分式易错点剖析

一、概念记不准

例1 下列哪些是分式? 哪些是整式?

x2113① ② 3 ③

a4x21错解：①，③是分式, ②是整式.①在代数式 中, 因为在分母中含有字母,

所以是分式; ②在代数式3中, 因为它是二项式,属于整式； 是分式. 错解分析：分式的定义就是形如, 其中A 和B 都为整式, 分母B 中要含有字

x2111母，①中的分母是常数, 而不是字母; ② 3中的是分式, 加3 后,

aa1a34AB仍然属于分式; ③把分式和分数混淆了. 正解：①,③是整式, ②是分式. 二、直接将分式约分 例2 x为何值时,分式错解:

x3有意义? 2x9x3x31.要使分式有意义,必须满足x+3≠0,即x≠-3. x29x3x3x3错解分析: 错误的原因是将x-3约去,相当于分子、分母同除以一个可能为零的代数式,无意中扩大了字母的取值范围,当x=3时,分式无意义的条件漏掉了.

正解:要使分式有意义,必须满足x2-9≠0,解得x≠±3.∴当x≠±3时, 分式

x3有意义. 2x9三、误以为分子为零时,分式的值就为零 例3 当x为何值时,分式

x22x4的值为零?

错解: 由题意,得|x|-2=0,解得x=±2. ∴当x=±2时, 分式零.

x22x4的值为

错解分析: 分式值为零的条件是分子为零而分母不为零.本题当x=-2时,分母2x+4=2×(-2)+4=0,分式无意义,应舍去.

正解: 由题意,得|x|-2=0,解得x=±2. 当x=2时,分母2x+4≠0; 当x=-2时, 分母2x+4=2×(-2)+4=0,分式无意义.∴当x=2时, 分式

四、分式通分与解方程去分母混淆

x2例4 化简-x-2.

x2x22x4的值为零.

错解:原式=x2- x(x-2) -2(x-2) =x2-x2+2x-2x +4=4.

错解分析: 上述错误在于进行了去分母的运算,当成了解方程,而本题是分式的加减运算,必须保持分式的值不变.

x2x2x2(x24)x2x2x24正解:-x-2= -(x+2)= -== .

x2x2x2x2x2x2五、颠倒运算顺序 例5 计算a÷b×. 错解: a÷b×= a÷1=a.

错解分析: 乘法和除法是同级运算,应按从左到右的顺序进行.错解颠倒了运算顺序,造成运算错误.

正解:a÷b×=×=六、化简不彻底 例6 计算

21. x242x41bab1ba. 2b1b1b错解:原式==

4x22x2x2=

14x2=

2x22x2x22x2x22x2x2x2.

2x2x2错解分析: 上面计算的结果,分子、分母还有公因式(x-2)可约分,应继续化简.

正解: 原式==

4x22x2x22x2x2=

14x2=

2x22x2x22x2x2x21=.

2x2x22x2七、忽视“分母等于零无意义”致错 1.错在只考虑了其中的一个分母 例7 x 为何值时, 分式

111x1有意义?

错解：当x+ 1 ≠ 0, 得x ≠ - 1. 所以当x ≠ - 1时, 原分式有意义. 错解分析：上述解法中只考虑了分式母11. x11≠ 0, 得x ≠ 0，因此， 当x ≠x11中的分母, 没有注意整个分式的大分x1正解：由x+ 1 ≠ 0, 得x ≠ - 1.由10 且x ≠ - 1 时, 原分式有意义.

2.错在没有把方程的两个解带到分母中去检验

x2xx212例8 先化简, 再求值: , 其中x 满足x 2 - 3x + 2= 0. x1x2x1x2xx21x(x1)(x1)(x1)2错解：= = x . x1x1x2x1(x1)2∵x 2- 3x+ 2= 0,∴( x- 2) ( x- 1) = 0. ∴x= 1 或x= 2， 原式=1或2. 错解分析：只要把本题中的x= 1 代入到 ( x - 1) 2 中可知, 分母等于0, 所

以原式无意义. 故原式只能等于2.

x2xx21x(x1)(x1)(x1)·2·x， 正解：2x1x2x1x1(x1)由x2-3x+2=0， 解得x1=2,x2=1，

当x=2时， x+1≠0，x2-2x+1≠0， 当x=1时，x2-2x+1=0， 故x只能取x=2， 则原式=x=2.

3. 错在没有考虑除式也不能为零 例9 先化简11x, 再选择一个恰当的x值代入并求值. 2x1x1错解：11xx11(x1)(x1)== x+ 1. 2x1x1x1x∵ x- 1 ≠0, x 2 - 1 ≠ 0, ∴x ≠± 1. 当取x= 0 时代入x+1,原式= 1.

错解分析：本题若取x= 0, 则除式x 颠倒到分母上时, 分式就变得无意义了, 显然是不正确的, 所以x≠- 1, 0, 1. 其他值代入均可求. 正解：11xx(x1)(x1)=·x1, 2x1x1x1x∵ x-1≠0, x 2-1 ≠0, ∴x ≠±1且x≠0,

x为除数不为0，即x≠0, x21当取x=2 时 原式=x+1=2+1=3. 4.错在“且”与“或”的混用

例10 x为何值时, 分式

1有意义?

(x2)(x3)错解：要使分式有意义, x 必须满足分母不等于零, 即( x- 2) ( x - 3) ≠0, 所以x ≠2 或x ≠3.

错解分析：“且”与“或”是两个完全不同的联结词,两件事情至少一件发生用“或”，两件事情同时发生用“且”.

正解：要使分式有意义, x 必须满足( x - 2) ( x- 3)≠0, 所以x ≠2 且x ≠3.

八、忽视分数线具有双重作用

x2x1 例11 化简： x1x2x1x2(x1)(x1)2x1错解： 原式= . x11x1x1错解分析：分数线具有除号和括号的双重作用, 在添分数线时, 如果分数线前面是- 号, 那么所添各项都要变号.

x2x1x2(x1)(x1)1正解：原式= . x11x1x1