2019-2020学年上海市上海交通大学附属中学高一上学期期末数学试题(含答案解析)

末数学试题

一、单选题

1．“sin0”是“为第三、四象限角”的（ ） A．充分而不必要条件 C．充要条件 【答案】B

【解析】由α为第三、四象限角,可得sinα<0.反之不成立,例如α=

B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件

3π. 2故选：B.

2．A为ABC的一个内角，若sinAcosAA．锐角三角形 【答案】C

【解析】将所给式子两边同时平方,化简可得sinAcosA围,即可判断A的范围,进而判断三角形形状. 【详解】

B．直角三角形

12，则这个三角形的形状为（ ） 25D．等腰三角形

C．钝角三角形

37由三角形中角的取值范100A为ABC的一个内角,若sinAcosA12

则sinAcosA252212 25由同角三角函数关系式展开化简可得12sinAcosA则sinAcosA因为0A 则sinA0 所以cosA0 则A为钝角

所以ABC为钝角三角形 故选:C 【点睛】

144 628137 1300100本题考查了同角三角函数关系化简三角函数式,根据角的范围判断三角形形状,属于基础

题.

3．已知函数fxloga6ax在x2,3上为减函数，则a的取值范围是（ ） A．1,2 【答案】B

【解析】根据一次函数单调性,结合对数型复合函数单调性的性质,可得a1.再根据对数的定义域要求,即可求得a2,综上可得a的取值范围. 【详解】 由0a1

可知y6ax为单调递减函数

由复合函数单调性性质可知,当fxloga6ax为减函数时 对数部分为增函数,即a1

由对数定义域的要求可知,6ax0在x2,3时恒成立 所以当x3时,满足63a0 解得a2

综上可知, 1a2,即a1,2 故选:B 【点睛】

本题考查了复合函数单调性的性质及参数求法,注意定义域的要求,属于中档题. 4．设x1，x2分别是函数fxxaxB．1,2 C．1,3 D．1,3

和gxxlogax1的零点（其中a1），则

x19x2的取值范围是（ ）

A．6, 【答案】D

【解析】根据零点定义,可得x1,x2分别是a关系可知x1,x2分别是函数yxB．6, C．10, D．10,

11和logax的解.结合函数与方程的xx1x与函数ya和函数ylogaxx交点的横坐标,所以可

x得0x11,x21.而ya与ylogax互为反函数,则由反函数定义可得x1x21.

再根据基本不等式,即可求得x1x2的最小值,将x19x2化为x1x28x2,即可得解. 【详解】

因为x1,x2分别是函数fxxa则x1,x2分别是axx和gxxlogax1的零点

11和logax的解 xx1x与函数ya和函数ylogax所以x1,x2分别是函数yx交点的横坐标

11Ax,,Bx,所以交点分别为12

xx12因为a1

所以0x11,x21 由于函数y1x与函数ya和函数ylogaxx都关于yx对称

所以点A与点B关于yx对称 因为Ax1,11yx,x关于对称的点坐标为1

xx11所以x11 x2即x1x21,且x1x2 所以x19x2

x1x28x2

2x1x28x2

28x2,由于x1x2,所以不能取等号

因为x21

所以28x22810 即x19x210, 故选:D 【点睛】

本题考查了反函数的定义及性质综合应用,函数与方程的关系应用,基本不等式求最值,综合性强,属于难题.

二、填空题

5．弧度数为2的角的终边落在第______象限.

【答案】二

【解析】将弧度化为角度,即可判断出所在象限. 【详解】

根据弧度与角度关系可知1rad57.3o 所以2rad114.6o

则弧度数为2的角的终边落在第二象限 故答案为:二 【点睛】

本题考查了弧度与角度的关系,属于基础题. 6．幂函数fxx的图像经过点2,a1，则f3______. 2【答案】

1 3【解析】根据幂函数所过的点,代入可求得幂函数解析式,即可求得f3的值. 【详解】

幂函数fxx的图像经过点2,

a1 2

代入可得

12a 2解得a1

所以幂函数解析式为fxx

1则f3311 3故答案为: 【点睛】

1 3本题考查了幂函数解析式的求法,函数求值,属于基础题. 7．已知

sincos2，则tan的值为_______.

sin2cos【答案】5

【解析】由齐次式化简方法,即可得关于tan的方程,解方程即可求得tan的值. 【详解】

根据齐次式化减法方法,将式子上下同时除以cos可得

tan12

tan2变形可得tan12tan2 解得tan5 故答案为:5 【点睛】

本题考查了齐次式的化简求值,属于基础题. 8．cos233sin2____ 882 2【答案】【解析】解答：

cos2336ππ2sin2=cos=−cos=−， 888422. 2故答案为：−9．已知lg2a,10b3，用a、b表示log125=___________． 【答案】

1a

2ab10b2lg10lg21a 【解析】试题分析：103blg3log512lg32lg22ablg322lg【考点】对数式运算及指数式与对数式的转化 10．若tana【答案】4，则cos2a______.

2324 25【解析】根据同角三角函数关系商数式,用sina表示cosa.结合平方关系,即可求得

sin2a的值.结合诱导公式及正弦二倍角公式,即可求解.

【详解】

4 3sina4 则tanacosa33则cosasina

4因为tana

由同角三角函数关系式sin2acos2a1

3代入可得sin2asina1 4解得sina2216 25由诱导公式及正弦二倍角公式化简可得

cos2a

2sin2a2sinacosa 32sinasina

43sin2a

231624

2252524 故答案为: 25【点睛】

本题考查了同角三角函数关系式的应用,诱导公式及正弦二倍角的化简应用,属于基础题.

12ax3ax1fx11．已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是_____. x12x1【答案】0,

【解析】根据整个函数值域为R及分段函数右段的值域,可判断出左段的函数为单调性递增,且最大值大于等于1,即可求得a的取值范围. 【详解】

当x1时,fx2x112,此时值域为1, 若值域为R,则当x1时.fx12ax3a为单调递增函数,且最大值需大于等于1 即12a01,解得0a

212a3a112故答案为:0,

【点睛】

本题考查了分段函数值域的关系及判断,指数函数的性质与一次函数性质的应用,属于中档题.

12．已知0,【答案】

，2sin21cos2，则tan______. 21 2【解析】根据正弦与余弦二倍角公式,结合同角三角函数关系式,代入化简即可求得tan的值. 【详解】

因为2sin21cos2

由正弦与余弦二倍角公式,结合同角三角函数关系式代入化简可得

4sincossin2cos2cos2sin2

即2sincoscos2

当0,时, cos0

2所以2sincos 则tansin1 cos2故答案为: 【点睛】

1 2本题考查了正余弦二倍角公式的应用,同角三角函数式的化简应用,属于基础题. 13．已知1,0，sin2，则sincos_______.

22【答案】6 2【解析】根据角的范围,可判断sin0,cos0.由诱导公式化简所给条件式,可求得1sin2.将所求式子平方化简,再开根号即可求解.

2【详解】 因为,0 2则sin0,cos0

所以sincos0

由诱导公式可知sin2sin2则sincos

1 2sincos2 12sincos 由正弦二倍角公式代入可得

12sincos1sin2 11 26 26 2故答案为: 【点睛】

本题考查了三角函数式的化简求值,根据角的范围化简三角函数式,注意角的范围及三角函数的符号,属于基础题.

14．已知锐角，满足sin23sin，则tancot______. 【答案】2

【解析】将三角函数式配成与,由正弦函数和角与差角公式展开,即可求解. 【详解】

锐角,满足sin23sin

变形可得sin3sin 由正弦和角与差角公式展开可得

sincossincos3sincos3sincos

合并化简可得4sincos2sincos 等式两边同时除以2coscos 可得2tantan

即tancot2 故答案为:2 【点睛】

本题考查了三角函数式化简求值,角的变化形式,属于中档题. 15．己知，0,，且tan_______. 【答案】23532，tan，的值为3112 3533.将角配凑后可求得可求得tan119【解析】根据正切差角公式,代入tantan23.根据tan3531及tan0可得,的范围,即可911求得2的范围,进而求得2的值. 【详解】 因为tan2353,tan 311由正切差角公式展开可得tantantan23 1tantan353231153, 代入tan353111tan11tan化简可求得tan3 9则tan2tan

tantan

1tantan323933 323193

因为tan所以031 94,即022

tan所以

530 112

则20 所以2故答案为: 【点睛】

本题考查了正切差角与和角公式的应用,配凑角的形式求正切值,根据三角函数值判断角的取值范围,属于中档题.

16．己知fx是定义域为R的单调函数，且对任意实数x，都有

2 32 33217ffxx，则flog2sin4156【答案】______. 7 5【解析】根据函数解析式,利用换元法表示出fx.结合函数的单调性,令xt代入后可求得fx的解析式.结合三角函数的化简求值及对数运算将log2sin析式即可求解. 【详解】

17化简,代入解6 对任意实数x,都有ffxx415323t 4x12则ft

5令fx因为fx是定义域为R的单调函数 所当xt时,函数值唯一,即代入fx可得ft3t x41323tt ,即4t1t1

32,经检验可知t1为方程的解 t4t1532而yt为单调递减函数,yt为单调递增函数

41532t只有一个根为t1 所以两个函数只有一个交点,即t41531 所以fxx411751log2sinlog21 而log2sin662化简可得所以flog2sin176 f1

37 114157故答案为: 

5【点睛】

本题考查了复合函数解析式的求法,换元法求解析式的应用,三角函数化简及对数运算性质应用,属于难题.

三、解答题 17．已知0,2，0,2，sin1143，cos.

147（1）求tan2的值； （2）求cos的值.

【答案】（1）

183 （2）

247

43求得cos.再求得tan,结合7【解析】（1）由同角三角函数关系式,可由sin正切的二倍角公式即可求得tan2的值 （2）由同角三角函数关系式,可先求得cos153,sin.将cos变形为714coscos,由余弦的差角公式展开并代入已知值即可求得cos的值

【详解】

（1）由同角三角函数关系式sin2cos21,sin43 7431

代入可得cos1sin2177而0,2 2所以cos1 743sin则tan743 1cos7所以由正切二倍角公式可得tan22tan243831tan2143247

（2）由同角三角函数关系式sin2cos21及sin2cos21且

11430,,.,cossin0, 14227则可求得cos153,sin 714则由余弦差角公式化简可得

coscos

coscossinsin

1115343 1471471 2【点睛】

本题考查了同角三角函数关系式的应用,正切二倍角公式及余弦差角公式的应用,角的配凑法应用,属于中档题.

18．已知函数fx3a3，其中a为实常数.

xx（1）若f07，解关于x的方程fx5； （2）判断函数fx的奇偶性，并说明理由.

【答案】（1）x1或log32（2）当a1时，函数为奇函数，当a1时，函数为偶函数，当a1时，函数为非奇非偶函数，见解析

【解析】（1）根据f07,代入可求得a的值.即可得fx的解析式,进而得方程.解指数形式的二次方程,即可求得解.

（2）表示出fx.根据奇偶性定义即可求得a的值,即可判断奇偶性. 【详解】

（1）因为f07

代入可得1a7,解得a6 所以fx363

xx则fx5可化为3x63x5 化简可得3x253x60

即32330 解得xlog32或x1 （2）fx3a3

xxxx则fx3a3

xx当a1时,fx33,fx3xxx3x此时fxfx,函数fx为奇函

数

当a1时,fx33,fx3xxx3x,此时fxfx,函数fx为偶

函数

当a1时,fxfx与fxfx都不能成立,所以函数fx为非奇非偶函数

综上可知, 当a1时,fx为奇函数;当a1时,fx为偶函数;当a1时, 函数

fx为非奇非偶函数.

【点睛】

本题考查了指数方程的解法,利用奇偶性定义判定函数奇偶性,属于基础题.

19．高境镇要修建一个扇形绿化区域，其周长为400m，所在圆的半径为r，扇形的圆

心角的弧度数为，0,2.

（1）求绿化区域面积S关于r的函数关系式，并指出r的取值范围；

（2）所在圆的半径为r取何值时，才能使绿化区域的面积S最大，并求出此最大值.

r【答案】（1）Sr2200r，

200,200（2）当r100m时，S最大为10000m2 1【解析】（1）表示出弧长,即可由扇形面积公式表示出S.根据弧度定义,用弧长和半径表示出圆心角弧度数,并结合0,2即可求得半径的取值范围. （2）由二次函数性质,即可求得面积的最大值,及此时的半径. 【详解】

（1）当半径为r,所以弧长为4002r 所以S1r4002rr2200r 24002r,而0,2 r4002r2002,解得r200 所以0r1由弧度定义可知综上可知Sr2200r,r（2）因为Sr2200r

200,200 1r10010000

由二次函数的性质可知,

当r100m时,S最大为10000m2 【点睛】

本题考查了扇形的弧长与面积公式应用,根据二次函数性质求最值,属于基础题. 20．已知函数yfx的定义域为1,，对于定义域内的任意实数x，有

2f2x2fx成立，且x1,2时，fxlog2x.

（1）当x1,2时，求函数yfx的最大值；

3（2）当x1,2时，求函数yfx的最大值；

3.7（3）已知f200fb（实数b1），求实数b的最小值.

75

【答案】（1）4 （2）5.6 （3）512【解析】（1）根据定义可知fx2f4x3,依次代入各段定义域,即可求得当x1,22时函数yfx的解析式,即可求得最大值. （2）先判断出23.78,16,并求得当x8,16时fx的解析式,根据函数单调性,代

入x23.7即可求解. （3）求得当x2,2mm178,代入解析式,并结合时fx的解析式,根据2002,2f200fb,即可求得m的最小值及b的最小值.

【详解】

（1）因为函数yfx的定义域为1,,对于定义域内的任意实数x,有

f2x2fx成立,

则fx2fx 2当x1,2时,fxlog2x.值域为0,1

xxfx2f2logx2,4,值域为0,2 当时,222xxx0,4当x4,8时,

fx2f4log224log2,值域为

242综上可知,当x1,2时,函数yfx的最大值为4.

3（2）由（1）可知

xxx当x8,16时,

fx2f8log228log2

482且函数fx8log23.7x为单调递增函数 823.7所以最大值为f28log28log223.7log28

883.735.6

故最大值为5.6

xm,fx2log时2m 220078777,f2002log2log200log2fb 而2002,2所以22272bmm1m,fb2log则设b2,2则2m 2200b7m所以2log272log2m,mZ

22（3）由（1）可知,当x2,2mm175m9,则b512

75

所以b的最小值为512【点睛】

本题考查了分段函数解析式的求法,抽象函数解析式关系的应用,根据函数的单调性求最值,复杂方程的解法,属于难题.

21．已知函数fxlogaxx1，x1,，a0且a1.

2442a2a（1）若a为整数，且f22，试确定一个满足条件的a的值； 1（2）设yfx的反函数为yf的取值范围；

x，若f14n4nnN*，试确定an2（3）若a2，此时yfx的反函数为yf12f1xk，若x，令gx12fx1对一切实数x1，x2，x3，不等式gx1gx2gx3恒成立，试确定实数k的取值范围.

【答案】（1）2 （2）11,11,4 （3）,4

242a2a【解析】（1）将x代入方程,结合指数式与对数式的转化,即可的关于2a的方

2程,化简后即可求得一个a的值.

（2）根据所给fxlogaxx1,可求得反函数解析式f21ax1.根xx22a据不等式,先求得右端的最小值及相应的n,将n代入左段并解不等式即可求得a的取值

范围

2f1xk,即可求得（3）代入a2可得反函数解析式.将反函数解析代入gx12fx11xgx的解析式.利用换元法m2x1,m3,将gx化为gm的表达式.结

2合反比例函数单调性及不等式gx1gx2gx3,即可求得k的取值范围. 【详解】

2a2a（1）a为整数, a0且a1.且f22 aaaa2222212 代入可得loga22即22aa222a2a22241a2

2a2a2a2a2化简可得a

222a2a2a2a则a2

22所以2aa2

故满足条件的a的值可以是2 （2）yfx的反函数为yf则ylogax1x

x21

令xy,代入可得xlogay则axyxy21

y21, 2ax1 所以ayy1平方化简可得yx22a所以f1ax1xx

22a则f1an1nn

22a

nnnn444411*fn,fnnN成立则即可

22min4n4n,

令y令t4n4,

2即y11t,由打勾函数图像与性质可知当t4时为单调递增函数 2t11174 248所以当n1时ymin则不等式化为f即

1117 8a117,且a0且a1. 22a8化简可得4a217a40 即4a1a40,解得综上可知,a的取值范围为1a4 41,11,4 4（3）由（2）可知f1ax1xx

22a当a2时, f12x1xx

2222f1xk 代入gx2f1x11kx2 可得gx1x2x122x令m2x1,m3

x12则gmmk1k11 mmk1在3,上单调递增 m当k10,即k1时,函数gm1所以此时gm的值域为1k1,1 3若满足对一切实数x1,x2,x3,不等式gx1gx2gx3恒成立

1k12则只需11即可,解得m1

32当k10,即k1时, gm1,不等式gx1gx2gx3恒成立 当k10时,即k1.函数gm1k1在3,上单调递减 mk11,1gm此时函数的值域为

3若满足对一切实数x1,x2,x3,不等式gx1gx2gx3恒成立 则只需111k1,解不等式可得1k4 31综上所述, k的取值范围为,4

2【点睛】

本题考查了对数方程的化简求解,指数方程的解法,反函数的求法及性质应用,不等式恒成立问题的解法,换元法求参数的取值范围,综合性强,属于难题.