变限积分确定的函数的性质及其应用

摘 要

由变限定积分和变限反常积分定义的一类函数，有重要的理论价值和应用价值。本文给出了变限积分的定义及其性质，主要讨论变限积分的求导问题以及奇偶性周期性等方面问题，较系统地讨论了这类函数的性质,得到若干结果，并简要介绍了它们的几点应用。

关键词：变限积分；函数；可积；连续；收敛。

ABSTRACT

Limited by the variable and variable limit integral improper integral defined a class of functions, there are important theoretical and practical value. In this paper, changing the definition and nature of limit points, discuss the derivation of integral limits change issues and other aspects of the periodic parity, more systematic discussion of the nature of such functions, by a number of results, and a brief introduction Some of their applications.

Key word: variable limit integral, function, integral, continuity, convergence.

2

目 录

一·变限积分的概念及其性质………………………………………（5） 1.1变限积分的概念…………………………………………………（5） 1. 2变限积分的性质 ………………………………………………（5） 二·变限积分函数的应用 …………………………………………（9） 2.1问题的提出………………………………………………………（9） 2.2 变限积分函数的应用…………………………………………（11） 2.2．1利用变限积分求原函数……………………………………（11） 2.2．2 化积分问题为微分学问题 ………………………………（11） 2.2.3 求定积分……………………………………………………（12） 2.2.4变限积分的积分变量替换 …………………………………（14） 三．结论………………………………………………………………（16）

3

一、 变限积分的概念及其性质 1.1变限积分的概念

定义1：如果函数f(x)在区间a,b可积，则称 (x)f(t)dt，xa,b叫变

ax动上限积分。

(x)f(t)dt，xa,b叫变动下限积分。

xb定义2：（推广定义）：如果函数f(x)在区间a,b可积，x0为a,b内任一点，则称(x)f(t)dt，xa,b叫变动上限积分。

x0x(x)f(t)dt，xa,b叫变动下限积分。

xx0变限积分是一种特殊的定积分，它具有很多特殊的性质，比如它的导数很特殊以及它的连续性、奇偶性、周期性等。特殊性决定了它的重要性，也是经常考察的一个知识点，现就它的几个性质加以举例说明。

1. 2变限积分的性质

定理1(连续性)：设函数f(x)在区间[a，b]上可积，则变动上限积分函数

(x)f(t)dt在[a，b]上连续，其中x0为[a，b]内任一点。

x0x证：对a,b上任一确定的点x，只要xxa,b，按定义有

xxaf(t)dtf(t)dtaxxxxf(t)dt

因f在a,b上有界，可设f(t)M,ta,b。于是，当x0时有

xxxf(t)dtxxxf(t)dtMx；

当x0时，则有Mx，由此得到

lim0，

x0即证得在点x连续，由x的任意性，在[a，b]上处处连续。

4

定理 2(导数定理)：如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，则变动上限积分

(xf(t)dt)在[a,b]具有导数，并且它的导数是'(x)axdxf(t)dtf(x) adx证明:对a,b上任一确定的x，当x0且xxa,b时，按定义和积分第一中值定理，有

1xxf(t)dt xxx =f(xx),01 由于f在点x连续，故有

'(x)limlimf(xx)f(x) xx0x0由x在a,b上的任意性，证得是f在a,b上的一个原函数。

定理 3 (导数推广)：如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，x0为[a，b]内任一点，

dxf(t)dtf(x)，x[a，b]。则变动上积限积分(x)（证明略） dxx0注：（1）区间a可为-，b可为+；

（2）此定理是变限积分的最重要的性质，掌握此定理需要注意两点：第一，下限为常数，上限为参变量x（不是含x的其他表达式）；第二，呗积函数f中只含积分变量t，不含参变量x。

下面看几个关于变积分导数应用的典型例题: 例1：设(u)etdt，求(x)。

conx12分析：(x)etdt和u=cosx复合而成，要使用复合函数求导法则

1xcosxdcosxcos2t2(cosx)sinxex 解：(x)(edt)edx12u2例2：设(x)x22x1t3dt，求(x)。

解：在1t3的连续区间内任选一点，比如取t=0，可得

dx2 1t3dt

dx2x

5

d0dx23 = 1tdt+ 1t3dt

dx2xdx0

=-218x32x1x6

dx例3：设f(x)可导，求tf(2xt)dt

dx0分析：这里被积函数f中除含积分变量t外，还含参变量x，不能直接使用变限积分的导数定理，通常要通过变量替换消去被积函数f中参数x，则令u=2x-t即可

解：令u=2x-t ，则

tf(2xt)dt(2xu)f(u)du

0xx2x =2x =2

2xxf(u)du-2xxdx(tf(2xt)dt) uf(u)dudx02xxf(u)du+2x[2f(2x)f(x)]-[2xf(2x)2xf(x)]

=2f(u)duxf(x)

x2x

xxt1例4：设x=0时F(x)f()dt-f()dt，其中函数f(x)在区间（0，+）

11xx上连续且单调增加，试证F(x)在（0，+）也单调增加。

分析：自然的想法是求F/(x),F(x)中的第一项变限积分的被积函数f除依赖于积分变量t外，还依赖于x，因此要通过变量替换消去被积函数f中参数x 证明：令u

1xt1,则F(x)1xf(u)duf()dt

1xtx 6

x1 =xf(t)dtf()

1t1x1由变限积分求导法得：

F(x)'1x111111f(t)dtxf()(2)f() =(1)f()xf(t)dt

1xxxxx1比较上式右端两项的大小，把第一项表成定积分得：

F(x)'1x1111f()dtxf(t)dt =xf()f(t)dt

11xx11111，1xxx111当x>1时，0<<1，0（x>0,x1）,F'(1)0xxx当0)单调增加。 因此，F(x)在(0，定理3（奇偶性）设F(x)=f(t)dt，其中函数f(x)在区间[a，b]上可积，x0为

x0x[a，b]内任一点。若函数f(x)为奇函数，则F(x)为偶函数。 证明：由变量替换有 xx

F(x)xx0f(t)dtxx0f(u)d(u)xx0f(u)du

=x0x0f(u)du+f(u)du=0+F(x)

x0x即F(x)为偶函数。

例7：如果函数f(x)在区间(,)内连续，且F(x)=(x2t)f(xt)dt，试证：

0x若函数f(x)为偶函数，则F(x)也为偶函数。 证明：

F(x)= (x2t)f(xt)dtxtu0x(2ux)f(u)du=0xx02uf(u)du-xx02uf(u)du

7

F(x)2uf(u)dux0xx0f(u)duusx02sf(s)xf(s)dsF(x).

0x所以F(x)也是偶函数。

定理4（周期性）设f(x)是以Ｔ为周期的可积函数。

1试证：(x)f(t)Idt亦是以Ｔ为周期的函数。式中I0TxT0f(t)dt

证明：(xT)xT0xf(t)Idt

xxTx ＝f(t)Idt0f(t)Idt

＝(x)xTxTf(t)dtIT

1T ＝(x)f(t)dtT0T0f(t)dt

＝(x)

例8：设f(x)是在(,)内以T为周期性的连续函数，则下列函数中也是以T为周期性的是

（A）f(t)dt (B) f(t)dt

0xx0

（C）f(t)dt+ f(t)dt (D) f(t)dt+f(t)dt

0xx0x00x分析：利用周期函数的积分性质解题，一般有以后结论：以T为周期的连续函数f(x)的原函数以T为周期f(x)dx0

0T解：由周期性函数的积分性质得



xT0f(t)dtx0f(t)dt+ x0xT0f(t)dt

=f(t)dt+f(t)dt

0T

0xTf(t)dt0xf(t)dt+xxTf(t)dt

8

=f(t)dt+f(t)dt

x0T0因为f(t)dt不一定为零，所以，f(t)dt与f(t)dt不一定以T为周期，

00xTx0而xT0f(t)dtx00xTf(t)dt=f(t)dtf(t)dt

0x0xx0所以f(t)dtf(t)dt以T为周期而

xT0f(t)dtx00xT0f(t)dt=f(t)dtf(t)dt2f(t)

0x0x0T所以f(t)dtf(t)dt不一定以T为周期，故选（C）

x二、 变限积分函数的应用

2.1问题的提出

纵观微积分教材，一元函数微积分部分主要涉及六个概念，即极限、连续、导数、微分、不定积分、定积分以及三个定理即微分中值定理、积分中值定理、微积分基本定理（牛莱公式），极限是研究这些概念和定理得的工具，也是联系他们的一条无形的链，在说明不定积分与其他概念的联系时，牛莱公式起到了重要作用，牛莱公式是微积分的核心。

在微积分教材中，牛莱公式的证明首先是假定f(x)在a,b上可积，则任取作函数(x)f(t)dt，称它为变上限函数，再假定f(x)a,b上连续，xa,b，

ax则变限函数(x)f(t)dt在a,b上连续、可导且'(x)f(x)，即变限函数

ax再设F(x)也是f(x) 在a,b上的任意一个(x)是f(x)在a,b上的一个原函数。

原函数，由于f(x)的任意两个原函数之间相差一个常数，并且(a)0

(b)f(t)这就得到了牛莱公式f(x)dxF(b)F(b)。

aabb 在前面提到的六个概念中,除了不定积分,其它五个概念都是某种形式的极限,所以他们由极限联系了起来.由于引入变限函数,得出了牛莱公式,这样就将

b定积分

bf(x)dx的计算转化为求

af(x)的原函数F(x)在a,b区间上的增量

F(x)a，求原函数的过程也就是求不定积分的过程；反之，不定积分f(x)dx可

9

以表示为变限函数f(t)dtC，由于(x)f(t)dt是f(x)在a,b上的一个原函

aabx数，定积分与不定积分由原函数彼此联系了起来。这样，微积分的6个重要概念也就相互联系了起来。

在微积分教材中，微积分微分中值定理为：设F(x)在a,b连续，在a,b上可导，则a,b，使

F'baF(b)F(a) （1） 积分中值定理为：设f(x)在a,b连续，则a,b，使

b f(x)dxf()(ba) （2）

a由于引入了变限函数，证明牛莱公式，即

b f(x)dxF(b)F(a) （3）

a这里F(x)是f（x）在a,b上的任意一个原函数，（即F'(x)f(x)），那么(1)、（2）、（3）联在一起可以写作：

bf()(ba)f(x)dxF(b)F(a)F'()(ba)f()(ba)

a上式也说明，这三个重要定理从不同的角度反映了微积分的基本规律，也说明它们有必然联系。

2.2 变限积分函数的应用

由于变限函数在微积分中的作用重要，它也成为微积分中的一个重要考点。以下举例说明有关变限函数的考题类型：

2.2.1 利用变限积分求原函数

变限积分的导数求法已有专题论及，我们不再提及，变限积分是为引入原函数而提出的，求原函数应是其最基本的应用。

x2,0x1例1 设函数f(x)试求f(x)在[0,2]上的一个原函数。

2x,1x2 10

分析：易知f(x)在[0,2]上连续，所以对任意的x0,2，变上限定积分

xx0由于f(x)在x1处分段，因此可取f(t)dt就是f(x)在[0,2]上的一个原函数。

x01

解：令F(x)f(t)dt，它就是f(x)在[0,2]上的一个原函数，利用牛顿—

1x莱布尼兹公式，得

x2x31tdt,0x1133  2x(2t)dtx2x3,1x2221x,0x1例2 设f(x)2，求f(x)在[0,2]上的表达式。

x,1x2解：因为f(x)在[0,2]上连续的，所以f(x)的原函数存在。即

x F(x)0xtdt,0x10f(t)dt1 xtdtt2dt,1x21012x,0x12 =

11x3,1x2632.2．2 化积分问题为微分学问题

例3.设f(x)在[0,1]可导，f(0)0，0f'(x)1 试证： (f(x)dx)2f3(x)dx

0011证明：引入变限积分函数F(x)(f(t)dt)f3(t)dt易知

00x2f(t)dtf2(x) F(0)0,F'(x)f(x)0x2x 因f(t)0,f'(x)0得f(x)0令 G(x)2f(t)dtf2(x)易知

0xG(0)0,G'(x)2f(x)[1f'(x)]0，则G(x)0,x[0,1],故F'(x)0，再由

F(0)0，即得F(x)0,x[0,1]，故原不等式成立。

11

例4.设f(x),g(x)在a,b上连续，证明：至少存在一个a,b，使得 f()g(x)dxg()f(x)dx

ab分析：若令F(x)f(x)g(t)dtg(x)f(t)dt，再往下做就困难了，若令

xabxF'(x)f(x)g(t)dtg(xf(t)dt)，F(x)f(t)dtg(t)dt，不难验证该函数

xaaxbxxb在a,b上满足罗尔定理条件。

例5.设f(x)在a,b上有连续的导数，且f(a)0，试证： ba(ab)2f(x)dx22ba[f'(x)]2dx

x证明：f(x)f(x)f(a)f'(t)dt，于是由柯西不等式有

axxxb f(x)f(t)dt'dtf(t)'dt(xa)f'(t)dt

aaaa2222 故

babf(x)dx(xa)f(t)'dtdxaa2bb2a(xa)dxba2b12'f(t)dt(ba)f(x)dx

a2'22.2.3 求定积分

sintdt，求f(x)dx 例6.设f(x)0t0sintdt，所以 解：因f()0tx f(x)dx00xsintxsintdtdxxf(x)xd(dt) 0t00txxsinxdx=f()sinxdx

0x0xxsinxdx=f()sinxdxf() =f()00x =f() =cosx0=2

例7.设连续函数f(x)满足f(1)2，且tf(2xt)dtx21，求f(x)dx

0x21解：令u2xt，则t2xu，dtdu，当t0与x时，u2x与x

12

所以(2xu)f(u)dux212xuf(u)uf(u)dux21两边对x求导

xxx2x2x2x得

22xxf(u)du2x2f(2x)f(x)22xf(2x)xf(x)2x2xxf(u)duxxf(x)2

令x1,得212f(1)1f(u)du112，故f(x)dx2

122例8.设f(x)在a,b上连续且f(x)0，证明：a,b 使

af(x)dxf(x)dxb1bf(x)dx 2a分析：此题利用了积分变限函数来构造辅助函数的方法

证明：令F(x)f(t)dt，则F(x)在a,b上连续，在a,b内可导，由F(x)ax的单调递增性，设mF(a),MF(b)则m0,Mf(x)dx

ab1b所以0=mf(x)dxf(x)dxM

a2ab由介值定理得a,b，使F()而f(x)dxf(x)dxf(x)dxaaaba1bf(x)dxf(x)dx，

2a1bf(x)dx，因此结论成立。 a2x4n1例9.求的和函数.

n14n1x4n1x4'4n解：令s(x)，s(x)x 41xn14n1n1则

s(x)xx0x4s(x)dxs(0)dx01x4'x1ln(1x)ln(1x)1arctanx,x(1,1) 422.2.4变限积分的积分变量替换

处理这类问题的关键是：变限积分作积分变量替换同常义定积分一样，必须对变限积分的上下限作相应地替换，即仍然遵循常义定积分的“不换元不变限，换元就 变限”的原则，仍应注意换元函数t(u)

13

应具备可导性与单调性的条件。归纳如即：

设函数f(t)在区间a,x(xa)上连续，令t(u)，如果：

（1）(u)在,y上有连续的导数'(u);（2）当u从变到y时，(u)从

()a单调地变到(y)x;则有：f(t)dtf(u)•'(u)du

aaxy显然，变限积分的积分变量已由t变为u，变限变量由x变为y。

例10.设f(x)为连续函数，Itf(tx)dx (t>0,s>0),求证：I是S而不是t的函数，并求Is'

证：令u=tx，则xst0st0us当x=0与时，u0与s tts0 If(ts)(ts)f(u)du

故：I是s而不是t的变限积分函数，且I'f(s)

例11.设f(x)连续，If(tx)dx，求证：I与变量t、s有关，并求

tstI，tI。 s证：令utx，则xus，当xt与时，ut2与s tts11sI2f(u)•du2f(u)du

tttt故：I是与变量t、s有关。

I1t21解：f(u)du2ttstt1 =2tst2s1f(u)f(t2)•2t

tst2f(u)du2f(t2)

tI1s12f(u)duf(s)

tsttt例12.设f(x)为奇函数，在,内连续且单调递增，

F(x)(x3t)f(t)dt

0x 14

求证：(1)F(x)为奇函数；（2）F(x)在0,上单调递减。 证：（1）F(x)(x3t)f(t)dttu0xx00x(x3u)f(u)d(u)

0x =(x3u)f(u)du(x3t)f(t)dtF(x) 故F(X)为奇函数

（2）.F(x)xf(t)dt3tf(t)dt

00xx F'(x)f(t)dtxf(x)3xf(x)f(t)dt2xf(x)

00xx f(t)dtf(x)dtxf(x)

00xx =f(t)dtf(x)dtxf(x)f(t)f(s)dtxf(x)

000xxxf(x)在,内为增函数与奇函数

当0(f(x)f(x) f(0)f(0),2f(0)0 f(0)0)

f(t)f(x)0,xf(x)0 f(t)f(x)dt0,xf(x)0

0x于是：F'(x)f(t)f(x)dtxf(x)0，x0,

0x故：F(x)在0,上单调递减。

例13.设连续函数f(x)满足f(1)2，且tf(2xt)dtx1，求f(x)dx

0x221解：令u2xt，则t2xu，dtdu，当t=0与x时，u=2x

(2xu)f(u)dux21，(2xu)f(u)dux21

xx2x2x2xf(u)duuf(u)dux21

xx2x2x等式两边对x求导得：

2f(u)du2x2f(2x)f(x)2•2xf(2x)xf(x)2x

x2x整理得：2f(u)duxf(x)2x

x2x2xxf(u)dux211xf(x) 211f(1)1•22 2215

令x1得，f(u)du1

故：f(x)2

12例14.已知(x)tln(1x)dt，求'(x)。

03解：令uxt，则txu，dtdu，当x从0变化到3x，u从x变化到

2x，

故(x)'x3x(xu)ln(1u)dux'x3x3ln(1u)x3uln(1u)du所以

(x)=[xln(1u)du][uuln(1u)du]'

3 = =x3xln(1u)duxln(1x)2ln(12x)xln(1x)4xln(12x) ln(1u)du6xln(12x)

3 =(x1)ln(1x)(8x1)ln(12x)3x

三．结论：对数学思想的不断积累并逐渐内化为自己的观念是学习数学的

目标，变限积分是一类重要的积分，它最著名的应用是在牛顿－莱布尼兹公式的证明中。事实上，变限积分是产生新函数的重要工具，尤其是它能表示非初等函数，同时能将积分问题转化为微分学问题。变限积分不仅能拓展我们对函数概念的理解，而且在许多场合都有重要的应用。因此，有必要对其进行较广泛和深入的探讨，以便对其有一个较全面地认识和较深刻地掌握。

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[4]同济大学应用数学系：《高等数学》（上册），高等教育出版社，2006年。 [5]姜长友、张武军等：《高等数学同步辅导教程》，北京航空航天大学出版社，2006。

[6]华东师范大学数学系，数学分析（上册）[M].北京：高等教育出版社，1991.

[7]同济大学数学教研室。高等数学（第四版，上册）[M].北京：高等教育出版社，2001.

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