2020年高考文科数学一轮总复习：直线与圆、圆与圆的位置关系

系

第4讲 直线与圆、圆与圆的位置关系

1．直线与圆的位置关系

设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)， 圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，

d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.

方法 位置关系 相交 相切 相离 2.圆与圆的位置关系 设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1>0)， 圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2>0)．

方法 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 常用知识拓展

1．过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.

2．过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.

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几何法 dr 代数法 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 几何法：圆心距d与r1，r2的关系 d>r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|2

12214．直线与圆相交时，弦心距d，半径r，弦长的一半l满足关系式r＝d＋2l. 2

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．( )

(2)若两个圆的方程组成的方程组无解，则这两个圆的位置关系为外切．( ) (3)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件．( ) (4)联立两相交圆的方程，并消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．( )

答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√

直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系为( ) A．相切 C．直线过圆心

B．相交但直线不过圆心 D．相离

122

＝，而0<<1，所以直线

222

解析：选B.因为圆心(0，0)到直线y＝x＋1的距离d＝和圆相交，但不过圆心．

圆Q：x2＋y2－4x＝0在点P(1，3)处的切线方程为( ) A．x＋3y－2＝0 C．x－3y＋4＝0

B．x＋3y－4＝0 D．x－3y＋2＝0

解析：选D.因点P在圆上，且圆心Q的坐标为(2，0)， －33

所以kPQ＝＝－3，所以切线斜率k＝，

32－1所以切线方程为y－3＝即x－3y＋2＝0.

若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则实数m＝________． 解析：圆C1的圆心是原点(0，0)，半径r1＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝25－m，圆心C2(3，4)，半径r2＝25－m，

由两圆外切，得|C1C2|＝r1＋r2＝1＋25－m＝5，所以m＝9. 答案：9

(2018·高考全国卷Ⅰ)直线y＝x＋1与圆x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B两点，则|AB|＝________．

解析：由题意知圆的方程为x2＋(y＋1)2＝4，所以圆心坐标为(0，－1)，半径为2，则圆

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3

(x－1)， 3

心到直线y＝x＋1的距离d＝

答案：22 |－1－1|

＝2，所以|AB|＝222－（2）2＝22. 2

直线与圆的位置关系(典例迁移)

(1)已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外， 则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系

是( )

A．相切 C．相离

B．相交 D．不确定

(2)(一题多解)圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公共点的充要条件是________． 【解析】 (1)因为M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，

|a·0＋b·0－1|1

所以a2＋b2＞1，从而圆心O到直线ax＋by＝1的距离d＝＝＜1，

a2＋b2a2＋b2所以直线与圆相交．

(2)法一：将直线方程代入圆方程，得(k2＋1)x2＋4kx＋3＝0，直线与圆没有公共点的充要条件是Δ＝16k2－12(k2＋1)<0，解得k∈(－3，3)．

法二：圆心(0，0)到直线y＝kx＋2的距离d＝是d>1，即

2

>1，解得k∈(－3，3)． k2＋1

2

，直线与圆没有公共点的充要条件k2＋1

【答案】 (1)B (2)k∈(－3，3)

[迁移探究] (变条件)若将本例(1)的条件改为“点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1上”，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系如何？

解：由点M在圆上，得a2＋b2＝1，所以圆心O到直线ax＋by＝1的距离d＝1，则直线与圆O相切．

判断直线与圆的位置关系常用的方法

1

＝a2＋b2

[提醒] 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．

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1

1．直线xsin θ＋ycos θ＝1＋cos θ与圆x2＋(y－1)2＝的位置关系是( )

2A．相离 C．相交

B．相切

D．以上都有可能

|cos θ－1－cos θ|2

解析：选A.因为圆心到直线的距离d＝＝1>，所以直线与圆相离．

2sin2θ＋cos2θ2．(2019·四川教育联盟考试)若无论实数a取何值时，直线ax＋y＋a＋1＝0与圆x2＋y2

－2x－2y＋b＝0都相交，则实数b的取值范围为( )

A．(－∞，2) C．(－∞，－6)

B．(2，＋∞) D．(－6，＋∞)

解析：选C.因为x2＋y2－2x－2y＋b＝0表示圆，所以2－b>0，即b<2. 因为直线ax＋y＋a＋1＝0过定点(－1，－1)，

所以点(－1，－1)在圆x2＋y2－2x－2y＋b＝0的内部，所以6＋b<0，解得b<－6. 综上，实数b的取值范围是(－∞，－6)．故选C.

圆的切线与弦长问题(探究)

角度一 圆的切线问题

过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( )

A．2x＋y－5＝0 C．x－2y－5＝0

B．2x＋y－7＝0 D．x－2y－7＝0

【解析】 因为过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条， 所以点(3，1)在圆(x－1)2＋y2＝r2上， 1－01

因为圆心与切点连线的斜率k＝＝，

3－12

所以切线的斜率为－2，则圆的切线方程为y－1＝－2(x－3)，即2x＋y－7＝0.故选B. 【答案】 B

角度二 圆的弦长问题

(1)(2019·湖北省重点中考(二))设圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心为C，直

线l过(0，3)，且与圆C交于A，B两点，若|AB|＝23，则直线l的方程为( )

A．3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0 B．3x＋4y－12＝0或x＝0 C．4x－3y＋9＝0或x＝0

D．3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0

(2)已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴．过点A(－

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4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝________．

【解析】 (1)当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，联立方程得

x＝0，x＝0，x＝0，2得或所以|AB|＝23，符合题意．当直线l2

x＋y－2x－2y－2＝0，y＝1－3y＝1＋3，

的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋3，因为圆x2＋y2－2x－2y－2＝0，即(x－1)2＋(y|k－1＋3|－1)2＝4，其圆心为C(1，1)，圆的半径r＝2，圆心C(1，1)到直线y＝kx＋3的距离d＝

k2＋1|AB|（k＋2）32

＝2，因为d＋＝r，所以＋3＝4，解得k＝－，所以直线l的方程为224k＋1k＋1

2

|k＋2|

2

2

3

y＝－x＋3，即3x＋4y－12＝0.综上，直线l的方程为3x＋4y－12＝0或x＝0.故选B.

4

(2)由于直线x＋ay－1＝0是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，所以圆心C(2，1)在直线x＋ay－1＝0上，所以2＋a－1＝0，所以a＝－1，所以A(－4，－1)．

所以|AC|2＝36＋4＝40.又r＝2，所以|AB|2＝40－4＝36.所以|AB|＝6. 【答案】 (1)B (2)6

(1)求直线被圆截得的弦长的常用方法

①几何法：用圆的几何性质求解，运用弦心距、半径及弦的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB|＝2r2－d2；

②代数法：联立直线与圆的方程得方程组，消去一个未知数得一元二次方程，再利用根与系数的关系结合弦长公式求解，其公式为|AB|＝1＋k2|x1－x2|.

(2)圆的切线方程的求法

①几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k；

②代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k.

1．平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是( ) A．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0 B．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0 C．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0 D．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0

解析：选A.设直线方程为2x＋y＋c＝0，由直线与圆相切，得d＝以所求方程为2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0.

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|c|

＝5，c＝±5，所5

2．(2019·广西两市联考)圆心在直线x－2y＝0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为23，则圆C的标准方程为________．

解析：设圆心为(a，b)(a>0，b>0)，半径为r，则由题可知a＝2b，a＝r，r2＝b2＋3，解得a＝r＝2，b＝1，所以所求的圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.

答案：(x－2)2＋(y－1)2＝4

圆与圆的位置关系(典例迁移)

(1)已知圆C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4与圆C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1相外切，则ab

的最大值为( )

A.6

2

3B. 2D．23

9C. 4

(2)两圆C1：x2＋y2＋4x＋y＋1＝0，C2：x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0相交于A，B两点，则|AB|＝________．

【解析】 (1)由圆C1与圆C2相外切，可得（a＋b）2＋（－2＋2）2＝2＋1＝3，即(a9

＋b)2＝a2＋2ab＋b2＝9，根据基本不等式可知9＝a2＋2ab＋b2≥2ab＋2ab＝4ab，即ab≤，4当且仅当a＝b时，等号成立．故选C.

(2)由(x2＋y2＋4x＋y＋1)－(x2＋y2＋2x＋2y＋1)＝0得弦AB所在直线方程为2x－y＝0. 圆C2的方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝1， 圆心C2(－1，－1)，半径r2＝1. 圆心C2到直线AB的距离 |2×（－1）－（－1）|1d＝＝.

55

2所以|AB|＝2r22－d＝2

145

1－＝. 55

45

【答案】 (1)C (2)

5

[迁移探究] (变条件)若本例(1)条件中“外切”变为“内切”，求ab的最大值． 解：由C1与C2内切， 得

（a＋b）2＋（－2＋2）2＝1.

2

2

a＋b1

即(a＋b)＝1, 又ab≤2＝4，

1当且仅当a＝b时等号成立，故ab的最大值为.

4

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(1)几何法判断圆与圆的位置关系的步骤 ①确定两圆的圆心坐标和半径；

②利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d，并求r1＋r2，|r1－r2|； ③比较d，r1＋r2，|r1－r2|的大小，然后写出结论． (2)两圆公共弦长的求法

l

两圆公共弦长，先求出公共弦所在直线的方程，在其中一圆中，由弦心距d，半弦长，

2半径r所在线段构成直角三角形，利用勾股定理求解．

1．圆C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9与圆C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4外切，则m的值为( ) A．2 C．2或－5

B．－5 D．不确定

解析：选C.由C1(m，－2)，r1＝3；C2(－1，m)，r2＝2；

则两圆心之间的距离为|C1C2|＝（m＋1）2＋（－2－m）2＝2＋3＝5， 解得m＝2或－5.故选C.

2．圆C1：x2＋y2－4x＋1＝0与圆C2：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的公共弦长为( ) A．2 C．3

B.3 D．4

解析：选A.两圆联立错误!解得x－y＝0.圆C1可写成(x－2)2＋y2＝3，故C1(2，0)，半径为3，圆心(2，0)到直线x－y＝0的距离为d＝2（3）2－（2）2＝2.

|2|

＝2，故公共弦长为12＋12 直观想象——解决直线与圆的综合问题

直观想象是发现和提出数学问题、分析和解决数学问题的重要手段，是探索和形成论证思路、进行逻辑推理、构建抽象结构的思维基础。

(2018·高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y＝2x上在第一象限内

→→

的点，B(5，0)，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D.若AB·CD＝0，则点A的横坐标为________．

【解析】 法一：如图 由题意易得∠BAD＝45°.

1

设直线DB的倾斜角为θ，则tan θ＝－，

2所以tan∠ABO＝－tan(θ－45°)＝3，

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所以kAB＝－tan∠ABO＝－3.

所以AB的方程为y＝－3(x－5)，

y＝－3（x－5）由得xA＝3.  y＝2x，

法二：设A(a，2a)，a>0，则C

2

a＋5

2，a，

2

（a－5）a＋5

所以圆C的方程为x－＋(y－a)2＝＋a2，

42（a－5）a＋5x－＋(y－a)2＝＋a2， xD＝1，42由得  y＝2，D y＝2x，

2

2

a2－2a－15－a－3→→所以AB·CD＝(5－a，－2a)·＋2a2－4a＝0，所以a＝3或，2－a＝

22a＝－1，又a>0，所以a＝3，所以点A的横坐标为3.

→→

法三：因为AB·CD＝0，所以AB⊥CD，又点C为AB的中点，所以∠BAD＝45°.设直线l的倾斜角为θ，直线AB

π

的斜率为k，则tan θ＝2，k＝tanθ＋＝－3.又B(5，0)，所以直线AB的方程为y

4＝－3(x－5)，又A为直线l：y＝2x上在第一象限内的点，联立直线AB与直线l的方程，得

y＝－3（x－5），x＝3，

解得，所以点A的横坐标为3. y＝2x，y＝6

【答案】 3

→→

本题法一，把AB·CD＝0的数量关系，转化为CD⊥AB，进而推出∠BAD＝45°，结合图形得出直线AB的斜率，体现核心素养中的直观想象．

(2019·聊城模拟)圆(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直线3x＋4y－11＝0的距离等于1的点的个数为( )

A．1 C．3

B．2 D．4

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|9＋12－11|

解析：选C.因为圆心到直线的距离为＝2，又因为圆的半径为3，所以直线

5与圆相交，由数形结合知，圆上到直线的距离为1的点有3个．

[基础题组练]

1．(2019·陕西榆林二校联考)圆x2＋y2＋4x－2y＋a＝0截直线x＋y－3＝0所得弦长为2，则实数a等于( )

A．2 C．4

B．－2 D．－4

解析：选D.由题知，圆的标准方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝5－a，所以圆心为(－2，1)，半径为5－a，又圆心到直线的距离为解得a＝－4.

2．已知圆C：x2＋y2－2x－2my＋m2－3＝0关于直线l：x－y＋1＝0对称，则直线x＝－1与圆C的位置关系是( )

A．相切 C．相离

B．相交 D．不能确定

|－2＋1－3|

＝22，所以2（5－a）2－（22）2＝2，2

解析：选A.由已知得C：(x－1)2＋(y－m)2＝4，即圆心C(1，m)，半径r＝2，因为圆C关于直线l：x－y＋1＝0对称，所以圆心(1，m)在直线l：x－y＋1＝0上，所以m＝2.由圆心C(1，2)到直线x＝－1的距离d＝1＋1＝2＝r知，直线x＝－1与圆C相切．故选A.

3．已知圆O1的方程为x2＋y2＝4，圆O2的方程为(x－a)2＋y2＝1，如果这两个圆有且只有一个公共点，那么a的所有取值构成的集合是( )

A．{1，－1} C．{1，－1，3，－3}

B．{3，－3}

D．{5，－5，3，－3}

解析：选C.因为两圆有且只有一个公共点，所以两个圆内切或外切，内切时，|a|＝1，外切时，|a|＝3，所以实数a的取值集合是{1，－1，3，－3}．

4．已知圆C：(x－1)2＋y2＝r2(r>0)，设条件p：0A．充分不必要条件 C．充要条件

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B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

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解析：选C.圆心C(1，0)到直线x－3y＋3＝0的距离d＝2.若圆C上至多有2个点到直线x－3y＋3＝0的距离为1，则01

5．若直线y＝－x－2与圆x2＋y2－2x＝15相交于点A，B，则弦AB的垂直平分线的

2方程为________．

解析：圆的方程可整理为(x－1)2＋y2＝16，

所以圆心坐标为(1，0)，半径r＝4，易知弦AB的垂直平分线l过圆心，且与直线AB1

垂直，而kAB＝－，所以kl＝2.由点斜式方程可得直线l的方程为y－0＝2(x－1)，即y＝2x

2－2.

答案：y＝2x－2

6．在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为________．

解析：因为∠AOB＝90°，所以点O在圆C上．设直线2x＋y－4＝0与圆C相切于点D，则点C与点O间的距离等于它到直线2x＋y－4＝0的距离，所以点C在以O为焦点，以直线2x＋y－4＝0为准线的抛物线上，所以当且仅当O，C，D共线时，圆的直径最小为|OD|.又|OD|＝

2

2＝4π. 55

|2×0＋0－4|42

＝，所以圆C的最小半径为，所以圆C面积的最小值为π555

4

答案：π

5

7．已知圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝10，求满足下列条件的圆的切线方程． (1)过切点A(4，－1)；

(2)与直线l2：x－2y＋4＝0垂直．

－2＋11

解：(1)因为kAC＝＝，所以过切点A(4，－1)的切线斜率为－3，所以过切点A(4，

1－43－1)的切线方程为y＋1＝－3(x－4)，即3x＋y－11＝0.

|2－2＋m|

(2)设切线方程为2x＋y＋m＝0，则＝10，所以m＝±52，所以切线方程为

52x＋y±52＝0.

8．已知圆C经过点A(2，－1)，和直线x＋y＝1相切，且圆心在直线y＝－2x上． (1)求圆C的方程；

(2)已知直线l经过原点，并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程． 解：(1)设圆心的坐标为C(a，－2a)，

|a－2a－1|

则（a－2）2＋（－2a＋1）2＝.化简，

2

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得a2－2a＋1＝0，解得a＝1.

所以C(1，－2)，半径|AC|＝（1－2）2＋（－2＋1）2＝2. 所以圆C的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝2.

(2)①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，此时直线l被圆C截得的弦长为2，满足条件．

②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx，由题意得3

解得k＝－，

4

3

所以直线l的方程为y＝－x.

4

综上所述，直线l的方程为x＝0或3x＋4y＝0.

[综合题组练]

1．(2019·贵州黔东南联考)在△ABC中，若asin A＋bsin B－csin C＝0，则圆C：x2＋y2

＝1与直线l：ax＋by＋c＝0的位置关系是( )

A．相切 C．相离

B．相交 D．不确定

|k＋2|＝1，

1＋k2解析：选A.因为asin A＋bsin B－csin C＝0，所以a2＋b2－c2＝0，故圆心C(0，0)到直线l：ax＋by＋c＝0的距离d＝切．

2．已知直线3x＋4y－15＝0与圆O：x2＋y2＝25交于A，B两点，点C在圆O上，且 S△ABC＝8，则满足条件的点C的个数为( )

A．1 C．3

解析：选C.圆心O到已知直线的距离为d＝

|－15|3＋4

2|c|2222＝1，故圆C：x＋y＝1与直线l：ax＋by＋c＝0相a＋b

B．2 D．4

2＝3，因此|AB|＝2

52－32＝8，设

1

点C到直线AB的距离为h，则S△ABC＝×8×h＝8，h＝2，由于d＋h＝3＋2＝5＝r(圆的半

2径)，因此与直线AB距离为2的两条直线中的一条与圆相切，一条与圆相交，故符合条件的点C有三个．

3．过点M(1，2)的直线l与圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝25交于A，B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程是________．

∠ACBd

解析：设圆心C到直线l的距离为d，则有cos＝，要使∠ACB最小，则d要取

2－2

到最大值，此时直线l与直线CM垂直．而kCM＝＝1，故直线l的方程为y－2＝－1×(x

3－1

2020年高考文科数学一轮总复习

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－1)，即x＋y－3＝0.

答案：x＋y－3＝0

4．(2019·黑龙江大庆诊断考试)过动点P作圆：(x－3)2＋(y－4)2＝1的切线PQ，其中Q为切点，若|PQ|＝|PO|(O为坐标原点)，则|PQ|的最小值是________．

解析：由题可知圆(x－3)2＋(y－4)2＝1的圆心N(3，4)．设点P的坐标为(m，n)，则|PN|2

＝|PQ|2＋|NQ|2＝|PQ|2＋1，又|PQ|＝|PO|，所以|PN|2＝|PO|2＋1，即(m－3)2＋(n－4)2＝m2＋n2＋1，化简得3m＋4n＝12，即点P在直线3x＋4y＝12上，则|PQ|的最小值为点O到直线12123x＋4y＝12的距离，点O到直线3x＋4y＝12的距离d＝，故|PQ|的最小值是.

55

12

答案： 5

5．已知点P(2，2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．

(1)求M的轨迹方程；

(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积．

解：(1)圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，所以圆心为C(0，4)，半径为4. →→

设M(x，y)，则CM＝(x，y－4)，MP＝(2－x，2－y)． →→

由题设知CM·MP＝0，故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0， 即(x－1)2＋(y－3)2＝2. 由于点P在圆C的内部，

所以M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.

(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1，3)为圆心，2为半径的圆． 由于|OP|＝|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上． 又P在圆N上，从而ON⊥PM.

1

因为ON的斜率为3，所以l的斜率为－，

318

故l的方程为y＝－x＋.

33

410

又|OM|＝|OP|＝22，O到l的距离为，

5|PM|＝2

2

410410（22）－＝，

552

16

所以△POM的面积为. 5

6．(综合型)(2019·湖南东部六校联考)已知直线l：4x＋3y＋10＝0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方．

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(1)求圆C的方程；

(2)过点M(1，0)的直线与圆C交于A，B两点(A在x轴上方)，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

|4a＋10|5

解：(1)设圆心C(a，0)(a>－)，则＝2⇒a＝0或a＝－5(舍)．

25所以圆C：x2＋y2＝4.

(2)当直线AB⊥x轴时，x轴平分∠ANB，此时N点的横坐标恒大于0即可．

当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，N(t，0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

22

x＋y＝4由得，(k2＋1)x2－2k2x＋k2－4＝0， y＝k（x－1）

k2－42k2y1y2所以x1＋x2＝2，x1x2＝2.若x轴平分∠ANB，则kAN＝－kBN⇒＋＝

k＋1k＋1x1－tx2－tk（x1－1）k（x2－1）2（k2－4）2k2（t＋1）

0⇒＋＝0⇒2x1x2－(t＋1)(x1＋x2)＋2t＝0⇒－＋

x1－tx2－tk2＋1k2＋12t＝0⇒t＝4，

所以当点N为(4，0)时，能使得∠ANM＝∠BNM总成立．

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