武川县二中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

一、选择题

1． 函数y=

的图象大致是（ ）

A． B． C． D．

2． 在区域A．0

22

内任意取一点P（x，y），则x+y＜1的概率是（ ）

B． C． D．

，

3． 两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是球面面积的则这两个圆锥的体积之比为（ ） A．2：1 B．5：2 C．1：4 D．3：1 4． a2,b4,c25，则（ ）

432513A．bac B．abc C．bca D．cab 5． 已知函数f（x）=Asin（ωx﹣

）（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，△EFG是边长为2 的等边三角

形，为了得到g（x）=Asinωx的图象，只需将f（x）的图象（ ）

A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位 C．向左平移

个长度单位 D．向右平移

个长度单位

6． 棱锥被平行于底面的平面所截，当截面分别平分棱锥的侧棱、侧面积、体积时，相应截面面积 为S1、S2、S3，则（ ）

A．S1S2S3 B．S1S2S3 C．S2S1S3 D．S2S1S3 7． 设Sn是等差数列{an}的前项和，若

a55S，则9（ ） a39S5第 1 页，共 17 页

A．1 B．2 C．3 D．4 8． 已知双曲线 A．

B．

（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为

C．

D．

，则双曲线的离心率为（ ）

11

9． 设f（x）＝（e－x－ex）（x－），则不等式f（x）＜f（1＋x）的解集为（ ）

2＋12

1

A．（0，＋∞） B．（－∞，－）

2

11

C．（－，＋∞） D．（－，0）

2210．已知△ABC是锐角三角形，则点P（cosC﹣sinA，sinA﹣cosB）在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 11．数列1,3,6,10，…的一个通项公式是（ ） A．ann2n1 B．ann(n1)n(n1) C．an D．ann21 2212．已知等比数列{an}的第5项是二项式（x+）4展开式的常数项，则a3•a7（ ） A．5

B．18

C．24

D．36

二、填空题

13．三角形ABC中，AB23,BC2,C60，则三角形ABC的面积为 .

14．用1，2，3，4，5组成不含重复数字的五位数，要求数字4不出现在首位和末位，数字1，3，5中有且 仅有两个数字相邻，则满足条件的不同五位数的个数是 .（注：结果请用数字作答）

【命题意图】本题考查计数原理、排列与组合的应用，同时也渗透了分类讨论的思想，本题综合性强，难度较大.

15．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是A1D1的中点，点P在侧面BCC1B1上运动．现有下列命题：

①若点P总保持PA⊥BD1，则动点P的轨迹所在曲线是直线； ②若点P到点A的距离为

，则动点P的轨迹所在曲线是圆；

③若P满足∠MAP=∠MAC1，则动点P的轨迹所在曲线是椭圆；

④若P到直线BC与直线C1D1的距离比为1：2，则动点P的轨迹所在曲线是双曲线； ⑤若P到直线AD与直线CC1的距离相等，则动点P的轨迹所在曲线是抛物丝． 其中真命题是 （写出所有真命题的序号）

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16．在极坐标系中，曲线C1与C2的方程分别为2ρcos2θ=sinθ与ρcosθ=1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1与C2交点的直角坐标为 ．

17．在△ABC中，若a=9，b=10，c=12，则△ABC的形状是 ．

18．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边CD上，若在平行四边形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率是 ．

三、解答题

19．【徐州市第三中学2017～2018学年度高三第一学期月考】为了制作广告牌，需在如图所示的铁片上切割出一个直角梯形，已知铁片由两部分组成，半径为1的半圆O及等腰直角三角形EFH，其中FEFH，为裁剪出面积尽可能大的梯形铁片ABCD（不计损耗），将点A,B放在弧EF上，点C,D放在斜边EH上，且AD//BC//HF，设AOE.

（1）求梯形铁片ABCD的面积S关于的函数关系式；

（2）试确定的值，使得梯形铁片ABCD的面积S最大，并求出最大值.

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20．（本小题满分10分）直线l的极坐标方程为θ＝α（ρ∈R，ρ≠0），其中α∈[0，π），曲线C1的参数方

x＝cos t程为（t为参数），圆C2的普通方程为x2＋y2＋23x＝0.

y＝1＋sin t

（1）求C1，C2的极坐标方程；

（2）若l与C1交于点A，l与C2交于点B，当|AB|＝2时，求△ABC2的面积．

21．某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形顶点）处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获Y（单位：kg）与它的“相近”作物 株数X之间的关系如下表所示： X 1 2 3 4 Y 51 48 45 42

这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．

（I）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰 好“相近”的概率； （II）在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．

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22．设函数f（x）=lnx﹣ax2﹣bx．

（1）当a=2，b=1时，求函数f（x）的单调区间；

2

（2）令F（x）=f（x）+ax+bx+（2≤x≤3）其图象上任意一点P（x0，y0）处切线的斜率k≤恒成立，求

实数a的取值范围；

2

（3）当a=0，b=﹣1时，方程f（x）=mx在区间[1，e]内有唯一实数解，求实数m的取值范围．

23．在△ABC中，D为BC边上的动点，且AD=3，B=（1）若cos∠ADC=，求AB的值；

（2）令∠BAD=θ，用θ表示△ABD的周长f（θ），并求当θ取何值时，周长f（θ）取到最大值？

．

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24．已知数列{an}的前n项和Sn=2n2﹣19n+1，记Tn=|a1|+|a2|+…+|an|． （1）求Sn的最小值及相应n的值； （2）求Tn．

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武川县二中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】A 【解析】解：∵函数

∴函数的零点呈周期性出现，且法自变量趋向于正无穷大时，函数值在x轴上下震荡，幅度越来越小，而当自变量趋向于负无穷大时，函数值在x轴上下震荡，幅度越来越大， A选项符合题意；

B选项振幅变化规律与函数的性质相悖，不正确；

C选项是一个偶函数的图象，而已知的函数不是一个偶函数故不正确； D选项最高点离开原点的距离的变化趋势不符合题意，故不对． 综上，A选项符合题意

故选A

2． 【答案】C

【解析】解：根据题意，如图，设O（0，0）、A（1，0）、B（1，1）、C（0，1）， 分析可得区域

表示的区域为以正方形OABC的内部及边界，其面积为1；

=

，

x2+y2＜1表示圆心在原点，半径为1的圆，在正方形OABC的内部的面积为

22

由几何概型的计算公式，可得点P（x，y）满足x+y＜1的概率是

=

；

故选C．

【点评】本题考查几何概型的计算，解题的关键是将不等式（组）转化为平面直角坐标系下的图形的面积，进而由其公式计算．

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3． 【答案】D

2

【解析】解：设球的半径为R，圆锥底面的半径为r，则πr=

×4πR2=

．

，∴r=．

∴球心到圆锥底面的距离为∴两个圆锥的体积比为：故选：D．

4． 【答案】A 【解析】

232523=．∴圆锥的高分别为和

=1：3．

试题分析：a4,b4,c5，由于y4为增函数，所以ab.应为yx为增函数，所以ca，故

x23bac.

考点：比较大小． 5． 【答案】 A

【解析】解：∵△EFG是边长为2的正三角形， ∴三角形的高为

，即A=

， =4，

函数的周期T=2FG=4，即T=解得ω=

=

，

sin（x﹣

x﹣）=

），g（x）=sin[

sin

x，

即f（x）=Asinωx=由于f（x）=

sin（

（x﹣）]，

故为了得到g（x）=Asinωx的图象，只需将f（x）的图象向左平移个长度单位． 故选：A．

【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用函数的图象确定函数的解析式是解决本题的关键，属于中档题．

6． 【答案】A 【解析】

考

点：棱锥的结构特征．

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7． 【答案】A 【解析】1111]

9(a1a9)S9a2试题分析：951．故选A．111] S55(a1a5)5a32考点：等差数列的前项和． 8． 【答案】A

【解析】解：∵双曲线的中心在原点，焦点在x轴上， ∴设双曲线的方程为

，（a＞0，b＞0）

由此可得双曲线的渐近线方程为y=±x，结合题意一条渐近线方程为y=x， 得=，设b=4t，a=3t，则c=∴该双曲线的离心率是e==． 故选A．

=5t（t＞0）

【点评】本题给出双曲线的一条渐近线方程，求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程、基本概念和简单几何性质等知识，属于基础题．

9． 【答案】

【解析】选C.f（x）的定义域为x∈R，

11

由f（x）＝（e－x－ex）（x－）得

2＋1211

f（－x）＝（ex－e－x）（x－）

2－＋12＝（e

x

－e－x）（1＋） 2x＋12

－1

11

＝（e－x－ex）（x－）＝f（x），

2＋12∴f（x）在R上为偶函数，

∴不等式f（x）＜f（1＋x）等价于|x|＜|1＋x|，

1

即x2＜1＋2x＋x2，∴x＞－，

2

1

即不等式f（x）＜f（1＋x）的解集为{x|x＞－}，故选C.

210．【答案】B

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【解析】解：∵△ABC是锐角三角形， ∴A+B＞∴A＞

， ﹣B，

﹣B）=cosB，

∴sinA＞sin（

∴sinA﹣cosB＞0， 同理可得sinA﹣cosC＞0， ∴点P在第二象限． 故选：B

11．【答案】C 【解析】

试题分析：可采用排除法，令n1和n2，验证选项，只有an考点：数列的通项公式． 12．【答案】D

【解析】解：二项式（x+）展开式的通项公式为Tr+1=

4

n(n1)，使得a11,a23，故选C． 2•x4﹣2r，

令4﹣2r=0，解得r=2，∴展开式的常数项为6=a5，

2

∴a3a7=a5=36，

故选：D．

【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．

二、填空题

13．【答案】23 【解析】

试题分析：因为ABC中，AB23,BC2,C60，由正弦定理得BCAB，即AC，所以C30，∴B90，ABBC，SABC考点：正弦定理，三角形的面积．

1232，sinA，又23sinA21ABBC23． 2【名师点睛】本题主要考查正弦定理的应用，三角形的面积公式．在解三角形有关问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据，一般来说，当条件中同时出现ab及b、a时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正

22弦、余弦交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦，再结合和、差、倍角的正弦公式进行解答．解三角形

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时．三角形面积公式往往根据不同情况选用不同形式14．【答案】48 【

解

111abcabsinC，ah，(abc)r，等等． 2224R析

】

15．【答案】 ①②④

【解析】解：对于①，∵BD1⊥面AB1C，∴动点P的轨迹所在曲线是直线B1C，①正确； 对于②，满足到点A的距离为②正确；

对于③，满足条件∠MAP=∠MAC1 的点P应为以AM为轴，以AC1 为母线的圆锥，平面BB1C1C是一个与轴AM平行的平面，

又点P在BB1C1C所在的平面上，故P点轨迹所在曲线是双曲线一支，③错误； 对于④，P到直线C1D1 的距离，即到点C1的距离与到直线BC的距离比为2：1， ∴动点P的轨迹所在曲线是以C1 为焦点，以直线BC为准线的双曲线，④正确； 对于⑤，如图建立空间直角坐标系，作PE⊥BC，EF⊥AD，PG⊥CC1，连接PF， 设点P坐标为（x，y，0），由|PF|=|PG|，得∴P点轨迹所在曲线是双曲线，⑤错误． 故答案为：①②④．

22

，即x﹣y=1，

的点集是球，∴点P应为平面截球体所得截痕，即轨迹所在曲线为圆，

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【点评】本题考查了命题的真假判断与应用，考查了圆锥曲线的定义和方方程，考查了学生的空间想象能力和思维能力，是中档题．

16．【答案】 （1，2） ．

222

【解析】解：由2ρcosθ=sinθ，得：2ρcosθ=ρsinθ， 即y=2x．

2

．

由ρcosθ=1，得x=1． 联立

，解得：

∴曲线C1与C2交点的直角坐标为（1，2）． 故答案为：（1，2）．

【点评】本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查了方程组的解法，是基础题．

17．【答案】锐角三角形

【解析】解：∵c=12是最大边，∴角C是最大角 根据余弦定理，得cosC=

∵C∈（0，π），∴角C是锐角，

由此可得A、B也是锐角，所以△ABC是锐角三角形 故答案为：锐角三角形

=

＞0

【点评】本题给出三角形的三条边长，判断三角形的形状，着重考查了用余弦定理解三角形和知识，属于基础题．

18．【答案】

．

【解析】解：由题意△ABE的面积是平行四边形ABCD的一半， 由几何概型的计算方法，

可以得出所求事件的概率为P=， 故答案为：．

【点评】本题主要考查了几何概型，解决此类问题的关键是弄清几何测度，属于基础题．

三、解答题

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19．【答案】（1）S21sincos，其中02.（2）6时，Smax【解析】试题分析：（1）求梯形铁片ABCD的面积S关键是用表示上下底及高，先由图形得

33 2AOEBOF，这样可得高AB2cos，再根据等腰直角三角形性质得AD1cossin，

BC1cossin最后根据梯形面积公式得S0ADBCAB221sincos，交代定义域

6，

2．（2）利用导数求函数最值：先求导数f'22sin1sin1，再求导函数零点列表分析函数单调性变化规律，确定函数最值

试题解析：（1）连接OB，根据对称性可得AOEBOF且OAOB1， 所以AD1cossin，BC1cossin，AB2cos， 所以

ADBCABS221sincos，其中02．

考点：利用导数求函数最值

【方法点睛】利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用f′（x）＞0或f′（x）＜0求单调区间；第二步：解f′（x）＝0得两个根x1、x2；第三步：比较两根同区间端点的大小；第四步：求极值；第五步：比较极值同端点值的大小． 20．【答案】

x＝cos t

【解析】解：（1）由C1：（t为参数）得

y＝1＋sin t

x2＋（y－1）2＝1，

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即x2＋y2－2y＝0，

∴ρ2－2ρsin θ＝0，即ρ＝2sin θ为C1的极坐标方程， 由圆C2：x2＋y2＋23x＝0得

ρ2＋23ρcos θ＝0，即ρ＝－23cos θ为C2的极坐标方程． （2）由题意得A，B的极坐标分别为 A（2sin α，α），B（－23cos α，α）． ∴|AB|＝|2sin α＋23cos α| π

＝4|sin（α＋）|，α∈[0，π），

3π1

由|AB|＝2得|sin（α＋）|＝，

32π5π

∴α＝或α＝.

26

ππ5π当α＝时，B点极坐标（0，）与ρ≠0矛盾，∴α＝，

2265π此时l的方程为y＝x·tan（x＜0），

6

即3x＋3y＝0，由圆C2：x2＋y2＋23x＝0知圆心C2的直角坐标为（－3，0）， |3×（－3）|3

∴C2到l的距离d＝＝，

2

（3）2＋321

∴△ABC2的面积为S＝|AB|·d

2

133＝×2×＝. 222

3

即△ABC2的面积为. 221．【答案】

【解析】

【专题】概率与统计． 的概率；

【分析】（I）确定三角形地块的内部和边界上的作物株数，分别求出基本事件的个数，即可求它们恰好“相近”（II）确定变量的取值，求出相应的概率，从而可得年收获量的分布列与数学期望． 数为12，从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有

【解答】解：（I）所种作物总株数N=1+2+3+4+5=15，其中三角形地块内部的作物株数为3，边界上的作物株

=36种，选取的两株作物恰好“相

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近”的不同结果有3+3+2=8，∴从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率为

=；

（II）先求从所种作物中随机选取一株作物的年收获量为Y的分布列 ∴只需求出P（X=k）（k=1，2，3，4）即可

∵P（Y=51）=P（X=1），P（48）=P（X=2），P（Y=45）=P（X=3），P（Y=42）=P（X=4） 记nk为其“相近”作物恰有k株的作物株数（k=1，2，3，4），则n1=2，n2=4，n3=6，n4=3 由P（X=k）=

得P（X=1）=

，P（X=2）=

48

+48×

+45×+42×=46

45

，P（X=3）=

=，P（X=4）=

42

=

∴所求的分布列为 Y 51 P

数学期望为E（Y）=51×

【点评】本题考查古典概率的计算，考查分布列与数学期望，考查学生的计算能力，属于中档题．

22．【答案】

【解析】解：（1）依题意，知f（x）的定义域为（0，+∞）．…

2

当a=2，b=1时，f（x）=lnx﹣x﹣x，

f′（x）=﹣2x﹣1=﹣令f′（x）=0，解得x=．…

．

当0＜x＜时，f′（x）＞0，此时f（x）单调递增； 当x＞时，f′（x）＜0，此时f（x）单调递减．

所以函数f（x）的单调增区间（0，），函数f（x）的单调减区间（，+∞）．… （2）F（x）=lnx+，x∈[2，3]， 所以k=F′（x0）=

≤，在x0∈[2，3]上恒成立，…

2

所以a≥（﹣x0+x0）max，x0∈[2，3]…

2

当x0=2时，﹣x0+x0取得最大值0．所以a≥0．…

（3）当a=0，b=﹣1时，f（x）=lnx+x，

2

因为方程f（x）=mx在区间[1，e]内有唯一实数解，

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所以lnx+x=mx有唯一实数解． ∴m=1+

，…

，则g′（x）=

．…

设g（x）=1+

令g′（x）＞0，得0＜x＜e； g′（x）＜0，得x＞e，

2

∴g（x）在区间[1，e]上是增函数，在区间[e，e]上是减函数，…1 0分

∴g（1）=1，g（e）=1+

2=1+．…

，g（e）=1+，…

所以m=1+，或1≤m＜1+

23．【答案】

【解析】（本小题满分12分） 解：（1）∵∴∴∵

，

…2分（注：先算∴sin∠ADC给1分） ，…3分

，

∴

（2）∵∠BAD=θ， ∴

由正弦定理有∴∴=当

，即

，…5分

，…6

，…7分

，…8分

，…10分

，…11分

时f（θ）取到最大值9．…12分

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【点评】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式，正弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．

24．【答案】 【解析】解：（1）Sn=2n﹣19n+1=2

2

﹣

，

∴n=5时，Sn取得最小值=﹣44．

2

（2）由Sn=2n﹣19n+1，

∴n=1时，a1=2﹣19+1=﹣16． 由an≤0，解得n≤5．n≥6时，an＞0． n≥6时，Tn=﹣（a1+a2+…+a5）+a6+…+an =﹣2S5+Sn =2n2﹣19n+89． ∴Tn=

．

n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2n2﹣19n+1﹣[2（n﹣1）2﹣19（n﹣1）+1]=4n﹣21．

2

∴n≤5时，Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=﹣（a1+a2+…+an）=﹣Sn=﹣2n+19n﹣1．

【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、不等式的解法、绝对值数列求和问题，考查了分类讨论方法推理能力与计算能力，属于中档题．

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