动线动角阅读应用

29.一般情况下

abab不成立，但有些数可以使得它成立，例如：ab0. 我们称2323abab使得成立的一对数a,b为“相伴数对”，记为(a,b).

2323（1）若(1,b)是“相伴数对”，求b的值；

（2）写出一个“相伴数对”(a,b)，其中a0，且a1； （3）若(m,n)是“相伴数对”，求代数式m22n[4m2(3n1)]的值. 3

26.某地电话拨号上网有两种收费方式，用户可以任选其一： （A） 计时制：0.05元/分

（B） 包月制：50元/月（限一部个人住宅电话上网）. 此外，每一种上网方式都得加收通信费0.02元/分.

（1） 某用户某月上网的时间为x分钟，请你分别写出两种收费方式下该用户应该支付的

费用.（用含x的代数式表示）

（2） 若某用户估计一个月内上网的时间为20小时，你认为采用哪种方式较为合算？

10.如图所示，数轴上点A、B对应的有理数分别为a、b，下列说法正确的是

ab0 B．ab0 20．下面是一道尚未编完的应用题，请你补充完整，

使列出的方程为2x4(35x)94．

七年级一班组织了“我爱阅读”读书心得汇报评比活动，为了倡导同学们多读书，读好书，老师为所有参加比赛的同学都准备了奖品， ． 12. 小博表演扑克牌游戏，她将两副牌分别交给观众A和观众B，然后背过脸去，请他们各自按照她的口令操作：

a．在桌上摆3堆牌，每堆牌的张数要相等，每堆多于10张，但是不要告诉我； b．从第2堆拿出4张牌放到第1堆里； c．从第3堆牌中拿出8张牌放在第1堆里；

d．数一下此时第2堆牌的张数，从第1堆牌中取出与第2堆相同张数的牌放在第3堆里；

e．从第2堆中拿出5张牌放在第1堆中．

小博转过头问两名观众：“请告诉我现在第2堆有多少张牌，我就能告诉你们最初的每堆牌数．”观众A说5张，观众B说8张，小博猜两人最初每一堆里放的牌数分别为 A．14，17 B．14，18 C．13，16 D．12，16

26．如图1，由于保管不善，长为40米的拔河比赛专用绳AB左右两端各有一段（AC和BD）磨损了，磨损后的麻绳不再符合比赛要求.

已知磨损的麻绳总长度不足20米.只利用麻绳AB和一把剪刀（剪刀只用于剪断麻绳）就可以得到一条长20米的拔河比赛专用绳EF.

请你按照要求完成下列任务：

（1）在图1中标出点E、点F的位置，并简述画图方法； （2）说明（1）中所标EF符合要求.

图1 图2

27．在数轴上，把表示数1的点称为基准点，记作点O. 对于两个不同的点M和N，若点M、点N到点O的距离相等，则称点M与点N互为基准变换点. 例如：图1中，点M表示数1，点N表示数3，它们与基准点O的距离都是2个单位长度，点M与点N互为基准变换点.

•••

图1

（1）已知点A表示数a，点B表示数b，点A与点B互为基准变换点.

① 若a=0，则b= ；若a4，则b= ； ② 用含a的式子表示b，则b= ； （2）对点A进行如下操作：先把点A表示的数乘以

5，再把所得数表示的点沿着数轴向左2移动3个单位长度得到点B. 若点A与点B互为基准变换点，则点A表示的数是 ； （3）点P在点Q的左边，点P与点Q之间的距离为8个单位长度．对P、Q两点做如下操作：点P沿数轴向右移动k（k>0）个单位长度得到P1，P2为P1的基准变换点，点P2沿数轴向右移动k个单位长度得到P3，P4为P3的基准变换点，……,依此顺序不断地重复，得到

P5，P6，…，Pn. Q1为Q的基准变换点,将数轴沿原点对折后Q1的落点为Q2，Q3为Q2的基准变换点, 将数轴沿原点对折后Q3的落点为Q4，……，依此顺序不断地重复，得到Q5，

Q6，…，Qn.若无论k为何值，Pn与Qn两点间的距离都是4，则n= .

10．计算(0.125)A．

201782016结果正确的是（ ）

18 B．

1 C．8 8 D．8

13．北京市的“阶梯水价”收费办法是：每户一年用水不超过180吨，每吨水费5元；超过180吨但不超过260吨，超过的部分，每吨水费加收2元，超过260吨时,超过260吨的部分，每吨水费加收4元,小明家2016年共交水费1187元，那么小明家2016年共用水 吨．

16．下列图案是我国古代窗格的一部分，其中“○”代表窗纸上所贴的剪纸，则第5个图中所贴剪纸“○”的个数为 ，第n个图中所贴剪纸“○”的个数为 ． 28．（5分）阅读材料：求12222324…22017的值． 解：设S12222324…2201622017， 将等式两边同时乘以2得：

2S222232425…2201722018

将下式减去上式得2SS220181 即S220181

即12222…22342017220181

2349请你仿照此法计算：（1）12222…2； （2）155253…5n（其中n为正整数）.

29．(5分)新华书店举行购书优惠活动：

①一次性购书不超过100元，不享受打折优惠；

②一次性购书超过100元但不超过200元一律打九折； ③一次性购书满200元一律打七折．

小丽在这次活动中，两次购书总共付款229.4元，第二次购书原价是第一次购书原价的3倍，那么小丽这两次购书原价的总和是多少元？

选做题（5分）

1．（2分）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是 天.

2．（3分）设a-3，b15，试确定a2016b2017的末位数字是几？

……

1

2

3

……

14. 换算：65.24°＝ 度 分 秒．

A15．《孙子算经》是中国传统数学的重要著作之一，其中记载的“荡杯问题”很有趣． D《孙子算经》记载“今有妇人河上荡杯．津吏问曰：‘杯何以多？’妇人曰：‘家有客．’津吏曰：‘客几何？’妇人

BC曰：‘二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五．’不知客几何？” 译文：“2人同吃一碗饭，3人同吃一碗羹，4人同吃一碗肉，共用65个碗，问有多少客人？”设共有客人x人，可列方程为____________． 24．列方程解应用题：

是中国领土不可分割的一部分，两岸在政治、经济、文化等领域的交流越来越深入， 在北京故宫博物院成立90周年院庆日时，两岸故宫同根同源，合作举办了多项纪念活动．据统计北京故宫博物院与台北故宫博物院现共有藏品约245万件，其中北京故宫博物院藏品数量比台北故宫博物院藏品数量的2倍还多50万件，求北京故宫博物院和台北故宫博物院各约有多少万件藏品．

25．某市为了增强城镇居民抵御大病风险的能力，积极完善城镇居民医疗保险制度，纳入医疗保险的居民大病住院医疗费用的报销比例标准如下表：

医疗费用范围 不超过800元 超过800元且不超过3000元的部分 超过3000元且不超过5000元的部分 超过5000元的部分 报销比例标准 不予报销 50% 60% 70% （1）若某居民一年的大病住院医疗费用为500元，则他按上述标准报销后需花费 ______________元.若某居民一年的大病住院医疗费用为2800元，则他按上述标准报销后需花费______________元.

（2）若某居民一年的大病住院医疗费用为x元，则他按上述标准报销后需花费2380元，你知道x的值吗？

26． 如图，已知点A，B. 按要求完成下列问题： （1）连接AB，取AB中点C； （2）过点C作线段AB的垂线。

（3）在垂线上任取一点M，连接AM，BM.测量AM，BM的长度，通过测量你发现线段AM，BM的大小关系是 ；

（4）观察图形你还能发现那些相等的线段或角 . （至少写出两组）

27．阅读下面的材料，然后回答问题．

德国数学家高斯小时候特别聪明，有一次老师给学生们出了一道将1到100的所有整数加起来的算术题，其他孩子听到问题后都拿出纸笔算了起来，只有高斯刚很快就算出了正确答案。大家都奇怪高斯为什么算的那么快呢？原来高斯注意到这串加数有这样的规律：

1+2+3+4+5+6+...+50+51+...+95+96+97+98+99+100101101101101101101101 100(共对）2

所以，结果等于1011005050. 2应用以上结论解决问题：

（1）计算123...383940_________________

（2）如图，线段AB上有9个点（不包括端点），则图有____________条线段.

（3）百子回归图是由 1，2，3，⋯，100 无重复排列而成的正方形数表，它是一部数化的简史，如：四位“19 99 12 20”标示回归日期，最后一行中间两位“23 50”标示面积，⋯⋯，同时它也是十阶幻方，其每行 10 个数之和、每列

AB10 个数之和、毎条对角线 10 个数之和均相等．则这个和为 ．

（4）只要善于观察，勤于动脑你也可以做一个聪明的小高斯： 计算：357911...20092011201320152017

25．某运动品牌对第四季度A、B两款运动鞋的销售情况进行统计，两款运动鞋的销售量及

总销售额如图所示：

第四季度A、B两款运动鞋销售量统计图

销售量 (双)80A款6560 B款60505240 4026 20第四季度A、B两款运动鞋总销售额统计图

总销售额 (万元)2045

010月11月12月月份10月11月12月月份已知第四季度这两款运动鞋的销售单价保持不变，求12月份的总销售额． （销售额＝销售单价×销售量）

26．在数学活动课上，老师要求同学们用一副三角板拼角，并探索角平分线的画法．

小亮按照老师的要求，画出了30°角的角平分线，画法如下： （1）先按照图1①的方式摆放一副三角板，画出∠AOC；

（2）在∠AOC处，再按照图1②的方式摆放含30°角的三角板，画出射线OB； （3）去掉三角板后得到的图形如图1③，OC就是30°角∠AOB的角平分线．

O

AOAOACBCBC

①

② 图1

③

小健，小康也按照老师的要求，分别用一副三角板拼出了∠ECD和∠PMN，如图2，图3，请你回答：

（1）∠ECD的度数是 °，∠PMN的度数是 °；

（2）请你仿照小亮的画法，只用一副三角板帮小健，小康在下面画出∠ECD和∠PMN

的角平分线．(不写画法，保留画图痕迹)

N

图2

图3

E

P

CMND

27．已知数轴上，点O为原点，点A表示的数为9，动点B，C在数轴上移动，且总保持BC

＝2(点C在点B右侧)，设点B表示的数为m． (1) 如图1，当B，C在线段OA上移动时，

① 若B为OA中点，则AC＝ ；

② 若B，C移动到某一位置时，恰好满足AC＝OB，求此时m的值； BCAxO

图1

AxO

CDEPM

(2) 当线段BC沿射线AO方向移动时，若存在AC－OB＝

备用图

1AB，求满足条件的m值． 3O备用图

Ax我们把按一定规律排列的一列数，称为数列．若对于一个数列中相邻的三个数m，n，p，总满足p＝m2－n，则称这个数列为理想数列．

(1) 若数列3，－2，a，－7，b，…，是理想数列，则a＝ ， b＝ ．

(2) 请写出一个由五个不同正整数组成的理想数列： ． (3) 若数列…，m，n，p，q，…，是理想数列，且q－2p＝1，求代数式

n(n2－3m2－1)9(m2n)5的值．

10.商场为了促销，推出两种促销方式：

方式①：所有商品打8折销售. 方式②：购物每满100元送30元现金．

杨奶奶同时选购了标价为120元和280元的商品各一件，现有四种购买方案： 方案一：120元和280元的商品均按促销方式①购买；

方案二：120元的商品按促销方式①购买，280元的商品按促销方式②购买； 方案三：120元的商品按促销方式②购买，280元的商品按促销方式①购买； 方案四：120元和280元的商品均按促销方式②购买． 你给杨奶奶提出的最省钱的购买方案是

A. 方案一 B.方案二 C.方案三 D.方案四

30. 八达岭森林体验中心,由八达岭森林体验馆和450公顷的户外体验区构成。森林体验 馆包括\"八达岭森林变迁\"、\"八达岭森林大家族\"、\"森林让生活更美好\"等展厅，户外 游憩体验系统根据森林生态旅游最新理念，采取少设施、设施集中的点线布局模式， 突破传统的\"看风景\"旅游模式，强调全面体验森林之美。 在室内展厅内，有这样一个可以动手操作体验的仪器，如图 小明在社会大课堂活动中，记录了这样一组数字：

交通 工具 飞机 小轿车 公共汽车 行驶100公里的碳足迹（Kg） 13.9 22.5 1.3 100公里碳中 和树木棵树 0.06 0.10 0.005 根据以上材料回答问题：

A,B两地相距300公里,小轿车以90公里/小时的速度从A地开往B地；公共汽车以60公里/小时的速度从B开往A地，两车同时出发相对而行，两车在C地相遇，相遇后继续前行到达各自的目的地。

(1）多少小时后两车相遇？

（2）小轿车和公共汽车分别到达目的地,计算小轿车的碳足迹为多少？公共汽车的碳中和树木棵数为多少？

(3)根据观察或计算说明，为了减少环境污染，我们应该选择哪种交通工具出行更有利于环保呢？

八、解答题（本题8分）

31. 阅读下面材料：

点A、B在数轴上分别表示实数a、b, A、B两点之间的距离表示为AB. 当A、B两点中有一点在原点时, 不妨设点A在原点, 如图甲, AB=OB=∣b∣=∣a  b∣; 当A、B两点都不在原点时,

① 如图乙, 点A、B都在原点的右边, AB = OB  OA = | b |  | a | = b  a = | a b |; ② 如图丙, 点A、B都在原点的左边,

AB = OB  OA = | b |  | a | =  b  (a) = | a b | ;

图丙 图乙 图甲

O (A) 0 O A 0 a

B b B b

B A b a

O 0

23．暖羊羊有5张写着不同数字的卡片，请你按要求选择卡片，完成下列各问题：

（1）从中选择两张卡片，使这两张卡片上数字的乘积最大．

这两张卡片上的数字分别是 ，积为 _． （2）从中选择两张卡片，使这两张卡片上数字相除的商最小．

这两张卡片上的数字分别是 ，商为 ．

（3）从中选择4张卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当方法（可加括号），使其运算结果为24，写出运算式子．（写出一种即可）

26．探究规律，完成相关题目

沸羊羊说：“我定义了一种新的运算，叫❈（加乘）运算．”

然后他写出了一些按照❈（加乘）运算的运算法则进行运算的算式：

(5)❈(2)7；

(3)❈(5)8； (5)❈(6)11； (6)❈06．

(3)❈(4)7；

0❈(8)8；

智羊羊看了这些算式后说：“我知道你定义的❈（加乘）运算的运算法则了．” 聪明的你也明白了吗？

（1）归纳❈（加乘）运算的运算法则：

两

数

进

行

❈

（

加

乘

）

运

算

时

，

_________________________________________________________．

特别地，0和任何数进行❈（加乘）运算，或任何数和0进行❈（加乘）运算，_________________．

（2）计算：（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致） (2)❈[0❈(1)] ．（3）我们知道加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的❈（加乘）运算中还适用吗？请你任选一个运算律，判断它在❈（加乘）运算中是否适用，并举例验证．（举一个例．．．．子即可）

27．阅读材料，并回答问题

如图，有一根木棒MN放置在数轴上，它的两端M、N分别落在点A、B．将木棒在数轴上水平移动，当点M移动到点B时，点N所对应的数为20，当点N移动到点A时，点M所对应的数为5． （单位：cm）

由此可得，木棒长为__________cm．

借助上述方法解决问题：

一天，美羊羊去问村长爷爷的年龄，村长爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢，你若是我现在这么大，我已经是老寿星了，116岁了，哈哈！”美羊羊纳闷，村长爷爷到底是多少岁？

请你画出示意图，求出村长爷爷和美羊羊现在的年龄，并说明解题思路．

25．如图，AOB120，点C为∠AOB内部一点，OD平分∠BOC，OE平分∠AOD．

（1）如果AOC30，依题意补全图形；

（2）在（1）的条件下，写出求∠EOC度数的思路（不必写出完整的推理过程）； ．．（3）如果AOC（0°＜α＜120°），直接用含α的代数式表示∠EOC的度数． ．．

BBOAO备用图

A

26．我们已经学习了“乘方”运算，下面介绍一种新运算，即“对数”运算．

定义：如果abN（a＞0，a≠1，N＞0），那么b叫做以a为底N的对数，

记作logaNb．

例如：因为53125，所以log51253；因为112121，所以log111212． 根据“对数”运算的定义，回答下列问题：

（1）填空：log66 ，log381 ． （2）如果log2m23，求m的值．

（3） 对于“对数”运算，小明同学认为有“logaMNlogaMlogaN（a＞0，a≠1，

M＞0，N＞0）”，他的说法正确吗？如果正确，请给出证明过程；如果不正确，请说明理由，并加以改正．

24．（4分）如图，由于保管不善，长为40米的拔河比赛专用绳AB左右两端各有一段（AC

和BD）磨损了，磨损后的麻绳不再符合比赛要求.已知磨损的麻绳总长度不足20米.只利用麻绳AB和一把剪刀（剪刀只用于剪断麻绳）就可以得到一条长20米的拔河比赛专用绳EF. 请你按照要求完成下列任务：

（1）在图中标出点E，点F的位置，并简述画图方法； （2）请说明（1）题中所标示E、F点的理由.

6．（3分）在数轴上，点A向右移动1个单位得到点B，点B向右移动（n＋5）（n为正整

数）个单位得到点C，点A，B，C分别表示有理数a，b，c. 若n＝1.

（1）点A，B，C三点在数轴上的位置如图所示，a，b，c三个数的乘积为正数， 数轴上原点的位置可能（ ）

A．在点A左侧或在A，B两点之间 B．在点C右侧或在A，B两点之间 C．在点A左侧或在B，C两点之间 D．在点C右侧或在B，C两点之间 （2）若这三个数的和与其中的一个数相等，求a的值．

③ 如图丁, 点A、B在原点的两边

图丁

B O b 0

A a

AB = OA + OB = | a | + | b | = a + (b) = | a b |. 综上, 数轴上A、B两点之间的距离AB=∣a  b∣. (2) 回答下列问题：

① 数轴上表示2和5的两点之间的距离是______ , 数轴上表示 2和 5的两点之间的距离是______ , 数轴上表示1和 3的两点之间的距离是______ ;

② 数轴上表示x和 1的两点分别是点A和B，则A、B之间的距离是______ , 如果AB=2, 那么x=________ ;

③ 当代数式∣x +2∣+∣x 5∣取最小值时, 相应的x的取值范围是____________. ④ 当代数式x1x2x5取最小值时, 相应的x的值是_________. ⑤ 当代数式x5x2取最大值时, 相应的x的取值范围是_________________. 11.下表为某用户银行存折中2015年11月到2016年5月间代扣水费的相关数据，其中扣缴

水费最多的一次的金额为（ ） 日期 151101 160101 160301 160501

A．738.53元 B．125.45元 C．136.02元 D．477.58元 12.在长方形ABCD中放入六个长、宽都相同的小长方形，尺寸如图所示，求小

长方形的宽AE．若设AE=x（cm），依题意可列方程（ ）

A．6＋2x=14－3x B．6＋2x=x＋（14－3x） C．14－3x=6 D．6＋2x=14－x 10. 我国明代珠算家程

大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名算题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，试问大、小和尚各多少人？设大和尚有x人，依题意列方程得

摘要 北京水费 北京水费 北京水费 北京水费 币种 RMB钞 RMB钞 RMB钞 RMB钞 存/取款金额 －125.45 －136.02 －132.36 －128.59 余额 874.55 738.53 606.17 477.58 操作员 010005B25 010005Y03 010005D05 010005K19 备注 折 折 折 折 xx3(100x)100 B. 3(100x)100 33100x100xC. 3x100 D.3x100

33

A.

25. 阅读材料：对于任何数，我们规定符号

abab的意义是：ad-bc．例如：

cdcd12341×4-2×3=-2.．

（1）按照这个规定，请你计算

52-212的值．

2x-1（2）按照这个规定，当

x+2=5 时，求x的值．

26.如图1，O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC. （1）若AOC30，则∠DOE的度数为 ；

（2）将图①中的∠COD绕顶点O顺时针旋转至图②的位置，其他条件不变, 探究∠AOC和∠DOE的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；

（3）将图①中的∠COD绕顶点O顺时针旋转至图③的位置，其他条件不变,直接写出∠AOC和∠DOE的度数之间的关系： ．

CECDEAOBDOBA

图 ②

图①

AOBDCE

图③

27.某水果批发市场苹果的价格如下表

购买苹果 (千克) 每千克的价格 不超过20千克 20千克以上 但不超过40千克 5元 40千克以上 4元 6元 （1）小明分两次共购买40千克，第二次购买的数量多于第一次购买的数量,共付出216元,小明第一次购买苹果____ ____千克，第二次购买____ _______千克。 （2）小强分两次共购买100千克，第二次购买的数量多于第一次购买的数量,且两次购买每千克苹果的单价不相同,共付出432元，请问小强第一次,第二次分别购买苹果多少千克？（列方程解应用题）

10.按一定规律排列的一列数依次为：-2，5，-10，17，-26，…，按此规律排列下去，这列数中第9个数及第n个数（n为正整数）分别是

A.82，-n2+1 B.82，(-1)n(n2+1) C. -82，(-1)n(n2+1) D.-82，3n+1

27. 如图,数轴上点A对应的有理数为20，点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发，点Q以每秒4个单位长度的速度从原点O出发，且P，Q两点同时向数轴正方向运动，设运动时间为t秒.

O0A20

（1）当t =2时，P，Q两点对应的有理数分别是 , ,PQ = ； （2）当PQ=10时，求t的值.

28.已知：如图，OA⊥OB，∠BOC=50°，且∠AOD:∠COD=4:7． 画出∠BOC的角平分线OE，并求出∠DOE的度数．

29.小聪和小敏在研究绝对值的问题时，遇到了这样一道题：

当式子|x-1|+|x+5|取最小值时，x应满足的条件是 ，此时的最小值是 .

小聪说：利用数轴求线段的长可以解决这个问题.如图，点A,B对应的数分别为-5,1，则线段AB的长为6，我发现也可通过|1-（-5）|或|-5-1|来求线段AB的长，即数轴上两点间的线段的长等于它们所对应的两数差的绝对值.

小敏说：我明白了，若点C在数轴上对应的数为x,线段AC的长就可表示为|x-（-5）|,那么|x-1|表示的是线段 的长.

CDBOA小聪说：对，求式子|x-1|+|x+5|的最小值就转化为数轴上求线段AC+BC长的最小值，而点C在线段AB上时AC+BC=AB最小，最小值为6.

小敏说：点C在线段AB上，即x取-5,1之间的有理数（包括-5,1），因此相应x的取值

范围可表示为-5≤x≤1时，最小值为6.

请你根据他们的方法解决下面的问题：

（1）小敏说的|x-1|表示的是线段 的长；

（2）当式子|x-3|+|x+2|取最小值时，x应满足的条件是 ； （3）当式子|x-2|+|x+3|+|x+4|取最小值时，x应满足的条件是 ； （4）当式子|x- a|+|x- b|+|x- c|+|x- d|(a是 ，此时的最小值是 .

A． C．

A-50B1ab0 D．ab0

AECFB24. 如图1, 线段AB=10，点C, E, F在线段AB上.

（1）如图2, 当点E, 点F是线段AC和线段BC的中点时， 求线段EF的长;

AECFB图1（2）当点E, 点F是线段AB和线段BC的中点时，请你

图218. 在某多媒体电子杂志的某一期上刊登了“正方形雪花图案的形成”的演示案例：作一个正方形,设每边长

为4a，将每边四等分，作一凸一凹的两个边长为a的小正方形，得到图形如图（2）所示，称为第一次

变化，再对图（2）的每个边做相同的变化， 得到图形如图（3），称为第二次变化.如此 连续作几次，便可得到一个绚丽多彩的雪花 图案．如不断发展下去到第n次变化时，图 形的面积是否会变化，________（填写“会” 或者“不会”），图形的周长为 .

(1)(2)第一次变化(3)第二次变化写出线段EF与线段AC之间的数量关系并简要说明理由.

25. 先阅读，然后答题.

ACB(备用图）阿基米德测皇冠的故事

叙古拉国王艾希罗交给金匠一块黄金，让他做一顶王冠。王冠做成后，国王拿在手里觉得有点轻。他怀疑金匠掺了假，可是金匠以脑袋担保说没有，并当面拿秤来称，结果与原来的金块一样重。国王还是有些怀疑，可他又拿不出证据，于是把阿基米德叫来，要他来解决这个难题。 回家后，阿基米德闭门谢客，冥思苦想，但百思不得其解。 一天，他的夫人逼他洗澡。当他跳入池中时，水从池中溢了出来。阿基米德听到那哗哗哗的流水声，灵感一下子冒了出来。他从池中跳出来，连衣服都没穿，就冲到街上，高喊着：\"优勒加！优勒加！（意为发现了）\"。夫人这回可真着急了，嘴里嘟囔着\"真疯了，真疯了\"，便随后追了出去。街上的人不知发生了什么事，也都跟在后面追着看。 原来，阿基米德由澡盆溢水找到了解决王冠问题的办法：相同质量的相同物质泡在水里，溢出的水的体积应该相同。如果把王冠放到水了，溢出的水的体积应该与相同质量的金块的体积相同，否则王冠里肯定掺有假。阿基为德跑到王宫后立即找来一盆水，又找来同样重量的一块黄金，一块白银，分两次泡进盆里，白银溢出的水比黄金溢出的几乎要多一倍，然后他又把王冠和金块分别泡进水盆里，王冠溢出的水比金块多，显然王冠的质量不等于金块的质量，王冠里肯定掺了假。在铁的事实面前，金匠不得不低头承认，王冠里确实掺了白银。烦人的王冠之谜终于解开了。

小明受阿基米德测皇冠的故事的启发，想要做以下的一个探究：

小明准备了一个长方体的无盖容器和A,B两种型号的钢球若干. 先往容器里加入一定量的水，如图，水高度为30mm，水足以淹没所有的钢球.

探究一：小明做了两次实验，先放入3个A型号钢球，水面的高度涨到36mm；把3个A型号钢球捞出，再放入2个B型号钢球，水面的高度恰好也涨到36mm. 13．清人徐子云《算法大成》中有一首名为“寺内僧多少”的诗： 26．列方程解应用题：

门头沟盛产名特果品，东山的京白梨，灵水的核桃，柏峪的扁杏仁，龙泉雾的香白杏， 火村红杏，太子墓的红富士苹果，陇驾庄盖柿都是上等的干鲜果品，有的曾为皇宫供品，至今在国内享有盛名．秋收季节，某公司打算到门头沟果园基地购买一批优质苹果． 果园基地对购买量在1000千克（含1000千克）以上的有两种销售方案，方案一：每千克10元，由基地送货上门；方案二：每千克8元，由顾客自己租车运回．已知该公司租车从基地到公司的运输费为5000元．

（1）公司购买多少千克苹果时，选择两种购买方案的付款费用相同； （2）如果公司打算购买3000千克苹果，选择哪种方案付款最少？为什么？

27．如图，点O是直线AB上的一点，将一直角三角板如图摆放，过点O作射线OE平分BOC．

（1）如图1，如果AOC40，依题意补全图形，写出求∠DOE度数的思路（不必写．．

出完整的推理过程）；

（2）当直角三角板绕点O顺时针旋转一定的角度得到图2，使得直角边OC在直线AB

的上方，若AOC，其他条件不变，请你直接用含α的代数式表示∠DOE的度数；

（3）当直角三角板绕点O继续顺时针旋转一周，回到图1的位置，在旋转过程中你发

现AOC与∠DOE（0AOC180，0DOE180）之间有怎样的数量关系？请直接写出你的发现． C DCE AO BAOBD图1 图2

28. 探究多边形内角和问题.

连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线.从多边形某一个顶点出发的对角线可以把一个多边形分成几个三角形.这样就把多边形内角和问题转化为三角形内角和问题了.

(1)请你试一试，做一做，把下面表格补充完整：

名称 三角形 图形 内角和 180° 四边形 五边形 六边形 ... ... 2180°=360° ... 根据表格探究发现的规律，完成下面的问题： （2）七边形的内角和等于 度；

（3）如果一个多边形有n条边，请你用含有n的代数式表示这个多边形的内角和： .

2

29.我们把形如x=a(其中a是常数且a≥0)这样的方程叫做x的完全平方方程. 如：x=9,(3𝑥−2

2

)2=25,(

𝑥+13

−𝑥)=4......都是完全平方方程.

2

那么如何求解完全平方方程呢？ 探究思路：

我们可以利用“乘方运算”把二次方程转化为一次方程进行求解.

如：解完全平方方程x2=9 的思路是：由(+3)2=9,(−3)2=9,可得𝑥1=3，𝑥2=-3. 解决问题：

（1）解方程：(3𝑥−2)2=25.

解题思路：我们只要把 3x-2 看成一个整体就可以利用乘方运算进一步求解方程了. 解：根据乘方运算，得3x-2=5 或 3x-2= __ ___ .

分别解这两个一元一次方程，得𝑥1=（2）解方程（7，𝑥2=-1. 3x12x）4. 3

30.已知∠EOC=110°，将角的一边OE绕点O旋转，使终止位置OD和起始位置OE成一条直线，以点O为中心将OC顺时针旋转到OA，使∠COA=∠DOC,过点O作∠COA的平分线OB. （1）借助量角器、直尺补全图形； （2）求∠BOE的度数.

COE

31.如图所示，点C是线段AB上的一点，点D是线段AB的中点，点E是线段BC的中点.

ADCEB

（1）当AC=8,BC=6时，求线段DE的长度；

（2）当AC=m,BC=n（m>n）时，求线段DE的长度； （3）从（1）（2）的结果中，你发现了什么规律？请直接写出来.

27. 已知正方体的展开图如图所示，如果正方体的六个面分别用字母A,B,C,D,E,F表示，当各面上的数分别与它对面的数互为相反数，且满足B=1,C=-a-2a+1,D=-1,E=3a+4,F=2-a时, 10. 若∣a+b∣=-(a+b)， 则下列符合条件的数轴是

31．当a0时，请解答下列问题：

（1）求

2

a的值； a（2）若b0，且

aaabb的值． 0，求abb8．元旦，是公历新一年的第一天．“元旦”一词最早出现于《晋书》：“颛帝以孟夏正月为元，其实正朔元旦之春 ”．中国古代曾以腊月、十月等的月首为元旦．1949年中华人民共和国以公历1月1日为元旦，因此元旦在中国也被称为“阳历年”．为庆祝元旦，人民商场举行促销活动，促销的方法是“消费超过100元时，所购买的商品按原价打8折后，再减少20元”．若某商品的原价为x元（x＞100），则购买该商品实际付款的金额（单位：元）是

A． 80%x－20 B．80%（x－20）

C． 20%x－20 D．20%（x－20）

26．阅读材料．

点M，N在数轴上分别表示数m和n，我们把m，n之差的绝对值叫做点M，N之间的距离，即MN=|m-n|．如图，在数轴上，点A，B，O，C，D的位置如图所示，则DC=|3-1|=|2|=2；CO=|1-0|=|1|=1；BC=|(-2)-1|=|-3|=3；AB=|(-4)-(-2)|=|-2|=2．

28．对于两个不相等的有理数a，b，我们规定符号max{a,b}表示a，b中的较大值，

如max{2,3}2，max{1,0}0.请解答下列问题： （1）max{1,1} ；

（2）如果max{x,2x}x，求x的取值范围； （3）如果max{x,2x}2x15，求x的值.

（1）OA= ， A B O C D BD= ； （2）|1-(-4)|表示哪两点的距离？

（3）点P为数轴上一点，其表示的数为x，用含有x的式子表示BP= ，

当BP=4时，x= ；当|x-3|+|x+2|的值最小时，x的取值范围是 ．

27．阅读材料．

某校七年级共有10个班，320名同学，地理老师为了了解全年级同学明年选考时，选修地理学科的意向，请小丽，小明，小东三位同学分别进行抽样调查．三位同学调查结果反馈如下：

23．阅读下面材料： 地理课选修意向调查结果 地理课选修意向调查结果 数学课上，老师给出了如下问题：调 查 人： 小明 调 查 人： 小东 如图，∠AOB=80°，OC平分∠AOBBODCOD调查对象： ．若∠七年级各班 =20°，请你补全图形，并求∠调查对象：七年级各班学号 的度数． 地理课代表 为3的倍数的同学

–4–3–2–10123425A ：2018年1月5日 调查时间 ：2018年1月5日 调查时间调查人数 ： 10 有意向选择地理共计 9 人 无意向选择地理共计 1 人 C调查人数 ： 80 有意向选择地理共计 30 人 无意向选择地理共计 50 人 O以下是小明的解答过程：

B

解：如图1，因为OC平分∠AOB，∠AOB=80°，

所以BOC=________AOB=_________°． 因为∠BOD=20°，

所以COD °．

小静说：“我觉得这个题有两种情况，小明考虑的是OD在

ACOBD∠AOB外部的情况，事实上，OD还可能在∠AOB的内部” ． 图1 完成以下问题：

（1）请你将小明的解答过程补充完整；

（2）根据小静的想法，请你在图2中画出另一种情况对应的图形，并直接写出此时∠

COD的度数为 °．

ACO图2

B

24．对于任意有理数a，b，定义运算：a⊙b=a(ab)1，等式右边是通常的加法、减法、

乘法运算，例如，2⊙5=2×（2+5）－1=13；(3)⊙(5)＝3(35)123． （1）求(2)⊙3的值；

（2）对于任意有理数m，n，请你重新定义一种运算“⊕”，使得5⊕3＝20，写出你定

义的运算：m⊕n＝ （用含m，n的式子表示）．

25．自2014年5月1日起，北京市居民使用自来水实施阶梯水价，具体标准如下表：

阶梯 户年用水量（m3） 水价 （元/m3） 5 7 9 水费 2.07 4.07 6.07 1.57 1.36 分类价格（元/m3） 水资源费 污水处理费 12第一阶梯 0～180（含） 第二阶梯 181～260（含） 第三阶梯 260以上 例如，某户家庭年使用自来水200 m3，应缴纳：180×5+（200－180）×7=1040元； 某户家庭年使用自来水300 m3，应缴纳：180×5+（260－180）×7+（300－260）×9=1820元．

（1）小刚家2016年共使用自来水170 m3，应缴纳 元；小刚家2017年

共使用自来水260 m3，应缴纳 元．

（2）小强家2017年使用自来水共缴纳1180元，他家2017年共使用了多少自来水？

26．如图，数轴上点A,B表示的有理数分别为-6，3，点P是射线AB上的一个动点（不与

点A,B重合），M是线段AP靠近点A的三等分点，N是线段BP靠近点B的三等分点． （1）若点P表示的有理数是0，那么MN的长为 ；若点P表示的有理数

是6，那么MN的长为 ．

（2）点P在射线AB上运动（不与点A,B重合）的过程中，MN的长是否发生改变？

若不改变，请写出求MN的长的过程；若改变，请说明理由．

27．观察下面的等式：

5112+3； 223112+3； 1112+3；

15()12+3； 22(2)142+3．

回答下列问题：

（1）填空： 152+3；

（2）已知21x2+3，则x的值是 ；

（3）设满足上面特征的等式最左边的数为y，求y的最大值，并写出此时的等式．

地理课选修意向调查结果 调 查 人： 小丽 调查对象： 七（1）班 全体同学 调查时间 ：2018年1月5日 调查人数 ： 30 有意向选择地理共计 12 人 无意向选择地理共计 18 人 （1）小丽、小明和小东三人中，你认为哪位同学的调查结果较好地反映了该校七年级同学

选修地理的意向，请说出理由．

（2）估计全年级有意向选修地理的同学的人数为_______人，理由是 ．

28．阅读材料．

我们知道，1+2+3+…+n=

n(n1)，那么12+22+32+…+n2结果等于多少呢？ 2在图1所示三角形数阵中，第1行圆圈中的数为1，即12，第2行两个圆圈中数的和为2+2，即22，…；第n行n个圆圈中数的和为n+n+n+…+n，即n2．这样，该三角形数阵有

n(n1)个圆圈，所有圆圈中数的和为12+22+32+…+n2． 2 第1行……………… 第2行……………… 第3行………………

第（n－1）行……… 第n行………………

图1

………………12 ………………22 ………………32

………（n－1）2 ………………n2

28. 十九大报告中提出“广泛开展全民健身活动，加快推进体育强国建设”.为了响应号召，

提升学生训练兴趣，某中学自编“功夫扇”课间操.若设最外侧两根大扇骨形成的角为∠COD，当“功夫扇”完全展开时∠COD=160°. 在扇子舞动过程中，扇钉O始终在水平线AB上.

小华是个爱思考的孩子，不但将以上实际问题抽象为数学问题，而且还在抽象出的图中画出了∠BOC 的平分线OE，以便继续探究.

（1）当扇子完全展开且一侧扇骨OD呈水平状态时，如图1所示. 请在抽象出的图2中

画出∠BOC 的平分线OE，此时∠DOE的度数为 ；

CA图1O图2DB

（2）“功夫扇”课间操有一个动作是把扇子由图1旋转到图3所示位置，即将图2中的∠

COD绕点O旋转至图4所示位置，其他条件不变，小华尝试用如下两种方案探究了∠AOC和∠DOE度数之间的关系.

C

方案一：设∠

图3EAOBD图4BOE的度数为x.

11可得出AOC=180-2x，则x=（180-AOC）=90-AOC.

22DOE=160-x，则x=160-DOE.

进而可得∠AOC和∠DOE度数之间的关系.

方案二：如图5，过点O作∠AOC的平分线OF.

FCEAOB1易得EOF=90，即AOC+COE=90.

2 由COD=160，可得DOE+COE=160.

进而可得∠AOC和∠DOE度数之间的关系.

D图5参考小华的思路可得∠AOC和∠DOE度数之间的关系为 ；

（3）继续将扇子旋转至图6所示位置，即将∠COD绕点O旋转至如图7所示的位置，

其他条件不变,请问（2）中结论是否依然成立？说明理由．

【规律探究】

将三角形数阵经两次旋转可得如图2所示的三角形数阵，观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数（如第n﹣1行的第一个圆圈中的数分别为n﹣1，2，n），发现每个位置上三个圆圈中数的和均为 ，由此可得，这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为3（12+22+32+…+n2）= ，因此，12+22+32+…+n2= ． 【解决问题】

122232...102根据以上发现，计算：的结果为 ．

123...10图6ADOBEC图7图2

32．我们规定：若关于x的一元一次方程axb的解为ba，则称该方程为“和解方程”． 例

如：方程2x4的解为x2，而242，则方程2x4为“和解方程”． 请根据上述规定解答下列问题：

（1）已知关于x的一元一次方程3xm是“和解方程”，求m的值； （2）已知关于x的一元一次方程2xmnn是“和解方程”，并且它的解是xn，

求m，n的值．

29.分类讨论是一种非常重要的数学方法，如果一道题提供的已知条件中包含几种情况，我

们可以分情况讨论来求解.例如：若x2，y3求xy的值.

情况若x=2，y=3时，xy=5 情况若x=2，y=-3时，xy=-1 情况③若x=-2，y=3时，xy=1 情况④若x=-2，y=-3时，xy=-5 所以，xy的值为1，-1，5，-5. 几何的学习过程中也有类似的情况:

问题（1）:已知点A，B，C在一条直线上，若AB=8，BC=3则AC长为多少？ 通过分析我们发现，满足题意的情况有两种

情况当点C在点B的右侧时，如图1，此时，AC=

情况当点C在点B的左侧时， 如图2此时，AC=

通过以上问题，我们发现，借助画图可以帮助我们更好的进行分类.

问题(2):如图,数轴上点A和点B表示的数分别是-1和2，点C是数轴上一点，且BC=2AB，则点C表示的数是多少？

仿照问题1，画出图形，结合图

形写出分类方法和结果.

01a01bb ① ②

a

01a01b ab

③ ④

A ①② B ②③ C ③④ D ①③

29. 如图，正方形ABCD的边AB在数轴上，数轴上点A表示的数为-1，正方形ABCD的面积

为16.

（1）数轴上点B表示的数为 ；

（2）将正方形ABCD沿数轴水平移动，移动后的正方形记为A'B'C'D'，移动后的

正方形A'B'C'D'与原正方形ABCD重叠部分的面积记为S. ① 当S =4时，画出图形，并求出数轴上点A'表示的数；

② 设正方形ABCD的移动速度为每秒2个单位长度，点E为线段AA'的中点，点F在线段BB'上，且BF直接写出t的值.

1BB. 经过t秒后，点E，F所表示的数互为相反数，4

CD

BAO1CDBAO1 求A面表示的数值.

FABCDE28．本学期我们学习了“有理数乘方”运算，知道乘方的结果叫做“幂”，下面介绍一种有

关“幂”的新运算． 定义：am与an（a0，m、n都是正整数）叫做同底数幂，同底数幂除法记作aman．

运算法则如下：

当mn时，amanamn; aman=当mn时，aman1;1当mn时，amannm.a根据“同底数幂除法”的运算法则，回答下列问题：

11（1）填空： ，4345 ．

22（2）如果3x133x-4（3）如果x12x+2521，求出x的值． 27x+6x11，请直接写出x的值．

16.学习了有理数的运算后，老师出了一道题：计算-5-3的值，小罗同学是这样做的：-5-3=-5+（-3）=-8，他的理由是：减去一个数等于加上这个数的相反数.聪明的你还有什么方法计算此题？请写出你的计算过程： ， 你这样计算的理由是： 28. 探究多边形内

角和问题.

连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线.从多边形某一个顶点出发的对角线可以把一个多边形分成几个三角形.这样就把多边形内角和问题转化为三角形内角和问题了.

(1)请你试一试，做一做，把下面表格补充完整：

名称 三角形 四边形 五边形 六边形 ... ... ... 2180°=360° 图形 内角和 180° 根据表格探究发现的规律，完成下面的问题： （2）七边形的内角和等于 度；

（3）如果一个多边形有n条边，请你用含有n的代数式表示这个多边形的内角和： .

2

29.我们把形如x=a(其中a是常数且a≥0)这样的方程叫做x的完全平方方程. 如：x2=9,(3𝑥−2)2=25,(

𝑥+13

−𝑥)=4......都是完全平方方程.

2

那么如何求解完全平方方程呢？ 探究思路：

我们可以利用“乘方运算”把二次方程转化为一次方程进行求解.

如：解完全平方方程x2=9 的思路是：由(+3)2=9,(−3)2=9,可得𝑥1=3，𝑥2=-3. 解决问题：

（1）解方程：(3𝑥−2)2=25.

解题思路：我们只要把 3x-2 看成一个整体就可以利用乘方运算进一步求解方程了. 解：根据乘方运算，得3x-2=5 或 3x-2= __ ___ .

分别解这两个一元一次方程，得𝑥1=（2）解方程（7，𝑥2=-1. 3x12x）4. 3

30.已知∠EOC=110°，将角的一边OE绕点O旋转，使终止位置OD和起始位置OE成一条直线，以点O为中心将OC顺时针旋转到OA，使∠COA=∠DOC,过点O作∠COA的平分线OB. （1）借助量角器、直尺补全图形； （2）求∠BOE的度数.

31.如图所示，点C是线段AB上的一点，点D是线段AB的中点，点E是线段BC的中点.

COEADCEB

（1）当AC=8,BC=6时，求线段DE的长度；

（2）当AC=m,BC=n（m>n）时，求线段DE的长度； （3）从（1）（2）的结果中，你发现了什么规律？请直接写出来.

巍巍古寺在山林，不知寺中几多僧．

三百六十四只碗，众僧刚好都用尽． 三人共食一碗饭，四人共吃一碗羹． 请问先生明算者，算来寺内几多僧．

诗的大意是：在巍巍的大山和茂密的森林之中，有一座千年古寺，寺中有3只碗，要是3个和尚共吃一碗饭，4个和尚共喝一碗粥，这些碗刚好用完，问寺内有多少和尚？设有和尚x人，由题意可列方程为_______________________． 由此可知A型号与B型号钢球的体积比为____________；

探究二：小明把之前的钢球全部捞出，然后再放入A型号与B型号 钢球共10个后，水面高度涨到57mm，问放入水中的A型号与B型号钢 球各几个？

26. 对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对（a，b）与（c，d）.我们规定：

（a，b）★（c，d）=bc－ad. 例如：（1，2）★（3，4）=2×3－1×4=2． 根据上述规定解决下列问题：

（1）有理数对（2，－3）★（3，－2）= ;

（2）若有理数对（－3，2x－1）★（1，x+1）=7，则x= ;

（3）当满足等式（－3，2x－1）★（k，x＋k）=5＋2k的x是整数时，求整数k的值．

27．如图1，在数轴上A，B两点对应的数分别是6, -6，DCE90（C与O重合，D点在数轴的正半轴上）

（1）如图1，若CF 平分ACE，则AOF_________;

（2）如图2，将DCE沿数轴的正半轴向右平移t(0①当t=1时，=_______;

②猜想BCE和的数量关系，并证明;

（3）如图3，开始D1C1E1与DCE重合，将DCE沿数轴的正半轴向右平移t(060mm30mm_________.

EFD23AB-3-2-1O(C)1图1EFD1C23A

B-3-2-1O图2FE1EC1F1-3-2-1OD

B12C3AD1图3