串联抓取机械臂运动轨迹规划算法研究

酝葬糟澡蚤灶藻则赠阅藻泽蚤早灶驭酝葬灶怎枣葬糟贼怎则藻第7期圆园19年7月串联抓取机械臂运动轨迹规划算法研究蒋伟，袁亮

（新疆大学机械工程学院，新疆乌鲁木齐830047）

摘要：首先根据现有的小型六自由度串联机械臂完成D-H参数表，建立机械臂的数学模型，进行机械臂运动学求解.再根

据机械臂在抓取目标物体时，末端执行机构的位置和姿态，运用Matlab中的RoboticsToolbox工具箱进行逆运动学求解，得之后应用拉格朗日到各关节角的角度。接着在增加障碍物的约束条件下，运用A*搜寻算法，规划出抓取目标物的运动轨迹。插值法将运动轨迹上的运动点，通过插值的方法优化，进一步优化A*算法规划出的运动轨迹。最后通过实验验证，达到了预期的结果，从而验证了在A*算法的基础上运用拉格朗日插值法，在机械臂轨迹规划上应用的可行性和合理性。关键词：D-H参数表；A*算法；拉格朗日插值法；轨迹规划中图分类号：TH16；TP241；TP391.9

文献标识码：A

文章编号：员园园员-3997（圆园19）07-0106-05

ResearchonTrajectoryPlanningAlgorithmofTandemGraspingManipulator

（SchoolofMechanicalEngineering，XinjiangUniversity，XinjiangWulumuqi830047，China）

粤遭泽贼则葬糟贼：Firstly，accordingtotheexistingsmallsixDOFserialmanipulatortocompleteD-Hparametertable，establishingmathematicalmodelofthemanipulator，finshingmanipulatorkinematics.Thenaccordingtothemechanicalarmingraspingobjectwhentheendeffectorpositionandposturemechanism，inversekinematicsissolvedbyusingMatlabintheRoboticsToolboxandgettingthejointangle.Then，undertheconstraintconditionofincreasingobstacles，theA*searchalgorithmisusedtoplanthetrajectoryofthetarget.TheLagrangeinterpolationmethodisusedtooptimizethemovingpointofthemovingtrackbyinterpolatedmethod，andfurtheroptimizethetrajectoryofA*algorithm.Finally，theexperimentalresultsshowthatthedesiredresultsareachieved，andthefeasibilityandrationalityofapplyingtheLagrangeinterpolationmethodinthetrajectoryplanningofmanipulatorareverifiedonthebasisoftheA*algorithm.

KeyWords：D-HParameterTable；A*Algorithm；LagrangeInterpolationMethod；TrajectoryPlanning

JIANGWei，YUANLiang

1引言

的路径规划问题。文献[6]中提出一种改进A*算法，即在A*算法的基础上，用圆柱体包络机械臂各个关节的方式，变步长分段搜寻的方法来规划机械臂的运动路线。

首先根据现有的小型六自由度机械臂，通过D-H算法，建立机械臂的数学模型，完成机械臂的正逆运动学解算，求出机械臂在抓取目标物时，各关节的角度，之后利用A*算法规划出机械臂运动时的路径，A*算法是一种有序的启发式搜寻算法，可以用在机械臂抓取目标物时，规避障碍物，寻找最优路径的问题上，A*算法在搜寻最优路径时，是通过不断的判断机械臂的运动关节是否触碰障碍物，来确定各个运动关节的运动点，由此在运动路径上会产生较多的运动点，这里结合拉格朗日插值法，优化并减少各个关节在运动时的运动点，从而进一步地优化A*算法规划出的运动轨迹，使运动轨迹更平滑，同时也降低在实际控制机械臂运动时，编程控制各个电机运动的复杂程度。

机械臂可以模仿人的手臂和手去完成一些目标抓取任务，

搬通过一些算法和程序控制机械手以某种特定的方式完成抓取、运或者操作工具实现一些事先约定好的任务，而六自由度机械臂电子焊接、工业以其灵活性，操作性，被广泛的应用在机械加工、搬运等行业。运用六自由度串联机械臂来抓取物体时，可以利用其灵活性高的特点，来避免抓取目标物体时触碰一些固定的障碍物，相比四自由度或者五自由度的机械臂在运动控制和轨迹规划上，六自由度机械臂要复杂很多，但是，由于其较高的灵活性，依然被广泛的应用。国内外的研究者对机械臂的运动控制和轨迹规划也有深入的研究。如文献[2]研究了六自由度机械臂在轨迹规划时，基于三次多项式多路径点的轨迹规划研究；文献[3]中运用一种模糊逼近的算法来研究机械臂在抓取目标物时的运动轨迹规划问题。文献[4]中提出了运用A*算法来解决机械臂规避障碍物时

来稿日期：2018-12-24

基金项目：国家自然科学基金（31460248）；乌鲁木齐市人才工程项目（P151010006）作者简介：蒋伟，（1991-），男，四川遂宁人，硕士研究生，主要研究方向：机器人运动控制；

袁亮，（1972-），男，新疆奎屯人，博士研究生，博士生导师，教授，主要研究方向：机器人控制、计算机视觉与图像处理

第7期蒋伟等：串联抓取机械臂运动轨迹规划算法研究107

2机械臂运动学分析2.1任务设置

在进行运动学建模前，首先给机械臂设置一个抓取任务，如图1所示。机械臂固定在基座上，它的末端的位置为T=（Xt，Yt，｛0｝机械臂运动学的目的是求出末端执行器相对于坐标系的位姿，首先通过4伊4齐次变换矩阵来表示相邻的坐标系之间的｛0｝为位置和姿态。最后连乘可得出末端坐标系相对于坐标系的位姿，下列矩阵分别表示相邻两个坐标系的位姿关系。

Z）t；

需抓取的物体的位置为M=（Xm，Ym，Zm），在抓取物体时，要避免触碰障碍物，在已知机械臂末端的位置和姿态条件下，通过机械臂逆运动学求出机械臂的各个关节角的参数，最后根据A*算法，规划出一条合理可行的运动轨迹。

小臂基座大臂手抓障碍物目标物2.2运动学Fig.1Mission图of1the六自Six由度Degree机械臂of任务Freedom设置

模型

Manipulator

根据图1中的机械臂实物建立各连杆的坐标系，如图2所示。根据图2完成表1，图2中坐标系｛0｝为定义的参考坐标系，它固定在基座上，通常与坐标系｛1｝的原点重合，

如表1所示。L2z3兹

O3x3z4兹4OL4y4y6Lxy2y53xO24L3O5兹5z

5x兹Ox166625z6z2兹2zy2z10y1O0y兹01xOx011Fig.2Coordinate图2表System机械臂各1D-Hof连Each杆的参数表

Link坐标系

ofManipulator

Tab.1D-HParameterTable

杆件

连琢杆转角a连杆长连关节关节角运

号ii-1（/毅）i-1d杆偏距

（mm）（imm

）兹/角

i动范围（/毅）213

900（30000兹毅）兹1

依2依18000100100

0

兹兹3

依15090

4

依2.365

4

-90机械臂运动学9030求解

0400

0兹兹5

6依依180150

150

通过表1的D-H参数表和图2的各连杆坐标系，可以建立机械臂的运动学方程[1]，其中相邻的两个连杆之间的参数可以定义如下：

ai=沿着Xi轴，由Zi移动至Zi+1的距离，琢i=绕着Xi轴，由Zi

旋转至Zi+1的角度；

di=沿着Zi轴，由Xi-1移动至Xi的距离，兹i=绕着Xi轴，从Xi-1

旋转至Xi的角度；

扇设

设杉设山c兹设山1设山-s兹100

煽衫衫杉煽衫山

c兹衫设T=

山衫山设0山设山02-0s兹20130衫山衫山设山s兹衫设1山衫，0

衫衫衫衫衫设山衫21

T=

山山山衫设山衫山衫设山衫山衫设山0

1c兹0100

0衫山s兹衫设删闪

山山删

设000110

2c兹020001

衫衫闪

设设设设杉山c兹3-s兹30100

煽衫衫杉衫山c兹设山山山衫山4-s煽衫山衫衫山衫缮设设T=

山s兹设2设山3c兹衫山兹兹40100

衫衫，山衫设3山衫43

T=

山s兹衫设山设山设山0300山04c衫衫衫山衫衫山041000

衫（1）

设山设山删闪

设0000110

山0

001衫山衫删

衫衫闪

设设设设杉设山c兹设山5-s兹5030煽衫衫杉山

山c兹煽设山衫山衫设T=

山山设4山山设山-s0

设5山设山山山兹0040

衫衫衫山山山0

6-0s兹6-1000衫衫衫衫衫衫，衫衫65

T=

衫山s兹衫墒

设设山山删

衫衫山衫0

5-c0兹50001闪

山山删

由上述矩阵可得，机械臂末端06c兹06001

0衫衫衫衫闪

坐标系相对于坐标系｛0｝的位姿为：

杉山

山山r0123山11r12r13px煽衫衫T山衫0

54T65

T越

山山r山y衫衫6T=1T2T3T4衫山（2）

山山山r21rr22r23p衫山3132r33p

衫z衫衫衫山衫删

衫衫闪

式中：s兹0001

1=sin兹1，c兹1=cos兹1，同时r11-r33表示各个旋转角，px，py，pz表

示为末端关节在坐标系｛0｝中的位置，60

T的值通过Matlab

中矩阵连乘得出，由此，建立起了从机械臂实物到机械臂运动学的数学模型。

2.4机械臂逆运动学

机械臂逆运动学求解的条件0

[1]是：给出了末端的执行机构相对于基0

准坐标系的位置和姿态tT，再结合运动学求出的齐次旋转矩阵6T，解算出机械臂各个关节角兹1、兹2、兹3、兹4、兹5、兹6，首先给出机

械臂末端的位姿矩阵的表示：

杉山

山山nxoxaxpx煽衫衫

衫杉山山0山山山r11r12r衫

山山nyoyaypy衫衫t

T=

山衫山衫越

山山山山r13px煽衫r衫21r2223py衫衫衫山山nzozazpz衫衫山衫山衫（3）

山衫山r衫删

0001

衫山衫闪

山山删

031r032r033p1

z衫衫衫衫闪式中：n，o，a—机械臂在三维空间中的方位角所确定的空间向量；

p—末端执行机构的位置坐标，与式（2）联立得到式（3），可以算出机械臂的各个关节角。

这里在Matlab中借助已添加的RoboticsToolbox工具箱中的link函数和ikine函数来完成机械臂的模型创建和逆运动学求解。

调用格式L=（［alphaAthetaDsigma］，’modified’）（其中alpha节角、、偏置A、theta距离、D、、关节sigma的、modified类型、改进分的别表示D-H扭转参数角），、结合表连杆长1度中、关完成的数据可以创建出机械臂模型，如图3所示。

108

机械设计与制造

No.7July.2019

3002006y

1004

5-1000

3robot

-200

2

-300300200100X0-100-200-300

3002001000Y-100-200

-300

ikineFig.3Establishment图3Matlabof中Manipulator建立机械臂Model模型

inMatlab

初始ROBOT点机械臂、T、函Q分数调的别用各代表格关节机械臂式为：Q角的角的=ikine度目，当标（逆、ROBOT需解的要逆，机械臂解的T，Q齐，M目次），标的变其换中自矩参由阵数

度、

不足6个时，需要用M略去某个关节的自由度。

根据抓取机械臂实际的工作情况，首先给定机械臂一个初

始的位置A，它的各关节的角度为QA111］，当机械臂在抓取目标物时，末端=［执00行0机pi构/6的0pi位/3置］，和M=姿［态11已

1知，根据式（3）写出终点B，也就是末端执行机构的的齐次变换矩阵：

杉山

山山山-0.033煽衫

衫山衫0t

T=

山山山-0.2960.103-0.872270.510衫衫山山山山-0.0770.9110.211-17.195衫衫衫衫（4）

山删

0

0.2370

-0.4320

117.2711

衫衫衫衫闪

通过调用函数QB0

在终点B时各个关节角=的ikine变量（：

robot，tT，

QA，M），可以得到机械臂QB在=［Matlab0.349中，1.570得出，的0.849Q，1.256，1.046，1.256］；

B是以弧度的形式表现出，要转化成角

3度可A利*用：轨1弧迹度规划=180/仔算度，法

可求出角度。

3.1分析思路

由于机械臂逆运动学中分析计算得出的结果，是在没有添加障碍物这个约束条件下，计算出的机械臂各个关节角的角度，轨迹规划的目的是找出机械臂在抓取目标物体时，机械臂的各个关节没有触碰障碍物，并且各个连杆和关节运动轨迹最短、运行平稳的轨迹。

3.2A*算法的应用

A*算法是一种有序的启发式的搜寻算法[6]，由障碍物的限制条件，可以只考虑在通过被抓取物的平面进行，即让机械臂基座旋转至固定的角度（基座的位置和目标物的位置已知），使机械臂在XOZ的平面和抓取的目标物在同一平面上，再运用A*算法，这里建立一张A*算法搜寻示意图，如图4所示。

这种方法的重要部分是在估价函数的优化上，它的基本公式为：

f（n）=g（n）+h（n）

（5）

式中：g（n）—从当前格的父亲格移动到当前格的预估移动耗费；

h（n）—从网格上当前方格移动到终点的预估移动耗费。

图4中，Fig.4三角Schematic图4形表示机械臂DiagramA*算法搜执of寻行A示意图

机*构Algorithm的起点，圆Search

形表示需抓取的目标物，中间填充部分表示障碍物，在正方形内，左下角表示g（n）的值，右下角表示h（n）的值，设定基数为10，左上角表示（fn）的值。根据（fn）=g（n）+h（n）；g（n）的值为每向目标物靠近一个乘以10，hn）的值由起点到终点的远近距离确定。为更好应用A*算法，可将机械臂6个旋转的关节角定义为六维的数组[4]，起始关节的旋转角度设为qq1[6]，每一步搜寻长度为ls[6]，第n步最优关节度数为

b_n[6]，第n步后节点的关节角qn[6]，期望旋转角度qm[6]。

由将估价函数：（fn）=g（n）+h（n）

式中：h（n）在已知了基座位置和目标位置时，已确定，这里可将gn）写成：

g（q）=撞n

］

nm=1

qn［6］-qn-1［6］［4（6）

由此可计算出第n步后关节角的预估函数g（nq）。为方便分析计算，可以预先定义3张表：Open，Close和Follow表，将起点q［16］的值装入Open表，清空Close表，然后根据下面的步骤，可找到一条避开障碍物搜寻目标物的路径。

（1）选择Open中表中最优节点qb_n［6］，放入Close表中，同时将这个点从Open表中移除；

（2）判断qb_n［6］是不是目标点的角度qm_n[6]，如果是，则完成搜寻，不是，则继续下一步；

（3）计算搜寻长度l［s6］的值，可得出下一节点qn+［16］；（4）对每一个q［n6

］，做以下处理：在，则从

q淤判断qm_n［6］是否处于机械臂运动空间中，如果n

m_n［6］返回至qb_n［6］，不在则执行下一步；于求解：gn+1（q）=撞i=0

qn+1［6］-qn［6］；盂判断qm_n［6］是否在Open表中，若在，则执行下一步，若不在则跳转至虞；榆将qm［6］的值装入qb_n［6］中，然后判断g（nq）>gn+1（q），如果成立，则更新qn+［16］为q［n6］，并更新gnq）=gn+1（q），否则，停止该点的搜寻，并跳转至舆。虞判断qm_n［6］是不是在Close表中，如果在，则跳转执行榆，否则继续执行下一步愚；愚将qm_n［6］放入Open表中，同时将qb_n［6］加到Follow表中；舆计算（fqb_n［6］），同时跳转至淤继续搜寻，直至找到目标物。将

QB的=［六0.349维数，组1.570中，当，0.849完成，整1.256个循，1.046环步，骤1.256后，］在；依次添Close表加到中保存起始时的设数置据就是机械臂在运动时，规避障碍物得到的各个关节的运动点，根据运动44.1拉点，再分格控制析思朗各个路

日关节运动插值法的的角度应用

，可以得到一条运动路径。

通过A*算法，完成了机械臂规避障碍物抓取目标物时，规

（（（No.7July.2019

机械设计与制造109

划出的一条运动轨迹，在Close表中分别保存了六个运动关节的运动点，但是这些运动点的数量较多，所以形成的运动路线是一条相对复杂的运动路线，这里运用拉格朗日插值法来拟合已有的运动轨迹，优化不必要的运动点，使机械臂的运动轨迹更平滑，从而将运动路线进行进一步的优化。

4.2应用拉格朗日插值法

拉格朗日插值法是将两个或者两个以上的运动节点，通过直线或者曲线直接连接起来，形成一条新的曲线函数来拟合原有的曲线。设函数y=f（x）在区间［a，b］上有定义[8]，且已知在点a臆x0x<）x1i=yi，P（x）为（fx）的差值函数，x0，x0，…，xn，为插值节点，若P（x）是次数不超过n的代数多项式，即：

P（x）=a0+a0x+…+anx

n

（7）

P（x）为插值多项式[8]，从几何上分析，插值法就是求曲线y=Px），使其通过已有的n个点，并用它拟合已知曲线y=f（x），如图5所示。

y

y=f（x）yny=P

（x）y1O

X1XnX

当n=1或Fig.5者Geometric图5插Diagram值法几何of图

Interpolation

P1（x）=ykxx-xn=2时，可分别写出差值多项式：

k+1（8）

k-xk+1+yk+1

xx-xk

k+1-xk

P2（x）=yk-1（x-xk）（x-xk+1）（x-xk-1）（x-xk+1）

（xk-1-xk）（xk-1-xk+1）+yk

（xk-xk-1）（xk-xk+1）+yk+1

（x-xk-1）（x-xk）

（x（9）

k+1-xk-1）（xk+1-xk）其中（xk-1，yk-1），（x，y），（xk+1，yk+1）分别表示曲线函数y=f（x）上的三个点。

由n=1及n=2的情况可以得到n次插值函数，也就是拉格朗日插值多项式[8]：

Pn

n（x）=撞k=0yklk（x）

（10）

其中，l（k

x）=（x-x0）…（x-xk-1）（x-xk+1）…（x-xn）（xk-x0）…（xk-xk-1）（xk-xk+1）…（xk-xn）k=0，1，…，n这里提取Close表中保存的最后一个关节

（末端抓取关节）的运动点，提取15个运动点，其中必须包含起始和最终的运动点255.45，274.65，263.50，320.75，336.59，312.32，315.12，281.25，26中，5.45利，231.35用分段，插232.47值的，方209.64法，可，163.59得到运动，132.24轨迹，，118.56如图5）所示代入式

。y=F（（10x））是A*算法规划出的末端关节运动路径，y=P（x）是应用拉格朗日插值法拟合出的运动路径，如图6所示。由于机械臂的一些实际参数是已知的，其中机械臂的杆长分别为L3=100mm，L4=100mm，L5=Y30mm，其余杆长为0。机械臂末端执行机构的起点坐标为：Xs=8cm，s385.7］=0cm；被毅］，抓，Zs前取=19.5cm3目项标物，为目标物的位机械臂姿：m

起始关节tT=［270.5角，-17.1：T［6］，117.27=［0，0，，030，pi毅/6，14.5，0，pi毅，/

了各关节的运动点，可以求位出各个置，后三关节项表示的角XYZ度变欧化拉情况角。

，又如图已知7所示。图7中是五个关节角的变化情况，提取的十个点是根据y=P（x）拉格朗日插值法拟合出的运动路径上的点算出的角度变化情况，兹1是机座关节的角度，兹1位置关系得出。

=25.52毅，可根据机械臂和目标物的

Linearinterpolation

350y（mm）

y=Fy=P（（x300x））

250200150100500

123456789101112131415X

Fig.6Interpolation图6拉格朗of日多Lagrange项式插值Polynomials

图

y（毅）Angleofview

70

兹60兹兹650兹5兹4340

23020100

12345678910

X

5实验验证

Fig.7Joint图7Angle机械臂Change关节角变of化Robot图

Arm

在A*算法规划出的路径上应用拉格朗日插值法拟合出新

的运动轨迹，在增加了障碍物的情况下，为了更直观地验证算法应用到实际机械臂上时，是否触碰障碍物，将计算出的各关节角度编写成机械臂的运动控制程序，这里是基于STM32F103C8为核心芯片的控制板，驱动各电机旋转。实验过程，如图8所示。基座（起始关节角兹1）旋转至一定的角度，使机械臂与目标物体处于同一个XOZ面上，如图8（a）所示。抓取目标物，在抓取目标物的运行过程中，机械臂的各关节没有触碰到障碍物，如图8（b）所示。抓取目标物的过程，如图8（c）~图8（d）所示。整个抓取过程各关节运行平稳，且没有触碰到障碍物，实验达到预期的效果，验证了在A*算法上应用拉格朗日插值法规划路径的正确性、

合理性。（a）基座旋转兹1

（b）抓取目标物

（（（110机械设计与制造

No.7July.2019

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6结语

（上接第105页）

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optimizaionesignofautomobilecomponentswithnon-normaldistribution图5机构运动可靠性灵敏度曲线

parameters［J］.ChineseJournalofMechanicalEngineering，2013，26（4）：Fig.5MechanismMotionReliabilitySensitivityCurve

823-830.［6］LeeSJ，GilmoreBJ.Gilmore.Thedeterminationoftheprobabilisticpro-pertiesofvelocitiesandaccelerationsinkinematicchainswithuncerta-（1）随着座椅姿态调节机构输入角的不断增大即座椅逐渐inty［J］.ASMEJ.Mech.Des1991，113（1），84-90.

韩伟.曲柄滑块机构运动误差分析［J］贾方，.机械设计与制造，后倾，其运动精度可靠度在座椅后倾角度达到155毅左右达到最［7］陈胜军，

2015（3）：73-78.

小，但机构可靠度仍然维持在0.85左右，即能够达到预期效果，

（ChenSheng-jun，JiaFang，HanWei.Analysisonmotionerrorofslider-满足设计要求；（2）通过分析机构运动精度可靠度的灵敏度曲线crankmechanism［J］.MachineryDesign&Manufacture，2015（3）：73-78.）

杨坚.尺寸型对含间隙平面连杆机构误差传递系数的影响［J］.可知，适当增大杆长l1、l3能够提高机构的可靠度，但增大杆长l2、［8］宋黎，

湘潭大学自然科学报，1999，21（3）：64-69.

l4便会降低机构可靠度。（SongLi，YangJian.Theeffectofdimensiontypetotheerrortransferco-efficientsofplanarlinkagewithpairclearance［J］.NaturalScienceJournal参考文献

ofXiangtanUniversity，1999，21（3）：64-69.）张策.机构位置误差的传递矩阵法［J］［1］杨玉虎，洪振宇，.机械工程学报，

陈立周.考虑运动副间隙影响的函数发生机构的稳健［9］谭晓兰，韩建友，2005，41（2）：20.

［J］优化设计.北京科技大学学报，2004，26（4）：416-419.（YangYu-hu，HongZhen-yu，ZhangCe.Transferringmatrixmethodfor

（TanXiao-lan，HanJian-you，ChenLi-zhou.Robustdesignoffunctionprecisionanalysisofmechanism［J］.ChineseJournalofMechanicalEng-generatingmechanismsconsideringkinematicpairclearance［J］.Journalineering，2005，41（2）：20.）

ofUniversityofScienceandTechnologyBeijing，2004，26（4）：416-419.）任昊.含间隙曲柄滑块机构可靠性灵敏度分析［J］［2］张峰，唐樟春，.机械

［10］LIOMD.Robustdesignlinkages-synthesisbysolvingnon-linearopti-设计，2012，29（10）：42-45.

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921-932.forslider-crankmechanismwithclearance［J］.JouranlofMechineDes-40

对着灵敏度

对l1灵敏度对l2灵敏度对l3灵敏度对l4灵敏度

5结论