台州市2017学年第一学期高三年级期末评估数学试卷及答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.

x1.设集合Mx1x1，Nx124，则MN（）

A.x1x0 B.x0x1 C.x1x2 D.x1x2 2.若复数z(i2)（i为虚数单位），则z（） 1iA.2B.1C.

12D. 223.已知为锐角，且tanA.

3，则sin2（） 4341224B.C.D. 55252.已知aR，则“a1”是“a1a12”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 5.已知数列an满足a11,an1an2(nN*)，Sn为数列an的前n项和，则（） A.an2n1B.an2n1C.Snn2D.Sn2n1

6.有3位男生，3位女生和1位老师站成一排照相，要求老师必须站在中间，与老师相邻的不能同时为男生或女生，则这样的排法种数是（） A.144 B.216 C.288 D.432

x0227.已知实数x,y满足不等式组x2y0，则(x1)(y2)的取值范围是（）

xy30A.1,5B.5,5C.5,25D.5,26

1x,x08.已知函数f(x)，若函数g(x)f(x)k(x1)在,1上恰有两个不同的xx23,x0零点，则实数k的取值范围是（） A.1,3B.1,3C.2,3D.3,

9.已知m1，m2n3，则mnn的最大值为（）

A.5B.10C.4D.5

10.当x1,4时，不等式0ax3bx24a4x2恒成立，则ab的取值范围是（） A.4,8B.2,8C.0,6D.4,12

二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分.

x2y21的离心率是，渐近线方程为. 11.双曲线

4312.已知随机变量X的分布列为：

X P 则m，D(X). 1 2 3 1 21 3m 13. 某四面体的三视图如图所示，则该四面体的体积为，表面积为.

14.若(x2x3)的展开式中所有项的系数和为256，则n，含x2项的系数是. 15.当x0时，x2na(a0)的最小值为3，则实数a的为. x116.在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，点P是其外接圆O上的任意一点，若

222a23,bc7，则PAPBPC的最大值为.

17.如图，在棱长为2的正四面体SABC中，动点P在侧面SAB内，

PQ底面ABC，垂足为Q，若PS值为.

32PQ，则PC长度的最小4三、解答题：本大题共5小题，共74分

18.（本小题满分14分）已知函数f(x)asinxcosxb(cosxsinx)(xR,a,b为常数)，

22且f()231,f(). 4124（1）求f(x)的单调递增区间；（2）若x[

,]时，求函数f(x)的值域.

4419. （本小题满分15分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E,F分别为AB,BC的中点，将

ADE,DCF分别沿DE,DF折起，使A,C两点重合于点A'，连接A'B.

（1）求证：EF平面A'BD；

（2）求直线A'D与平面BEDF所成角的正弦值.

20.（本小题满分15分）设函数f(x)(x2x1)ex. （1）求函数f(x)的单调区间；

（2）当x[0,2]时，f(x)x22xm恒成立，求实数m的取值范围.

x2y221．（本小题满分15分）已知椭圆C:221(ab0)的左右焦点分别为F1,F2，左顶点

ab为A，点P(2,3)在椭圆C上，且PF1F2的面积为23. （1）求椭圆C的方程；

（2）过原点O且与x轴不重合的直线交椭圆C于E,F两点，直线AE,AF分别与y轴交于点

M,N.求证：以MN为直径的圆恒过焦点F1,F2，并求出F1MN面积的取值范围.

22．（本小题满分15分）数列an，bn中，Sn为数列an的前n项和，且满足：

a1b11,3Sn(n2)an，bnan1(nN*,n2). an（1）求数列an，bn中的通项公式； （2）求证：

11111； a2a4a8a2n22nn2（3）令cnlnbn,Tnc1c2c3cn，求证：Tn(nN*).

2n(n1)

学年

台州市2017第一学期高三年级期末质量评估试题

数学参及评分标准2018.01

一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合

题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C D B C D D A B A

二、填空题: 本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分。

7，y29115.416.17.411.15323x12.,13.，16162 14.4,108

693211 2三、解答题: 本大题共5小题, 共74分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 18．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）由题得：f(x)1asin2xbcos2x， 23b,π1π3134由f()，f()，得故a,b，……4分

12424241a3b1,424131πf(x)sin2xcos2xsin(2x)，

4423πππ当2kπ2x2kπ,kZ时,f(x)的单调递增,

232π5πxkπ,kZ， 可得kπ1212π5πf(x)的单调递增区间为[kπ,kπ+](kZ)；…………………………8分

12121π（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)sin(2x)，

23ππ5ππππ12x.1sin(2x)， 由x得：4463632ππ11故f(x)在[,]上的最大值为，最小值为．…………………………14分

444219．（本小题满分15分）

解：（Ⅰ）ADAE,ADAF，AD平面AEF，

又EF平面AEF,ADEF,

由已知可得EFBD，EF平面ABD；…………………………………7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知平面ABD平面BEDF，则ADB为AD与平面BEDF所成角，

设BD，EF交于点M，连AM，则AMBM2，DM32，

又AD平面AEF，AM平面AEF，ADAM，………………12分

AM21， DM3231AD与平面BEDF所成角的正弦值为．…………………………………15分

3在Rt△ADM中，sinABD20．（本小题满分15分）

解：（Ⅰ）函数f(x)的定义域为xxR，f(x)(x2)(x1)ex，…………2分

ex0，f(x)0，解得x1或x2，f(x)为减函数，

f(x)0，解得1x2，f(x)为增函数，………………………………5分 f(x)的单调递减区间为(,1),(2,)，单调递增区间为(1,2)；……7分

（Ⅱ）f(x)x2xm在x0,2时恒成立，

2mf(x)x22x(x2x1)exx22x， ………………………9分 令g(x)(x2x1)exx22x，则g(x)(x2)(x1)ex2(x1)，

(x1)(2x2ex)0， 当x[0,1)时，g(x)ex(x1)(2x2ex)0， 当x(1,2)时，g(x)xeg(x)在(0,1)上单调递减，在(1,2)上单调递增，………………………12分

11g(x)ming(1)1，m1．…………………………15分

ee21．（本小题满分15分）

12c323，c2，………………………………2分 2231，a49a280， 又点P2,3在椭圆C上，22aa422222解得a8，或a1（舍去），又ab4，b4，

x2y21；………………………………………5分 所以椭圆C的方程为84（Ⅱ）A(22,0)，F1(2,0)，F2(2,0)，

方法一：当直线EF的斜率不存在时，E，F为短轴的两个端点，则M(0,2)，N(0,2)，

F1MF1N，F2MF2N，则以MN为直径的圆恒过焦点F1，F2，……7分 当EF的斜率存在且不为零时，设直线EF的方程为ykx(k0)，

解：（Ⅰ）SPF1F2设点Ex0,y0（不妨设x00），则点Fx0,y0，

ykx,2222k8xy由x2y2，消去y得x2，所以，， 00222112k12k12k48所以直线AE的方程为yk112k2x22，

112k22k22k即点M(0,)，同理可得点N(0,)，

22112k112k22k22kF1N0， F1M(2,),F1N(2,)，FM122112k112kF1MF1N，同理F2MF2N，

则以MN为直径的圆恒过焦点F1，F2，………………………………………12分

当EF的斜率存在且不为零时，

因为直线AE与y轴交于点M，令x0得y22k2，

22k12k21|MN|||||2224， 2222kk112k112k1△F1MN面积为|OF1||MN|4，

21又当直线EF的斜率不存在时，|MN|4，△F1MN面积为|OF1||MN|4，

2△F1MN面积的取值范围是[4,)．………………………………………15分

22k22k方法二：当E，F不为短轴的两个端点时，设E(x0,y0),(x00,x022)，

则F(x0,y0)，由点E在椭圆C上，x022y028， 所以直线AE的方程为y即点M(0,y0x022x22，令x0得y22y0，

x02222y022y0)，同理可得点N(0,)，

x022x022228x0y08y02以MN为直径的圆可化为xy2y20，

x08x084x代入x0282y02，化简得x2y20y40，

y0y0,x2,令2解得 2xy40,y0,以MN为直径的圆恒过焦点F1(2,0)，F2(2,0)，………………………12分

x022x0221△F1MN面积为|OF1||MN|4，

2|MN||22y022y0||16y08|||，又2y02，|MN|4, 2x08y0当E，F为短轴的两个端点时，|MN|4，△F1MN面积为

1|OF1||MN|4， 2△F1MN面积的取值范围是[4,)．………………………………………15分

22．（本小题满分15分）

解：（Ⅰ）3Sn(n2)an，当n2时，3Sn1(n1)an1，

3an(n2)an(n1)an1，ann1， an1n1aaaa34nn1n(n1)， ana123n1n1a1a2an2an112n2n121,n1,n(n1)an(nN*)，bnn1……………………5分

2,n2;n112111（Ⅱ）， nnnn1nn12n1a2n(21)2(21)2222111111112n1 a2a4a8a2n3832211(1n1)111111148(1n1)，

1333621411111；…………………………………………10分 a2a4a8a2n2（Ⅲ）（1）当n1时，左边T1lnb10右边，

（2）当n2时，∵Tnln1ln123n1lnlnln 345n1123(n1)2lnln，

345(n1)n(n1)22nn22nn2∴Tnlnn(n1)2n(n1)2n(n1) n(n1)n(n1)n2n2(x1)， ln，令x=222n(n1)x21n(n1)n2n212则lnlnxx2lnx0， 2xx2n(n1)1易知f(x)x2lnx在(1,)上单调递增，

x2nn2所以f(x)f(1)0，∴Tn(n2)，

2n(n1)2nn2由（1）（2）可知对于任意的nN，Tn．………………15分

2n(n1)*