2012年高考数学试卷及解析天津卷(理科)

2012年普通高等学校招生统一考试数学天津

（理科）

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

（1）i是虚数单位，复数

7i= 3i （A） 2 + i （B）2 – i （C）-2 + i （D）-2 – i

（2）设R,则“0”是“f(x)cos(x)(xR)为偶函数”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分与不必要条件

（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，当输入x的值 为-25时，输出x的值为

（A）-1 （B）1 （C）3 （D）9

（4）函数f(x)2x2在区间(0,1)内的零点个数是 （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 （5）在(2x)的二项展开式中，x的系数为 （A）10 （B）-10 （C）40 （D）-40

（6）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a,b,c，已知8b=5c，C=2B，则cosC=

2x31x577 （B） 2525724（C） （D）

2525（A）

（7）已知ABC为等边三角形，AB=2，设点P，Q满足APAB，AQ(1)AC，

1 / 20

R，若BQCP，则=

（A）

32121 （B）

22110322 （D） 2222（C）

（8）设m,nR，若直线(m1)x(n1)y20与圆(x1)(y1)1相切，则m + n的取值范围是

（A）[13,13] （B）(,13][13,) （C）[222,222] （D）(,222][222,)

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

（9）某地区有小学150所，中学75所，大学25所. 现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校 对学生进行视力调查，应从小学中抽取_________所 学校，中学中抽取________所学校.

（10）一个几何体的三视图如图所示（单位：m）， 则该几何体的体积为_________m3. （11）已知集合AxRx23，集合

B{xR|(xm)(x2)0},且AB(1,n),则m =__________，n = __________.

x2pt2,（12）已知抛物线的参数方程为（t为参数）,其中p>0，焦点为F，准线为l. 过

y2pt抛物线上一点M作l的垂线，垂足为E. 若|EF|=|MF|，点M的横坐标是3，则p = _________. （13）如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D. 过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF=3， FB=1，EF=

3，则线段CD的长为____________. 2（14）已知函数yx21x1的图象与函数ykx2的图象恰有两个交点，则实数k的取

2 / 20

值范围是_________.

三．解答题：本大题共6小题,共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分） 已知函数f(x)sin(2x)sin(2x)2cos2x1,xR.

33（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期； （Ⅱ）求函数f(x)在区间[（16）（本小题满分13分）

现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏. （Ⅰ）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；

（Ⅱ）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；

（Ⅲ）用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记XY，求随机变量的分布列与数学期望E. （17）（本小题满分13分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD， AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1. （Ⅰ）证明PC⊥AD；

（Ⅱ）求二面角A-PC-D的正弦值； （Ⅲ）设E为棱PA上的点，满足异面 直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长. （18）（本小题满分13分）

已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，{bn}是等比数列，且a1b12,a4b427，

,]上的最大值和最小值. 44S4b410.

（Ⅰ）求数列{an}与{bn}的通项公式；

**（Ⅱ）记Tnanb1an1b2a1bn，nN，证明Tn122an10bn（nN）.

3 / 20

（19）（本小题满分14分）

x2y2设椭圆221(ab0)的左、右顶点分别为A，B，点P在椭圆上且异于A，B两

ab点，O为坐标原点.

（Ⅰ）若直线AP与BP的斜率之积为1，求椭圆的离心率； 2（Ⅱ）若APOA，证明直线OP的斜率 k满足k3 （20）（本小题满分14分）

已知函数f(x)xln(xa)的最小值为0，其中a0. （Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）若对任意的x[0,),有f(x)≤kx成立，求实数k的最小值；

（Ⅲ）证明

22ln(2n1)2（nN*）.i12i1n 4 / 20

试卷解析

【试卷总评】今年天津市高考理科数学试卷所涉及的考点较去年变化不大，试题难度较去年有一定的下滑，着重考查学生的基础知识的掌握以及推导、运算和数形结合的能力。有如下特点：1.2012年的数学试题考点与去年几乎相同，而仅有的几处不同的考点在2007-2010年也相继考过，明细如下： 零点存在定理（小题）——2009年、2010年 线线垂直——2007年 错位相减法——2007年 ，解析几何之斜率问题（大题）。

2.2012年削弱了对数列的考察，小题不再涉及数列。而解答题18题是数列中极为传 统的考法——求等差等比数列的通项公式与错位相减法;而在第20题的第三问继续考查数列不等式的内容。

3.三角函数解答题在2011年考查了正切函数的性质和运算，而今年则回归了以往的考查方式，考查了正余弦函数的性质。

4.加大了解析几何的难度，在考查题数不变的情况下，将直线和圆放在了选择压轴题的位置，椭圆大题放在第数第二题(第19题)的位置。 5.函数大题难度与去年基本持平。

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

（1）i是虚数单位，复数

7i= 3i （A） 2 + i （B）2 – i （C）-2 + i （D）-2 – i

（2）设R,则

“0”是“f(x)cos(x)(xR)为偶函数”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分与不必要条件

5 / 20

（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，当输入x的值 为-25时，输出x的值为

（A）-1 （B）1 （C）3 （D）9

（4）函数f(x)2x2在区间(0,1)内的零点个数是 （A）0 （B）1 （C）2 （D）3

x3（5）在(2x)的二项展开式中，x的系数为 （A）10 （B）-10 （C）40 （D）-40

21x5 6 / 20

（6）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a,b,c，已知8b=5c，C=2B，则cosC=

77 （B） 2525724 （C） （D）

2525（A）

（7）已知ABC为等边三角形，AB=2，设点P，Q满足APAB，AQ(1)AC，

R，若BQCP，则=

（A）

32121 （B）

22110322 （D） 22（C）

7 / 20

（8）设m,nR，若直线(m1)x(n1)y20与圆(x1)(y1)1相切，则m + n的取值范围是

（A）[13,13] （B）(,13][13,) （C）[222,222] （D）(,222][222,)

22应用.

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

（9）某地区有小学150所，中学75所，大学25所. 现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校 对学生进行视力调查，应从小学中抽取_________所

8 / 20

学校，中学中抽取________所学校.

（10）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为_________m3.

（11）已知集合AxRx23，集合B{xR|(xm)(x2)0},且

AB(1,n),则m =__________，n = __________.

x2pt2,（12）已知抛物线的参数方程为（t为参数）,其中p>0，焦点为F，准线为l. 过

y2pt抛物线上一点M作l的垂线，垂足为E. 若|EF|=|MF|，点M的横坐标是3，则p = _________. 【答案】2

【解析】由抛物线的参数方程可知其普通方程为

y22px(p0).EFMF,MEMF,MEF为等边三角形，E的横坐标为

3pp2p,p2. ,M的横坐标为3，222【考点定位】本题考查抛物线的方程、定义和其几何性质，考查学生的转化能力和计算能力.

9 / 20

（13）如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作 圆的切线与AC的延长线相交于点D. 过点C作BD的 平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF=3， FB=1，EF=

CAFEBD3，则线段CD的长为____________. 2（14）已知函数y值范围是_________.

x21x1的图象与函数ykx2的图象恰有两个交点，则实数k的取

三．解答题：本大题共6小题,共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分）

10 / 20

已知函数f(x)sin(2x)sin(2x)2cos2x1,xR. 33（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期； （Ⅱ）求函数f(x)在区间[,]上的最大值和最小值. 44（16）（本小题满分13分）

现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏. （Ⅰ）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；

（Ⅱ）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；

（Ⅲ）用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记XY，求随机变量的分布列与数学期望E.

【解析】依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为

12，去参加乙游戏的概率为. 33设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件Ai(i0,1,2,3,4) 则P(Ai)C4()()i13i234i.

11 / 20

（17）（本小题满分13分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD， AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1. （Ⅰ）证明PC⊥AD；

（Ⅱ）求二面角A-PC-D的正弦值； （Ⅲ）设E为棱PA上的点，满足异面 直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长.

12 / 20

13 / 20

【考点定位】本小题主要考查空间两条直线的位置关系、二面角、异面直线所成德角、直线与平面垂直等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.试题从命题的角度来看，整体上题目与我们平时练习的试题相似，但底面是非特殊的四边形，一直线垂直于底面的四棱锥问题，那么创新的地方就是第三问中点E的位置是不确定的，需要学生根据已知条件进行确定，如此说来就有难度，因此最好

14 / 20

使用空间直角坐标系解决该问题为好. （18）（本小题满分13分）

已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，{bn}是等比数列，且a1b12,a4b427，

S4b410.

（Ⅰ）求数列{an}与{bn}的通项公式；

**（Ⅱ）记Tnanb1an1b2a1bn，nN，证明Tn122an10bn（nN）.

15 / 20

ak1b1qTk

（19）（本小题满分14分）

x2y2设椭圆221(ab0)的左、右顶点分别为A，B，点P在椭圆上且异于A，B两

ab点，O为坐标原点.

（Ⅰ）若直线AP与BP的斜率之积为1，求椭圆的离心率； 2（Ⅱ）若APOA，证明直线OP的斜率 k满足k3

16 / 20

（20）（本小题满分14分）

已知函数f(x)xln(xa)的最小值为0，其中a0. （Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）若对任意的x[0,),有f(x)≤kx成立，求实数k的最小值；

2 17 / 20

（Ⅲ）证明

2i1ln(2n1)2（nNi1n2*）.

18 / 20

19 / 20

20 / 20