建议A、B组各用时：45分钟]
A组 高考达标]
一、选择题
1．(2016·南昌一模)设α为平面，a，b为两条不同的直线，则下列叙述正确的是( )
A．若a∥α，b∥α，则a∥b B．若a⊥α，a∥b，则b⊥α C．若a⊥α，a⊥b，则b∥α D．若a∥α，a⊥b，则b⊥α
B A中，两直线可能平行、相交或异面，故A错；B中，由直线与平面垂直的判定定理可知B正确；C中，b可能平行α，也可能在α内，故C错；D中，b可能平行α，也可能在α内，还可能与α相交，故D错．综上所述，故选B.]
2．(2016·济南一模)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题：
①若m∥n，m⊥β，则n⊥β； ②若m∥α，m∥β，则α∥β； ③若m∥n，m∥β，则n∥β； ④若m⊥α，m⊥β，则α⊥β. 其中真命题的个数为( ) A．1 C．3
B．2 D．4
A 对于①，由直线与平面垂直的判定定理易知其正确；对于②，平面α与β可能平行或相交，故②错误；对于③，直线n可能平行于平面β，也可能在平面β内，故③错误；对于④，由两平面平行的判定定理易得平面α与β平行，故④错误．综上所述，正确命题的个数为1，故选A.]
图11-5
3．如图11-5所示，直线PA垂直于⊙O所在的平面，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，点M为线段PB的中点．现有结论：①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长．其中正确的是( )
A．①② C．①
B．①②③ D．②③
B 对于①，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.
∵AB为⊙O的直径，∴BC⊥AC.又∵PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC， 又PC⊂平面PAC，∴BC⊥PC. 对于②，∵点M为线段PB的中点，
∴OM∥PA.∵PA⊂平面PAC，OM⊄平面PAC， ∴OM∥平面PAC.
对于③，由①知BC⊥平面PAC，
∴线段BC的长即是点B到平面PAC的距离，故①②③都正确．] 4．已知α，β是两个不同的平面，有下列三个条件： ①存在一个平面γ，γ⊥α，γ∥β； ②存在一条直线a，a⊂α，a⊥β； ③存在两条垂直的直线a，b，a⊥β，b⊥α.
其中，所有能成为“α⊥β”的充要条件的序号是( ) A．① C．③
B．② D．①③
D 对于①，存在一个平面γ，γ⊥α，γ∥β，则α⊥β，反之也成立，即“存在一个平面γ，γ⊥α，γ∥β”是“α⊥β”的充要条件，所以①对，可排除B，C.
对于③，存在两条垂直的直线a，b，则直线a，b所成的角为90°，
因为a⊥β，b⊥α，所以α，β所成的角为90°， 即α⊥β，反之也成立，即“存在两条垂直的直线a，b，a⊥β，b⊥α”是“α⊥β”的充要条件，所以③对，可排除A，选D.]
图11-6
5．(2016·成都二模)在三棱锥P-ABC中，已知PA⊥底面ABC，AB⊥BC，E，F分别是线段PB，PC上的动点，则下列说法错误的是( )
A．当AE⊥PB时，△AEF一定为直角三角形 B．当AF⊥PC时，△AEF一定为直角三角形 C．当EF∥平面ABC时，△AEF一定为直角三角形 D．当PC⊥平面AEF时，△AEF一定为直角三角形
B 因为AP⊥平面ABC，所以AP⊥BC，又AB⊥BC，且PA和AB是平面PAB上两条相交直线，则BC⊥平面PAB，BC⊥AE.当AE⊥PB时，AE⊥平面PBC，则AE⊥EF，△AEF一定是直角三角形，A正确；当EF∥平面ABC时，EF在平面PBC上，平面PBC与平面ABC相交于BC，则EF∥BC，则EF⊥AE，△AEF一定是直角三角形，C正确；当PC⊥平面AEF时，AE⊥PC，又AE⊥BC，则AE⊥平面PBC，AE⊥EF，△AEF一定是直角三角形，D正确；B中结论无法证明，故选B.]
二、填空题
6．已知P为△ABC所在平面外一点，且PA，PB，PC两两垂直，则下列命题： ①PA⊥BC；②PB⊥AC；③PC⊥AB；④AB⊥BC. 其中正确命题的个数是________.
【导学号：85952041】
3 如图所示，∵PA⊥PC，PA⊥PB，PC∩PB＝P，
∴PA⊥平面PBC. 又∵BC⊂平面PBC， ∴PA⊥BC.
同理PB⊥AC，PC⊥AB，但AB不一定垂直于BC.]
7．在三棱锥C-ABD中(如图11-7)，△ABD与△CBD是全等的等腰直角三角形，O是斜边BD的中点，AB＝4，二面角A-BD-C的大小为60°，并给出下面结论：①
3
AC⊥BD；②AD⊥CO；③△AOC为正三角形；④cos ∠ADC＝2；⑤四面体ABCD的外接球表面积为32π.其中真命题是________(填序号)．
图11-7
①③⑤ 由题意知BD⊥CO，BD⊥AO，则BD⊥平面AOC，从而BD⊥AC，故①正确；根据二面角A-BD-C的大小为60°，可得∠AOC＝60°，又直线AD在平面AOC的射影为AO，从而AD与CO不垂直，故②错误；根据∠AOC＝60°，AO＝CO可得△AOC为正三角形，故③正确；在△ADC中 ，AD＝CD＝4，AC＝CO＝42＋42－2223
22，由余弦定理得cos ∠ADC＝＝4，故④错误；由题意知，四面2×4×4体ABCD的外接球的球心为O，半径为22，则外接球的表面积为S＝4π×(22)2＝32π，故⑤正确．]
8．正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段B1D1上的一个动点，则下列结论中正确的是________．(填序号)
①AC⊥BE； ②B1E∥平面ABCD；
③三棱锥E-ABC的体积为定值； ④直线B1E⊥直线BC1.
①②③ 因为AC⊥平面BDD1B1，故①，②正确；记正方体的体积为V，则VE-ABC1
＝6V为定值，故③正确；B1E与BC1不垂直，故④错误．]
三、解答题
9．(2016·北京高考)如图11-8，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC.
图11-8
(1)求证：DC⊥平面PAC. (2)求证：平面PAB⊥平面PAC.
(3)设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？说明理由．
解] (1)证明：因为PC⊥平面ABCD， 所以PC⊥DC.2分
又因为DC⊥AC，且PC∩AC＝C， 所以DC⊥平面PAC.4分
(2)证明：因为AB∥DC，DC⊥AC， 所以AB⊥AC.
因为PC⊥平面ABCD，所以PC⊥AB. 又因为PC∩AC＝C，所以AB⊥平面PAC.8分 又AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAC.9分 (3)棱PB上存在点F，使得PA∥平面CEF.10分 理由如下：取PB的中点F，连接EF，CE，CF. 又因为E为AB的中点，所以EF∥PA. 又因为PA⊄平面CEF，且EF⊂平面CEF， 所以PA∥平面CEF.14分
10．(2016·河南六市模拟)如图11-9，四棱锥P-ABCD，侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是∠ABC＝60°的菱形，M为PC的中点．
图11-9
(1)求证：PC⊥AD；
(2)求点D到平面PAM的距离．
解] (1)证明：法一：取AD中点O，连接OP，OC，AC，依题意可知△PAD，△ACD均为正三角形，所以OC⊥AD，OP⊥AD，又OC∩OP＝O，OC⊂平面POC，OP⊂平面POC，所以AD⊥平面POC，又PC⊂平面POC，所以PC⊥AD.5分
法二：连接AC，AM，DM，依题意可知△PAD，△ACD均为正三角形，又M为PC的中点，所以AM⊥PC，DM⊥PC，
又AM∩DM＝M，AM⊂平面AMD，DM⊂平面AMD， 所以PC⊥平面AMD，
又AD⊂平面AMD，所以PC⊥AD.5分
(2)由题可知，点D到平面PAM的距离即点D到平面PAC的距离，由(1)可知PO⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，
PO⊂平面PAD，所以PO⊥平面ABCD，即PO为三棱锥P-ADC的高． 在Rt△POC中，PO＝OC＝3，PC＝6，
10
在△PAC中，PA＝AC＝2，PC＝6，边PC上的高AM＝PA2－PM2＝2， 111015
所以S△PAC＝2PC·AM＝2×6×2＝2.8分
11设点D到平面PAC的距离为h，由VD-＝V得S·h＝PO，又PACP-ACD
3△PAC3S△ACD·3
S△ACD＝4×22＝3，
1151215所以3×2·h＝3×3×3，解得h＝5，所以点D到平面PAM的距离为215
5.12分
B组 名校冲刺]
一、选择题
1．(2016·乌鲁木齐三模)如图11-10，在多面体ABC-DEFG中，平面ABC∥平面DEFG，AC∥GF，且△ABC是边长为2的正三角形，四边形DEFG是边长为4的正方形，M，N分别为AD，BE的中点，则MN＝( )
图11-10
A.7 C.19
B．4 D．5
1
A 如图，取BD的中点P，连接MP，NP，则MP∥AB，NP∥DE，MP＝2AB1
＝1，NP＝DE＝2.又∵AC∥GF，∴AC∥NP.
2
∵∠CAB＝60°，∴∠MPN＝120°，∴MN＝MP2＋NP2－2×MP×NP×cos 120°＝
1
1＋4－2×1×2×－2＝7，故选A.]
2．如图11-11，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A-BCD.则在三棱锥A-BCD中，下列命题正确的是( )
图11-11
A．平面ABD⊥平面ABC C．平面ABC⊥平面BDC
B．平面ADC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC
D ∵在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，∴BD⊥CD.又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，∴CD⊥平面ABD，则CD⊥AB.又AD⊥AB，AD∩CD＝D，∴AB⊥平面ADC，又AB⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面ADC，故选D.]
3．(2016·贵阳二模)如图11-12，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，沿AE，AF，EF把正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为P，P点在△AEF内的射影为O，则下列说法正确的是( )
图11-12
A．O是△AEF的垂心 B．O是△AEF的内心 C．O是△AEF的外心 D．O是△AEF的重心
A 由题意可知PA，PE，PF两两垂直，∴PA⊥平面PEF，从而PA⊥EF，而PO⊥平面AEF，
则PO⊥EF.
∵PO∩PA＝P，∴EF⊥平面PAO，∴EF⊥AO，同理可知AE⊥FO，AF⊥EO，∴O为△AEF的垂心．故选A.]
4．(2016·长沙模拟)如图11-13，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，
图11-13
2
E，F是线段B1D1上的两个动点，且EF＝2，则下列结论中错误的是( ) A．AC⊥BF
B．三棱锥A-BEF的体积为定值 C．EF∥平面ABCD
D．异面直线AE，BF所成的角为定值
D 对于选项A，连接BD，易知AC⊥平面BDD1B1.∵BF⊂平面BDD1B1，∴AC⊥BF，故A正确；对于选项B，∵AC⊥平面BDD1B1，∴A到平面BEF的距离2
不变．∵EF＝2，B到EF的距离为1，∴△BEF的面积不变，∴三棱锥A-BEF的
体积为定值，故B正确；对于选项C，∵EF∥BD，BD⊂平面ABCD，EF⊄平面ABCD，∴EF∥平面ABCD，故C正确；对于选项D，异面直线AE，BF所成的角不为定值，当F与B1重合时，令上底面中心为O，则此时两异面直线所成的角是∠A1AO，当E与D1重合时，点F与O重合，则两异面直线所成的角是∠OBC1，这两个角不相等，故异面直线AE，BF所成的角不为定值，故D错误．]
二、填空题
5．(2016·衡水二模)如图11-14，正方形BCDE的边长为a，已知AB＝3BC，将△ABE沿边BE折起，折起后A点在平面BCDE上的射影为D点，关于翻折后的几何体有如下描述：
图11-14
13
①AB与DE所成角的正切值是2；②AB∥CE；③VB-＝ACE
6a；④平面ABC⊥平面ACD.其中正确的有________．(填序号)
①③④ 作出折叠后的几何体直观图如图所示：
∵AB＝3BC＝3a，BE＝a，∴AE＝2a.
∴AD＝AE2－DE2＝a，∴AC＝CD2＋AD2＝2a.在△ABC中，cos∠ABC＝AB2＋BC2－AC23a2＋a2－2a23
＝＝
3. 2AB×BC23a2
6
∴sin∠ABC＝1－cos2 ∠ABC＝3. ∴tan ∠ABC＝
sin ∠ABC
＝2.
cos ∠ABC
∵BC∥DE，∴∠ABC是异面直线AB，DE所成的角，故①正确．连接BD，CE，则CE⊥BD，又AD⊥平面BCDE，CE⊂平面BCDE，∴CE⊥AD.又BD∩AD＝D，BD⊂平面ABD，AD⊂平面ABD，∴CE⊥平面ABD.又AB⊂平面ABD，∴CE
111a32
⊥AB，故②错误．VB-AD＝3×2×a×a＝6，故③正确．∵ADACE＝VA-BCE＝S△BCE·3⊥平面BCDE，BC⊂平面BCDE，∴BC⊥AD.又BC⊥CD，CD∩AD＝D，CD，AD⊂平面ACD，∴BC⊥平面ACD.∵BC⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面ACD，故④正确．故答案为①③④.]
6．(2016·太原二模)已知在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，AB＝2AD＝2CD＝2，将直角梯形ABCD沿AC折叠成三棱锥D-ABC，当三棱锥D-ABC的体积取最大值时，其外接球的体积为________．
【导学号：85952042】
4
π 当平面DAC⊥平面ABC时，三棱锥D-ABC的体积取最大值．此时易知
3
BC⊥平面DAC，∴BC⊥AD.又AD⊥DC，∴AD⊥平面BCD，∴AD⊥BD，取AB的中点O，易得OA＝OB＝OC＝OD＝1，故O为所求外接球的球心，故半径r＝1，434
体积V＝3πr＝3π.]
三、解答题
7．(2016·四川高考)如图11-15，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥CD，
图11-15
1AD∥BC，∠ADC＝∠PAB＝90°，BC＝CD＝2AD.
(1)在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由； (2)证明：平面PAB⊥平面PBD.
解] (1)取棱AD的中点M(M∈平面PAD)，点M即为所求的一个点.2分 理由如下：
1
因为AD∥BC，BC＝2AD， 所以BC∥AM，且BC＝AM.
所以四边形AMCB是平行四边形， 所以CM∥AB.4分
又AB⊂平面PAB，CM⊄平面PAB， 所以CM∥平面PAB.6分
(说明：取棱PD的中点N，则所找的点可以是直线MN上任意一点) (2)证明：由已知，PA⊥AB，PA⊥CD，
1
因为AD∥BC，BC＝2AD，所以直线AB与CD相交， 所以PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD.8分
1
因为AD∥BC，BC＝AD，M为AD的中点，连接BM，
2所以BC∥MD，且BC＝MD，
所以四边形BCDM是平行四边形，10分 1
所以BM＝CD＝2AD，所以BD⊥AB. 又AB∩AP＝A，所以BD⊥平面PAB.
又BD⊂平面PBD，所以平面PAB⊥平面PBD.12分
8．(2016·长春二模)已知等腰梯形ABCD(如图11-16(1)所示)，其中AB∥CD，E，F分别为AB和CD的中点，且AB＝EF＝2，CD＝6，M为BC中点．现将梯形ABCD沿着EF所在直线折起，使平面EFCB⊥平面EFDA(如图11-16(2)所示)，N是线段1CD上一动点，且CN＝2ND.
(1) (2)
图11-16
(1)求证：MN∥平面EFDA； (2)求三棱锥A-MNF的体积．
解] (1)证明：过点M作MP⊥EF于点P，过点N作NQ⊥FD于点Q，连接PQ.由题知，平面EFCB⊥平面EFDA，又MP⊥EF，平面EFCB∩平面EFDA＝EF，∴MP⊥平面EFDA.
又EF⊥CF，EF⊥DF，CF∩DF＝F，∴EF⊥平面CFD. 又NQ⊂平面CFD，∴NQ⊥EF.
又NQ⊥FD，EF∩FD＝F，∴NQ⊥平面EFDA，∴MP∥NQ.2分 122
又CN＝2ND，∴NQ＝3CF＝3×3＝2，
11
且MP＝2(BE＋CF)＝2×(1＋3)＝2，∴MP綊NQ， ∴四边形MNQP为平行四边形.4分 ∴MN∥PQ.
又∵MN⊄平面EFDA，PQ⊂平面EFDA， ∴MN∥平面EFDA.6分
(2)法一：延长DA，CB相交于一点H，则H∈CB，H∈DA. 又∵CB⊂平面FEBC，DA⊂平面FEAD. ∴H∈平面FEBC，H∈平面FEAD， 即H∈平面FEBC∩平面FEAD＝EF，
1
∴DA，FE，CB交于一点H，且HE＝2EF＝1.8分 19
V三棱锥F-SCF＝△HFD·CDH＝V三棱锥C-HFD＝·32， 又由平面几何知识得则
V三棱锥F-AMN2
＝，
V三棱锥F-CDH9
S△AMN2
＝，10分 S△CDH9
229
∴V三棱锥A-＝V＝·V＝三棱锥F-MNFAMNCDH
9三棱锥F-9×2＝1.12分 11
法二：V三棱台BEA-S△CDF＋S△CDF)＝CDF＝×EF×(S△BEA＋S△BEA·331
×2×＋
2
19913×＋＝， 2223
15
V四棱锥A-BEFM＝×AE×S四边形BEFM＝， 361
V三棱锥N-ADF＝×2×S△ADF＝2， 311
V三棱锥N-＝×1×S＝△CFMCFM
32，10分
V三棱锥A-MNF＝V三棱台BEA-CDF－V三棱锥N-CFM－V四棱锥A-BEFM－V三棱锥N-ADF
1315
＝3－2－6－2＝1.12分
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容