2014上海高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)数学归纳法(理)(含解析)

数学归纳法(理)

[知识能否忆起]

数学归纳法

一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；

(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．

只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．上述证明方法叫做数学归纳法．

1111

1．已知Sk＝＋＋＋…＋(k＝1,2,3，…)，则Sk＋1等于( )

2kk＋1k＋2k＋31

A．Sk＋

2(k＋1)11

B．Sk＋－ 2k＋1k＋111

C．Sk＋－

2k＋12k＋211

D．Sk＋＋

2k＋12k＋2

1111

2．(教材习题改编)已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－＋－＋…－＝

234n111

2n＋2＋n＋4＋…＋2n时，若已假设n＝k(k≥2且k为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证( )

A．n＝k＋1时等式成立 C．n＝2k＋2时等式成立

B．n＝k＋2时等式成立 D．n＝2(k＋2)时等式成立

11113．已知f(n)＝＋＋＋…＋2，则( )

nn＋1n＋2n11

A．f(n)有n项，当n＝2时，f(2)＝＋

23111

B．f(n)有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋

234

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11

C．f(n)有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝＋

23111

D．f(n)有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋

234

4．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n1＝2n2－1(n∈N*)的过程中，在验证n＝1时，左端计算所得的项为________．

111

5．用数学归纳法证明：“1＋＋＋…＋n1)”，由n＝k(k>1)不等式成立，推证n＝k＋1

232－1时，左边应增加的项的项数是________．

数学归纳法的应用

(1)数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方法，它们的表述严格而且规范，两个步骤缺一不可．第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，第二步中，归纳假设起着“已知条件”的作用，在n＝k＋1时一定要运用它，否则就不是数学归纳法．第二步的关键是“一凑假设，二凑结论”．

(2)在用数学归纳法证明问题的过程中，要注意从k到k＋1时命题中的项与项数的变化，防止对项数估算错误．

典题导入

111

[例1] 设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)．

23n

求证：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)．

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用数学归纳法证明恒等式 ＋

＋

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由题悟法

用数学归纳法证明等式的规则

(1)数学归纳法证明等式要充分利用定义，其中两个步骤缺一不可，缺第一步，则失去了递推基础，缺第二步，则失去了递推依据．

(2)证明等式时要注意等式两边的构成规律，两边各有多少项，并注意初始值n0是多少，同时第二步由n＝k到n＝k＋1时要充分利用假设，不利用n＝k时的假设去证明，就不是数学归纳法．

以题试法

1．用数学归纳法证明：对任意的n∈N*，

典题导入

[例2] 等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的n∈N*，点(n，Sn)均在函数y＝bx＋r(b＞0且b≠1，b，r均为常数)的图象上．

(1)求r的值；

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用数学归纳法证明不等式 111n＋＋…＋＝. 1×33×52n－12n＋12n＋1

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b1＋1b2＋1bn＋1

(2)当b＝2时，记bn＝2(log2an＋1)(n∈N*)，证明：对任意的n∈N*，不等式··…·＞

b1b2bnn＋1成立．

由题悟法

应用数学归纳法证明不等式应注意的问题

(1)当遇到与正整数n有关的不等式证明时，若用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法． (2)用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k成立，推证n＝k＋1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、求差(求商)比较法、放缩法等证明．

以题试法

1111

2．用数学归纳法证明：1＋2＋2＋…＋2＜2－(n∈N*，n≥2)．

23nn

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典题导入

[例3] 如图，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，…，Pn(xn，yn)(0＜y1＜y2＜…＜yn)是曲线C：y2＝3x(y≥0)上的n个点，点Ai(ai,0)(i＝1,2,3，…，n)在x轴的正半轴上，且△Ai－1AiPi是正三角形(A0是坐标原点)．

(1)写出a1、a2、a3；

(2)求出点An(an,0)(n∈N*)的横坐标an关于n的表达式并证明．

归纳—猜想—证明

由题悟法

“归纳——猜想——证明”的模式，是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式．其一般思路是：通过观察有限个特例，猜想出一般性的结论，然后用数学归纳法证明．这种方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题中有着广泛的应用．其关键是归纳、猜想出公式．

以题试法

3．数列{an}满足Sn＝2n－an(n∈N*)

(1)计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an； (2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．

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1．如果命题p(n)对n＝k(k∈N*)成立，则它对n＝k＋2也成立．若p(n)对n＝2也成立，则下列结论正确的是( )

A．p(n)对所有正整数n都成立 B．p(n)对所有正偶数n都成立 C．p(n)对所有正奇数n都成立 D．p(n)对所有自然数n都成立

111127

2．用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋n－1>(n∈N*)成立，其初始值最小应取( )

242

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A．7 C．9

B．8 D．10

－

3．用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n1＝2n－1(n∈N*)”的过程中，第二步n＝k时等式成立，则当n＝k＋1时，应得到( )

A．1＋2＋22＋…＋2k2＋2k1＝2k1－1 B．1＋2＋22＋…＋2k＋2k1＝2k－1＋2k1 C．1＋2＋22＋…＋2k1＋2k1＝2k1－1 D．1＋2＋22＋…＋2k1＋2k＝2k1－1

4．凸n多边形有f(n)条对角线，则凸(n＋1)边形的对角线的条数f(n＋1)为( ) A．f(n)＋n＋1 C．f(n)＋n－1

B．f(n)＋n D．f(n)＋n－2

－

＋

－

＋

＋

＋

＋

－

－

＋

1

5．在数列{an}中，a1＝，且Sn＝n(2n－1)an，通过求a2，a3，a4，猜想an的表达式为( )

31

A. n－1n＋11

C. 2n－12n＋1 .

6．下列代数式(其中k∈N*)能被9整除的是( ) A．6＋6·7k

＋

1

B. 2n2n＋11

D. 2n＋12n＋2

B．2＋7k1 D．3(2＋7k)

－

C．2(2＋7k1)

7．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，当第二步假设n＝2k－1(k∈N*)命题为真时，进而需证n＝________时，命题亦真．

8．用数学归纳法证明项为________．

9．设数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的自然数n都有：(Sn－1)2＝anSn，通过计算S1，S2，S3，猜想Sn ＝________.

10．用数学归纳法证明：12＋32＋52＋…＋(2n－1)2 1

＝n(4n2－1)． 3

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1＋2＋3＋…＋n2＝n4＋ n2

，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上的2

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11．已知点Pn(an，bn)满足an＋1＝an·bn＋1，bn＋1＝(1)求过点P1，P2的直线l的方程；

(2)试用数学归纳法证明：对于n∈N*，点Pn都在(1)中的直线l上．

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bn

(n∈N*)，且点P1的坐标为(1，－1)． 2

1－4an

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12．设数列{an}的前n项和为Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根为Sn－1，n＝1,2,3……. (1)求a1，a2；

(2)猜想数列{Sn}的通项公式，并给出严格的证明．

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1．利用数学归纳法证明“(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)，n∈N*”时，从“n＝k”变到“n＝k＋1”时，左边应增乘的因式是( )

A．2k＋1 2k＋1C. k＋1

B．2(2k＋1) 2k＋3D. k＋1

2．对大于或等于2的自然数 m的n 次方幂有如下分解方式：

22＝1＋3,32＝1＋3＋5,42＝1＋3＋5＋7；23＝3＋5,33＝7＋9＋11,43＝13＋15＋17＋19.

根据上述分解规律，若n2＝1＋3＋5＋…＋19, m3(m∈N*)的分解中最小的数是21，则m＋n的值为________．

111131

3．已知f(n)＝1＋3＋3＋3＋…＋3，g(n)＝－2，n∈N*.

234n22n(1)当n＝1,2,3时，试比较f(n)与g(n)的大小关系； (2)猜想f(n)与g(n)的大小关系，并给出证明．

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1．用数学归纳法证明an1＋(a＋1)2n1(n∈N*)能被a2＋a＋1整除．

2．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝can＋cn1(2n＋1)，n∈N*，其中c≠0.求数列{an}的通项公式．

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＋

＋

－

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不等式、推理与证明

一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分) x－2

1．不等式≤0的解集是( )

x＋1A．(－∞，－1)∪(－1,2] C．(－∞，－1)∪[2，＋∞)

B．(－1,2] D．[－1,2]

2．把下面在平面内成立的结论类比推广到空间，结论还正确的是( ) A．如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则也与另一条相交 B．如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则也与另一条垂直 C．如果两条直线没有公共点，则这两条直线平行

D．如果两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行 3．已知a＞b，则下列不等式成立的是( ) A．a2－b2≥0 C．ac2＞bc2

B．ac＞bc D．2a＞2b

a bx 1＜1的解集是( ) 4．若规定＝ad－bc，则不等式0＜c d1 xA．(－1,1)

B．(－1,0) ∪(0,1) D．(1，2)

C．(－2，－1) ∪(1，2)

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2x＋y－2≥0，

5．设变量x，y满足约束条件x－2y＋4≥0，

x－1≤0，A．－5 C．－2

B．－4 D．3

则目标函数z＝3x－2y的最小值为( )

a－1

6．设a∈R，则“2＜0”是“|a|＜1” 成立的( )

a－a＋1A．充分必要条件 C．必要不充分条件

B．充分不必要条件 D．既非充分也非必要条件

111

7．设M＝且a＋b＋c＝1(a，b，c均为正数)，由综合法得M的取值范围是( ) a－1b－1c－1，1

0， A.8C. [1,8]

1

B.8，1 D．[8，＋∞)

8．如果a，b，c满足c＜b＜a，且ac＜0，那么下列选项中不一定成立的是( ) A．ab＞ac C．cb2＜ab2

B．c(b－a)＞0 D．ac(a－c)＜0

x2，x≥0，

9．已知函数f(x)＝，则f(f(x))≥1的充要条件是( )

x2，x＜0，A．x∈(－∞，－2 ] B．x∈[42，＋∞)

C．x∈(－∞，－1]∪[42，＋∞) D．x∈(－∞，－2]∪[4，＋∞)

2x－y＋2≥0，

10．设实数x，y满足约束条件8x－y－4≤0，

x≥0，y≥0，13，则a＋b的最小值为( )

A．2

B．4

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若目标函数z＝abx＋y(a＞0，b＞0)的最大值为

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C．6 D．8

11．已知M是△ABC内的一点，且AB·AC＝23，∠BAC＝30°，若△MBC、△MCA和△MAB114

的面积分别是、x、y，则＋的最小值是( )

2xy

A．9 C．16

B．18 D．20

12．设a>b>1，c<0，给出下列三个结论： cc

①>；②acloga(b－c)． ab其中所有的正确结论的序号是( ) A．① C．②③

B．①② D．①②③

二、填空题(本题共4个小题，每小题5分，共20分)

p

13．(文)若不等式－4＜2x－3＜4与不等式x2＋px＋q＜0的解集相同，则＝________.

q13．(理)若f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，则f(k＋1)与f(k)的递推关系式是________．

14．如图，一个类似杨辉三角的递推式，则第n行的首尾两个数均为________，第n行的第2个数为________．

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