2020-2021中考数学二次函数综合经典题及答案解析

一、二次函数

1．如图，抛物线y=ax2+bx过点B（1，﹣3），对称轴是直线x=2，且抛物线与x轴的正半轴交于点A．

（1）求抛物线的解析式，并根据图象直接写出当y≤0时，自变量x的取值范围； （2）在第二象限内的抛物线上有一点P，当PA⊥BA时，求△PAB的面积．

【答案】（1）抛物线的解析式为y=x2﹣4x，自变量x的取值范图是0≤x≤4；（2）△PAB的面积=15． 【解析】 【分析】

（1）将函数图象经过的点B坐标代入的函数的解析式中，再和对称轴方程联立求出待定系数a和b；

（2）如图，过点B作BE⊥x轴，垂足为点E，过点P作PE⊥x轴，垂足为F，设P（x，x2-4x），证明△PFA∽△AEB,求出点P的坐标，将△PAB的面积构造成长方形去掉三个三角形的面积． 【详解】

ab＝3（1）由题意得，b，

＝22a1a＝解得，

b＝4∴抛物线的解析式为y=x2-4x， 令y=0，得x2-2x=0，解得x=0或4， 结合图象知，A的坐标为（4，0），

根据图象开口向上，则y≤0时，自变量x的取值范围是0≤x≤4；

（2）如图，过点B作BE⊥x轴，垂足为点E，过点P作PE⊥x轴，垂足为F，

设P（x，x2-4x）, ∵PA⊥BA ∴∠PAF+∠BAE=90°, ∵∠PAF+∠FPA=90°, ∴∠FPA=∠BAE 又∠PFA=∠AEB=90° ∴△PFA∽△AEB,

PFAFx24x4x∴，即， AEBE213解得，x= −1，x=4（舍去） ∴x2-4x=-5

∴点P的坐标为（-1，-5），

又∵B点坐标为（1，-3），易得到BP直线为y=-4x+1 所以BP与x轴交点为（∴S△PAB=【点睛】

本题是二次函数综合题，求出函数解析式是解题的关键，特别是利用待定系数法将两条直线表达式解出，利用点的坐标求三角形的面积是关键．

1，0） 41155315 24

2．一座拱桥的轮廓是抛物线型(如图所示)，拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m.

(1)将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图所示)，其表达式是yax2c的形式.请根据所给的数据求出a，c的值. (2)求支柱MN的长度.

(3)拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2m的隔离带)，其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)？请说说你的理由.

【答案】（1）y=-【解析】

32

x+6；（2）5.5米；（3）一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车． 50试题分析：（1）根据题目可知A．B，C的坐标，设出抛物线的解析式代入可求解． （2）设N点的坐标为（5，yN）可求出支柱MN的长度．

（3）设DN是隔离带的宽，NG是三辆车的宽度和．做GH垂直AB交抛物线于H则可求解．

试题解析： (1) 根据题目条件，A、B、C的坐标分别是(-10,0)、(0,6)、(10,0).

2将B、C的坐标代入yaxc，得 6c,

0100ac.

解得a3,c6. 50∴抛物线的表达式是y(2) 可设N(5,yN)， 于是yN32x6. 5035264.5. 50从而支柱MN的长度是10-4.5=5.5米.

(3) 设DE是隔离带的宽，EG是三辆车的宽度和， 则G点坐标是(7,0)(7=2÷2＋2×3).

3172633. 5050根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车.

过G点作GH垂直AB交抛物线于H，则yH

3．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2x+a﹣3，当a＝0时，抛物线与y轴交于点A，将点A向右平移4个单位长度，得到点B． （1）求点B的坐标；

（2）将抛物线在直线y＝a上方的部分沿直线y＝a翻折，图象的其他部分保持不变，得到一个新的图象，记为图形M，若图形M与线段AB恰有两个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．

【答案】（1）A（0，﹣3），B（4，﹣3）；（2）﹣3＜a≤0； 【解析】

【分析】

（1）由题意直接可求A，根据平移点的特点求B；

（2）图形M与线段AB恰有两个公共点，y＝a要在AB线段的上方，当函数经过点A时，AB与函数两个交点的临界点； 【详解】

解：（1）A（0，﹣3），B（4，﹣3）； （2）当函数经过点A时，a＝0， ∵图形M与线段AB恰有两个公共点， ∴y＝a要在AB线段的上方， ∴a＞﹣3 ∴﹣3＜a≤0； 【点睛】

本题二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象的特点，函数与线段相交的交点情况是解题的关键．

4．如图，已知抛物线

A，且与y轴交于点C（0，5）。

的图象与x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为

（1）求直线BC与抛物线的解析式；

（2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求MN的最大值；

（3）在（2）的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为S1，△ABN的面积为S2，且S1=6S2，求点P的坐标。 【答案】（1）（2）

（3）P的坐标为（－1，12）或（6，5）或（2，－3）或（3，－4） 【解析】 【分析】

（1）由B（5，0），C（0，5），应用待定系数法即可求直线BC与抛物线的解析式。 （2）构造MN关于点M横坐标的函数关系式，应用二次函数最值原理求解。

（3）根据S1=6S2求得BC与PQ的距离h，从而求得PQ由BC平移的距离，根据平移的性质求得PQ的解析式，与抛物线【详解】

解：（1）设直线BC的解析式为将B（5，0），C（0，5）代入，得∴直线BC的解析式为将B（5，0），C（0，5）代入∴抛物线的解析式

。

。

。

。

，得

，得

。

，

，得

。

联立，即可求得点P的坐标。

（2）∵点M是抛物线在x轴下方图象上的动点，∴设M∵点N是直线BC上与点M横坐标相同的点，∴N

∵当点M在抛物线在x轴下方时，N的纵坐标总大于M的纵坐标。 ∴

∴MN的最大值是

。

。

，B（5，0），∴A（1，0）。∴AB=4。 。 。

，即

。

。

（3）当MN取得最大值时，N∵∴

由勾股定理可得，

的对称轴是

设BC与PQ的距离为h，则由S1=6S2得：BH=

，EH是直线BC沿y轴方向平移的距离。

如图，过点B作平行四边形CBPQ的高BH，过点H作x轴的垂线交点E ，则

易得，△BEH是等腰直角三角形， ∴EH=

。

∴直线BC沿y轴方向平移6个单位得PQ的解析式：

或

当

时，与，解得

当

时，与

，解得

4）。

综上所述，点P的坐标为（－1，12）或（6，5）或（2，－3）或（3，－4）。

或

联立，得

。此时，点P的坐标为（－1，12）或（6，5）。

。

联立，得 或

。此时，点P的坐标为（2，－3）或（3，－

5．在平面直角坐标系中，我们定义直线y=ax-a为抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的“衍生直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y轴上的三角形为其“衍生三角形”．已知抛物线y23243xx23与其“衍生直线”交于A、B两点（点A33在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C．

（1）填空：该抛物线的“衍生直线”的解析式为 ，点A的坐标为 ，点B的坐标为 ；

（2）如图，点M为线段CB上一动点，将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若△AMN为该抛物线的“衍生三角形”，求点N的坐标；

（3）当点E在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“衍生直线”上，是否存在点F，使得以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E、F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y=2323；（-2，23）；（1,0）； x+33（2）N点的坐标为（0，23-3），（0，23+3）； （3）E（-1，-【解析】 【分析】

432343103）、F（0，）或E（-1，-），F（-4，）

3333（1）由抛物线的“衍生直线”知道二次函数解析式的a即可；（2）过A作AD⊥y轴于点D，则可知AN=AC，结合A点坐标，则可求出ON的长，可求出N点的坐标；（3）分别讨论当AC为平行四边形的边时，当AC为平行四边形的对角线时，求出满足条件的E、F坐标即可 【详解】 （1）∵y2323243，则抛物线的“衍生直线”的解析式为xx23，a=333y=2323； x+3323243yxx23x=1x=-233联立两解析式求交点，解得或，

y=23y=0y=23x+2333∴A（-2，23），B（1,0）； （2）如图1，过A作AD⊥y轴于点D， 在y23243xx23中，令y=0可求得x= -3或x=1， 33∴C（-3,0），且A（-2，23），

22∴AC=（-2+3）+（23）=13 由翻折的性质可知AN=AC=13， ∵△AMN为该抛物线的“衍生三角形”， ∴N在y轴上，且AD=2， 在Rt△AND中，由勾股定理可得 DN=AN2-AD2=13-4=3， ∵OD=23，

∴ON=23-3或ON=23+3，

∴N点的坐标为（0，23-3），（0，23+3）；

（3）①当AC为平行四边形的边时，如图2 ，过F作对称轴的垂线FH，过A作AK⊥x轴

于点K，则有AC∥EF且AC=EF， ∴∠ ACK=∠ EFH， 在△ ACK和△ EFH中

ACK=EFHAKC=EHF AC=EF∴△ ACK≌△ EFH， ∴FH=CK=1，HE=AK=23， ∵抛物线的对称轴为x=-1， ∴ F点的横坐标为0或-2， ∵点F在直线AB上，

∴当F点的横坐标为0时，则F（0，∴E到y轴的距离为EH-OF=23-∴ E（-1，-23），此时点E在直线AB下方， 3234343=，即E的纵坐标为-， 33343）； 3当F点的横坐标为-2时，则F与A重合，不合题意，舍去； ②当AC为平行四边形的对角线时， ∵ C（-3,0），且A（-2，23）， ∴线段AC的中点坐标为（-2.5， 3）， 设E（-1，t），F（x，y）， 则x-1=2×（-2.5），y+t=23， ∴x= -4，y=23-t，

23-t=-232343×（-4）+，解得t=-， 33343103），F（-4，）；

334323）、（0，）或E（-1，33∴E（-1，-综上可知存在满足条件的点F，此时E（-1，--43103），F（-4，）

33

【点睛】

本题是对二次函数的综合知识考查，熟练掌握二次函数，几何图形及辅助线方法是解决本题的关键，属于压轴题

6．如图，已知抛物线yax2bxc经过A（－3，0），B（1，0），C（0，3）三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值；

（3）如图（2），若E是线段AD上的一个动点（ E与A、D不重合），过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，△ADF的面积为S． ①求S与m的函数关系式；

②S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E的坐标； 若不存在，请说明理由．

2【答案】（1）yx2x3.

（2）3210. （3）①Sm24m3.

②当m=﹣2时，S最大，最大值为1，此时点E的坐标为（﹣2，2）. 【解析】 【分析】

（1）根据函数图象经过的三点，用待定系数法确定二次函数的解析式即可.

（2）根据BC是定值，得到当PB+PC最小时，△PBC的周长最小，根据点的坐标求得相应线段的长即可.

（3）设点E的横坐标为m，表示出E（m，2m+6），F（m，m22m3），最后表示

出EF的长，从而表示出S于m的函数关系，然后求二次函数的最值即可. 【详解】

解：（1）∵抛物线yax2bxc经过A（－3，0），B（1，0）， ∴可设抛物线交点式为yax3x1.

又∵抛物线yax2bxc经过C（0，3），∴a1. ∴抛物线的解析式为：yx3x1，即yx22x3. （2）∵△PBC的周长为：PB+PC+BC，且BC是定值. ∴当PB+PC最小时，△PBC的周长最小. ∵点A、点B关于对称轴I对称， ∴连接AC交l于点P，即点P为所求的点.

∵AP=BP，∴△PBC的周长最小是：PB+PC+BC=AC+BC.

∵A（－3，0），B（1，0），C（0，3），∴AC=32，BC=10. ∴△PBC的周长最小是：3210.

2（3）①∵抛物线yx2x3顶点D的坐标为（﹣1，4），A（﹣3，0），

∴直线AD的解析式为y=2x+6

∵点E的横坐标为m，∴E（m，2m+6），F（m，m22m3） ∴EFm2m32m6m4m3.

22∴

1111SSDEFSAEFEFGHEFAGEFAHm24m32m24m32222.

∴S与m的函数关系式为Sm24m3. ②Sm24m3m21，

∴当m=﹣2时，S最大，最大值为1，此时点E的坐标为（﹣2，2）.

2

7．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），

1x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=﹣1． 4（1）求抛物线的解析式；

如图，直线y=

（2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）知F（x0，y0）为平面内一定点，M（m，n）为抛物线上一动点，且点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标．

【答案】（1）抛物线的解析式为y=定点F的坐标为（2，1）． 【解析】

1228x﹣x+1．（2）点P的坐标为（，﹣1）．（3）

134分析：（1）由抛物线的顶点坐标为（2，0），可设抛物线的解析式为y=a（x-2）2，由抛

物线过点（4，1），利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；

（2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，通过解方程组可求出点A、B的坐标，作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于点P，此时PA+PB取得最小值，根据点B的坐标可得出点B′的坐标，根据点A、B′的坐标利用待定系数法可求出直线AB′的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标；

（3）由点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标

11-y0）m2+（2-2x0+2y0）m+x02+y02-2y0-3=0，由m的任意性可得出关22于x0、y0的方程组，解之即可求出顶点F的坐标． 详解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（2，0）， 设抛物线的解析式为y=a（x-2）2． ∵该抛物线经过点（4，1），

1∴1=4a，解得：a=，

411∴抛物线的解析式为y=（x-2）2=x2-x+1．

44（2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，得：

特征，即可得出（1-

1y＝xx1＝1x2＝44，解得：， 1，1y＝1y＝21y＝x2x144∴点A的坐标为（1，

1），点B的坐标为（4，1）． 4作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于点P，此时PA+PB取得最小值（如图1所示）．

∵点B（4，1），直线l为y=-1， ∴点B′的坐标为（4，-3）．

设直线AB′的解析式为y=kx+b（k≠0）， 将A（1，

1）、B′（4，-3）代入y=kx+b，得： 4131k＝kb＝12，解得：， 44b＝4kb＝33∴直线AB′的解析式为y=-当y=-1时，有-解得：x=

28， 1328，-1）． 13134x+， 123134x+=-1， 123∴点P的坐标为（

（3）∵点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等， ∴（m-x0）2+（n-y0）2=（n+1）2， ∴m2-2x0m+x02-2y0n+y02=2n+1． ∵M（m，n）为抛物线上一动点， ∴n=

12

m-m+1， 4121m-m+1）+y02=2（m2-m+1）+1， 44∴m2-2x0m+x02-2y0（整理得：（1-

11-y0）m2+（2-2x0+2y0）m+x02+y02-2y0-3=0． 22∵m为任意值，

11122y0＝0∴22x02y0＝0， x2y22y3＝0000x0＝2∴，

y＝10∴定点F的坐标为（2，1）．

点睛：本题考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象上点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及解方程组，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用两点之间线段最短找出点P的位置；（3）根据点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标特征，找出关于x0、y0的方程组．

8．在直角坐标系中，我们不妨将横坐标，纵坐标均为整数的点称之为“中国结”。 （1）求函数y=3x+2的图像上所有“中国结”的坐标；

k（k≠0，k为常数）的图像上有且只有两个“中国结”，试求出常数k的值x与相应“中国结”的坐标；

（2）求函数y=

2222（3）若二次函数y=(k3k2)x(2k4k1)xkk（k为常数）的图像与x轴

相交得到两个不同的“中国结”，试问该函数的图像与x轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含有多少个“中国结”？

【答案】（1）（0,2）；（2）当k=1时，对应“中国结”为（1,1）（－1，－1）；当k=－1时，对应“中国结”为（1，－1），（－1,1）；（3）6个. 【解析】

试题分析：（1）因为x是整数，x≠0时，3x是一个无理数，所以x≠0时，3x+2不是整数，所以x=0，y=2，据此求出函数y=3x+2的图象上所有“中国结”的坐标即可． （2）首先判断出当k=1时，函数y=

k（k≠0，k为常数）的图象上有且只有两个“中国xk（k≠0，k为常数）的图x象上最少有4个“中国结”，据此求出常数k的值与相应“中国结”的坐标即可．

结”：（1，1）、（﹣1、﹣1）；然后判断出当k≠1时，函数y=

（3）首先令（k2﹣3k+2）x2+（2k2﹣4k+1）x+k2﹣k=0，则[（k﹣1）x+k][（k﹣2）x+（k﹣1）]=0，求出x1、x2的值是多少；然后根据x1、x2的值是整数，求出k的值是多少；最后根据横坐标，纵坐标均为整数的点称之为“中国结”，判断出该函数的图象与x轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含有多少个“中国结”即可． 试题解析：（1）∵x是整数，x≠0时，3x是一个无理数，

∴x≠0时，3x+2不是整数， ∴x=0，y=2，

即函数y=3x+2的图象上“中国结”的坐标是（0，2）．

k（k≠0，k为常数）的图象上有且只有两个“中国结”： x（1，1）、（﹣1、﹣1）；

（2）①当k=1时，函数y=

k（k≠0，k为常数）的图象上有且只有两个“中国结”： x（1，﹣1）、（﹣1，1）．

②当k=﹣1时，函数y=③当k≠±1时，函数y=

k（k≠0，k为常数）的图象上最少有4个“中国结”： xk（k≠0，k为常数）的x（1，k）、（﹣1，﹣k）、（k，1）、（﹣k，﹣1），这与函数y=图象上有且只有两个“中国结”矛盾， 综上可得，k=1时，函数y=1）、（﹣1、﹣1）； k=﹣1时，函数y=（﹣1、1）．

（3）令（k2﹣3k+2）x2+（2k2﹣4k+1）x+k2﹣k=0， 则[（k﹣1）x+k][（k﹣2）x+（k﹣1）]=0，

k（k≠0，k为常数）的图象上有且只有两个“中国结”：（1，xk（k≠0，k为常数）的图象上有且只有两个“中国结”：（1，﹣1）、xk1k∴{

k1x22kx1∴kx12x12， x11x21整理，可得 x1x2+2x2+1=0， ∴x2（x1+2）=﹣1， ∵x1、x2都是整数， ∴{∴{x21x121x13x21或{x21x121

或{x11x21①当{x13x21时，

∵

k11， 2k3； 2∴k=

②当{∵

x11x21时，

k1， 1k∴k=k﹣1，无解； 综上，可得 k=

3，x1=﹣3，x2=1， 2y=（k2﹣3k+2）x2+（2k2﹣4k+1）x+k2﹣k =[(

3233333)﹣3×+2]x2+[2×（）2﹣4×+1]x+（）2﹣ 2222221213x﹣x+ 424=﹣

①当x=﹣2时， y=﹣=

3121311x﹣x+=﹣×（﹣2）2﹣×（﹣2）+ 4244243 41213x﹣x+ 424②当x=﹣1时， y=﹣=﹣=1

③当x=0时，y=

311×（﹣1）2﹣×（﹣1）+ 4243， 4另外，该函数的图象与x轴所围成的平面图形中x轴上的“中国结”有3个： （﹣2，0）、（﹣1、0）、（0，0）． 综上，可得

若二次函数y=（k2﹣3k+2）x2+（2k2﹣4k+1）x+k2﹣k（k为常数）的图象与x轴相交得到两个不同的“中国结”，

该函数的图象与x轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含有6个“中国结”：（﹣3，0）、（﹣2，0）、（﹣1，0）（﹣1，1）、（0，0）、（1，0）． 考点：反比例函数综合题

9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0）B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；

（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；

（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；直线AC的解析式为y=3x+3；（2）点M的坐标为（0，3）；

（3）符合条件的点P的坐标为（【解析】

分析：（1）设交点式y=a（x+1）（x-3），展开得到-2a=2，然后求出a即可得到抛物线解析式；再确定C（0，3），然后利用待定系数法求直线AC的解析式；

（2）利用二次函数的性质确定D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（-3，0），利用两点之间线段最短可判断此时MB+MD的值最小，则此时△BDM的周长最小，然后求出直线DB′的解析式即可得到点M的坐标； （3）过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，利用两直线垂直一次项系数互为负倒数设直线PC的解析式为y=-

7201013，）或（，﹣）， 39391x+b，把C点坐标代入求出b得到直线PC的解析式为3y＝x22x31y=-x+3，再解方程组得此时P点坐标；当过点A作AC的垂线交抛物13y＝x33线于另一点P时，利用同样的方法可求出此时P点坐标． 详解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3）， 即y=ax2﹣2ax﹣3a， ∴﹣2a=2，解得a=﹣1， ∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3； 当x=0时，y=﹣x2+2x+3=3，则C（0，3）， 设直线AC的解析式为y=px+q，

pq0p3把A（﹣1，0），C（0，3）代入得，解得，

q3q3∴直线AC的解析式为y=3x+3；

（2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4， ∴顶点D的坐标为（1，4），

作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（﹣3，0），

∵MB=MB′，

∴MB+MD=MB′+MD=DB′，此时MB+MD的值最小， 而BD的值不变，

∴此时△BDM的周长最小， 易得直线DB′的解析式为y=x+3， 当x=0时，y=x+3=3， ∴点M的坐标为（0，3）； （3）存在．

过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，

∵直线AC的解析式为y=3x+3， ∴直线PC的解析式可设为y=﹣把C（0，3）代入得b=3， ∴直线PC的解析式为y=﹣

1x+b， 31x+3， 37y＝x22x3xx07203P解方程组，解得或，则此时点坐标为（，）； 12039y3yy＝x339过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P，直线PC的解析式可设为y=﹣x+b， 把A（﹣1，0）代入得

11+b=0，解得b=﹣， 3311x﹣， 33∴直线PC的解析式为y=﹣

10y＝x22x3xx1103P解方程组，解得或，则此时点坐标为（，﹣1113y03yy＝x33913）. 9综上所述，符合条件的点P的坐标为（

7201013，）或（，﹣）. 3939点睛：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式，理解两直线垂直时一次项系数的关系，通过解方程组求把两函数的交点坐标；理解坐标与图形性质，会运用两点之间线段最短解决最短路径问题；会运用分类讨论的思想解决数学问题．

10．如图①，抛物线yx2(a1)xa与x轴交于A、B两点(点A位于点B的左侧)，与y轴交于点C，已知ABC的面积为6. (1)求a的值；

(2)求ABC外接圆圆心的坐标；

(3)如图②，P是抛物线上一点，点Q为射线CA上一点，且P、Q两点均在第三象限内，Q、A是位于直线BP同侧的不同两点，若点P到x轴的距离为d，QPB的面积为2d，且PAQAQB，求点Q的坐标.

【答案】(1)-3；(2)坐标(-1，1)；(3)Q4,1. 【解析】

【分析】

（1）利用抛物线解析式得到A、B、C三点坐标，然后利用三角形面积公式列出方程解出a；（2）利用第一问得到A、B、C三点坐标，求出AC解析式，找到AC垂直平分线的解析式，与AB垂直平分线解析式联立，解出x、y即为圆心坐标；（3）过点P做PD⊥x轴，PD=d，发现△ABP与△QBP的面积相等，得到A、D两点到PB得距离相等，可得AQ∥PB，求出PB解析式，与二次函数解析式联立得到P点坐标，又易证

ABQ≌QPA，得到BQ=AP=26，设出Q点坐标，点与点的距离列出方程，解出Q点坐

标即可 【详解】

(1)解：由题意得yx1xa 由图知：a＜0

,,C0,a 所以A(a,0)，B10SABC11aa=6 2a3或a4(舍)

∴

a3

,,C0,3 (2)由(1)得A(-3,0)，B10∴直线AC得解析式为：y=x+3

33, 22∴AC的垂直平分线为：yx

AC中点坐标为又∵AB的垂直平分线为：x1 ∴yxx1 得

x1y1ABC外接圆圆心的坐标(-1，1). (3)解：过点P做PD⊥x轴 由题意得：PD=d，

1∴SABPPDAB

2 =2d

∵QPB的面积为2d

∴SABPSBPQ，即A、D两点到PB得距离相等 ∴AQ∥PB

设PB直线解析式为;yxb过点B(1,0) ∴yx1 ∴yx1x4x1(舍) 易得2yx2x3y5y0所以P(-4,-5),

由题意及PAQAQB 易得：ABQ≌QPA ∴BQ=AP=26 设Q(m，-1)(m＜0) ∴1m1226

2m4

∴Q4,1. 【点睛】

本题考查二次函数综合性问题，涉及到一次函数、三角形外接圆圆心、全等三角形等知识点，第一问关键在于用a表示出A、B、C三点坐标；第二问关键在于找到AC垂直平分线的解析式，与AB垂直平分线解析式；第三问关键在于能够求出PB的解析式

11．如图，已知二次函数

过（﹣2，4），（﹣4，4）两点．

（1）求二次函数的解析式；

（2）将沿x轴翻折，再向右平移2个单位，得到抛物线，直线y=m（m＞0）交于M、N两点，求线段MN的长度（用含m的代数式表示）；

（3）在（2）的条件下，、交于A、B两点，如果直线y=m与、的图象形成的封

闭曲线交于C、D两点（C在左侧），直线y=﹣m与、的图象形成的封闭曲线交于E、F两点（E在左侧），求证：四边形CEFD是平行四边形． 【答案】（1）【解析】

试题分析：（1）根据待定系数法即可解决问题．

（2）先求出抛物线y2的顶点坐标，再求出其解析式，利用方程组以及根与系数关系即可求出MN．

（3）用类似（2）的方法，分别求出CD、EF即可解决问题． 试题解析：（1）∵二次函数

过（﹣2，4），（﹣4，4）两点，

；（2）

；（3）证明见解析．

∴（2）∵

，解得：

=

，∴二次函数的解析式

．

，∴顶点坐标（﹣3，），∵将沿x轴翻折，再

），∴抛物线为

向右平移2个单位，得到抛物线，∴抛物线的顶点坐标（﹣1，

，由

两个根，则MN=

=

，消去y整理得到

=

；

，设，是它的

（3）由，消去y整理得到，设两个根为，，则

CD===，由，消去y得到

，设两个根为，，则

EF=边形．

=

=

，∴EF=CD，EF∥CD，∴四边形CEFD是平行四

考点：二次函数综合题．

12．（14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=mx2﹣8mx+4m+2（m＞2）与y轴的交点为A，与x轴的交点分别为B（x1，0），C（x2，0），且x2﹣x1=4，直线AD∥x轴，在x轴上有一动点E（t，0）过点E作平行于y轴的直线l与抛物线、直线AD的交点分别为P、Q．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当0＜t≤8时，求△APC面积的最大值；

（3）当t＞2时，是否存在点P，使以A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）【解析】

试题分析：（1）首先利用根与系数的关系得出：

，结合条件

求出

；（2）12；（3）t=

或t=

或t=14．

的值，然后把点B，C的坐标代入解析式计算即可；（2）（2）分0＜t＜6时和6≤t≤8时两种情况进行讨论，据此即可求出三角形的最大值；（3）（3）分2＜t≤6时和t＞6时两种情况进行讨论，再根据三角形相似的条件，即可得解．

试题解析：解：（1）由题意知x1、x2是方程mx2﹣8mx+4m+2=0的两根， ∴x1+x2=8， 由

．

解得：．

∴B（2，0）、C（6，0） 则4m﹣16m+4m+2=0， 解得：m=，

∴该抛物线解析式为：y=（2）可求得A（0，3） 设直线AC的解析式为：y=kx+b，

；．

∵∴

∴直线AC的解析式为：y=﹣x+3， 要构成△APC，显然t≠6，分两种情况讨论： 当0＜t＜6时，设直线l与AC交点为F，则：F（t，﹣

），

∵P（t，

∴S△APC=S△APF+S△CPF ===

此时最大值为：

），∴PF=

，

， ，

），

②当6≤t≤8时，设直线l与AC交点为M，则：M（t，﹣∵P（t，

），∴PM=

，

∴S△APC=S△APF﹣S△CPF===

，

当t=8时，取最大值，最大值为：12，

综上可知，当0＜t≤8时，△APC面积的最大值为12； （3）如图，连接AB，则△AOB中，∠AOB=90°，AO=3，BO=2， Q（t，3），P（t，

①当2＜t≤6时，AQ=t，PQ=

），

，

若：△AOB∽△AQP，则：

， ，

，

即：

∴t=0（舍），或t=

若△AOB∽△PQA，则：，

即：，

∴t=0（舍）或t=2（舍）， ②当t＞6时，AQ′=t，PQ′=若：△AOB∽△AQP，则：

，

，

， ，

，

即：

∴t=0（舍），或t=

若△AOB∽△PQA，则：

，

即：

∴t=0（舍）或t=14， ∴t=

或t=

或t=14．

考点：二次函数综合题．

13．已知抛物线C1：y=ax2﹣4ax﹣5（a＞0）． （1）当a=1时，求抛物线与x轴的交点坐标及对称轴；

（2）①试说明无论a为何值，抛物线C1一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标； ②将抛物线C1沿这两个定点所在直线翻折，得到抛物线C2，直接写出C2的表达式； （3）若（2）中抛物线C2的顶点到x轴的距离为2，求a的

值．

【答案】（1）（﹣1，0）或（5，0）（2）①（0，﹣5），（4，﹣5）②y=﹣ax2+4ax﹣5（3）a=【解析】

试题分析：（1）将a=1代入解析式，即可求得抛物线与x轴交点； （2）①化简抛物线解析式，即可求得两个点定点的横坐标，即可解题； ②根据抛物线翻折理论即可解题；

（3）根据（2）中抛物线C2解析式，分类讨论y=2或﹣2，即可解题 试题解析：（1）当a=1时，抛物线解析式为y=x2﹣4x﹣5=（x﹣2）2﹣9， ∴对称轴为y=2；

∴当y=0时，x﹣2=3或﹣3，即x=﹣1或5；

∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0）或（5，0）； （2）①抛物线C1解析式为：y=ax2﹣4ax﹣5， 整理得：y=ax（x﹣4）﹣5； ∵当ax（x﹣4）=0时，y恒定为﹣5；

∴抛物线C1一定经过两个定点（0，﹣5），（4，﹣5）； ②这两个点连线为y=﹣5；

将抛物线C1沿y=﹣5翻折，得到抛物线C2，开口方向变了，但是对称轴没变； ∴抛物线C2解析式为：y=﹣ax2+4ax﹣5， （3）抛物线C2的顶点到x轴的距离为2， 则x=2时，y=2或者﹣2； 当y=2时，2=﹣4a+8a﹣5，解得，a=

；

；

或

当y=﹣2时，﹣2=﹣4a+8a﹣5，解得，a=

∴a=或

；

考点：1、抛物线与x轴的交点；2、二次函数图象与几何变换

14．抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（m，0），与y轴交于C．

（1）若m=﹣3，求抛物线的解析式，并写出抛物线的对称轴；

（2）如图1，在（1）的条件下，设抛物线的对称轴交x轴于D，在对称轴左侧的抛物线上有一点E，使S△ACE=

S△ACD，求点E的坐标；

（3）如图2，设F（﹣1，﹣4），FG⊥y于G，在线段OG上是否存在点P，使∠OBP=∠FPG？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）抛物线的解析式为：y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4；对称轴是：直线x=﹣1；（2）点E的坐标为E（﹣4，5）（3）当﹣4≤m＜0或m=3时，在线段OG上存在点P，使∠OBP=∠FPG. 【解析】

试题分析：（1）利用待定系数法求二次函数的解析式，并配方求对称轴；（2）如图1，设E（m，m2+2m﹣3），先根据已知条件求S△ACE=10，根据不规则三角形面积等于铅直高度与水平宽度的积列式可求得m的值，并根据在对称轴左侧的抛物线上有一点E，则点E的横坐标小于﹣1，对m的值进行取舍，得到E的坐标；

（3）分两种情况：①当B在原点的左侧时，构建辅助圆，根据直径所对的圆周角是直角，只要满足∠BPF=90°就可以构成∠OBP=∠FPG，如图2，求出圆E与y轴有一个交点时的m值，则可得取值范围；②当B在原点的右侧时，只有△OBP是等腰直角三角形，△FPG也是等腰直角三角形时满足条件，直接计算即可． 试题解析：（1）当m=﹣3时，B（﹣3，0），

把A（1，0），B（﹣3，0）代入到抛物线y=x2+bx+c中得：

，解得

，

∴抛物线的解析式为：y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4；对称轴是：直线x=﹣1； （2）如图1，设E（m，m2+2m﹣3）， 由题意得：AD=1+1=2，OC=3， S△ACE=

S△ACD=

×

ADOC=

×2×3=10，

设直线AE的解析式为：y=kx+b，

把A（1，0）和E（m，m2+2m﹣3）代入得，

，解得：

，

∴直线AE的解析式为：y=（m+3）x﹣m﹣3，∴F（0，﹣m﹣3）， ∵C（0，﹣3），∴FC=﹣m﹣3+3=﹣m，∴S△ACE=﹣m（1﹣m）=20，m2﹣m﹣20=0， （m+4）（m﹣5）=0， m1=﹣4，m2=5（舍）， ∴E（﹣4，5）；

（3）如图2，当B在原点的左侧时，连接BF，以BF为直径作圆E，当⊙E与y轴相切时，设切点为P，

∴∠BPF=90°，∴∠FPG+∠OPB=90°，∵∠OPB+∠OBP=90°，∴∠OBP=∠FPG， 连接EP，则EP⊥OG，

∵BE=EF，∴EP是梯形的中位线，∴OP=PG=2， ∵FG=1，tan∠FPG=tan∠OBP=∴

，∴m=﹣4，

，

FC（1﹣m）=10，

∴当﹣4≤m＜0时，在线段OG上存在点P，使∠OBP=∠FPG； 如图3，当B在原点的右侧时，要想满足∠OBP=∠FPG， 则∠OBP=∠OPB=∠FPG，∴OB=OP，

∴△OBP是等腰直角三角形，△FPG也是等腰直角三角形， ∴FG=PG=1，∴OB=OP=3，∴m=3，

综上所述，当﹣4≤m＜0或m=3时，在线段OG上存在点P，使∠OBP=∠FPG．

考点：二次函数的综合题.

15．如图，抛物线线的表达式为

．

的坐标；

，作直线于点

，四边形

为

交

轴于点，交

轴于点

，已知经过点

的直

（1）求抛物线的函数表达式及其顶点（2）如图①，点轴，交直线矩形．设矩形

于

是线段，交抛物线于

上的一个动点，其中，作

∥

轴，交直线

的周长为，写出与的函数关系式，并求为何值时周长最

大；

（3）如图②，在抛物线的对称轴上是否存在点由．

，使点

构成的三角形是以

的坐标；若不存在，请说明理

为

腰的等腰三角形．若存在，直接写出所有符合条件的点

图① 图②

【答案】（1）抛物线的表达式为y=-x2-2x+3，顶点C坐标为（-1,4）； （2）L=-4m2-12m=-4（m+当m=-时，最大值L=9；

），（-1，-），（-1，3+

），（-1，3-）．

）2+9；

（3）点Q的坐标为（-1，【解析】

试题分析：（1）由直线经过A、B两点可求得这两点的坐标，然后代入二次函数解析式即可求出b、c的值，从而得到解析式，进而得到顶点的坐标；

（2）由题意可表示出D、E的坐标，从而得到DE的长，由已知条件可得DE=EF，从而可表示出矩形DEFG的周长L，利用二次函数的性质可求得最大值；

（3）分别以点A、点B为圆心，以AB长为半径画圆，圆与对称轴的交点即为所求的点． 试题解析：（1）直线y=x+3与x轴相交于A（-3,0 ），与y轴相交于B（0,3） 抛物线y=-x2+bx+c经过A（-3,0 ），B（0,3），所以，

,

∴

，

所以抛物线的表达式为y=-x2-2x+3， ∵y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4, 所以，顶点坐标为C（-1,4）．

（2）因为D在直线y=x+3上，∴D（m,m+3）． 因为E在抛物线上，∴E（m，-m2-2m+3）．

DE=-m2-2m+3-（m+3）=-m2-3m． 由题意可知，AO=BO,

∴∠DAP=∠ADP=∠EDF=∠EFD=45°， ∴DE=EF． L=4DE=-4m2-12m． L=-4m2-12m=-4（m+∵a=-4<0,

∴二次函数有最大值 当m=-时，最大值L=9．

），（-1，-），（-1，3+

），（-1，3-）．

）2+9．

（3）点Q的坐标为（-1，

考点：1、待定系数法；2、正方形的判定；3、二次函数的性质的应用；4、等腰三角形．