高考数学压轴专题2020-2021备战高考《不等式》综合练习

一、选择题

x1y11．已知实数x,y满足线性约束条件xy0，则的取值范围为（ ）

xxy20A．(-2,-1］ 【答案】B 【解析】 【分析】 作出可行域，小值． 【详解】

作出可行域，如图阴影部分（含边界），线斜率，A(1,3)，kQAB．(-1,4］

C．[-2,4)

D．[0,4]

y1表示可行域内点P(x,y)与定点Q(0,1)连线斜率，观察可行域可得最xy1表示可行域内点P(x,y)与定点Q(0,1)连x3(1)4，过Q与直线xy0平行的直线斜率为－1，∴

101kPQ4．

故选：B．

【点睛】

本题考查简单的非线性规划．解题关键是理解非线性目标函数的几何意义，本题示动点P(x,y)与定点Q(0,1)连线斜率，由直线与可行域的关系可得结论．

y1表x

2．某企业生产甲、乙两种产品需用到A,B两种原料,已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用总量如下表所示.若生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得的最大利润为( )

A(吨) B(吨) 甲 3 1 乙 2 2 每天原料的可用总量 12 8

A．12万元 【答案】D 【解析】 【分析】

根据条件列可行域与目标函数，结合图象确定最大值取法，即得结果. 【详解】

B．16万元

C．17万元

D．18万元

3x2y12,x2y8,设每天甲、乙产品的产量分别为x吨、y吨由已知可得

x0,y0,目标函数z3x4y，作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，

x2y8,可得目标函数在点P处取得最大值，由得P2,3，则

3x2y12,zmax324318（万元）.选D.

【点睛】

线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.

xy2,3．若实数x,y满足不等式组3xy6,则3xy的最小值等于（ ）

xy0,A．4 【答案】A 【解析】 【分析】

B．5 C．6 D．7

首先画出可行域，利用目标函数的几何意义求z的最小值． 【详解】

xy2解：作出实数x，y满足不等式组3xy6表示的平面区域（如图示：阴影部分）

xy0由xy20得A(1,1)，

xy0由z3xy得y3xz，平移y3x， 易知过点A时直线在y上截距最小， 所以zmin3114． 故选：A．

【点睛】

本题考查了简单线性规划问题，求目标函数的最值先画出可行域，利用几何意义求值，属于中档题．

4．给出下列五个命题，其中正确命题的个数为（ ）

2①命题“x0R，使得x0x010”的否定是“xR，均有x2x10”；

②若正整数m和n满足mn，则mnmn； 2③在ABC中 ，AB是sinAsinB的充要条件；

④一条光线经过点P1,3，射在直线l:xy10上，反射后穿过点Q1,1，则入射光线所在直线的方程为5x3y40；

⑤已知f(x)x3mx2nxk的三个零点分别为一椭圆、一双曲线、一抛物线的离心

率，则mnk为定值. A．2 【答案】C 【解析】 【分析】

①根据特称命题的否定的知识来判断；②根据基本不等式的知识来判断；③根据充要条件的知识来判断；④求得入射光线来判断；⑤利用抛物线的离心率判断. 【详解】

2①，命题“x0R，使得x0x010”的否定是“xR，均有x2x10”，故①

B．3 C．4 D．5

错误.

②，由于正整数m和n满足mn，nm0，由基本不等式得

mnmmnmn，当mnm即n2m时等号成立，故②正确. 22③，在ABC中，由正弦定理得ABabsinAsinB，即

ABsinAsinB，所以AB是sinAsinB的充要条件，故③正确.

④，设Q1,1关于直线xy10的对称点为Aa,b，则线段AQ中点为

a1b12210a1b1b1,，则，解得ab2，所以A2,2.所以入射光122kAQ21a112y3x1，化简得5x3y40.故④正确. 2321⑤，由于抛物线的离心率是1，所以f(1)0，即1mnk0，所以mnk1线为直线AP，即为定值，所以⑤正确. 故选：C 【点睛】

本小题主要考查特称命题的否定，考查基本不等式，考查充要条件，考查直线方程，考查椭圆、双曲线、抛物线的离心率，属于中档题.

5．已知等差数列{an}中，首项为a1（a10），公差为d，前n项和为Sn，且满足

a1S5150，则实数d的取值范围是（ ）

A．[3,3]；

【答案】D 【解析】 【分析】

B．(,3]

C．[3,)D．(,3][3,)

由等差数列的前n项和公式转化条件得d分类，利用基本不等式即可得解. 【详解】

3a1，再根据a10、a10两种情况2a12Q数列{an}为等差数列，

S55a154d5a110d，a1S5155a1a12d150， 23a1， 2a12由a10可得d当a10时，d等号成立； 当a10时，d立；

3a13a13a123，当且仅当a13时2a122a122a123a13a123，当且仅当a13时等号成2a122a21实数d的取值范围为(,3][3,).

故选：D. 【点睛】

本题考查了等差数列前n项和公式与基本不等式的应用，考查了分类讨论思想，属于中档题.

xy1,6．已知x，y满足约束条件x2y2,，若x2y2z恒成立，则实数z的最大值为

3x2y6,（ ） A．2 2B．25 C．

1 2D．2

【答案】C 【解析】 【分析】

画出约束条件所表示的平面区域，根据x2y2的几何意义，结合平面区域求得原点到直线

xy10的距离的平方最小，即可求解．

【详解】

xy1由题意，画出约束条件x2y2所表示的平面区域，如图所示，

3x2y622要使得xyz恒成立，只需zxy22min，

因为x2y2表示原点到可行域内点的距离的平方，

112121122，则d，即z

222结合平面区域，可得原点到直线xy10的距离的平方最小， 其中最小值距离为d所以数z的最大值故选：C．

1． 2

【点睛】

本题主要考查了简单的线性规划的应用，其中解答中正确作出约束条件所表示的平面区域，结合x力．

2y2的几何意义求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及计算能

x2y407．已知变量x,y满足2xy40，则x2y4的最小值为（ ）

x0A．85 5B．8 C．165 15D．

16 3【答案】D 【解析】 【分析】

12离，作出可行域，数形结合即可得到答案. 【详解】

12因为x2y45x2y45x2y422，而x2y422表示点(x,y)到直线x2y40的距

x2y41222，所以x2y4可看作为可行域内的动点到直线

x2y40的距离的5倍，如图所示，

44244416， 点A(,)到直线x2y40的距离d最小，此时33d33351222所以x2y4的最小值为5d故选：D. 【点睛】

本题考查目标函数的含绝对值的线性规划问题，考查学生数形结合与转化与化归的思想，是一道中档题.

16. 3

8．若A．【解析】 【分析】 【详解】

试题分析：用特殊值法，令

，选项B错误，

因为

，

，

得

，选项A错误，

【答案】C

，

B．

，则（ ）

C．

D．

，选项D错误，

选

项C正确，故选C． 【考点】

指数函数与对数函数的性质 【名师点睛】

比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.

xy209．在平面直角坐标系中，不等式组{xy20，表示的平面区域的面积是（ ）

y0A．42 【答案】B 【解析】

试题分析：不等式组表示的平面区域如图所示的三角形ABC及其内部．可得，A（2，0），B（0，2），C（-2，0），显然三角形ABC的面积为

．故选B．

B．4

C．22 D．2

考点：求不等式组表示的平面区域的面积．

10．某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为2千元/件、1千元/件.甲、乙两种产品都需要在A、B两种设备上加工，生产一件甲产品需用A设备2小时，B设备6小时；生产一件乙产品需用A设备3小时，B设备1小时. A、B两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为（ ） A．320千元 【答案】B 【解析】

设生产甲、乙两种产品x件,y件时该企业每月利润的最大值，由题意可得约束条件：

B．360千元

C．400千元

D．440千元

2x3y4806xy960， x0,y0xN,yN原问题等价于在上述约束条件下求解目标函数z2xy的最大值. 绘制目标函数表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知： 目标函数在点B150,60处取得最大值：zmax2xy215060360千元. 本题选择B选项.

点睛：含有实际背景的线性规划问题其解题关键是找到制约求解目标的两个变量，用这两个变量建立可行域和目标函数，在解题时要注意题目中的各种相互制约关系，列出全面的制约条件和正确的目标函数．

11．若圆C1：x2y22mx4ny100（m，n0）始终平分圆C2：

x1y1A．

222的周长，则

B．9

12的最小值为（ ） mnC．6

D．3

9 2【答案】D 【解析】 【分析】

把两圆的方程相减，得到两圆的公共弦所在的直线l的方程，由题意知圆C2的圆心在直线

l上，可得m2n3,【详解】

1m2n1，再利用基本不等式可求最小值. 3222把圆C2：x1y12化为一般式，得xy2x2y0，

2又圆C1：xy2mx4ny100（m，n0），

两圆的方程相减，可得两圆的公共弦所在的直线l的方程：m1x2n1y50.

22Q圆C1始终平分圆C2的周长，圆心C21,1在直线l上，

m12n150，即m2n3,1m2n1. 3121212n2m1211m2n5 mnmnmn33mn12n2m1525223. 3mn3m2n3当且仅当2n2m即mn1时，等号成立.

nm12的最小值为3. mn故选：D. 【点睛】

本题考查两圆的位置关系，考查基本不等式，属于中档题.

12．定义在R上的函数f(x)对任意x1,x2x1x2都有

fx1fx20，且函数

x1x2yf(x1)的图象关于(1,0)成中心对称，若s满足不等式

fs22s3„fs2s23，则s的取值范围是（ ）

A．3,1 2B．[3,2] C．[2,3) D．[3,2]

【答案】D 【解析】 【分析】

由已知可分析出f(x)在R上为减函数且yfx关于原点对称，所以不等式等价于

fs22s3„fs2s23，结合单调性可得s22s3s2s23，从而可求

出s的取值范围. 【详解】

fx1fx20，所以f(x)在R上为减函数； 解：因为对任意x1,x2x1x2都有

x1x2又yf(x1)的图象关于(1,0)成中心对称，所以yfx关于原点对称， 则fs2s3„fs2s3fs2s3，所以

222s22s3s2s23，

整理得s2s60，解得3s2. 故选：D. 【点睛】

本题考查了函数的单调性，考查了函数的对称性，考查了一元二次不等式的求解.本题的关

键是由已知得到函数的单调性和对称性，从而将不等式化简.

13．若两个正实数x，y满足范围是 ( ) A．(1,2)

【答案】D 【解析】 【分析】

将原问题转化为求最值的问题，然后利用均值不等式求最值即可确定实数m的取值范围. 【详解】 若不等式xB．(,2)U(1,) D．(,1)U(2,)

C．2,114y2，且不等式xm2m有解，则实数m的取值xy4yym2m有解，即m2m(x)min即可， 44Q则

14122，1， xy2xyyy12122xy2xy11x121212112442xy24y8xy8x42x，

当且仅当即(x2xy22，即y16x，即y4x时取等号，此时x1，y4， y8xy)min2， 4则由m2m2得m2m20，即m1m20， 得m2或m1，

即实数m的取值范围是,12,， 故选D． 【点睛】

本题主要考查基本不等式的应用，利用不等式有解转化为最值问题是解决本题的关键．

x1,y1,14．已知M、N是不等式组所表示的平面区域内的两个不同的点，则

xy10,xy6|MN|的最大值是（ ）

A．17 【答案】A 【解析】 【分析】

B．

34 2C．32 D．

17 2先作可行域，再根据图象确定MN的最大值取法，并求结果. 【详解】

作可行域，为图中四边形ABCD及其内部，由图象得A(1,1),B(2,1),C(3.5,2.5),D(1,5)四点共圆，BD 为直径，所以MN的最大值为BD=14217,选A.

【点睛】

线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.

yx15．若实数x，y满足不等式组xy1，则2xy的最小值是( )

y1A．3 【答案】D 【解析】 【分析】

根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，再由目标函数z2xy可得

B．

3 2C．0 D．3

y2xz，此时Z为直线在y轴上的截距，根据条件可求Z的最小值．

【详解】

解：作出不等式组所表示的平面区域，如图所示得阴影部分的ABC， 由z2xy可得y2xz，则z为直线在y轴上的截距 把直线l:y2x向上平移到A时，z最小，此时由此时z3， 故选：D．

yx可得A(1,1) y1

【点睛】

本题考查用图解法解决线性规划问题，分析题目的已知条件，找出目标函数中的z的意义是关键，属于中档题．

a2b216．已知函数f(x)lgx，ab0，f(a)f(b)，则的最小值等于（ ）．

abA．5 【答案】D 【解析】

试题分析：因为函数f(x)lgx，ab0，f(a)f(b) 所以lgalgb 所以aB．23 C．23

D．22 1，即ab1，ab0 b22a2b2(ab)22ab(ab)222(ab)22 (ab)ababababab当且仅当ab2，即ab2时等号成立 aba2b2所以的最下值为22 ab故答案选D

考点：基本不等式．

17．设x，y满足约束条件A．

B．

则C．

的最大值与最小值的比值为（ ）

D．

【答案】A 【解析】 【分析】

作出不等式组所表示的可行域，平移直线【详解】

如图，作出约束条件表示的可行域. 由图可知，当直线当直线

经过点

经过点

时.z取得最大值；

，故选：A。

，观察直线在轴上取得最大值和最小

值时相应的最优解，再将最优解代入目标函数可得出最大值和最小值，于此可得出答案。

时，z取得最小值.故

【点睛】

本题考查简单的线性规划问题，一般利用平移直线利用直线在坐标轴上的截距得出最优解，考查计算能力，属于中等题。

xy418．若x、y满足约束条件xy20，目标函数zaxy取得最大值时的最优解仅

y0为(1,3)，则a的取值范围为（ ） A．(1,1) 【答案】A 【解析】 【分析】

结合不等式组，绘制可行域，判定目标函数可能的位置，计算参数范围，即可． 【详解】

结合不等式组，绘制可行域，得到：

B．(0,1)

C．(,1)(1,) D．(1,0]

目标函数转化为yaxz，当a0时，则a<1，此时a的范围为1,0 当a0时，则a1，此时a的范围为0,1，综上所述，a的范围为1,1，故选A． 【点睛】

本道题考查了线性规划问题，根据最值计算参数，关键明白目标函数在坐标轴上可能的位置，难度偏难．

19．设m，n为正数，且mn2，则A．

1n3的最小值为（ ） m1n2C．

3 2B．

5 37 4D．

9 5【答案】D 【解析】 【分析】

根据mn2，化简案； 【详解】 当mn2时，

1n351，根据均值不等式，即可求得答m1n2(m1)(n2)Q1n3111 m1n2m1n2mn3511

(m1)(n2)(m1)(n2)2m1n225Q(m1)(n2)，

24当且仅当m1n2时，即m31，n取等号， 221n39. m1n25故选：D 【点睛】

本题主要考查了根据均值不等式求最值，解题关键是灵活使用均值不等式，注意要验证等号的是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.

uuuruuur20．已知VABC是边长为1的等边三角形，若对任意实数k，不等式|kABtBC|1恒

成立，则实数t的取值范围是（ ）.

33A．,33,

C．2323B．,33, D．23, 33, 3【答案】B 【解析】 【分析】

根据向量的数量积运算，将目标式转化为关于k的二次不等式恒成立的问题，由n0，即可求得结果. 【详解】

uuuruuur1因为VABC是边长为1的等边三角形，所以ABBCcos120，

2uuuruuuruuuruuuruuuruuur由|kABtBC|1两边平方得k2(AB)22ktABBCt2(BC)21，

即k2ktt210，构造函数f(k)ktkt1， 由题意，t4t10， 解得t故选：B. 【点睛】

本题考查向量数量积的运算，以及二次不等式恒成立问题求参数范围的问题，属综合中档题.

22222323. 或t33