公元21世纪的第一个虎年。
答：公元21世纪的第一个虎年是2010年。
3．公元2001年属蛇年，公元2年属什么年？
从公元2年到公元2000年共经历了2000－2＋1＝1999年，1999÷12＝166……7，从龙年开始往前数7年，公元2年是狗年。
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