天体运动与航天

开普勒三大定律 行星绕同一中心天体运动的规律 一、概念、规律及解题技巧

1. 开普勒第一定律：所有行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个 焦点上。

2. 开普勒第二定律：对于每一个行星而言，太阳和行星的连线在相等时间内扫过的面积 相等。

3. 开普勒第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相 等。如果行星做匀速圆周运动，则T2∝r3。此定律适用于同一个中心天体的不同环绕

天体。

4. 万有引力定律公式：

FGMmr2

严格说，万有引力定律只适用于质点间引力大小

的计算，当两物体间的距离远远大于每个物体大小时，物体可以看成质点。当两物体 是质量均匀分布或分层均匀分布的球体时，它们间的引力也可直接用公式计算，距离 为球心的距离。 5. 天体运动公式：GMmr2

＝mv2r.

＝mrω2＝m4π2

T2

r，由此可以得出v＝

GMr，ω＝

GMr3

6. 解题技巧

，T＝2π

r3GM(1)公式说明一个圆周环绕天体有五个变量：GM，r，v，ω(T，f)，a，五个变量知二 求三。注意：环绕天体质量m 不可求。

(2)若题中已知和未知中没有环绕半径r，则先求半径r，再求其它未知量。

(3)同一天体的不同卫星：轨道半径越大，则线速度、角速度、向心加速度都越小（周 期越大），与卫星质量无关。

(4)同一天体的不同卫星：中心天体的GM 为这些卫星的公共变量，若其中一个卫星有 两个已知量，其他卫星只有一个已知量，先用有两个已知量的卫星求得GM，则其 他卫星有了两个已知量，再求这些卫星的其他未知量。

7. 黄金代换：GM＝gR2；对地球的每一个卫星提供一个已知，每个卫星再已知一个变量， 其他变量就都可解。

8. 卫星近地环绕得中心天体的密度：

9. 第一宇宙速度（环绕速度）v1＝7.9km/s 第一宇宙速度是近地人造卫星的环绕速度速度， 是人造卫星的最小发射速度，也是卫星圆周环绕地球的最大速度。

10. 第二宇宙速度（脱离速度）v2＝11.2km/s 能使人造卫星挣脱地球引力束缚的最小发射 速度。

11. 第三宇宙速度（逃逸速度）v3＝16.7km/s 能使人造行星挣脱太阳引力束缚的最小发射 速度。

12. 三类人造地球卫星轨道：所有卫星圆轨道的圆心都在地球球心。

(1)赤道轨道，卫星轨道平面在赤道平面，卫星始终处于赤道上方。例如：同步卫星。 (2)极地轨道，卫星轨道平面与赤道平面垂直，卫星通过两极上空。 (3)一般轨道，卫星轨道平面和赤道平面成一定角度。 13.双星或多星问题的解决思路：

分析、求解双星或多星问题的两个关键

(1)向心力来源：双星问题中，向心力来源于另一星体的万有引力；多星问题中，向心力则来源于其余星体的万有引力的合力．

(2)圆心或轨道半径的确定及求解：双星问题中，轨道的圆心位于两星连线上某处，只有两星质量相等时才位于连线的中点，此处极易发生的错误是列式时将两星之间的距离当作轨道半径；多星问题中，也只有各星体的质量相等时轨道圆心才会位于几何图形的中心位置，解题时一定要弄清题给条件．

14. 天体运动常用数据：

(1)万有引力常数：G=6.67×10-11Nm2/kg2， 有的题G 为未知量。 (2)地球半径：R=6400km，

(3)同步卫星周期等于地球自转周期(24h)，位置只能在赤道上空，环绕方向与地球自转

相同，相对地球静止。所有同步卫星在同一条圆轨道上运行，环绕半径(r=4.22× 107m=6.6R)、向心加速度(0.223m/s2)、线速度(3080m/s)都相同，与卫星质量无关。 (4)近地卫星周期等于T＝1.41h，环绕半径r=R=6400km、向心加速度a=g、线速度 v1=7.9km/s，与卫星质量无关。

(5)赤道上的物体，支持力（等于重力）小于万有引力，两个力的合力为向心力，T＝24h， 环绕半径r=R=6400km、向心加速度a=0.0338m/s2、线速度v=0.467km/s， (6)月球公转周期=27.3 天，近似为30 天，环绕半径r=60R。

(7)地球公转周期=365 天，环绕半径r=1.49×1011m 太阳光到地球走8.28 分钟。 二、例题讲解

例1 科学家在南极冰层中发现了形成于30亿年前的火星陨石，并从中发现了过去微生物

的生命迹象，从此火星陨石变得异常珍贵．中国新闻网报道：2011年7月坠落于摩洛哥的陨石被证实来自于火星．某同学根据平时收集来的部分火星资料(如图1所示)，计算出火星的密度，再与这颗陨石的密度进行比较(G是引力常量，忽略火星自转的影响)．下列计算火星密度的公式，正确的是

( )

图1

A.

πGd解析 由3g0

B.

g0T2

3πd C.

3π

GT2

D.3 πd6MGMmd2

2

4dM3g0GMm4π2

＝mg0和V＝π()3得ρ＝＝，A错；由2＝m2r和V32V2πGdrT4dM24πr3d3πMM＝π()3得ρ＝＝23，对于近地卫星r＝，得ρ＝2，C对；由ρ＝＝32VGTd2GTV4dπ332

＝

，D对；选项B中的表达式不存在． πd3

6M答案 CD

例2 我国于2013年发射“神舟十号”载人飞船与“天宫一号”目标飞行器对接．如图4

所示，开始对接前，“天宫一号”在高轨道，“神舟十号”飞船在低轨道各自绕地球做匀速圆周运动，距离地面的高度分别为h1和 h2，地球半径为R，“天宫一号”运行周期约为90分钟．则以下说法正确的是( )

图4

A．“天宫一号”跟“神舟十号”的线速度大小之比为

h2h1

R＋h22B．“天宫一号”跟“神舟十号”的向心加速度大小之比

R＋h12C．“天宫一号”的角速度比地球同步卫星的角速度大 D．“天宫一号”的线速度大于7.9 km/s

Mmv2

解析 根据万有引力提供向心力可得G2＝m＝ma，解得v＝

rr已知r＝R＋h，所以“天宫一号”跟“神舟十号”的线速度大小之比为

GMr，a＝

GMr2

，

R＋h2

R＋h1

，“天

R＋h22

宫一号”跟“神舟十号”的向心加速度大小之比，选项A错误，B正确．由

R＋h122π

于角速度ω＝，天宫一号的周期小于地球同步卫星的周期，故“天宫一号”的角速

T度比地球同步卫星的角速度大，C正确；7.9 km/s是贴近地球表面运行的卫星的线速度，轨道半径越大，线速度越小，故“天宫一号”的线速度小于7.9 km/s，D错误．

答案 BC

例3 很多国家发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆形轨道1运行，然后在Q点

点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后在P点再次点火，将卫星送入同步圆形轨道3运行，如图5所示．已知轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点．若只考虑地球对卫星的引力作用，则卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，下列说法正确的是( )

图5

A．若卫星在1、2、3轨道上正常运行时的周期分别为T1、T2、T3，则有T1>T2>T3 B．卫星沿轨道2由Q点运动到P点时引力做负功，卫星与地球组成的系统机械能守恒

C．根据公式v＝ωr可知，卫星在轨道3上的运行速度大于在轨道1上的运行速度 D．根据v＝ 行速度

解析 根据开普勒第三定律得2＝2＝2，由三个轨道的半长轴(圆轨道时为半径)的关

GMr可知，卫星在轨道2上任意位置的速度都小于在轨道1上的运

r31r32r33

T1T2T3

系为r1Mmmv2其所受万有引力提供向心力，G2＝，得v＝

rrGMr，所以v1>v3，C错误．在

椭圆轨道2上的Q点的速度只有大于轨道1上的运行速度，才能做离心运动，即沿椭圆轨道运动，D错误．

答案 B

例4 如图8为哈勃望远镜拍摄的银河系中被科学家称为“罗盘座T星”系统的照片，最

新观测表明“罗盘座T星”距离太阳系只有3 260光年，比天文学家此前认为的距离要近得多．该系统是由一颗白矮星和它的类日伴星组成的双星系统，由于白矮星不停地吸收由类日伴星抛出的物质致使其质量不断增加，科学家预计这颗白矮星在不到1 000万年的时间内会完全“爆炸”，从而变成一颗超新星，并同时放出大量的γ射线，这些γ射线到达地球后会对地球的臭氧层造成毁灭性的破坏．现假设类日伴星所释放的物质被白矮星全部吸收，并且两星间的距离在一段时间内不变，两星球的总质量不变，则下列说法正确的是

( )

图8

A．两星间的万有引力不变 B．两星的运动周期不变 C．类日伴星的轨道半径增大 D．白矮星的轨道半径增大

解析 因两星间距离L在一段时间内不变，两星的质量总和不变，而两星质量的乘积必定变化，由万有引力公式F＝

Gm1m2

L2

可知，两星间的万有引力必定变化，A错误；两

星的运动周期相同，若设白矮星和类日伴星的轨道半径分别为r1和r2，由牛顿第二定律可得

Gm1m2

L2

4π24π24π24π2

＝m1·2r1＝m2·2r2，分别解得Gm1＝2·r2L2，Gm2＝2·r1L2，两

TTTT4π2

式相加得G(m1＋m2)＝2·L3因两星质量总和(m1＋m2)和它们之间的距离L均不变，

T故其运行周期T不变，B正确；由m1

4π2

T2

r1＝m2

4π2

T2

r2，可得m1r1＝m2r2，故双星运

动的轨道半径与其质量成反比，类日伴星的轨道半径增大，白矮星的轨道半径减小，C正确，D错误． 答案 BC

例5 (13分)我国的“嫦娥三号”探月卫星将实现“月面软着陆”，该过程的最后阶段是：

着陆器离月面h高时速度减小为零，为防止发动机将月面上的尘埃吹起，此时要关掉所有的发动机，让着陆器自由下落着陆．已知地球质量是月球质量的81倍，地球半径是月球半径的4倍，地球半径R0＝6.4×106 m，地球表面的重力加速度g0＝10 m/s2，不计月球自转的影响．(结果保留两位有效数字)

(1)若题中h＝3.2 m，求着陆器落到月面时的速度大小；

(2)由于引力的作用，月球引力范围内的物体具有引力势能．理论证明，若取离月心无

Mm穷远处为引力势能的零势点，距离月心为r的物体的引力势能Ep＝－G，式中G为

r万有引力常量，M为月球的质量，m为物体的质量．求着陆器仅依靠惯性从月球表面脱离月球引力范围所需的最小速度．

解析 (1)设月球质量为M、半径为R，月面附近重力加速度为g，着陆器落到月面时的速度为v

Mm忽略月球自转，在月球表面附近，质量为m的物体满足：G2＝mg R ①

M0m′

设地球的质量为M0，同理有：G2＝m′g0

R0

着陆器自由下落过程中有：v2＝2gh

② ③

由①②③式并带入数据可得：v＝3.6 m/s

④

(2)设着陆器以速度v0从月面离开月球，要能离开月球引力范围，则至少要运动到月球的零引力处，即离月球无穷远处．

在着陆器从月面到无穷远处过程中，由能量守恒得： 12

mv20－GMmR＝0

⑤ ⑥

由①②⑤式并带入数据可得：v0＝2.5×103 m/s 答案 (1)3.6 m/s (2)2.5×103 m/s 三、课堂练习

承载着我国载人飞船和空间飞行器交会对接技术的“天宫一号”已于2011年9月29

日成功发射，随后发射了“神舟八号”飞船并与其实现交会对接．假设“天宫一号”和“神舟八号”做匀速圆周运动的轨道如图2所示，A代表“天宫一号”，B代表“神舟八号”，虚线为各自的轨道．“天宫一号”和“神舟八号”离地高度分别为h1、h2，运行周期分别为T1、T2，引力常量为G，则以下说法正确的是( )

图2

A．利用以上数据可计算出地球密度和地球表面的重力加速度

B．“神舟八号”受到的地球引力和运行速度均大于“天宫一号”受到的地球引力和运行速度

C．“神舟八号”加速有可能与“天宫一号”实现对接

D．若宇航员在“天宫一号”太空舱无初速度释放小球，小球将做自由落体运动 答案 AC

Mm2π4

2(R＋h)，ρ＝πR3，解析 设地球半径为R，密度为ρ，由公式G＝m()R＋h2T3

地球表面GMmR2

＝mg，已知“天宫一号”和“神舟八号”离地高

度分别为h1、h2，运行周期分别为T1、T2，通过以上各式可以求得地球的半径R、密度ρ、地球表面的重力加速度g，A正确；“神舟八号”与“天宫一号”的质量未知，故所受地球引力大小无法

比较，B错误；低轨道的“神舟八号”加速时，万有引力小于向心力，其将做离心运动，故它的轨道半径将变大，可能在高轨道上与“天宫一号”对接，C正确；宇航员在“天宫一号”太空舱无初速度释放小球，小球随着太空舱也围绕地球做匀速圆周运动，D错误．

2． 为纪念伽利略将望远镜用于天文观测400周年，2009年被定为以“探索我的宇宙”为

主题的国际天文年．我国发射的“嫦娥一号”卫星绕月球经过一年多的运行，完成了既定任务，于2009年3月1日16时13分成功撞月．如图3所示为“嫦娥一号”卫星撞月的模拟图，卫星在控制点1开始进入撞月轨道，假设卫星绕月球做圆周运动的轨道半径为R，周期为T，引力常量为G，根据题中信息，以下说法正确的是( )

图3

A．可以求出月球的质量

B．可以求出月球对“嫦娥一号”卫星的引力 C．“嫦娥一号”卫星在控制点1处应加速 D．“嫦娥一号”在地面的发射速度大于11.2 km/s 答案 A

解析 当卫星绕月球做圆周运动时，月球对卫星的引力提供向心力，则有GMmR2

＝

4π24π2R3MmmR2所以M＝，A正确．根据万有引力公式F＝G可知，要想计算月球对“嫦22

TGTR娥一号”卫星的引力，必须知道“嫦娥一号”卫星的质量m，由于题中没有给出m，所以不能求出引力大小，B错误．在控制点1处，卫星要想向月球靠近，需使引力大于需要的向

心力，因而必须减小卫星的速度，C错误．在地面发射“嫦娥一号”卫星的速度应大于第一宇宙速度，小于第二宇宙速度，D错误．

3． 我国的航天事业发展迅速，到目前为止，我们不仅有自己的同步通信卫星，也有自主

研发的“神舟”系列飞船，还有自行研制的全球卫星定位与通信系统(北斗卫星导航系统)．其中“神舟”系列飞船绕地球做圆轨道飞行的高度仅有几百千米；北斗卫星导航系统的卫星绕地球做圆轨道飞行的高度达2万多千米．对于它们运行过程中的下列说法正确的是( )

A．“神舟”系列飞船的加速度小于同步卫星的加速度 B．“神舟”系列飞船的角速度小于同步通信卫星的角速度

C．北斗导航系统的卫星的运行周期一定大于“神舟”系列飞船的运行周期 D．同步卫星所受的地球引力一定大于北斗导航系统的卫星所受的地球引力 答案 C

解析 根据万有引力提供卫星做圆周运动的向心力可得出：GMmR2

＝ma⇒a＝

GMR2

，

Mm4π2

G2＝m2R⇒T＝2πRTR3GM2π

，ω＝，由于“神舟”系列飞船的轨道半径小于同T步通信卫星的轨道半径，故“神舟”系列飞船的加速度大、周期小、角速度大，故A、B错误．同理可知，C正确．由于同步卫星和北斗导航系统卫星的质量关系不确定，故D错误．

4． 中国第三颗绕月探测卫星——“嫦娥三号”计划于2013年发射，“嫦娥三号”卫星将

实现软着陆、无人探测及月夜生存三大创新．假设为了探测月球，载着登陆舱的探测飞船在以月球中心为圆心，半径为r1的圆轨道上运动，周期为T1，总质量为m1.登陆舱随后脱离飞船，变轨到离月球更近的半径为r2的圆轨道上运动，此时登陆舱的质量为

m2，则下列有关说法正确的是

( )

4π2r1

A．月球的质量M＝ 2

GT1

B．登陆舱在半径为r2轨道上的周期T2＝

r32r31

T1

m1r2m2r1

C．登陆舱在半径为r1与半径为r2的轨道上的线速度之比为 4π2r1D．月球表面的重力加速度g月＝2 T1

答案 B

Mm14π24π2r31

解析 根据G2＝m1r1·2可得，月球的质量M＝，A错；根据开普勒第三定

r1TGT21

律＝()可得，T2＝

T2r22理v2＝

T1r13r32

Mm1m1v21T＝可得，v1＝ 1，B对；根据Gr3r2r111v1

r2r1

GMr1

，同

GMr2

，所以＝

v2

4π2

，C错；根据m1r1·2＝m1a1可得，载着登陆舱

T4π2r1

的探测飞船的加速度a1＝2，该加速度不等于月球表面的重力加速度，D错．

T1

5． 北京时间2013年2月16日凌晨，直径约45米、质量约13万吨的小行星“2012DA14”，

以大约每小时2.8万公里的速度由印度洋苏门答腊岛上空掠过，与地球表面最近距离约为2.7万公里，这一距离已经低于地球同步卫星的轨道．但它对地球没有造成影响，对地球的同步卫星也几乎没有影响．这颗小行星围绕太阳飞行，其运行轨道与地球非常相似，根据天文学家的估算，它下一次接近地球大约是在2046年，假设图6中的P、Q是地球与小行星最近时的位置，下列说法正确的是

( )

图6

A．小行星对地球的轨道没有造成影响，地球对小行星的轨道也不会造成影响 B．只考虑太阳的引力，地球在P点的加速度大于小行星在Q点的加速度 C．只考虑地球的引力，小行星在Q点的加速度大于同步卫星在轨道上的加速度 D．小行星在Q点没有被地球俘获变成地球的卫星，是因为它在Q点的速度大于第二宇宙速度 答案 BC

解析 小行星的质量远小于地球质量，地球对小行星的引力可使小行星产生较大的加速度，对小行星的轨道产生较大影响，选项A错误．根据

GMmr2

＝ma，可知地球在P点

的加速度大于小行星在Q点的加速度，选项B正确．同理可判断出C正确．小行星没有被地球俘获是因为其速度大于第一宇宙速度，但小于第二宇宙速度，选项D错误． 6． 假设将来人类登上了火星，考察完毕后，乘坐一艘宇宙飞船从火星返回地球时，经历

了如图7所示的变轨过程，则有关这艘飞船的下列说法正确的是

( )

图7

A．飞船在轨道Ⅰ上运动时的机械能大于飞船在轨道Ⅱ上运动时的机械能 B．飞船在轨道Ⅱ上运动时，经过P点时的速度大于经过Q点时的速度

C．飞船在轨道Ⅲ上运动到P点时的加速度等于飞船在轨道Ⅱ上运动到P点时的加速度 D．飞船绕火星在轨道Ⅰ上运动的周期跟飞船返回地球的过程中绕地球以与轨道Ⅰ同样的轨道半径运动的周期相同 答案 BC

解析 飞船在轨道Ⅰ上运动至P点时必须点火加速才能进入轨道Ⅱ，因此飞船在轨道

Ⅰ上运动时的机械能小于在轨道Ⅱ上运动时的机械能，A错误；由行星运动规律可知B

正确；由公式a＝G2可知，飞船在轨道Ⅲ上运动到P点时的加速度等于飞船在轨道Ⅱ

Mr上运动到P点时的加速度，C正确；由公式T＝2π

r3

GM可知，因地球质量和火星质量不同，所以飞船绕火星在轨道Ⅰ上运动的周期跟飞船返回地球的过程中绕地球以与轨道Ⅰ同样的轨道半径运动的周期不相同，D错误．

7． (2013·山东·20)双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动．研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化．若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时圆周运动的周期为

A.

B.

( )

n3k2n2kT

n3kT

C.T D.

nT k答案 B

解析 双星靠彼此的万有引力提供向心力，则有

m1m24π2G2＝m1r12 LTm1m24π2G2＝m2r22 LT并且r1＋r2＝L 解得T＝2πL3

Gm1＋m2

当双星总质量变为原来的k倍，两星之间距离变为原来的n倍时T′＝2π

n3L3

Gkm1＋m2

故选项B正确．

＝n3k·T

四、课后作业 一、单项选择题

1． 2012年6月18日，我国“神舟九号”与“天宫一号”成功实现交会对接，如图所示，

圆形轨道Ⅰ为“天宫一号”的运行轨道，圆形轨道Ⅱ为“神舟九号”的运行轨道，在实现交会对接前，“神舟九号”要进行多次变轨，则( )

A．“天宫一号”在轨道Ⅰ上的运行速率大于“神舟九号”在轨道Ⅱ上的运行速率 B．“神舟九号”变轨前的动能比变轨后的动能要大 C．“神舟九号”变轨前后机械能守恒

D．“天宫一号”在轨道Ⅰ上的向心加速度大于“神舟九号”在轨道Ⅱ上的向心加速度 2． 据报道，天文学家近日发现了一颗距地球40光年的“超级地球”，命名为“55 Cancrie”．该

行星绕母星(中心天体)运行的周期约为地球绕太阳运行周期的，母星的体积约为太480阳的60倍．假设母星与太阳密度相同，“55 Cancrie”与地球均做匀速圆周运动，则“55 Cancrie”与地球的( )

3

A．轨道半径之比约为

60

1

4803

6048023

B．轨道半径之比约为 C．向心加速度之比约为 60×4802

D．向心加速度之比约为

3

60×480

3． 国防科技工业局预定“嫦娥三号”于2013年下半年择机发射．“嫦娥三号”将携带一

部“中华牌”月球车，实现对月球表面的探测．若“嫦娥三号”

探

月卫星在环月圆轨道绕行n圈所用的时间为t1，已知“嫦娥二号”探月卫星在环月圆轨道绕行n圈所用的时间为t2，且t14． 火星有两个卫星，分别叫做“火卫一”和“火卫二”．若将它们绕火星的运动看做匀速

圆周运动，且距火星表面高度分别为h1和h2，线速度大小分别为v1和v2，将火星视为质量均匀分布的球体，忽略火星自转的影响，则火星半径为( ) A.

2h1v21－h2v2

2v22－v1

h1－h2v1v2

B. 2v22－v1

D. 2h1－h2v22－v1

C.

h1v1－h2v2

v2－v1

h1h2v1v2

5． (2013·安徽·17)质量为m的人造地球卫星与地心的距离为r时，引力势能可表示为Ep

＝－

GMmr，其中G为引力常量，M为地球质量，该卫星原来在半径为R1的轨道上绕

地球做匀速圆周运动，由于受到极稀薄空气的摩擦作用，飞行一段时间后其圆周运动的半径变为R2，此过程中因摩擦而产生的热量为( )

11

A．GMm－

R2R1

C.

11

B．GMm－

R1R2

D.

GMm1

2

－ R2R1

1

GMm1

2

－ R1R2

1

6． 物体在万有引力场中具有的势能叫做引力势能．若取两物体相距无穷远时的引力势能

为零，一个质量为m0的质点到质量为M0的引力源中心的距离为r0时，其万有引力势能Ep＝－

GM0m0

r0

(式中G为引力常量)．一颗质量为m的人造地球卫星以半径为r1的

圆形轨道环绕地球匀速飞行，已知地球的质量为M，要使此卫星绕地球做匀速圆周运

动的轨道半径增大为r2，则卫星上的发动机所消耗的最小能量为(假设卫星的质量始终不变，不计空气阻力及其他星体的影响)( ) A．E＝

GMm1

2

(－)

1

r1r2

1

B．E＝GMm(－) 11

r1r2

C．E＝

GMm1

3

(－)

r1r2

2GMm11

D．E＝(－)

3r2r1

二、多项选择题

7． 2012年12月，长4.46公里、宽2.4公里的小行星“4179Toutatis”接近地球，并且

在12月12日距地球仅690万公里，相当于地球与月亮距离的18倍．下列说法正确的是( )

A．在小行星接近地球的过程中，小行星所受地球的万有引力增大 B．在小行星接近地球的过程中，地球对小行星的万有引力对小行星做负功

C．小行星运行的半长轴的三次方与其运行周期平方的比值与地球公转的半长轴的三次方与地球公转周期平方的比值相等

D．若该小行星在距地球690万公里处被地球“俘获”，成为地球的一颗卫星，则它绕地球的公转周期大于1个月

8． 2012年6月24日，航天员刘旺手动控制“神舟九号”飞船完成与“天宫一号”的交

会对接，形成组合体绕地球做匀速圆周运动，轨道高度为340 km.测控通信由两颗在地球同步轨道运行的“天链一号”中继卫星、陆基测控站、测量船，以及北京飞控中心完成．根据以上信息和你对航天相关知识的理解，下列描述正确的是( ) A．组合体匀速圆周运动的周期一定大于地球的自转周期 B．组合体匀速圆周运动的线速度一定大于第一宇宙速度

C．组合体匀速圆周运动的角速度大于“天链一号”中继卫星的角速度[来源:Zxxk.Com] D．“神舟九号”从低轨道必须加速才能与“天宫一号”交会对接

9． 北斗卫星导航系统是我国自行研制开发的区域性三维卫星定位与通信系统(CNSS)，建

成后的北斗卫星导航系统包括5颗同步卫星和30颗一般轨道卫星．关于这些卫星，以

下说法正确的是( )

A．5颗同步卫星的轨道半径都相同

B．5颗同步卫星的运行轨道必定在同一平面内

C．导航系统所有卫星的运行速度一定大于第一宇宙速度 D．导航系统所有卫星中，运行轨道半径越大的，周期越小 10．空间站是科学家进行天文探测和科学实验的特殊而又重要的场

所．假设空间站正在地球赤道平面内的圆周轨道上运行，其离地球表面的高度为同步卫星离地球表面高度的十分之一，且运行方向与地球自转方向一致．下列说法正确的是( ) A．空间站运行的加速度等于其所在高度处的重力加速度 B．空间站运行的速度等于同步卫星运行速度的

10倍

C．在空间站工作的宇航员因受到平衡力作用而在舱中悬浮或静止 D．站在地球赤道上的人观察到空间站向东运动

11．如图2所示，发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使

其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆轨道3，轨道1和2相切于Q点，轨道2和3相切于P点，设卫星在1轨道和3轨道正常运行的速度和加速度分别为v1、v3和a1、a3，在2轨道经过P点时的速度和加速度为v2和a2，且当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时周期分别为T1、T2、T3，以下说法正确的是( )

A．v1>v2>v3 B．v1>v3>v2

C．a1>a2>a3 D．T11.答案 B

Mmv2

解析 由万有引力提供向心力可得G2＝m＝ma，解得v＝

rrGMr，a＝

GMr2

，

由于“天宫一号”的轨道半径比“神舟九号”的大，故“天宫一号”的运行速率小，向

心加速度小，选项A、D错误．“神舟九号”要完成对接，必须点火加速，机械能增加，变轨后的轨道半径增大，运行速率减小，动能减小，故选项B正确，C错误． 2.答案 B

解析 母星与太阳密度相同，而体积约为太阳的60倍，说明母星的质量是太阳质量的

Mm2πM母r3T地2

260倍．由万有引力提供向心力可知G2＝m()r，所以3·＝()2，代入数据

rTr1M太T3

得轨道半径之比约为

604802

，A错误，B正确；由加速度a＝GMr2

可知，加速度之比

为

3

60×4804，所以C、D均错误．

3.答案 D

解析 由题意可知“嫦娥二号”探月卫星的周期大于“嫦娥三号”探月卫星的，由开普勒第三定律2＝k可知“嫦娥二号”探月卫星的轨道半径大于“嫦娥三号”探月卫星．探

r3

T月卫星绕月球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，设卫星的质量为m、轨道半径为r、月球质量为M，有

Mmv2

F＝F向＝G2，F向＝m＝mω2r＝ma，v＝

rrGMr，ω＝GMr3

，a＝ v2r由于“嫦娥三号”探月卫星的周期小、半径小，故“嫦娥三号”探月卫星的角速度大、线速度大、向心加速度大，则所给选项A、B、C错误，D正确． 4.答案 A

解析 根据万有引力提供向心力得GMm1

R＋h12

＝m1

v21R＋h1

，GMm2

R＋h22

＝

m2

v22R＋h2

，解得：R＝

2h1v21－h2v2

2－v2v21

. 5.答案 C

Mmv21GMm2解析 由万有引力提供向心力知G2＝m，所以卫星的动能为mv＝，则卫

rr22r1GMmGMmGMm星在半经为r的轨道上运行时机械能为E＝mv2＋Ep＝－＝－.故卫

22rr2r星在轨道R1上运行时：E1＝－

GMm2R1

，在轨道R2上运行时：E2＝－

1

GMm2R2

，由能量守恒定律得产生的热量为Q＝E1－E2＝6.答案 A

GMm1

2

－，故正确选项为C. R2R1

Mmv21GMmMm1

2＝解析 根据万有引力提供向心力有：G2＝m，解得Ek1＝mv1.G2＝

r1r122r1r2v21GMmGMmGMm2

2m，解得Ek2＝mv2＝.则动能的减小量为ΔEk＝－.引力势能的增加

r222r22r12r2

量ΔEp＝－GMmr2

－(－GMmr1

)＝GMmGMmr1

1

－r2

，根据能量守恒定律，发动机消耗的最小

能量E＝ΔEp－ΔEk＝7.答案 ACD

GMm1

2

(－)．故选A.

r1r2

解析 小行星接近地球的过程中，地球对小行星的引力逐渐增大，且引力对小行星做正功，选项A正确，B错误．根据开普勒第三定律可知选项C正确．若小行星被地球“俘获”成为地球卫星，其轨道半径比月球轨道半径大，周期比月球绕地球周期大，选项D正确． 8.答案 CD

Mm4π2

解析 根据G2＝mr2得T＝2πrTr3

GM，所以T组2π

因为ω＝，所以ω组>ω同，C正确．第一宇宙速度为近地卫星的速度，组合体的速度

T小于第一宇宙速度，B错误．“神舟九号”从低轨道加速后，做离心运动，才能与“天宫一号”交会对接，D正确． 9.答案 AB

Mmv22π

解析 根据万有引力提供向心力可得G2＝ma＝m＝mr()2，整理可知T＝2π

rrTr3GM，v＝

GMr.同步卫星的周期相同，故5颗同步卫星的轨道半径都相同，同

步卫星相对地面静止，故5颗同步卫星的运行轨道必定在同一平面内，选项A、B正确.7.9 km/s是第一宇宙速度，即近地卫星绕地球转动的最大运行速度，故同步卫星的速度小于7.9 km/s，选项C错误．由于T＝2π 期越大，选项D错误． 10.答案 AD

r3

GM，故运行轨道半径越大的，周

Mm解析 根据G2＝mg＝ma，知空间站运行的加速度等于其所在高度处的重力加速

rMmv2

度，故A正确；根据G2＝m得：v＝

rr径，所以线速度之比不是

GMr，离地球表面的高度不是其运动半10：1，故B错误；在空间站工作的宇航员处于完全失重状

态，依靠万有引力提供向心力做圆周运动，故C错误；轨道半径越大，角速度越小，同步卫星和地球自转的角速度相同，所以空间站的角速度大于地球自转的角速度，所以站在地球赤道上的人观察到空间站向东运动，故D正确． 11.答案 BD

解析 轨道1和轨道3属于在轨问题，满足万有引力提供向心力

GMmr2v2

＝m的公式，

r即v＝

GMr，ω＝

GMr3

，T＝2π

r3GM，所以v1>v3，a1>a3，T1开普勒第三定律2＝k知，轨道2的半长轴大于轨道1，但小于轨道3，所以T1r3

TD正确．在轨道2、轨道3的P点处，由于万有引力提供向心力，所以a2＝a3，所以C错．从椭圆轨道P点处，卫星需要加速使万有引力大于该处向心力，才能做离心运动，变轨到轨道3，因此v1>v3>v2，B正确．