2015年河南省高一数学竞赛试题

2015年全国高中数学联赛河南省高一预赛试题

（5月10日8:30至11:00）

一．填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）

1．若集合

Aaa5x4,xN*

，

Bbb7y6,yN*

，将AB中的元素从小到大排列，则排在第20个的那个元素是 ．

2．已知实数x，y满足：

(x3)32015(x3)(2y3)32015(2y3)0

x，则

24y24xmin ．

3．设线段BC，AB，CDBC，且CD与平面成30角，且ABBCCD2cm，则线段AD的长度为 ．

4．若直线l与直线x3y100，2xy80分别交于点M，N，若MN的中点为P(0,1)，

则直线l的方程是 ．

22233xy(3k1)P(mm,nn)向该圆引两条切mnk5．设，，都是整数，过圆外一点

线，切点分别为A，B，则直线AB上满足横坐标与纵坐标均为整数的点有 个．

6．若函数

f(x)(1x2)(x2axb)

的图象关于直线x2对称，则ab ．

7．（请同学们任选一题作答，若两题都做，则按上面一题正误判分）

（必修3）执行如图所示的算法，则输出的结果是 ．

sinxπsinx2(0,)a()x在区间2上是减函数，若0x≤1，x，

（必修4）已知函数

f(x)sinx2sinxc2bx，则a，b，c的大小关系是 ． x，

b使得x2x1是ax28．如果实数a，

20151bx220151的因式，则a的个位数字为 ．

二（本题满足16分）

22x3y2的整数解． 求

三（本题满足20分）

如图所示，已知AB为圆O的直径，点C在圆O上且满足ACBC，在线段BC上取一点

D，使BDAC，在AD上取一点E使BED45，延长BE交CA于F，求证：CDAF．

四（本题满足20分）

对于任意的△ABC，若其三边长为a，b，c，则a，b，c依然可以构成某三角形的

xxx三边长，求实数x的取值范围．

五（本题满足20分）

已知全集U1,2,,n，集合A满足：(i)AU；(ii)若xA，则kxA；(iii)若xUA，

kxUA（其中k，nN，k≥2），用fk(n)表示满足条件的集合A的个数．

*（1）求f2(4)，f2(5)；

qN，0≤q≤k1）（2）记集合A中所有元素的和记为集合A的“和”，当npkq（p，

时，求所有集合A的“和”的和（结果用含p，q，k的代数式表示）．