2016年山东高考数学(理科)试题及答案(word版)

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2016年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)

理科数学

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页。满分150分。考试用时120分钟。

考试结束后，将将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项：

1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县

区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。

2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；

如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。答案写在试卷上无效。

3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定

区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。

4.填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

参考公式：

如果事件A,B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B).

第Ⅰ卷（共50分）

一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的

（1）若复数z满足2zz32i,其中i为虚数单位，则z=

（A）1+2i

（B）12i

（C）12i （D）12i

B=

1

x2A{y|y2,xR},B{x|x10},则（2）设集合A

（A）(1,1)

（B）(0,1)

（C）(1,)

（D）(0,)

（3）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为

[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30] .根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是

（A）56 （B）60 （C）120 （D）140

xy2,2x3y9,x0,（4）若变量x，y满足

2x则y2的最大值是

（A）4 （B）9 （C）10 （D）12

（5）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为

（A）

1212212π π（B）π（C）π（D）13336633（6）已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的

（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件学.科.网 （C）充要条件（D）既不充分也不必要条件 （7）函数f（x）=（3sinx+cosx）（3cosx –sinx）的最小正周期是

（A）

π3π（B）π （C）（D）2π 221.若n⊥（tm+n），则实数t的值为 3（8）已知非零向量m，n满足4│m│=3│n│，cos=

（A）4 （B）–4 （C）

99（D）– 443（9）已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时，f(x)x1；当1x1时，f(x)f(x)；当x1时，2

2

11f(x)f(x) .则f(6)=

22（A）−2（B）−1（C）0（D）2

（10）若函数y=f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是

（A）y=sinx（B）y=lnx（C）y=ex（D）y=x3

第Ⅱ卷（共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

（11）执行右边的程序框图，若输入的a,b的值分别为0和9，则输出的i的值为________.

(12)若（ax2+1）3的展开式中x3的系数是—80，则实数a=_______. xx2y2（13）已知双曲线E1：221（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点

ab在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是_______. （14）在[1,1]上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆(x5)2y29相交”发生的概率为 .

xm|x|,（15）已知函数f(x)2其中m0，学.科网若存在实数b，使得关于x的方程f（x）

x2mx4m,xm=b有三个不同的根，则m的取值范围是________________.

三、解答题：本答题共6小题，共75分。

（16）（本小题满分12分）

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2(tanAtanB)tanAtanB. cosBcosA（Ⅰ）证明：a+b=2c; （Ⅱ）求cosC的最小值.

17.在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O'的直径，FB是圆台的一条母线. （I）已知G,H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC； （II）已知EF=FB=

1AC=23AB=BC.求二面角FBCA的余弦值. 2

3

（18）（本小题满分12分）

已知数列an的前n项和Sn=3n2+8n，bn是等差数列，且anbnbn1. （Ⅰ）求数列bn的通项公式；

(an1)n1（Ⅱ）另cn.求数列cn的前n项和Tn. n(bn2)（19）（本小题满分12分）

甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分。已知甲每轮猜对的概率是

32，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响。各轮结43果亦互不影响。假设“星队”参加两轮活动，求：

（I）“星队”至少猜对3个成语的概率；

（II）“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX (20)(本小题满分13分) 已知f(x)axlnx2x1,aR. 2x（I）讨论f(x)的单调性；

（II）当a1时，证明f(x)＞f'x

（21）本小题满分14分）

3对于任意的x1,2成立 2x2y2平面直角坐标系xOy中，椭圆C：221a＞b＞0 的离心

ab率是32，抛物线E：x2y的焦点F是C的一个顶点。 2（I）求椭圆C的方程；

4

（II）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交与不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M. （i）求证：点M在定直线上;

（ii）直线l与y轴交于点G，记PFG的面积为S1，PDM的面积为S2，求时点P的坐标.

5

S1的最大值及取得最大值S2

2016年普听高等学校招生全国统一考试(山东卷)

理科数学试题参考答案

一、选择题 （1）【答案】B （2）【答案】C （3）【答案】D （4）【答案】C （5）【答案】C （6）【答案】A （7）【答案】B （8）【答案】B （9）【答案】D （10）【答案】A

第Ⅱ卷（共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

（11）【答案】3 （12）【答案】-2 （13）【答案】2 （14）【答案】

34 （15）【答案】(3,) 三、解答题 （16）

解析：由题意知2sinAsinAsinBcosAsinBcosBcosAcosBcosAcosB， 化简得2sinAcosBsinBcosAsinAsinB， 即2sinABsinAsinB. 因为ABC,

所以sinABsinCsinC. 从而sinAsinB=2sinC.

6

由正弦定理得ab2c.

()由()知cab2, a2b2ab2所以 cosCa2b2c22ab23ba112ab8ab42，

当且仅当ab时，等号成立. 故 cosC的最小值为

12. 考点：两角和的正弦公式、正切公式、正弦定理、余弦定理及基本不等式. （17）

（I）证明：设FC的中点为I,连接GI,HI, 在△CEF,因为G是CE的中点，所以GI//EF,

又EF//OB,所以GI//OB,

在△CFB中，因为H是FB的中点，所以HI//BC，

又HIGII,所以平面GHI//平面ABC，

因为GH平面GHI，所以GH//平面ABC.

（II）解法一：

连接OO',则OO'平面ABC，

又ABBC,且AC是圆O的直径，所以BOAC. 以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，

由题意得B(0,23,0)，C(23,0,0)，过点F作FM垂直OB于点M， 所以FMFB2BM23,

可得F(0,3,3)

故BC(23,23,0),BF(0,3,3). 设m(x,y,z)是平面BCF的一个法向量.

由mBC0, mBF0

7

可得23x23y0, 3y3z0可得平面BCF的一个法向量m(1,1,33), 因为平面ABC的一个法向量n(0,0,1), 所以cosm,nmn7|m||n|7. 所以二面角FBCA的余弦值为77. 解法二：

连接OO'，过点F作FMOB于点M， 则有FM//OO',

又OO'平面ABC，

所以FM⊥平面ABC, 可得FMFB2BM23,

过点M作MN垂直BC于点N，连接FN， 可得FNBC,

从而FNM为二面角FBCA的平面角. 又ABBC,AC是圆O的直径， 所以MNBMsin4562, 从而FN4272，可得cosFNM7. 所以二面角FBCA的余弦值为

77. 考点：空间平行判定与性质；异面直线所成角的计算；空间想象能力，推理论证能力 （18）

（Ⅰ）由题意知当n2时，anSnSn16n5， 当n1时，a1S111， 所以an6n5.

8

设数列bn的公差为d，

由a1b1b2112b1da2b，即，可解得b14,d3，2b3172b13d

所以bn3n1.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知c(6n6)n1n(3n3)n3(n1)2n1， 又Tnc1c2c3cn，

得T23424(n1)2n1n3[2232]，

2Tn3[223324425(n1)2n2]，

两式作差，得

T3[22223242n1(n1)2n2]

n3[44(2n1)(n1)2n221] 3n2n2所以Tn3n2n2

考点：数列前n项和与第n项的关系；等差数列定义与通项公式；错位相减法 （19）

(Ⅰ)记事件A:“甲第一轮猜对”，记事件B：“乙第一轮猜对”， 记事件C：“甲第二轮猜对”，记事件D：“乙第二轮猜对”， 记事件E：“‘星队’至少猜对3个成语”. 由题意，EABCDABCDABCDABCDABCD. 由事件的独立性与互斥性，

PEPABCDPABCDPABCDPABCDPABCD

PAPBPCPDPAPBPCPDPAPBP

CPDPAPBPCPDPAPBPCPD

9

=3232212323132

434343434343 , 23.所以“星队”至少猜对3个成语的概率为

23. (Ⅱ)由题意，随机变量X的可能取值为0,1,2,3,4,6. 由事件的独立性与互斥性，得

PX0111114343144 , PX12311112111054343434314472,

PX23131311212311212254343434343434343144 , PX33423141314133421312 ,

PX423231321260543434343144=12 ,

PX63232143434.

可得随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 6 P 125144 572 144 15112 12 4 所以数学期望EX01144152515123722144312412646.

考点：独立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式；分布列和数学期望

(20)

（Ⅰ）f(x)的定义域为(0,)；

f/(x)aa22(ax22)(x1)xx2x3x3.

当a0，/ x(0,1)时，f(x)0，f(x)单调递增；

x(1,)时,f/(x)0，f(x)单调递减.

当a0时，f/(x)a(x1)x3(x2a)(x2a).

10

（1）0a2，

2a1， 当x(0,1)或x(2a,)时，f/(x)0，f(x)单调递增； 当x(1,2a)时，f/(x)0，f(x)单调递减； （2）a2时，

2a1，在x(0,)内，f/(x)0，f(x)单调递增； （3）a2时，02a1， 当x(0,2a)或x(1,)时，f/(x)0，f(x)单调递增； 当x(2a,1)时，f/(x)0，f(x)单调递减. 综上所述，

当a0时，函数f(x)在(0,1)内单调递增，在(1,)内单调递减；

当0a2时，f(x)在(0,1)内单调递增，在(1,2a)内单调递减，在(2a,)内单调递增；

当a2时，f(x)在(0,)内单调递增；

当a2，f(x)在(0,2a)内单调递增，在(2a,1)内单调递减，在(1,)内单调递增. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，a1时，

f(x)f/(x)xlnx2x11x2(1x22x2x3)

xlnx3x12x2x31，x[1,2]，

令g(x)xlnx,h(x)3x12x2x31，x[1,2]. 则f(x)f/(x)g(x)h(x)，

11

由g/(x)x1x0可得g(x)g(1)1，当且仅当x1时取得等号. 又h'(x)3x22x6x4， 设(x)3x22x6，则(x)在x[1,2]单调递减， 因为(1)1,(2)10，

所以在[1,2]上存在x0使得x(1,x0) 时，(x)0,x(x0,2)时，(x)0，所以函数h(x)在(1,x0)上单调递增；在(x0,2)上单调递减， 由于h(1)1,h(2)12，因此h(x)h(2)12当且仅当x2取得等号， ，

所以f(x)f/(x)g(1)h(2)32， 即f(x)f/(x)32对于任意的x[1,2]恒成立。 考点：利用导函数判断函数的单调性；分类讨论思想. （21）

（Ⅰ）由题意知a2b23a2，可得：a2b. 因为抛物线E的焦点为F(0,1)，所以a1,b122， 所以椭圆C的方程为x24y21.

（Ⅱ）（i）设P(m,m22)(m0)，由x22y可得y/x， 所以直线l的斜率为m，

因此直线l的方程为ym22m(xm)，即ymxm22.

12

m2ymx设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0)，联立方程2

x24y21得(4m21)x24m3xm410，

由0，得0m25且x4m31x24m21，

因此xx1x22m3024m21, 将其代入ymxm22得ym202(4m21)， 因为

y0x1，所以直线OD方程为y14mx. 04m联立方程y14mx，得点M的纵坐标为y1M， xm4即点M在定直线y14上. ii）由（i）知直线l方程为ymxm2（2，

令x0得ym2m22，所以G(0,2)， 又P(m,m22),F(0,12m3m22),D(4m21,2(4m21))， 所以S112|GF|m14m(m21)， S1m(2m21)222|PM||mx0|8(4m21)， S212(4m1)(m2所以1)S(2m21)2， 213

令t2m21，则

S1S(2t1)(t1)11t2t2t2， 2当

1t12，即t2时，S192S取得最大值，此时m，满足0，

242所以点P的坐标为(2192,4)，因此S1S的最大值为，此时点P的坐标为(21242,4).

考点：椭圆方程；直线和抛物线的关系；二次函数求最值；运算求解能力.

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