三角形中线等分面积应用

第5讲

例说三角形中线等分面积的应用

如图1，线段AD是△ABC的中线，过点A作AE⊥BC，垂足为E，则S△ABD＝

11BD·AE，S△ADC＝DC·AE，因为BD＝DC，所以S△ABD＝S△ADC。因此，22三角形的中线把△ABC分成两个面积相等的三角形.利用这一性质，可以解决许多有关面积的问题。

一、求图形的面积

图1

例1、如图2，长方形ABCD的长为a，宽为b，E、F分别是BC和CD的中点，DE、BF交于点G，求四边形ABGD的面积.

分析：因为E、F分别是BC和CD的中点，则连接CG后，可知GF、GE分别是△DGC、△BGC的中线，而由S△ＢＣＦ=S△ＤＣＥ=

ab，可4得S△ＢＥＧ=S△ＤＦＧ，所以△DGF、△CFG、△CEG、△BEG的面积相等，问题得解。

解：连接CG，由E、F分别是BC和CD的中点，所以S△ＢＣＦ=S△ＤＣＥ=

图2

ab，从而得S△4ＢＥＧ

=S△ＤＦＧ，可得△DGF、△CFG、△CEG、△BEG的面积相等且等于

1abab×=，因此3412S四边形ＡＢＧＤ=ab－4×

ab2ab=。 123例2、在如图3至图5中，△ABC的面积为a ．

（1）如图2, 延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，连结DA．若△ACD的面积为S1，

则S1=________（用含a的代数式表示）；

（2）如图3，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=BC，AE=CA，连结

DE．若△DEC的面积为S2，则S2=__________（用含a的代数式表示），并写出理由；

阴影部分的面积为S3，则S3=__________（用含a的代数式表示）．

发现：像上面那样，将△ABC各边均顺次延长一倍，连结所得端点，得到△DEF（如

'.

E A A C 图3

D B B C 图4

D F 图5 E A B C D （3）在图4的基础上延长AB到点F，使BF=AB，连结FD，FE，得到△DEF（如图6）．若

.

图6），此时，我们称△ABC向外扩展了一次．可以发现，扩展一次后得到的△DEF的面积是原来△ABC面积的_______倍．

应用：去年在面积为10m2的△ABC空地上栽种了某种花卉．今年准备扩大种植规模，把△ABC向外进行两次扩展，第一次由△ABC扩展成△DEF，第二次由△DEF扩展成△MGH（如图5）．求这两次扩展的区域（即阴影部分）面积共为多少m2？

分析：从第1个图可以发现AC就是△ABD的中线，第2个图通过连接DA，可得到△ECD的中线DA，后面扩展的部分都可以通过这样的方法得到三角形的中线，从而求出扩展部分的面积，发现规律。

解：（1）由CD=BC，可知AC就是△ABD的中线，中线AC将△ABD的分成两个三角形△ABC、△ACD，这两个三角形等底等高，所以它们的面积相等；所以S1=a；

（2）若连接DA，则DA就是△ECD的中线，中线AD将△ECD分成△CDA、△EDA，它们的面积相等；所以S2=2a；

M （3）根据以上分析，可知△BFD、△CED、△EAF面积都

为2a；所以S2=6a；

E 发现：由题意可知扩展一次后的△DEF的面积是S△DEF=

S3+S△ABC=6a+a=7a；即扩展一次后的△DEF的面积是原来

A △ABC面积的7倍。

C 应用：由以上分析可知 B D 扩展一次后S总1=7a， F 扩展二次后S总2=S总1=72a， 扩展三次后S总3=S总2=73a， 拓展区域的面积：（72－1）×10=480（m2）

说明：本题是从一个简单的图形入手，逐步向复杂的图形G 图6

演变，引导我们逐步进行探索，探索出有关复杂图形的相关结

论，这是我们研究数学问题的一种思想方法：从特殊到一般的思想。所以我们在平时的学习中，要注意领会数学思想和方法，使自己的思维不断升华。

二、巧分三角形

例3、如图7，已知△ABC，请你用两种不同的方法把它分成面积之比为1:2:3的三个三角形.

分析：可以把三角形先两等份，再把其中一个再两等份，所以联想到作三角形的中线。 解：方法1：取BC的中点E，然后在BE上取点D，使BD分成面积之比为1:2:3的三个三角形（如图8）.

图7

图8

图9

H

1BE，则AD、AE把△ABC3'.

.

方法2：在BC边上截取DC1BC，连结AD，然后取AB的中点P，连结BP、CP，3则△PAC、△PAB、△PBC的面积之比为1:2: 3（如图9）.

想一想：方法2中，这三个三角形的面积之比为什么是1:2:3？ 二、巧算式子的值

例2 在数学活动中，小明为了求

11111234n的22222图10

值（结果用n表示），设计了如图10所示的几何图形.请你利用这个几何图形求

11111234n的值. 222221，联想到将2分析：由数据的特征：后面的数为前面一个数的

三角形的面积不断的平分，所以可以构造如图10的图形进行求解。

解：如图10，设大三角形的面积为1，然后不断的按顺序作出各个三角形的中线，根据三角形的中线把它分成两个面积相等的三角形可知，图中三角形除了最后一个小三角形，其余部分的面积为

111111234nn， 222222111111因此234n1n.

222222说明：此题运用“数形结合思想”，借助三角形的面积来求数的运算，简捷、巧妙.

三角形内角和定理及外角性质的应用

三角形三个内角的和等于180°，这是三角形内角和定理．

三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角，这是三角形外角性质．

三角形内角和定理及外角性质应用广泛，下面以例说明． 一、求三角形的内角

例2 (08太原)在△ABC中，∠B=40°，∠C=80°，则∠A的度数为( ) A．30° B．40° C．50° D．60° 解：由三角形内角和定理，得∠A=180°-∠B-∠C=180°-40°-80°=60°，答案选D． 例3 (08东营)如图1，已知∠1=100°，∠2=140°，那么∠3=＿＿． 解：∠4=180°-∠1=180°-100°=80°， 14∠5=180°-∠2=180°-140°=40°，

53由三角形内角和定理，得

2∠3=180°-∠4-∠5=180°-80°-40°=60°，答案选D． 图1 说明：在求出∠4=80°后，也可根据三角形外角性质，得∠2=∠4+∠3，所以∠3=∠2-∠4=140°-80°=60°．

二、判断三角形的形状

例1 (08陕西)一个三角形三个内角的度数之比为2:3:7，这个三角形一定是( ) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 解：设三个内角分别为2k，3k，5k，由三角形内角和定理，得

'.

.

2k+3k+5k=180°．解得k=15°，所以2k=30°，3k=45°，7k=105°，所以这个三角形是钝角三角形，答案选C．

三、求角平分线的夹角

例4 (08沈阳)已知△ABC中，∠A=60°，∠ABC、∠ACB的平分线交于点O，则∠BOC的度数为＿＿．

解：如图2，由BO平分∠ABC，得∠1=

1∠ABC； 2AO1由CO平分∠ACB，得∠2=∠ACB．

21B11所以∠1+∠2=(∠ABC +∠ACB)=(180°-∠A) 图2

221=(180°-60°)=60°． 22C四、求三角形的外角

例5 (08贵州)如图5，直线l1∥l2，AB⊥l1，垂足为D，BC与直线l2相交于点C，若∠1=30°，则∠2=＿＿＿．

解：如图6，延长AB交l2于点E．

因为l1∥l2，由两直线平行，内错角相等，得∠BEC=∠3． 由AB⊥l1，得∠3=90°．所以∠BEC=90°． 由三角形外角性质，得∠2=∠BEC+∠1=90°+30°=120°．

A ADl1 Dl123B2 B1l21Cl2 EC图5 图6

说明：本题也可延长CB交l1于点F，构造△FBD进行求解，完成请同学们完成．

五、比较角的大小

例5 (08凉山)下列四个图形中∠2大于∠1的是( )

AD a12221 1b12 BC(a∥b)A B C D

解：A选项中，利用两直线平行，内错角相等及对顶角相等，可得∠1=∠2；B选项，根据三角形的外角性质，可得∠2大于∠1．C选项中的∠2与∠1的大小关系无法确定；D选项中，由对顶角相等，可得∠1=∠2．答案选B．

全等三角形水平测试（1）

湖北 薛建辉

一、试试你的身手

1．如图所示，沿直线AC对折，△ABC与△ADC重合，则△ABC≌__________，AB的对应边是________，AC的对应边是____________，∠BCA的对应角是__________． A

A D

'.

B C D

.

2．如图所示，△ACB≌△DEF，其中A与D，C与E是对应顶点，则CB的对应边是________，∠ABC的对应角是__________．

3．△ABC和ABC中，若ABAB，BCBC，则需要补充条件________可得到ABCABC B

C A

O ?

A ?

D C B 4．如图所示，AB，CD相交于O，且AO＝OB，观察图形，图中已具备的另一相等的条件是

________，联想到SAS，只需补充条件________，则有△AOC≌△________．

5．如图所示，有一块三角形镜子，小明不小心破裂成Ⅰ、Ⅱ两块，现需配成同样大小的一块．为了方便起见，需带上________块，其理由是__________． 6．如图所示，若只有AD⊥BD于点D这个条件，要证△ABD≌△ACD，则需补充的条件是________或__________或__________． A

C B D

7．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，将△ABC绕着点A顺时针旋转40°后得到△ADE，则∠BAE的度数为__________． C E

D B

A

二、相信你的选择

1．下列说法：①全等三角形的形状相同；②全等三角形的对应边相等；③全等三角形的对应角相等；④全等三角形的周长．面积分别相等，其中正确的说法为（ ） Ａ．①②③④ Ｂ．①③④ Ｃ．①②④ Ｄ．②③④ 2．下列结论错误的是（ ）

Ａ．全等三角形对应角所对的边是对应边 Ｂ．全等三角形两条对应边所夹的角是对应角 Ｃ．全等三角形是一个特殊三角形

'.

.

Ｄ．如果两个三角形都与另一个三角形全等，那么这两个三角形也全等 3．下面各条件中，能使△ABC≌△DEF的条件的是（ ）

Ａ．AB＝DE，∠A＝∠D，BC＝EF Ｂ．AB＝BC，∠B＝∠E，DE＝EF ０．AB＝EF，∠A＝∠D，AC＝DF Ｄ．BC＝EF，∠C＝∠F，AC＝DF

4．在△ABC和△DEF中，AB＝DE，∠A＝∠D，若证△ABC≌△DEF，还要补充一个条件，错误的补充方法是（ ）

Ａ．∠B＝∠E Ｂ．∠C＝∠F Ｃ．BC＝EF Ｄ．AC＝DF 5．下列说法正确的是（ ）

Ａ．两边一角对应相等的两个三角形全等 Ｂ．两角一边对应相等的两个三角形等 Ｃ．两个等边三角形一定全等 Ｄ．两个等腰直角三角形一定全等

6．如图所示，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别是E．F，若BE＝CF，则图中全等三角形有（ ） Ａ．1对 Ｂ．2对 Ｃ．3对 Ｄ．4对

A

E

D E F

1 2 C A C B B

7．如图，AB＝DB，BC＝BE，欲证△ABC≌△DBC，则需补充的条件是（ ） Ａ．∠A＝∠D Ｂ．∠E＝∠C Ｃ．∠A＝∠C Ｄ．∠1＝∠2 三、挑战你的技能

1．如图，若∠DAB＝∠CBA，请你再添加一对相等的条件，使△ABD≌△CAB，并说明三角形

D C 全等的理由．

B A 2．（1）完成下面的证明：

如图，AB＝AC，E，F分别是A C，AB的中点，那么△ABE≌△ACF． 证明：E，F分别是AC，AB的中点，

AE11AC，AFAB（ ） 22ABAC，AEAF 在△ABE和△ACF中

______________( )，△ABE△ACF． ______________( )，______________( )，

（2）根据（1）的证明，若连结BC．请证明：△EBC≌△FCB．

A

F E

B F A

C

'.

E

.

3．如图，已知：BE＝DF，AE＝CF，AE∥CF，求证：AD∥BC． A

D

E F

B C

4．如图，已知：CE⊥AD于E，BF⊥AD于F，（1）你能说明△BDF和△CDE全等吗？（2）若能，请你说明理由，若不能，在不用增加辅助线的情况下，请添加其中一个适当的条件，这个条件是__________，来说明这两个三角形全等，并写出证明过程． A

E

C B

D

F 四、拓广探索

飞翔建筑公司在扩建二汽修建厂房时，在一空旷地上发现有一个较大的圆形土丘，经分析判断很可能是一座王储陵墓，由于条件限制，无法直接度量A，B两点间的距离，请你用学过的数学知识，按以下要求设计测量方案． （1）画出测量方案

（2）写出测量步骤（测量数据用字母表示）

（3）计算AB的距离（写出求解或推理过程，结果用字母表示）

A B

'.

.

参考答案：

一、1．△ADC，AD，AC，∠DCA 2．EF，∠DFE 3．BB或ACAC 4．∠AOC=∠BOD，OC=OD，△BOD 5．Ⅰ，有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等 6．∠BAD=∠CAD，AB=AC，BD=CD 7．100° 二、1．D 2．C 3．D 4．C 5．B 6．C 7．D

三、1．需要再添加的条件为：∠DBA=∠BAC（ASA）或∠DAC=∠CBD（ASA）或AD=BC（SAS） 2．

AEAF(已证)(SAS) （1）中点定义，AA(公共角)，ABAC(已知)（2）

证明：△ABE△ACF，BECF；又

E，F分别为AC，AB的中点，

EC11AC，BFAB，22ABAC，ECBF，在△EBC和△FCB中，

BECF，



△EBC△FCB． BCCB，

ECFB

3．证明：

AE∥CF，∠AEB∠DFC，180∠AEB180∠DFC，

∠AED∠BFC，BEDF，BEEFDFEF，BFDE．

AECF，在△ADE和△CBF中，∠AED∠BFC，△ADE△CBF，∠ADE∠CBF，

DEBFAD∥BC．

4. （1）不能，（2）添加的条件为：BD=DC或DF=DE或BF=CE．选：BD=DC． 证明：

CE⊥AD，BF⊥AD，∠CED∠BFD90，

∠CDE∠BFD(已证)在△CED和△BFD中， CDEBDF(对顶角相等)，△CED△BFD．

CEBD四、（1）如图所示 （2）在地上找到可以直接到达点A，B的一点O，在AO的延长线上取一点以，并测得OC=OA，在BO的延长线上取一点在，并测得OD=OB，这时测得CD的长为A，则AB的长就是A． （3）理由：由测法可得．OC=OA，OD=OB，∠COD=∠AOB，所以△COD≌△AOB，所以CD=AB=A． A B

'.

O

D C