2021年新高考数学模拟试卷(16)

2021年新高考数学模拟试卷（16）

一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）

1．（5分）若集合A＝{x|2a+1≤x≤3a﹣5}，B＝{x|5≤x≤16}，则能使A⊆B成立的所有a组成的集合为（ ） A．{a|2≤a≤7}

B．{a|6≤a≤7}

C．{a|a≤7}

𝑧

D．∅

1+𝑖

2．（5分）已知复数z在复平面内对应的点的坐标为（﹣1，2），则A．−2+2𝑖

3

3

=（ ）

12

32

B．−2+2𝑖

𝜋

31

C．−2+2𝑖

13

D．+𝑖

3．（5分）函数𝑦=𝑐𝑜𝑠2𝑥+√3𝑠𝑖𝑛2𝑥(𝑥∈[0，2])的单调递增区间是（ ） A．[0，]

𝜋

6B．[0，]

𝜋3C．[，]

𝜋6𝜋2D．[，]

𝜋3𝜋24．（5分）《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共4升，下面3节的容积共6升，则第5节的容积是（ ） A．

211

→

B．

→

8

11

C．

1611

→

→

D．

→

1811

5．（5分）设向量𝑂𝐴，𝑂𝐵不共线（O为坐标原点），若𝑂𝐶=𝜆𝑂𝐴+𝜇𝑂𝐵，且0≤λ≤μ≤1，则C点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是（ ）

A． B．

C． D．

𝜋𝜋6．（5分）若关于x的方程2sin（2x+6）＝m在[0，]上有两个不等实根，则m的取值范围

2

是（ ） A．（1，√3）

B．[0，2]

C．[1，2）

D．[1，√3]

7．（5分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥上平面ABC，记△ABC和四边形ACC1A1的外接圆圆心分别为O1，O2，若AC＝2，且三棱柱外接球体积为

第1页（共19页）

32𝜋3

，则O1A2+O2A2的值为

（ ） A．

38

B．3

𝑥2𝑎2C．

113

D．5

8．（5分）过双曲线−

𝑦2𝑏2=1（a＞b＞0）右焦点F的直线交两渐近线于A，B两点，∠

𝑎3

OAB＝90°，O为坐标原点，且△OAB内切圆半径为，则双曲线的离心率为（ ） A．2

B．√5 √5C． 2

D．√6

二．选择题（共4小题，满分20分，每小题5分）

9．（5分）2017年12月15日，成都七中举行了第39届教育研讨会．在听课环节中，设第一节课进入学报二厅听课的人数为a，第二节课进入学报二厅听课的人数比第一节增加了10%，而第三节课进入学报二厅听课的人数又比第二节减少了10%，设第三节课进入学报二厅听课的人数为b，则（ ） A．a＝b C．a＞b

B．a＜b

D．a，b无法比较大小

10．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，角α以射线Ox为始边，终边与单位圆O交于点P．过点P的圆O的切线交x轴于点T，将点T的横坐标关于角α的函数记为（fα），则下列关于函数f（α）的说法错误的是（ ）

A．f（α）的定义域是{α|α≠2kπ+，k∈Z}

B．f（α） 的图象的对称中心是（kπ+，0），k∈Z C．f（α） 的单调递增区间是[2kπ，2kπ+π]，k∈Z D．f（α）对定义域内的α均满足f（π+α）＝f（α）

11．（5分）若l、m、n是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列命题中为假命题的是（ ）

A．若α∥β，l⊂α，n⊂β，则l∥n C．若l⊥n，m⊥n，则l∥m

𝜋

2𝜋2B．若α⊥β，l⊂α，则l⊥β D．若l⊥α，l∥β，则α⊥β

第2页（共19页）

12．（5分）定义在R上函数f（x）对任意两个不相等的实数x1，x2都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1），则称函数f（x）为“Z函数”，以下函数中“Z函数”的是（ ） A．y＝﹣x2+1 B．y＝3x﹣2sinx﹣2cosx C．y={

𝑙𝑛|𝑥|，𝑥≠0

0，𝑥=0

𝑥2+4𝑥，𝑥≥0

D．y={

2

−𝑥+𝑥，𝑥＜0

三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）

13．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，且满足f（x）＝f（x+2），当x∈[0，2]时，f（x）＝ex，则f（7）＝ ．

14．（5分）如图所示，边长为1的正三角形ABC中，点M，N分别在线段AB，AC上，将△AMN沿线段MN进行翻折，得到右图所示的图形，翻折后的点A在线段BC上，则线段AM的最小值为

15．（5分）已知F1，F2是椭圆C：

𝑥2𝑎2+

𝑦2𝑏2=1(𝑎＞𝑏＞0)的左、右焦点，过左焦点F1的

直线与椭圆C交于A，B两点，且|AF1|＝3|BF1|，|AB|＝|BF2|，则椭圆C的离心率为 ． 16．（5分）设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝﹣1，an+1＝SnSn+1，则Sn＝ ；数列{an}的通项公式为 ． 四．解答题（共6小题，满分70分）

17．（10分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2√3𝑠𝑖𝑛22+𝑠𝑖𝑛𝐴−√3=0． （Ⅰ）求角A的大小；

（Ⅱ）已知△ABC外接圆半径𝑅=√3，𝐴𝐶=√3，求△ABC的周长．

18．（12分）已知等差数列{an}满足a1＝2，a6＝a4+4，公比为正数的等比数列{bn}满足𝑏2=1，𝑏3𝑏5=16

（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；

第3页（共19页）

𝐴

1

（2）设𝑐𝑛=

𝑎𝑛𝑏𝑛，求数列{cn}的前n项和Tn 219．（12分）在△ABC中（图1），AB＝5，AC＝7，D为线段AC上的点，且BD＝CD＝4，以BD为折线，把△BDC翻折，得到如图2所示的图形，M为BC的中点，且AM⊥BC，连接AC．

（1）求证：AB⊥CD；

（2）求二面角B﹣AC﹣D的余弦值．

20．（12分）水污染现状与工业废水排放密切相关，某工厂深人贯彻科学发展观，努力提高污水收集处理水平，其污水处理程序如下：原始污水必先经过A系统处理，处理后的污水（A级水）达到环保标准（简称达标）的概率为p（0＜p＜1）．经化验检测，若确认达标便可直接排放；若不达标则必须进行B系统处理后直接排放．

某厂现有4个标准水量的A级水池，分别取样、检测，多个污水样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验，混合样本中只要有样本不达标，则混合样本的化验结果必不达标，若混合样本不达标，则该组中各个样本必须再逐个化验；若混合样本达标，则原水池的污水直接排放． 现有以下四种方案： 方案一：逐个化验； 方案二：平均分成两组化验；

方案三；三个样本混在一起化验，剩下的一个单独化验； 方案四：四个样本混在一起化验． 化验次数的期望值越小，则方案越“优“．

（1）若𝑝=3，求2个A级水样本混合化验结果不达标的概率；

（2）①若𝑝=3，现有4个A级水样本需要化验，请问：方案一、二、四中哪个最“优“？

②若“方案三”比“方案四“更“优”，求p的取值范围．

第4页（共19页）

2√22√2

21．（12分）已知椭圆C：

𝑥2𝑎2+

𝑦2𝑏2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2且离心率为

√2，Q、A、B为椭圆C上三个点，△QF1F2的周长为4（√2+1），线段AB的垂直平分2

线经过点P（﹣1，0）． （1）求椭圆C的方程； （2）求线段AB长度的最大值．

22．（12分）已知函数f（x）＝xlnx+x3+ax2﹣x+1．

（1）若函数f（x）的导函数g（x）在定义域内单调递增，求实数a的取值范围． （2）当a=−8时，函数h（x）＝f（x）−6x3在定义域内的两极值点为x1，x2，且x1＜x2，试比较x1•x22与e3大小，并说明理由．

1

1

1

6第5页（共19页）

2021年新高考数学模拟试卷（16）

参考答案与试题解析

一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）

1．（5分）若集合A＝{x|2a+1≤x≤3a﹣5}，B＝{x|5≤x≤16}，则能使A⊆B成立的所有a组成的集合为（ ） A．{a|2≤a≤7}

B．{a|6≤a≤7}

C．{a|a≤7}

D．∅

【解答】解：若A＝∅，即2a+1＞3a﹣5，解得a＜6时，满足A⊆B． 若A≠∅，即a≥6时，要使A⊆B成立，

2𝑎+1≥5则{，即 解得解得2≤a≤7，此时6≤a≤7． 3𝑎−5≤16综上a≤7． 故选：C．

2．（5分）已知复数z在复平面内对应的点的坐标为（﹣1，2），则A．−+𝑖

3

232𝑧1+𝑖

=（ ）

12

32

B．−+𝑖

3212C．−+𝑖

1232D．+𝑖

【解答】解：由题意，z＝﹣1+2i， 则

𝑧1+𝑖

=

−1+2𝑖1+𝑖

=

(−1+2𝑖)(1−𝑖)(1+𝑖)(1−𝑖)

=

12

+

32

𝑖．

故选：D．

3．（5分）函数𝑦=𝑐𝑜𝑠2𝑥+√3𝑠𝑖𝑛2𝑥(𝑥∈[0，2])的单调递增区间是（ ） A．[0，]

𝜋

6𝜋

B．[0，]

𝜋3C．[，]

𝜋

𝜋6𝜋2D．[，]

𝜋3𝜋2【解答】解：因为𝑦=𝑐𝑜𝑠2𝑥+√3𝑠𝑖𝑛2𝑥=𝑠𝑖𝑛(2𝑥+6)， 由2𝑘𝜋−2≤2𝑥+6≤2𝑘𝜋+2，解得𝑘𝜋−3≤𝑥≤𝑘𝜋+6， 所以当k＝0时，增区间为[0，6]． 故选：A．

4．（5分）《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共4升，下面3节的容积共6升，则第5节的容积是（ ）

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𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋

𝜋

A．

2

11

B．

8

11

C．

1611

D．

1811

【解答】解：根据题意，可将9节的竹子构成的等差数列设为数列{an}，设公差为d．则有

𝑎+𝑎2+𝑎3+𝑎4=4{1， 𝑎7+𝑎8+𝑎9=62𝑎+3𝑑=2即{1， 𝑎1+7𝑑=2𝑎1=

11， 解得{2𝑑=

118

∴a5＝a1+4d=11+4×11=11． 故选：C．

5．（5分）设向量𝑂𝐴，𝑂𝐵不共线（O为坐标原点），若𝑂𝐶=𝜆𝑂𝐴+𝜇𝑂𝐵，且0≤λ≤μ≤1，则C点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是（ ）

→

→

→

→

→

8216

A． B．

C．

→

→

D．

→

→

【解答】解：当λ＝0时，𝑂𝐶=μ𝑂𝐵，故C点所有可能的位置区域应该包括边界𝑂𝐵或𝑂𝐵的一部分，故排除B、C、D， 故选：A．

6．（5分）若关于x的方程2sin（2x+）＝m在[0，]上有两个不等实根，则m的取值范围

2

𝜋

6𝜋

是（ ） A．（1，√3）

B．[0，2]

𝜋

C．[1，2） D．[1，√3]

【解答】解：方程2sin（2x+6）＝m可化为 sin（2x+6）=2，

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𝜋𝑚

当x∈[0，]时，2x+∈[，

2

6

𝜋

𝜋6𝜋7𝜋6

]，

𝜋𝜋

画出函数y＝f（x）＝sin（2x+6）在x∈[0，]上的图象如图所示；

2

根据方程2sin（2x+）＝m在[0，]上有两个不等实根，

2

𝜋6𝜋

得≤

2

1𝑚2

＜1

1≤m＜2

∴m的取值范围是[1，2）． 故选：C．

7．（5分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥上平面ABC，记△ABC和四边形ACC1A1的外接圆圆心分别为O1，O2，若AC＝2，且三棱柱外接球体积为（ ） A．

38

32𝜋3

，则O1A2+O2A2的值为

B．3 C．

113

D．5

【解答】解：三棱柱ABC﹣A1B1C1中，设外接球的半径为r，

4𝜋𝑟332𝜋则：V==，解得r＝2．

33设AC的中点为M，三棱柱ABC﹣A1B1C1中的外接球的球心为O， 由OO1⊥平面ABC与O2M⊥平面ABC，得到：四边形OO1MO2为矩形． 所以：𝑂1𝑀2+𝑂2𝑀2=𝑂𝑀2=AO2﹣AM2＝22﹣1＝3， 所以：O1A2+O2A2=𝑂1𝑀2+𝐴𝑀2+𝑂2𝑀2+𝐴𝑀2=5． 故选：D． 8．（5分）过双曲线

𝑥2𝑎2

−

𝑦2𝑏2

=1（a＞b＞0）右焦点F的直线交两渐近线于A，B两点，∠

𝑎3

OAB＝90°，O为坐标原点，且△OAB内切圆半径为，则双曲线的离心率为（ ）

第8页（共19页）

A．2 B．√5 C．

√5 2

D．√6

【解答】解：∵a＞b＞0，

∴双曲线的渐近线方程，如图所示，

设内切圆圆心为M，则在∠AOB平分线Ox上， 过点M分别作MN⊥ON于点N，MT⊥AB于T， 由FA⊥OA得四边形MTAN为正方形， 由焦点到渐近线的距离为d得FA＝b， 又OF＝c，

∴OA＝a，|NA|＝|MN|=a， ∴|NO|=3a， ∴=tan∠AOF=

𝑎

2

132

𝑏

|𝑀𝑁|1

=， |𝑁𝑂|2√5𝑏

∴e=√1+2=，

𝑎2故选：C．

二．选择题（共4小题，满分20分，每小题5分）

9．（5分）2017年12月15日，成都七中举行了第39届教育研讨会．在听课环节中，设第一节课进入学报二厅听课的人数为a，第二节课进入学报二厅听课的人数比第一节增加了10%，而第三节课进入学报二厅听课的人数又比第二节减少了10%，设第三节课进入学报二厅听课的人数为b，则（ ） A．a＝b C．a＞b

B．a＜b

D．a，b无法比较大小

【解答】解：因为第一节进入学报二厅听课的人数为a，第二节比第一节增加了10%，

第9页（共19页）

则第二节进入学报二厅听课的人数为a+0.1a＝1.1a， 而第三节又比第二节减少了10%，

所以第三节进入学报二厅听课的人数为1.1a﹣1.1a×0.1＝0.99a． 所以b＝0.99a． 则a＞b． 故选：C．

10．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，角α以射线Ox为始边，终边与单位圆O交于点P．过点P的圆O的切线交x轴于点T，将点T的横坐标关于角α的函数记为（fα），则下列关于函数f（α）的说法错误的是（ ）

A．f（α）的定义域是{α|α≠2kπ+，k∈Z}

B．f（α） 的图象的对称中心是（kπ+，0），k∈Z C．f（α） 的单调递增区间是[2kπ，2kπ+π]，k∈Z D．f（α）对定义域内的α均满足f（π+α）＝f（α） 【解答】解：由三角函数的定义可知：P（cosα，sinα）， 则以点P为切点的圆的切线方程为：xcosα+ysinα＝1， 由已知有cosα≠0， 令y＝0，得：x=即函数f（α）=

1

， 𝑐𝑜𝑠𝛼𝜋2𝜋21

， 𝑐𝑜𝑠𝛼𝜋2

由cosα≠0，得：α≠2kπ±，即函数f（α）的定义域为： {α|α≠2kπ±，k∈z}，故A错误，

2𝜋

由复合函数的单调性可知：函数f（α）的增区间为： [2kπ，2k𝜋+2），（2k𝜋+2，2kπ+π]，k∈Z，故C错误， 由函数的周期得：f（α）的周期为2π，故D错误，

第10页（共19页）

𝜋𝜋

函数f（α）的对称中心为（k𝜋+，0），k∈Z，故B正确． 故选：ACD．

11．（5分）若l、m、n是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列命题中为假命题的是（ ）

A．若α∥β，l⊂α，n⊂β，则l∥n C．若l⊥n，m⊥n，则l∥m

B．若α⊥β，l⊂α，则l⊥β D．若l⊥α，l∥β，则α⊥β

𝜋

2【解答】解：选项A中，l除平行n外，还有异面的位置关系，则A不正确． 选项B中，l与β的位置关系有相交、平行、在β内三种，则B不正确． 选项C中，l与m的位置关系还有相交和异面，故C不正确．

选项D中，由l∥β，设经过l的平面与β相交，交线为c，则l∥c，又l⊥α，故c⊥α，又c⊂β，所以α⊥β，正确． 故选：ABC．

12．（5分）定义在R上函数f（x）对任意两个不相等的实数x1，x2都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1），则称函数f（x）为“Z函数”，以下函数中“Z函数”的是（ ） A．y＝﹣x2+1 B．y＝3x﹣2sinx﹣2cosx C．y={

𝑙𝑛|𝑥|，𝑥≠0

0，𝑥=0

𝑥2+4𝑥，𝑥≥0

D．y={

−𝑥2+𝑥，𝑥＜0

【解答】解：∵x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）， ∴x1[f（x1）﹣f（x2）]+x2[f（x2）﹣f（x1）]＞0， ∴（x2﹣x1）[f（x2）﹣f（x1）]＞0，故Z函数单调递增， 显然，选项A、C不符合， ∴由多选特征知B、D正确， 故选：BD．

三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）

13．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，且满足f（x）＝f（x+2），当x∈[0，2]时，f（x）＝ex，则f（7）＝ e ．

第11页（共19页）

【解答】解：因为f（x）＝f（x+2），周期T＝2， 当x∈[0，2]时，f（x）＝ex， ∴f（7）＝f（1）＝e． 故答案为：e．

14．（5分）如图所示，边长为1的正三角形ABC中，点M，N分别在线段AB，AC上，将△AMN沿线段MN进行翻折，得到右图所示的图形，翻折后的点A在线段BC上，则线段AM的最小值为 2√3−3

【解答】解：设AM＝x，∠AMN＝α，则BM＝1﹣x，∠AMB＝180°﹣2α，∴∠BAM＝2α﹣60°，

在△ABM中，由正弦定理可得

𝑥√32𝐴𝑀

√3𝑠𝑖𝑛∠𝐴𝐵𝑀

2=

𝐵𝑀𝑠𝑖𝑛∠𝐵𝐴𝑀

，

即=

1−𝑥𝑠𝑖𝑛(2𝛼−60°)

，∴x=

√32+𝑠𝑖𝑛(2𝛼−60°)，

∴当2α﹣60°＝90°即α＝75°时，x故答案为：2√3−3．

15．（5分）已知F1，F2是椭圆C：

𝑥2𝑎2√32取得最小值3√+12

=2√3−3．

+

𝑦2𝑏2=1(𝑎＞𝑏＞0)的左、右焦点，过左焦点F1的

√10 ． 5直线与椭圆C交于A，B两点，且|AF1|＝3|BF1|，|AB|＝|BF2|，则椭圆C的离心率为 【解答】解：设|BF1|＝k，则|AF1|＝3k，|BF2|＝4k，由|BF1|+|BF2|＝|AF1|+|AF2|＝2a， 得2a＝5k，|AF2|＝2k，如图：在△ABF2中，𝑐𝑜𝑠∠𝐵𝐴𝐹2=，

(3𝑘)+(2𝑘)−(2𝑐)1又在△AF1F2中，𝑐𝑜𝑠∠𝐹1𝐴𝐹2==，得2𝑐=√10𝑘， 2×3𝑘×2𝑘42

2

2

1

4故离心率𝑒=𝑎=5， 故答案为：

√10． 5

𝑐√10第12页（共19页）

16．（5分）设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝﹣1，an+1＝SnSn+1，则Sn＝ − ；数列−1，𝑛=1{an}的通项公式为 an={1 ．

，𝑛≥2𝑛(𝑛−1)1𝑛【解答】解：因为Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝﹣1，an+1＝SnSn+1， ∴Sn+1﹣Sn＝SnSn+1⇒∴数列{∴

1𝑆𝑛

1𝑆𝑛

1𝑆𝑛+1

−

1𝑆𝑛

=−1；

}是首项为﹣1，公差为﹣1的等差数列；

=−1+（﹣1）×（n﹣1）＝﹣n；

1𝑛∴Sn=−；

∴n≥2时，an＝Sn﹣1Sn=

1

；

𝑛(𝑛−1)n＝1时a1＝﹣1，不适合上式； −1，𝑛=1

∴an={1；

，𝑛≥2𝑛(𝑛−1)−1，𝑛=11

故答案为：−𝑛，an={1．

，𝑛≥2

𝑛(𝑛−1)四．解答题（共6小题，满分70分）

17．（10分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2√3𝑠𝑖𝑛22+𝑠𝑖𝑛𝐴−√3=0． （Ⅰ）求角A的大小；

（Ⅱ）已知△ABC外接圆半径𝑅=√3，𝐴𝐶=√3，求△ABC的周长． 【解答】（本小题满分12分）

解：（I）∵2√3𝑠𝑖𝑛22+𝑠𝑖𝑛𝐴−√3=0，

第13页（共19页）

𝐴

𝐴

∴2√3×

1−𝑐𝑜𝑠𝐴

+𝑠𝑖𝑛𝐴−√3=0，…………（1分） 2即：𝑠𝑖𝑛𝐴−√3𝑐𝑜𝑠𝐴=0，…………（2分） ∴𝑡𝑎𝑛𝐴=√3，…………（4分） 又0＜A＜π，………（5分） ∴𝐴=3．…………（6分） （II）∵

𝑎𝑠𝑖𝑛𝐴𝜋

=2𝑅，…………（7分）

𝜋

∴𝑎=2𝑅𝑠𝑖𝑛𝐴=2√3𝑠𝑖𝑛3=3，…………（8分） ∵𝐴𝐶=√3，

∴由 a2＝b2+c2﹣2bccosA，…………（9分） ∴𝑐2−√3𝑐−6=0，…………（10分） ∵c＞0，所以得：𝑐=2√3⋯⋯⋯（11分） ∴周长a+b+c＝3+3√3． …………（12分）

18．（12分）已知等差数列{an}满足a1＝2，a6＝a4+4，公比为正数的等比数列{bn}满足𝑏2=1，𝑏3𝑏5=

1

16（1）求数列{an}，{bn}的通项公式； （2）设𝑐𝑛=

𝑎𝑛𝑏𝑛，求数列{cn}的前n项和Tn 2【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，∵a1＝2，a6＝a4+4， ∴2d＝4，解得d＝2． ∴an＝2+2（n﹣1）＝2n．

公比q为正数的等比数列{bn}满足𝑏2=1，𝑏3𝑏5=16．

2∴𝑏2×𝑞4=16，可得q=2．

1

11

∴bn=𝑏2𝑞𝑛−2=1×(2)𝑛−2=(2)𝑛−2．

1

𝑎𝑛𝑏𝑛2𝑛×(2)（2）𝑐𝑛=2=

2𝑛−2

11

=

2

𝑛−2，

𝑛

∴数列{cn}的前n项和Tn＝2+2+2+

12

3

4𝑛+⋯⋯+2𝑛−2， 22

Tn＝1+1+

3𝑛−1𝑛

+⋯⋯++2𝑛−2𝑛−1， 222

第14页（共19页）

2(1−𝑛)111𝑛𝑛2∴Tn＝2+1+2+2+⋯⋯+𝑛−2−𝑛−1=−𝑛−1， 121−22221

21

∴Tn＝8−

2+𝑛

𝑛−2． 2

19．（12分）在△ABC中（图1），AB＝5，AC＝7，D为线段AC上的点，且BD＝CD＝4，以BD为折线，把△BDC翻折，得到如图2所示的图形，M为BC的中点，且AM⊥BC，连接AC．

（1）求证：AB⊥CD；

（2）求二面角B﹣AC﹣D的余弦值．

【解答】解：（1）证明：在图1中有：AC+7，BD＝CD＝4，∴AD＝3， 在△ABD中，AB＝5，AD＝3，BD＝4，∴AD2+BD2＝AB2，∴BD⊥CD， 在图2中，△ABC中，AM⊥BC，M为BC的中点， ∴AB＝AC＝5，在△ABD中，AC＝5，CD＝4，AD＝3， ∴AC2＝CD2+AD2，∴CD⊥AD， 翻折后仍有BD⊥CD，

∵AD∩BD＝D，∴CD⊥平面ABD， ∵AB⊂平面ABD，∴CD⊥AB．

（2）解：由（1）得CD，BD，AD两两垂直，

以D为原点，DB，DA，DC所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则A（0，3，0），B（4，0，0），C（0，0，4）， 𝐴𝐵=（4，﹣3，0），𝐴𝐶=（0，﹣3，4）， 设平面ABC的法向量𝑚=（x，y，z），

则{→→，取y＝4，得𝑚=（3，4，3），

𝑚⋅𝐴𝐶=−3𝑦+4𝑧=0平面ACD的法向量𝑛=（1，0，0），

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→→

→

→

𝑚⋅𝐴𝐵=4𝑥−3𝑦=0

→

→

→

𝑚⋅𝑛3√34∴cos＜𝑚，𝑛＞=→→=34．

|𝑚|⋅|𝑛|

→

→

→→

∴二面角B﹣AC﹣D的余弦值为

3√3434

．

20．（12分）水污染现状与工业废水排放密切相关，某工厂深人贯彻科学发展观，努力提高污水收集处理水平，其污水处理程序如下：原始污水必先经过A系统处理，处理后的污水（A级水）达到环保标准（简称达标）的概率为p（0＜p＜1）．经化验检测，若确认达标便可直接排放；若不达标则必须进行B系统处理后直接排放．

某厂现有4个标准水量的A级水池，分别取样、检测，多个污水样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验，混合样本中只要有样本不达标，则混合样本的化验结果必不达标，若混合样本不达标，则该组中各个样本必须再逐个化验；若混合样本达标，则原水池的污水直接排放． 现有以下四种方案： 方案一：逐个化验； 方案二：平均分成两组化验；

方案三；三个样本混在一起化验，剩下的一个单独化验； 方案四：四个样本混在一起化验． 化验次数的期望值越小，则方案越“优“． （1）若𝑝=

2√2，求2个A级水样本混合化验结果不达标的概率； 32√2（2）①若𝑝=3，现有4个A级水样本需要化验，请问：方案一、二、四中哪个最“优“？

②若“方案三”比“方案四“更“优”，求p的取值范围． 【解答】解：（ 1）该混合样本达标的概率是(3)2=9，

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2√28

所以根据对立事件原理，不达标的概率为1−

81=． 99（ 2）①方案一：逐个检测，检测次数为4．

方案二：由①知，每组两个样本检测时，若达标则检测次数为1，概率为；若不达标则

98

检测次数为3，概率为．故方案二的检测次数记为ξ2，ξ2的可能取值为2，4，6．

9

1

其分布列如下， ξ2 p

2

6481

4

1681

6

1

81

可求得方案二的期望为𝐸(𝜉2)=2×

6416119822+4×+6×== 818181819方案四：混在一起检测，记检测次数为ξ4，ξ4可取1，5． 其分布列如下， ξ4 p

1

6481

5

1781

64

17

149

可求得方案四的期望为𝐸(𝜉4)=1×81+5×81=81． 比较可得E（ξ4）＜E（ξ2）＜4，故选择方案四最“优”． ②方案三：设化验次数为η3，η3可取2，5． η3 p

2 p3

5 1﹣p3

𝐸(𝜂3)=2𝑝3+5(1−𝑝3)=5−3𝑝3； 方案四：设化验次数为η4，η4可取1，5 η4 p

1 p4

5 1﹣p4

𝐸(𝜂4)=𝑝4+5(1−𝑝4)=5−4𝑝4；

由题意得𝐸(𝜂3)＜𝐸(𝜂4)⇔5−3𝑝3＜5−4𝑝4⇔𝑝＜4． 故当0＜𝑝＜4时，方案三比方案四更“优”． 21．（12分）已知椭圆C：

𝑥2𝑎23

3

+

𝑦2𝑏2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2且离心率为

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√2，Q、A、B为椭圆C上三个点，△QF1F2的周长为4（√2+1），线段AB的垂直平分2

线经过点P（﹣1，0）． （1）求椭圆C的方程； （2）求线段AB长度的最大值． 【解答】解：（1）由题意可得：=

𝑎𝑐

√2，2a+2c＝4（√2+1），b2＝a2﹣c2， 2

解得c＝2＝b，a＝2√2． ∴椭圆C的方程为

𝑥28

+

𝑦24

=1．

（2）AB⊥x轴时，满足题意，可得|AB|≤2b＝4．

由题意可得：AB的斜率不为0，设线段AB的中点为：（x0，y0）， 直线AB的方程为：y＝kx+t，A（x1，y1），B（x2，y2）． 𝑦=𝑘𝑥+𝑡联立{2，化为：（1+2k2）x2+4ktx+2t2﹣8＝0． 2

𝑥+2𝑦=8△＝16k2t2﹣4（1+2k2）（2t2﹣8）＞0．化为：4+8k2＞t2． x1+x2=

−4𝑘𝑡1+2𝑘

2=2x0，解得x0=

−2𝑘𝑡1+2𝑘

2．

y0＝kx0+t=

𝑡1+2𝑘

2．

2

𝑦01+2𝑘1k⋅=−1，化为：t=．代入△＞0，解得k4＞． 𝑥0+1𝑘4又x1•x2=

2𝑡2−81+2𝑘

2，

2

16𝑘𝑡2

|AB|=√(1

+𝑘2)[(𝑥1+𝑥2

2

)2−4𝑥1𝑥2]=√(1+

2

𝑘2)[

2

(1+2𝑘)

22−

4(2𝑡2−8)1+2𝑘

2]

=√(1+𝑘2)×

8(4+8𝑘−𝑡2)(1+2𝑘)

22=2√2√(1+𝑘)(2𝑘−1)𝑘(1+2𝑘)

22=2√2√1−

2𝑘+𝑘

412＜2√2＜4．

综上可得：|AB|的最长为4．

22．（12分）已知函数f（x）＝xlnx+6x3+ax2﹣x+1．

（1）若函数f（x）的导函数g（x）在定义域内单调递增，求实数a的取值范围． （2）当a=−8时，函数h（x）＝f（x）−6x3在定义域内的两极值点为x1，x2，且x1＜x2，试比较x1•x22与e3大小，并说明理由．

【解答】解：（1）g（x）＝lnx+2𝑥2+2ax，g′（x）=𝑥+𝑥+2𝑎，

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1

11

11

∵g（x）在定义域内单调递增，∴g′（x）≥0恒成立， 即+𝑥+2𝑎≥0在（0，+∞）恒成立，

𝑥1

当x＞0时，+𝑥≥2，∴2+2a≥0，

𝑥

1

解得a≥﹣1．

∴实数a的取值范围是[﹣1，+∞）．

（2）当a=−时，h（x）＝xlnx−𝑥2−x+1，h′（x）＝lnx−𝑥， 𝑙𝑛𝑥1−4𝑥1=0𝑙𝑛𝑥1−𝑙𝑛𝑥21则{，解得=，

1𝑥1−𝑥24𝑙𝑛𝑥2−4𝑥2=0

要比较𝑥1𝑥12和𝑒3的大小，只需比较lnx1+2lnx2和3的大小， ∴lnx1+2lnx2=4(𝑥1+2𝑥2)=设μ（x）=μ（x）=∵

𝑥+2

1

(𝑥1+2𝑥2)(𝑙𝑛𝑥1−𝑙𝑛𝑥2)

=𝑥1−𝑥2

(𝑥1+2)⋅𝑙𝑛𝑥12𝑥1𝑥2−1

2𝑥

𝑥

1818141

，

𝑥1(𝑥+2)𝑙𝑛𝑥

−3，其中，x=，x∈（0，1）， 𝑥−1𝑥2

(𝑥+2)𝑙𝑛𝑥𝑥+23𝑥−3−3=（lnx−）， 𝑥−1𝑥−1𝑥+23𝑥−3

＜0，而由y＝lnx−𝑥+2，x∈（0，1），

𝑥−1

1

9(𝑥+2)

2得y′=𝑥−

=

(𝑥−1)(𝑥−4)𝑥(𝑥+2)

2≥0，x∈（0，1），

∴y＝lnx−𝑥+2，x∈（0，1）为增函数，最大值为0， ∴在（0，1）上，y＝lnx−∴μ（x）=∴

3𝑥−3

＜0， 𝑥+23𝑥−3

(𝑥+2)𝑙𝑛𝑥𝑥+23𝑥−3

−3=(𝑙𝑛𝑥−）＞0，

𝑥−1𝑥−1𝑥+2(𝑥+2)𝑙𝑛𝑥𝑥−1

＞3，

综上，𝑥1𝑥22＞𝑒3．

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