2018中考专项复习几何-半角模型(word版)

小马成群

半角

例题：

如图，将 CBN 绕点 C 顺时针旋转 90 ，得 CAD ，连结 MD ，

则 AD  BN  n ， CD  CN ，∠ACD ∠BCN ， ∴ ∠MCD ∠ACM ∠ACD  ACM ∠BCN

 90  45  45  MCN ． ∴ MDC ≌MNC ， ∴ MD  MN  x

又易得 DAM  45  45  90 ，

∴在 Rt AMD 中，有 m2  n2  x2 ，故应选(B)

练习：

1、如图，正方形 ABCD 的边长为 1， AB 、 AD 上各存一点 P 、 Q ，若 APQ 的周长为 2，求 PCQ 的度数．

D C

D

C

A M N B

Q A P B

2、 E 、 F 分别是正方形 ABCD 的边 BC 、 CD 上的点，且∠EAF  45 ， AH  EF ， H 为垂足，

求证： AH  AB ．

A

D F H

B

E

C

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旋转模型之半角

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初三数学专题复习

小马成群

3、如图所示，在等腰直角 ABC 的斜边 AB 上取两点 M 、 N ，使 MCN  45 ，记 AM  m ， MN  x ， BN  n ， 求证：以 x 、 m 、 n 为边长的三角形的形状是直角三角形.

C

A m M

x

N

n

B

4、已知：如图 1 在 RtABC 中， BAC  90 ， AB  AC ，点 D 、 E 分别为线段 BC 上两动点，若 DAE  45 ．探 究线段 BD 、 DE 、 EC 三条线段之间的数量关系．

小明的思路是：把 AEC 绕点 A 顺时针旋转 90 ，得到 ABE ，连结 ED ， 使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：

⑴ 猜想 BD 、 DE 、 EC 三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；

⑵ 当动点 E 在线段 BC 上，动点 D 运动在线段 CB 延长线上时，如图 2，其它条件丌变，⑴中探究的结论是否发生 改变？请说明你的猜想并给予证明．

A

B D

图1

E

C

A

D B

E 图2

C

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小马成群

解析：

1、如图，正方形 ABCD 的边长为 1， AB 、 AD 上各存一点 P 、 Q ，若 APQ 的周长为 2，求 PCQ 的度数 解：

把 CDQ 绕点 C 旋转 90 到 CBF 的位置， CQ = CF ． ∵ AQ  AP  QP  2 ， 又 AQ  QD  AP  PB  2 ， ∴ QD + BP =

QP ． 又 DQ = BF ， ∴ PQ = PF ． ∴ QCP ≌FCP ． ∴ QCP  FCP ． 又∵ QCF  90 ， ∴ PCQ  45 ．

A

P

B

D

C

D C

Q Q A P B F

2、 E 、 F 分别是正方形 ABCD 的边 BC 、 CD 上的点，且∠EAF  45 ， AH  EF ， H 为垂足， 求证： AH  AB ． 解：

延长 CB 至 G ，使 BG  DF ，连结 AG ， 易证 △ABG ≌△ADF ， ∠BAG ∠DAF ， AG  AF ． 再证 △AEG ≌△AEF ， 全等三角形的对应高相等

A D F H

A

D F H

(利用三角形全等可证得)，则有 AH  AB ．

B

E

C

G B E C

3、如图所示，在等腰直角 ABC 的斜边 AB 上取两点 M 、 N ，使 MCN  45 ，记 AM  m ， MN  x ， BN  n ， 求证：以 x 、 m 、 n 为边长的三角形的形状是直角三角形. 解：

法１：如图所示，将 CBN 绕点 C 顺时针旋转 90 ，得到 CAD . 连接 MD ，则 AD  BN  n ， CD  CN ， ACD  BCN ，

故 MCD  ACM  ACD  ACM  BCN  90  45  45  MCN ， 从而 MDC ≌MNC ， 则 MD  MN  x .

而 DAM  45  45  90 ，

故在直角三角形 AMD 中有 m2  n2  x2 .

D n A m M x C N n B

A

m M x C N n B

C

法 2：我们用上一讲学习过的“对称变换”也能得到解答． 如图所示，以 CM 为对称轴将 CMA 翻折到 CMP 的位置． 易证 CPN 和 CBN 关于 CN 对称，且 PMN 为直角三角形，

并且可得 PM  AM  m ， PN  NB  n ， MN  x ．

A M P

N B

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小马成群

4、已知：如图 1 在 RtABC 中， BAC  90 ， AB  AC ，点 D 、 E 分别为线段 BC 上两动点，若 DAE  45 ．探 究线段 BD 、 DE 、 EC 三条线段之间的数量关系．

小明的思路是：把 AEC 绕点 A 顺时针旋转 90 ，得到 ABE ，连结 ED ， 使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：

⑴ 猜想 BD 、 DE 、 EC 三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；

⑵ 当动点 E 在线段 BC 上，动点 D 运动在线段 CB 延长线上时，如图 2，其它条件不变，⑴中探究的结论是否发生 改变？请说明你的猜想并给予证明．

⑴ DE2  BD2  EC2

证明：

根据 绕点 顺时针旋转 得到 

A

AEC A 90 ABE∴ AEC ≌ABE

∴ BE  EC ， AE  AE ， C  ABE ， EAC  EAB 在 RtABC 中 ∵ AB  AC

∴ ABC  ACB  45∴ ABC  ABE  90即 EBD  90∴ EB2  BD2  ED2 又∵ DAE  45∴ BAD  EAC  45∴ EAB  BAD  45即 EAD  45∴ AED≌AED ∴ DE  DE∴ DE2  BD2  EC2

⑵ 关系式 DE2  BD2  EC2 仍然成立

证明：将 ADB 沿直线 AD 对折，得 AFD ，连 FE ∴ AFD≌ABD ∴ AF  AB ， FD  DB

FAD  BAD ， AFD  ABD 又∵ AB  AC ，∴ AF  AC

∵ FAE  FAD  DAE  FAD  45

EAC  BAC  BAE  90  DAE  DAB  45  DAB ∴ FAE  EAC 又∵ AE  AE ∴ AFE ≌ACE

∴ FE  EC ， AFE  ACE  45

AFD  ABD 180  ABC  135

∴ DFE  AFD  AFE 135  45  90∴在 RtDFE 中

DF 2  FE2  DE2 即 DE2  BD2  EC2

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旋转模型之半角

B D

C

图1

E

A

D B

E C

图2

A

E' B D E

C

A

F

D

B E

C

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