线性代数考试题及答案解析

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2009－2010

学年第一学期期末考试

《线性代数》试卷

答卷说明：1、本试卷共6页，五个大题，满分100分，120分钟完卷。 2、闭卷考试。

一 二 三 四 五 总分 题号 分数

评阅人:_____________ 总分人：______________

得分 一、单项选择题。(每小题3分,共24分)

3111【 】1.行列式

13111131

1113(A)0 (B) 1 (C) 2 (D)3

【 】2.设A为3阶方阵，数2，A3，则A

(A) 24 (B) 24 (C) 6 (D) 6 【 】3.已知A,B,为n阶方阵，则下列式子一定正确的是

(A)ABBA (B)(AB)2A22ABB2 (C)ABBA (D) (AB)(AB)A2B2 【 】4.设A为3阶方阵, Aa0，则A

(A) a （B) a2 (C) a3 (D) a4 【 】5.设矩阵A与B等价，则有

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(A) R(A)R(B) (B) R(A)R(B)

(C) R(A)R(B) (D) 不能确定R(A)和R(B)的大小

【 】6.设n元齐次线性方程组Ax0的系数矩阵A的秩为r，则Ax0有非零解

的充分必要条件是

(A) rn (B) rn (C) rn (D) rn 【 】7. 向量组a1,a2,,am(m2)线性相关的充分必要条件是

(A) a1,a2,,am中至少有一个零向量 (B) a1,a2,,am中至少有两个向量成比例

(C) a1,a2,,am中每个向量都能由其余m1个向量线性表示 (D) a1,a2,,am中至少有一个向量可由其余m1个向量线性表示 【 】8. n阶方阵A与对角阵相似的充分必要条件是

(A)R(A)n (B)A有n个互不相同的特征值 (C)A有n个线性无关的特征向量 (D)A一定是对称阵

二、填空题。(每小题3分,共15分) 得分

1.已知3阶行列式D的第2行元素分别为1,2,1，它们的余子式分别为1,1,2，则

D 。

2.设矩阵方程0146X21，则X 。 103.设x是非齐次线性方程组Axb的一个特解，1,2为对应齐次线性方程组则非齐次线性方程组Axb的通解为 . Ax0的基础解系，

4.设mn矩阵A的秩R(A)r，则n元齐次线性方程组Ax0的解集S的最大无关组S0的秩Rs0 。

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5.设是方阵A的特征值，则 是A2的特征值 得分 三、计算题(每小题8分,共40分).

11．计算行列式

121

12.已知矩阵A24

025213101。

3420213，求其逆矩阵A1。

18 专业技术参考资料

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3.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知1,2,3是它的三个解向量且

21321，23，求该方程组的通解。

4354

4.求矩阵A

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21的特征值和特征向量。 12WORD格式整理

5.用配方法化二次型fx12x25x32x1x22x1x36x2x3成标准型。

四、综合体(每小题8分,共16分)

1. 解下列非齐次线性方程组 得分 2222x1x2x3x41 4x12x22x3x42

2xxxx11234

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2. 已知向量组

123 a12,a23,a31 3116 求(1)向量组的秩；(2)向量组的一个最大无关组，并把不属于最大无关组的向量用该最大无关组线性表示。

得分 五、证明题（5分）

2证明：设n阶方阵A满足AA2E0，证明A及A2E都可逆，并 求A及(A2E)。

11

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一、单项选择题。(每小题3分,共24分

1 A 2 B 3 C 4 B 5 C 6 C 7 D 8 C 二、填空题。(每小题3分,共15分) 1. 4 2.21 3. xc11c22(c1,c2R) 4. nr 5. 462

三、计算题(每小题8分,共40分). 1.

25102512130232………………（2分） 解：=21010141113420327251001411………………（2分） =00520001040251001411………………（2分） =005200000=0………………（2分）

1010212.已知矩阵A213，求其逆矩阵A。

418102100 解：(A,E)213010 ………………（2分） 4180012100112 ………………（4分）

~010401001611r 专业技术参考资料

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2112………………（2分） 101 则A46113.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知1,2,3是它的三个解向量且

21321，23，求该方程组的通解。

4354 解：由已知可得：对应的齐次线性方程组Ax0的解集S的秩为431，因此齐次线性方程组Ax0的任意非零解即为它的一个基础解系。………………（3分） 令21(23)

则AA[21(23)]2A1A2A32bbb0

所以(3,4,5,6)0为齐次线性方程组Ax0的一个基础解系。………（3分） 由此可得非齐次线性方程组Axb的通解为：

T3243xkk(kR)………………（2分）

5465214.求矩阵A的特征值和特征向量。

12 解：A的特征多项式为： AE2112(1)(3)

所以A的特征值为11,23。………………（4分）

（1）当11时，对应的特征向量满足

11x1011x0，解得：x1x2 2 专业技术参考资料

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则11对应的特征向量可取p11………………（2分） 1（2）当13时，对应的特征向量满足

11x1011x0，解得：x1x2 2则13对应的特征向量可取p21………………（2分）

5.用配方法化二次型fx12x25x32x1x22x1x36x2x3成标准型。 解：fx12x1x22x1x32x25x36x2x3 (x1x2x3)2x24x34x2x3

22 (x1x2x3)(x22x3)………………（4分）

1122222222y1x1x2x322 令y2x22x3则把f化成标准型得：fy1y2…………（4分）

yx33四．综合题（每小题8分,共16分)

1.解下列非齐次线性方程组

2x1x2x3x41 4x12x22x3x42

2xxxx11234解：对增广矩阵B作初等行变换

2111121101r………………（5分） B42212~000102111100000由上式可写出原方程组的通解为：

x1100x2112cc(c,cR)………………（3分） x31021012000x4 专业技术参考资料

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2.已知向量组

123 a12,a23,a31 3116 求(1)向量组的秩；(2)向量组的一个最大无关组，并把不属于最大无关组的向量用该最大无关组线性表示。

310712r015………………（2分）

1~ 解：A233116000 则RA2，………………（2分）故向量组的最大无关组有2个向量，知a1,a2为向量组的一个最大无关组。………………（2分） 且a37a15a2………………（2分） 五、证明题（5分）

1证明：设n阶方阵A满足AA2E0，证明A及A2E都可逆，并求A及

2(A2E)1。

证明：

（1） 由已知可得：A(AE)2EA[(AE)]E，知A可逆，

121A1(AE)………………（2分）

2（2） 由已知可得AA6E(A2E)(A3E)4E, (A2E)[(3EA)]E21 知A2E41(A2E)1(3EA)………………（3分）

4可逆，

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